1. PROBABILITA : UNA RASSEGNA

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1 . ROBBILIT : U RSSEG Tipic ffermzioe: l proilità dell eveto è dt dl umero rele [ 0, ] Esempi di eveti : uscit dell fcci 6 el lcio di u ddo età iferiore 5 i di u cittdio di u dto stto 3 velocità i modulo iferiore 0 m/s di u molecol di Ossigeo ell tmosfer 5 cc e pressioe tm Codizioi prelimiri: i ossiilità di osservzioi co esiti che determio l relizzzioe o l o relizzzioe dell eveto ii deve essere u eveto csule o predetermiile Cos è e qule vlore ssume?

2 ssiomtizzzioe secodo Kolmogorov 935: che tipo di fuzioe ppliczioe è e sotto quli codizioi esiste? Defiizioe : esiste l isieme Ω smple spce di tutti i possiili esiti outcomes di osservzioi Esempio : Ω { E, E, E, E, E, E } E : 3 uscit 4 5 dell Esempio : Ω { E, E, E, } E 0 v v 6 fcci : perso co età v v u + v yu y + v zuz, v : molecol co velocità v { } Esempio 3: Ω E,v,v E y z R ot: soo possiili scelte diverse per Ω, esempio : Ω { E, h, h + Z R } E : perso di età ed ltezz, h h

3 Defiizioe : eveto : sottoisieme di Ω : Ω Esempio : { E 6 } Esempio : { E, E, E, E, } 0 3 E4 v m/s Esempio 3: { E v 0 } Digrmmi di Ve per l rppresetzioe geeric degli eveti Ω Molteplicità di eveti sottoisiemi cui si possoo pplicre operzioi che geero loro volt eveti Uioe Itersezioe 3

4 Differez : Ω eveto complemetre opposto di Eveti e soo icomptiili se φ isieme vuoto Se, llor l eveto implic l eveto 4

5 Defiizioe 3: isieme dei possiili eveti che soddisf lle segueti codizioi σ lger: Ω B φ B se B B llor B c dt l successioe, fiit o ifiit, co B, llor B,,,, I prtic: quli regole deve soddisfre l isieme degli eveti per i quli è defiit l proilità? 5

6 ssiomi sull proilità: per ogi B, Ω esiste,,,, 0 3 dt co icomptiili coppie, ssiom dell somm B, e gli eveti ', llor Cosegueze: Ω, 0, Ω + I 0 prticolre:φ Ω φ + Ω φ 0 Ω ' φ + se, e I prtic: quli regole deve soddisfre l fuzioe ppliczioe proilità + :B R I prticolre: B φ Eveti certi se l loro proilità è uitri Eveti impossiili φ se l loro proilità è ull 6

7 Coclusioe: spzio delle proilità isieme Ω,B, M Equivlez tr proilità e misur degli isiemi d esempio isiemi di puti geometrici: stesse proprietà M 0, M M + M se φ Esempio dei puti sull rett: Ω [ 0, ], M Ω Ω isieme dei puti di rppresetti d umeri rzioli Ω isieme dei puti di rppresetti d umeri irrzioli Ω φ M Si dimostr che secodo l misur ordiri: + M M 0 M Teori di Kolmogorov: codizioi ffiché l roilità risulti defiit i modo uto-cosistete dl puto di vist mtemtico erò o forisce lcu rispost ll domd: quli iformzioi sull reltà soo coteute forite ell roilità? 7

8 L roilità o può dre iformzioi sull sigol prov/osservzioe. Bisog ecessrimete cosiderre u isieme di prove cmpioe sttistico di prove/osservzioi dimesioe umero di prove del cmpioe sttistico umerosità dell eveto el cmpioe sttistico ω : : frequez dell eveto el cmpioe sttistico -dimesiole Iterpretzioe igeu dell frequez ω come proilità dell eveto Oiezioe: vriilità dell frequez ω tr diversi cmpioi sttistici co dt dimesiolità del cmpioe sttistico erò l vriilità dell frequez ω dimiuisce ll umetre dell dimesiolità del cmpioe sttistico 8

9 9

10 0

11 Iterpretzioe frequetist dell roilità vo Mises, 90 lim ω lim Difficoltà el defiire formlmete l operzioe di limite! Iterpretzioe soggetivistic o yesi dell roilità De Fietti, 95: l roilità o può essere misurt come frequez i cmpioi sttistici si può ssumere u modello per l fuzioe di roilità e cofrotrlo co l reltà sull se delle sue previsioi.

