U. BROGGI (Milano - ItaKa) SU DI UN PROBLEMA DI PEREQUAZIONE

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1 U. BROGGI (Milano - ItaKa) SU DI UN PROBLEMA DI PEREQUAZIONE Si perequa un sistema di valori osservati p 0, Pi,..., p H (che neka prima parte del lavoro sono supposti corrispondere a valori equidistanti i valori 0,1,..., n deka variabile x da cui dipendono) per dedurre da essi un sistema y 0, y iy..., y n, che in complesso se ne scosti il meno possibile pure presentando una maggiore regolarità di variazione. Ma mentre una qualunque delle due somme w+l ^\yr-pr\, r-=0»+1 -p,r misura evidentemente il grado di fedeltà col quale ci si attenne ai valori osservati, non appare ben chiaro di quale espressione ci si debba valere per misurare il grado di regolarità della poligonale (r, y r ). La variazione totale e 12/i 2/o +12/2 2/ /n 2/n-l n+l dipendono, oltre che dalla regolarità, da \y n 2/o - Ciò non accade invece ove si adotti una deke espressioni n+l-fe M k =^ (A%y che corrispondono a k > 1 e intero, senza che nessuna fra esse appaia come privilegiata. Comunque è chiaro che assunta una funzione non negativa M ài y 0,..., y n come espressione deka regolarità di questo sistema di valori e tale che ad una regolarità massima corrisponda un valore minimo di M, il problema deka perequazione appare come un problema del tipo: determinare il sistema di valori yo,...,y H al quale corrisponda un valore minimo di H=M+XL dove k è una costante positiva ed arbitraria, il di cui valore rispecchia il peso

2 118 COMUNICAZIONI attribuito ake due esigenze antagoniche, che portano a correggere i dati Po,..., p n, ed a correggerli il meno possibile. Ad un problema di questo tipo conducono d'altronde pure considerazioni di calcolo deke probabilità ( i ) Il caso k=l fu trattato dal BOHLMANN ( 2 ) e da me ( 3 ), che in conformità ad una osservazione già formulata suppongo gk estremi y 0, y n fissi, il caso k=2 da me, il caso k=s dal WHITTAKER ( 4 ). Ma il WHITTAKER ed il BOHLMANN si Kmitano a dare soluzioni particolari ed approssimate (X è molto piccolo pel primo, molto grande pel secondo degk autori citati) di un problema che il calcolo deke differenze permette di risolvere in tutta la sua generaktà, conducendo però, se k>l, ad espressioni poco facilmente maneggevok. Ove sia n+1 H=(A k y 0 ) (A k y n _ k ) 2 + X ^ fa-pr) 2 le n + 1 condizioni di minimo ÙH àh n V&0 sono, come si vede ricordando che A s yr=y r+ s - (J y-r+s-i + y yr+s ( - l) s y r ed osservando che y r figura in A k y T _ k, A k y r k+ì,..., A k y r+k con coefficienti rispettivamente uguak a *' "0. (2)» (- 1 )* deka forma (1) X(y r -p r ) + (-l) k A 2k y r^k=0 meno le k prime e le k ultime. Lo sono tutte ove si ammette che sia (2) zft/_fc=^2/i-fc=... =A k y_ i =A k y n _ k+i =... =A k y n =0. La funzione y- deka variabile intera r, che si vuole determinare, è dunque la soluzione della equazione alle differenze lineare non omogenea di ordine 2k (1), ( ) E. T. WHITTAKER : On a new method of graduation, in Proceedings of the Edinburg Math. Soc, Vol. XVI, London, 1923, pag. 63. ( 2 ) G. BOHLMANN : Ein Ausgleichsproblem, in Mitteilungen der Göttinger Gesellschaft der Wissenschaften, 1899, 3. ( 3 ) U. BROGGI : lieber mechanische Ausgleichung, in Zeitschrift für angew. Math, und Mechanik., Bd. 5, Heft 3, ( 4 ) Loc. cit.

3 U. BROGGI : Su di un problema di perequazione 119 che soddisfa le 2k condizioni (2). E la (1) non è se non l'equazione di EULERO- LAGRANGE che corrisponde a giacché E n+1 Zr=] [(A k y r ) 2 + X(y r -p r ) 2 ] = Minimo «+1 \ àh=~ 2 [A k y r ôa k y r +X(yr-Pr)ôy r ] + (-l) k^òay r+k _ i A 2k -"y T t + ^\A k y T òa k -^y r - n+1 + S ày r [(-l) k A 2k y r - k +X(y r -p r )l OH=0 se y r è soluzione deka (1) e si annuka il primo dei due termini del secondo membro. Corrisponde a k=f ed a òy Q =òy n =0 La funzione y r soluzione di n+1 - ÒH= 2 ày r [X(y T -p r )-A^^]. (3) Xy r A 2 y r -i=xpr uguale a y 0 ed a y n se, n corrisponde ad un minimo di H. Ove a L ed a 2 siano costanti arbitrarie, ed e>l e - siano le radici deh"equazione caratteristica a radici reciproche e positive u 2 -(2 + X)u + l==0 yr^a^ + a^-^-x^pf^ la soluzione generale deka (3) e, se yo=a>i + a 2 y n =a i s n +a 2 e- n - s ~ 1 st+i s -t-i sl+2 s -t-2 la soluzione cercata. Ove n sia grande l'espressione di y r si riduce praticamente a 2/r= ^Y [Pr + ~ 1 to'-i+^+l) + fi"" 2 (^r-2+pr+2)+.»]. Ove solo si utikzzino i primi s + 1 termini del secondo membro si dovrà sostis i g i In una qualsiasi formola di perequazione tuire il fattore T COK' altro + l~ - g + i_2ey r =a 0 p 0 + a ± (p r -L +p r +ò +»» + a 8 (p r _ 8 +p r + s del tipo )

