Il problema dello zaino: dalla gita in montagna ai trasporti internazionali. Luca Bertazzi

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1 Il problema dello zaino: dalla gita in montagna ai trasporti internazionali Luca Bertazzi 0

2 Ricerca Operativa (Operations Research) The Science of Better Modelli e algoritmi per la soluzione di problemi decisionali complessi

3 Obiettivo: determinare soluzioni ottime di problemi decisionali 2 Problema: 4 Determinare il perimetro di un rettangolo di base 4 e altezza 2 4*2 + 2*2 = 12 Non è un problema decisionale

4 Determinare la base e l altezza di un rettangolo avente perimetro Decisioni: base e altezza 2. Vincolo: perimetro 12 y 2 x + 2y = 12 x

5 2 x + 2y = , ,89 1 e infinite altre soluzioni.

6 Determinare la base e l altezza di un rettangolo di area massima con perimetro Decisioni: base e altezza 2. Obiettivo: massimizzare l area 3. Vincolo: perimetro 12 ottimizzazione

7 L obiettivo permette di assegnare un valore ad ogni soluzione ,11 8, ,89 soluzione ottima? Forse

8 Una possibile applicazione:

9 Il problema dello zaino Zaino: - capacità B Oggetti (items): - numero n - indice i =1,2,...,n - valore p i - peso w i Quali oggetti inserire nello zaino al fine di massimizzare il valore totale?

10 Applicazioni classiche Gita in montagna Sbarco sulla luna

11 Applicazioni finanziarie Un investitore ha un capitale. Può sottoscrivere progetti di investimento. Ogni progetto : i B - richiede un capitale w i - ha un rendimento p i Quali progetti sottoscrivere al fine di massimizzare il rendimento totale?

12 Applicazioni alla Logistica

13 1) Gestione della produzione

14 Un produttore ha a disposizione una barra di ferro di una data lunghezza. La barra può essere tagliata in pezzi. Ogni pezzo : i B -ha una lunghezza w i -ha un prezzo di vendita p i Quali pezzi tagliare al fine di massimizzare il ricavo totale?

15 2) Gestione magazzini e scorte

16 Area di ricezione Area di stoccaggio remoto Area ad accesso rapido Area di spedizione

17 Area ad accesso rapido - Dimensione dell area: B - Ogni prodotto: - occupa un volume w i - implica un time saving se collocato nell area p i Quali prodotti collocare nell area per massimizzare il time saving totale?

18 3) Gestione dei trasporti

19 Trasporti nell e-business Un veicolo di capacità, durante il viaggio di ritorno, può scegliere di servire alcuni clienti. Ogni cliente: - occupa un volume - fornisce un profitto w i p i B Quali clienti servire per massimizzare il profitto totale? Backhauling

20 Trasporti internazionali Un gestore di cargo ha a disposizione un aereo merci di capacità. B Ha una lista di carichi. Ogni carico: - occupa un volume w i - fornisce un profitto p i Quali carichi scegliere al fine di massimizzare il profitto totale?

21 Problema dello zaino: soluzioni intuitive Algoritmo p i - greedy B =15 = 5 i p n i w i - Ordinare gli oggetti sulla base di p i in modo non crescente Inserire gli oggetti fino al raggiungimento della capacità greedy 4 z p i = 10

22 Esiste una soluzione migliore? B =15 n = 5 i pi w i Se inseriamo nello zaino gli oggetti otteniamo: Profitto totale: 15 Peso totale: 8 Esiste!!

23 Conclusione: L algoritmo p i -greedy non è esatto (non assicura di ottenere una soluzione ottima) Qual è il limite di questo algoritmo? Non tener conto del peso degli oggetti e quindi del profitto per unità di peso

24 Un secondo algoritmo B =15 n = 5 i pi Profitto per unità di peso w , , i p i / w i Algoritmo Greedy - Ordinare gli oggetti sulla base di p i / w i in modo non crescente Inserire gli oggetti fino al raggiungimento della capacità Greedy z = 15

25 L algoritmo Greedy è esatto? B = 200 n = 3 Greedy: Greedy 1 2 z = 102 i 1 2 pi w 1 i 100 p i / w i 2 1 Altra soluzione: inserire 2 e Profitto totale: 200

26 Profitto totale del Greedy: 102 Esiste una soluzione con profitto 200 Il profitto ottimo è almeno 200 Conclusione: L algoritmo Greedy non è esatto Esiste almeno un caso in cui il profitto del Greedy è il 51% del profitto ottimo

27 E il caso peggiore? B = 200 n = 2 Greedy: Greedy 1 z = 2 i pi wi p i / w i Altra soluzione: inserire 2 Profitto totale: 200

28 L algoritmo Greedy può generare soluzioni con profitto molto basso rispetto all ottimo Esiste un algoritmo con profitto minimo garantito?