12 lisi proilistic di u cmpioe sttistico Eveto di riferimeto co proilità suppost dt: p p : o relizzzioe dell eveto : Eveto csule per il cmpioe sttistico: u specific sequez di sigoli eveti: :,,,, B umero di preseze dell eveto p p B Idipedez dei sigoli esiti el cmpioe sttistico: ot: B è idipedete dll ordie dell sequez!

13 B, : eveto csule costituito d eveti e eveti idipedetemete dll ordie ell sequez di u cmpioe Clcolo comitorile:!! B,! umero di cofigurzioi di pllie rosse idistiguiili e pllie ere idistiguiili i cselle p p!!! pprossimzioe di Stirlig del fttorile:! π e per >> Legge dei grdi umeri J. Beroulli, De Moivre, Lplce B, πσ ω : ep / { } [ ω p] / σ σ : p p / Coclusioe sostzile: scostmeto delle frequez ω dell eveto dll su proilità p tede zero come / per 3

14 B, p ω 4

15 erò è sempre u ffermzioe proilistic: o esclude l possiilità di u cmpioe sttistico co qulsisi vlore dello dell frequez ω ricipio geerle: d u modello proilistico si ottegoo solo iformzioi proilistiche e o ffermzioi icotrovertiili sugli esiti di u prov o di u isieme di prove cmpioe sttistico E possiile otteere iformzioi certe sull esito delle osservzioi? Solo el cso di eveti l cui proilità è uitri Teorem di Beroulli: per ogi ε > 0 ω p < ε lim Il teorem di Beroulli ivoc il limite, quidi o è strettmete pplicile cmpioi fiiti Tipicità tipiclity per cmpioi fiiti m co dimesiolità elevt: è il vlore tipico dell frequez ω osservt / ricipio dell rgio isufficiete Lplce: proilità uguli per simmetri. Esempio del ddo: fcce equivleti per simmetri j 6 : E j costte E j 6 5

16 6 Idipedez sttistic e proilità codiziole Dti due eveti csuli e B e le proilità : B 0 B roilità dell relizzzioe simulte di e B Iterpretzioe secodo u cmpioe sttistico dimesiole co dti B B,, B B B B B B B frequez dell eveto el sottocmpioe i cui B si relizz Idipedez sttistic di e B: se B B Impliczioe: B Iterpretzioe el cmpioe sttistico: B B defiizioe dell proilità codiziole di se B è relizzto : B B B Spesso si dice: roilità di codiziot d B

17 Vriili stocstiche Oiettivo: trsformre l ppliczioe proilità di u veto csule i u fuzioe umeric ω ω Ω d ogi possiile esito di u prov,, ssocimo u vlore umerico ll vriile stocstic vriile csule o letori secod del prolem, può essere u vriile cotiu o discret cioè co vlori iteri, oppure essere costitut d u isieme di vriili. Lcio del ddo: umero dell fcci {,, 3, 4, 5, 6} Sttistic dell età di u perso: età: umero turle Sttistic dell ltezz di u perso: ltezz: umero rele positivo + R Sttistic dell velocità di u molecol: prmetri del vettore velocità 3 v v u + v yu y + v zuz v,v y,v z R 7

18 er l stess grdezz fisic, si può scegliere tr vriili stocstiche di tipo diverso. Esempio dell sttistic dell sttur h di u perso.. Si può scegliere u vriile stocstic cotiu, h R oppure suddividere il cmpo per h>0 i itervlli di mpiezz costte h h 0 h h h3 4 + {,, 3, } h h / h ed usre u vriile stocstic discret che idividu l itervllo cui pprtiee l sttur h + h h h / h < h + h / 8