4 120 COMUNICAZIONI (ajc^o, k=0,...,s) ed è appunto dev'essere evidente a 0 + 2(a i a s ) = l _.+'i + «r- [1 + 2 ^ + ^ «"9]-l Non meno interessante, e non credo considerato mai, mi pare il caso di valori non equidistanti deka variabile. Le differenze Ay r, A 2 y r, dovranno in esso venire sostituite coke differenze divise r 1 y(xr+ò y(xr) _ Vr+j Vr \XT^T-\-ì.\ ~ ~ ~~ ~~ j»"j X/---1-Â ~ ~ X p X ^ J L - A X f A p T =p(x r ) > r * T 1 ^r+a " gr+fe] ~ ^ x >~+ k -à >+& *'/' ed al problema r=n r=n-\-l H= 2 ^r+i] 2 + >l 2 (2/r p r ) 2 =Minimo, che ragioni di sempkcità rendono particolarmente interessante, corrispondono le n condizioni %TT (4) ^ =...= = o dake quak si deduce n+1 n+1 22/r=2>r r=l r-1 v u ' n+1 n+1 2 ^2/r= 2 x rpr J (^~2/i) r=l r=l Ai valori osservati ed ai perequati corrispondono momenti di ordine 0 uguak e momenti di ordine 1 che differiscono tanto meno quanto maggiore è X e minore è \y n yi\* È degno di nota il fatto che mentre il principio di minimo tende, se k=l, a ridurre il valore di \y n ~yi\j ciò non si verifica senza che si riduca a un tempo il valore numerico deka differenza che i momenti di ordine 1 dei valori osservati e perequati. Senza, cioè, che aumenti un indice deka coincidenza dei due sistemi di valori. Ove si postuk y 0 =y i, y n =yn+i le n equazioni (4) sono deka forma (6) X(y r Pr) (Xr+l X r ) [x r -ix r X r+i ] = 0. Il problema di integrare l'equazione ake differenze divise (6) di determinare cioè la funzione più generale y di x, che la soddisfa si trasforma neh'altro di determinare la funzione y di r, che soddisfa l'equazione ake differenze ordinarie Kneare non omogenea con coefficienti funzioni di r A 2 y r _ i -(x r+i -X r ) J {Xr^^{f r^l Xr) + X \ yr-x(xr + i-xr)y r -L=X(Xr-X r+i )p r

5 giacché U. BROGGI : Su di un problema di perequazione 121 ^r+l + X r ^ X r X r L X r -\-i #r 1 (X r!e r ìk^r+l X r ) Si tratta di un problema che solo sapremmo risolvere in casi particolari, corrispondenti a speciak leggi di formazione dei sistemi di valori x i9 x 2,... Ma si deduce dake prime n 1 (4), se d mn =x n x m y2=yi+xd i2 (yi pi) e se per ogni valore deh'indice ^>1, ^r (7) poiché mentre yr=yi+k[d ir (yl Pi) + d 2r (y 2 p 2 )+... +d r^ifr (y r^i p ì^i) yr+i=yi+x[d iìr+ i(yi Pi) + d2,r + i(y2 P2)+ + d r, r +i(yr~pr) 2/r+l= -ZT* 1 2/r- -~^ 2/r-i +^r,r+i(2/r-^r) = u>r j[, r Ut]*, r V = yi + * 2 (Vs-Ps) J ^ ^ d sr - f^ d Sìr^ j +Xd r, r+i (yr-pr) s=l d r^i f r-{.idsr dr, r+i#s,? 1 ^?* i, rû>s,?+i La (7) vakda per r=l, 2 lo è per ogni valore di r. Se ne deduce la possibilità di esprimere le y linearmente in funzione di y ±, e, se y r =A r yi + B r A r =l+x[d lr A i + d 2r A d r _ i}r A r _i] r r î r = ^ 4 + ^ 2 2 d st d tr A'- 1 d 12 tó d r^l!r 5=1 S=l >S = l + XP Ti + X 2 P r ^- i P r>r _i B r =X[d ir B i + d 2r B a r _ if rbr-i] (d ir p i + d 2r p d r^lfr p r ~i) = Xicirì. X CJ r2... X (<Jr i,r dove P rk esprime la somma di tutti i possibili prodotti di k d, di indici compresi fra 1 ed r, i Kmiti inclusi, e deka forma d 8 tdt u»» d vw d tor, dove s<t<u<... <v<w<r, Q rk indica la somma dei prodotti dei sommandi delle P rk per il p s di indice uguale ak'indice minimo s deke d di ogni sommando. Se ne ha finalmente, per la (5) n+1 n+2 n+1 (8) (n+x 2 p ri + p^p r A"- 1 P, _ 1 )2/i = 2>r+ r=l r=2 r=l n+1 n+1 +X 2 Qn+X 2 2 Qr A«- 1 Q, _i.

6 122 COMUNICAZIONI La (7) e la (8) costituiscono la soluzione particolare deka (6), definita dalle condizioni ai Kmiti [#o#i] = [#A+i] = 0. Ove gk estremi siano fissi, il sistema (4) si riduce ake n 2 equazioni, che se ne ottengono trascurando la prima e l'ultima e che, sommate membro a membro, danno n n (9) [XiX 2 ] [Xn-iXn]+X 2 2/r = ^ 2^" r=2 r=2 Le prime n S deke n 2 equazioni di minimo permettono di esprimere y 3, 2/4,..., 2/n-i Knearmente in funzione di y 2 e, coka (9), di formare la soluzione corrispondente ake condizioni ai Kmiti y=y^, y n se x=x if x n.

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