19 Cso di u vriile stocstic discret. Eveto csule qudo l vriile stocstic ssume il vlore : è u fuzioe dei possiili vlori dell vriile stocstic Vicolo di ormlizzzioe: Ω ' : ' φ oto l isieme delle proilità elemetri per tutti i possiili vlori dell vriile stocstic, possimo clcolre l proilità di qulsisi eveto csule equivlete ll uioe di eveti elemetri tr di loro icomptiili Esempio: uscit di u fcci pri el lcio di u ddo, 4, { } Esempio: perso mioree < 8 :

20 Medi spettzioe dell vriile stocstic: d esempio l età medi di u popolzioe otzioe mtemtic Eepecttio: E[ ] : Giustificzioe: dto u cmpioe sttistico -dimesiole dove l esito è osservto volte,, se /, il vlore medio di el cmpioe è clcolile come : D ltrode, se è l qutità totle di el cmpioe d esempio il reddito, / e rppreseteree l qutità spettte l sigolo idividuo se fosse equmete suddivis Geerlizzzioe: medi di u fuzioe f dell vriile stocstic: roprietà: se f : f f : f f costte : f f + g f + g 0

21 Scostmeto dll medi: : 0 Devizioe stdrd σ medi σ : per qutifcre il tipico scostmeto di dll + Geerlizzzioe isieme di vriili discrete ossiili vlori di : :,,, m : m roilità: :,,, ormlizzzioe: :,,, Vlore medio di u fuzioe f : f : f f : f,,,, f,,,,,,,,

22 Vriile stocstic cotiu: R roilità che l vriile stocstic si compres ell itervllo, ], : < < dditività: c, ], c], c], ], c] φ, c < c < + < c +,, c Fuzioe di distriuzioe: F :, E u fuzioe di u sol vriile! o cofodere l rgometo dell fuzioe estremo dell itervllo co l vriile stocstic!

23 3 roprietà dell fuzioe di distriuzioe: ermette il clcolo dell proilità per u itervllo fiito ], ], ], :,, F F F F + < E u fuzioe crescete dell rgometo : F F > F 0 Impliczioe: 0 d df 3 E ormlizzt come F + [ ] 0 F F < lim lim Cogruete co l ullità dell misur di u itervllo costituito d u solo puto. ell ipotesi che si u fuzioe cotiu, l proilità che l vriile stocstic ssum u vlore defiito è ull. F

24 df Defiizioe di desità di proilità: : 0 d desità di proilità perché esprimiile come rpporto limite tr proilità i u itervllo ed mpiezz dell itervllo: F F + < lim + lim o i form differezile: d < + d ot: metre l proilità è dimesiole, l desità di proilità dell iverso dell vriile stocstic. ot: l desità di proilità i u puto o è l proilità dell vriile stocstic i quel puto! er itegrzioe dell desità di proilità si ottiee l proilità i qulsisi itervllo: dl clcolo differezile i u vriile d df d F F < d ormlizzzioe: d < + 4

25 Spesso si ssume l desità di proilità come iformzioe primri che specific i mier complet il modello proilistico. Corrispodez co l rppresetzioe discret dell vriile stocstic : itervlli di mpiezz er : E l coessioe tr descrizioi proilistiche secodo u vriile stocstiche cotiue o secodo u vriile discret dell stess grdezz. : vlori iteri possiili per l vriile stocstic discretizzt : / < + / + / d / 5

26 6 Vlore medio di u grdezz espress come fuzioe f dell vriile stocstic: f d f / / : f d f f f < Giustificzioe vi rppresetzioe discret dell vriile stocstic: È l defiizioe secodo Riem dell itegrle!

27 Semplici modelli per vriili stocstiche cotiue Desità di proilità costte ell itervllo < <, σ? K 0 per ltrimeti d d K K L : L K lughezz misur dell' itervllo ot: il modello co l desità di proilità omogee costte su tutto l sse rele o è defiit poiché o è ormlizzile 7

28 Vlore medio dell vriile stocstic d L L d puto medio dell itervllo! + Vriz dell vriile stocstic L / d y : L / dy y L + L d σ + L L 3 8

29 9 9 Desità di proilità gussi cetrt i e lrghezz 0 σ 0 l σ 0 G σ Vlore medio dell vriile stocstic 0 0 y 0 y y dy G d G 0 + : σ σ Vriz dell vriile stocstic σ σ σ σ σ y 0 0 y y dy G d G 0 : :

30 Qule effetto di u cmimeto di vriile h? h h h U osservile si trsform come uo sclre ivrite: sostituzioe di vriile ell rgometo f f h : f f f h L fuzioe di distriuzioe come le proilità per itervlli fiiti soo sclri ivriti F : : F F h F h 30

31 Ivece l desità di proilità o è uo sclre ivrite df : d df h d df d : h df d dh d h h' Il cmimeto di vriile modific l form fuziole dell desità di proilità! iù semplicemete st cmire l vriile di itegrzioe el clcolo dell medi f d f d h' h f d d d f h' h h 3

32 3 Esempi: c c / c c f d c f c c d f d d d f d c / / / / / 3 3 / f d f 3 d f d d d f d 3 / / / / / / / Coseguez: il cmio di vriile su u desità di proilità omogee i u dto itervllo produce u desità di proilità i geerle o più costte!

33 Vriile stocstic defiit come u isieme di vriili cotiue. L descrizioe del cso idimesiole, è fcilmete estes l cso multidimesiole Come si geerlizzo le defiizioi/proprietà itrodotte per l sigol vrile stocstic? Fuzioe di distriuzioe: F F,, :, lim, F, 33

34 Desità di proilità: I form differezile:, : F,, dd < + d, < + d roilità i u re fiit: <, < d d, ormlizzzioe: d d, Vlore medio dell fuzioe f f, f : d d, f, 34

35 Desità di proilità mrgili Se si è iteressti lle fuzioi f di u sol vriile stocstic, llor è sufficiete l desità di proilità di u vriile: f : d logmete d d,,,, f d f desità di proilità mrgile dell vriile stocstic : d, desità di proilità mrgile dell vriile stocstic Si potree defiire l desità di proilità mrgile rispetto ll vriile stocstic defiit ttrverso l fuzioe Y h,, st effetture u opportuo cmio di vriile ell itegrle Esempio: ot l desità di proilità dell velocità di u molecol, v,v y,v z, clcolre l desità di proilità mrgile del modulo dell velocità Y y v + v + v z 35

36 36 Impliczioe:,, d d d d < < < < Descrizioe proilistic molto più semplice se le vriili stocstiche soo idipedeti Vriili stocstiche idipedeti se:,, co i geerle diverse desità proilità di sigol vriile stocstic Covriz: prmetro usto per vlutre l idipedez delle vriili stocstiche [ ] : Cov, Se soo idipedeti, llor e 0 : Cov, erò i presez di vriili stocstiche correlte o idipedeti, l covriz potree risultre ull

37 Teorem del limite cetrle Forisce u rispost ll domd: perche le desità di proilità gussie soo così frequeti? Cotesto pplictivo di riferimeto: vriile stocstic di iteresse risultte dll comizioe liere di precchie vriili stocstiche. el teorem del limite cetrle si cosider l situzioe idelizzt di u vriile stocstic di iteresse Y defiit come comizioe equi-pest di vriili stocstiche,, Y idipedeti e sttisticmete equivleti co l stess desità di proilità,, σ : stessi desità di proilità e vlori medi per ogi vriile stocstic idipedete : σ σ 37

38 38 E coveiete scegliere il coefficiete di proporziolità di Y cosicché i lo stesso cmpo di vriilità delle vriili stocstiche idipedeti Y : Dll codizioe di idipedez sttistic ed equivlez delle vriili stocstiche :,,,,,,,,, Deduzioe dirett sulle medie di Y : Y Y Y Y : Y 0 σ σ ' ' per ' Y σ σ Le devizioi di Y dll medi tedoo d ullrsi per

39 Il teorem del limite cetrle cosete di specificre l desità di proilità mrgile di Y el limite di u umero ifiito di vriili stocstiche idipedeti: : y gussi sull vriile y Y L form specific dell gussi è determit di prmetri Y e σ Y precedetemete clcolti Schem dell dimostrzioe vi Trsformte di Fourier TF: TF di Y y : TF di : ~ Y ~ q : iq y Y dy e Y y iq d e q : e iq Y e iq Espsioe qudrtic di ~ q : q 0 : ~ q d q [ ] + iq q / σ / q σ Y / 39

40 40 [ ] Y Y iq Y q q q q i iq iq iq e q / ~ ~ / ~ / ep / ep / ep / ep ~ q q q g q f Y Y / ep / / ~ ~ : σ σ TF di u gussi è cor u gussi! Quidi è u gussi per! Y y 0 q / : E sufficiete l espsioe qudrtic di ~

41 Clcoli Mote Crlo Oiettivo: dt u desità di proilità di u vriile stocstic multidimesiole, otteere u cmpioe sttistico esteso di suoi vlori Utilità ei prolemi stocstici molto complessi: vlutre vlori medi, geerre cmpioi sttistici di vriili stocstiche mrgili d cui idurre le corrispodeti desità di proilità Esistoo diversi lgoritmi ctlogti sotto il ome metodi Mote Crlo Igrediete idispesile: softwre ormlmete suroutie di liguggi strutturti che geero sequeze di umeri csuli R omogeemete distriuiti ell itervllo [ 0, Esempio semplice: dt l sequez di umeri csuli R si deriv u cmpioe per gli esiti del lcio del ddo umero dell fcci eseguedo il clcolo di: + It 6R dove It estre l prte iter dell rgometo 4

42 Etropi di Sho Cotesto: teori dell iformzioe per l descrizioe di segli i presez di rumore. Segle: vriile stocstic co dt desità di proilità Come qutificre l su csulità rdomess? Misur secodo l etropi di Sho o etropi mtemtic H determit dll desità di proilità H H[ ] H[ ] : fuziole, cioè ppliczioe d u possiile form fuziole per d u umero rele Isieme delle possiili R 4

43 Semplificzioe: vriile stocstic discret dimesiole: desità di proilità sostituit dll isieme di proilità,,, co vicolo ed il fuziole H ] sostituito dll fuzioe H dt come H [ l roprietà: H 0 0, l 0 H0 el limite δ lim l, j Corrispode l segle certo: ssez di disordie! 3 Mssimo di H per / Corrispode l segle completmete csule: mssimo disordie 43

44 44

45 Mssimo di H dll ullità del grdiete dell fuzioe di - vriili idipedeti [ ] [ ] l l l,,, l H H j : l j + l l j [ ] l + 0 [ ] l costte j j l ello studio dei sistemi mterili l fuzioe etropi di Sho cquist il sigificto di misur del disordie del sistem. 45

46 ppedici Distriuzioe gussi ormle: G σ G σ : ep σ / σ π σ l. 355σ dg 0 σ dgσ 0 dgσ σ 46

47 Metodo di Lplce: u semplice pprossimzioe dell itegrle f I d f f ell ipotesi che e che l fuzioe si loclizzt ttoro l suo mssimo 0 u 0 u : l f f ep [ u ] Espsioe qudrtic sul miimo: I d ep Estto el limite 0 u u 0 + u" 0 0 [ ] π u 0 u" 0 0 / ep[ u ] 0 u" 0 u" 0 f 0 47

48 pprossimzioe di Stirlig Espressioe del fttorile come u itegrle z z > 0 Γ z : : d e Γ 0 fuzioe Gmm Itegrdo per prti:: Γ z + zγ z er z itero positivo: Γ + Γ Γ 3 Γ!! Γ + d e 0 pprossimzioe secodo Lplce dell itegrle di Γ + f e f ' e Mssimo i 0 u l f l u" u" 0 e! π 48

49 49

50 π! e

51 I termodimic sttistic spesso si devoo vlutre, per >>, grdezze del tipo l! l! l π e l π l l e 0 + l Form ridott dell pprossimzioe di Stirlig d pplicrsi su scl logritmic: e! 5

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