29 L algoritmo Ext-Greedy Scegliere la migliore fra: - la soluzione dell algoritmo Greedy - la soluzione che contiene solo l oggetto con profitto massimo L algoritmo Ext-Greedy genera un profitto pari ad almeno il 50% del profitto ottimo

30 Alla ricerca dell ottimo Come determinare una soluzione ottima? Algoritmo di completa enumerazione - Generare tutte le soluzioni - Scegliere la soluzione ammissibile con il profitto maggiore

31 B = 200 n = 3 i pi w i profitto peso SI NO NO 2 1 SI NO SI SI SI NO SI SI SI NO N0 NO 0 0 NO NO SI NO SI NO NO SI SI oggetti 8 soluzioni

32 L algoritmo di completa enumerazione genera sempre una soluzione ottima, ma Numero di soluzioni: n n 2 oggetti soluzioni oggetti numero di soluzioni E 27

33 Come varia il tempo di calcolo al variare di n? n Tempo di calcolo < 1 secondo 19 ore 392 secoli un milione di miliardi di operazioni al secondo L algoritmo di completa enumerazione può essere impraticabile

34 Non solo brutte notizie È possibile ottenere la soluzione ottima di problemi con migliaia di oggetti in pochi secondi su un PC n tempo 15 sec 1 min 1 min e 25 sec Come è possibile ottenere questo risultato? Solver: CoinMP 1.3 PC: AMD Athlon 64 X2 Dual Core Processor GB RAM

35 Il metodo per la ricerca dell ottimo PROBLEMA MODELLO ALGORITMI software

36 1) Definizione del problema PROBLEMA MODELLO Quali oggetti inserire nello zaino al fine di massimizzare il profitto totale? ALGORITMI software

37 Dati: B : capacità dello zaino n : numero di oggetti p w i i : profitto dell'oggetto : peso dell'oggetto i i

38 2) Formulazione di un modello 1) Variabili decisionali: L oggetto i viene inserito nello zaino? Variabile binaria { 0,1} x i PROBLEMA MODELLO x i 0 i non viene inserito 1 i viene inserito ALGORITMI software

39 2) Funzione obiettivo: PROBLEMA massimizzare il profitto totale Profitto oggetto i Profitto totale: n p i x i=1 0 se = 0 i x i p i se x i =1 MODELLO ALGORITMI software

40 Funzione obiettivo: PROBLEMA massimizzare il profitto totale MODELLO max n p i x i=1 i ALGORITMI software

41 3) Vincoli: Vincolo di capacità Peso oggetti inseriti < capacità PROBLEMA MODELLO n wi x i i=1 B ALGORITMI software

42 Modello: max n w x i= 1 x i i i n i= 1 p x B i i { 0,1 } i = 1,2,..., n modello di programmazione lineare intera (binaria) PROBLEMA MODELLO ALGORITMI software

43 3) Applicazione di algoritmi a) Esatti soluzione ottima x 12 = 0 x 1 12 = Completa enumerazione Branch-&-Bound Branch-&-Cut x13 = 0 x13 = 1 x14 = 0 x 14 = 1 PROBLEMA MODELLO ALGORITMI software

44 b) Euristici soluzione buona p i -greedy Greedy Ext-Greedy PTAS FPTAS PROBLEMA MODELLO ALGORITMI software

45 Obiettivo ideale: - Soluzione ottima - Tempo polinomiale soluzione ottima euristica PROBLEMA MODELLO ALGORITMI software 0 profitto

46 tempo polinomiale esponenziale p i Es: - greedy e Greedy Es: Completa enumerazione tempo

47 Per il problema dello zaino: Tempo/Sol. Ottima Euristica Polinomiale p i -greedy Greedy Esponenziale Completa enumerazione Branch-&-Bound Branch-&-Cut

48 Algoritmi esatti polinomiali Non è mai stato ottenuto un algoritmo in grado di fornire la soluzione ottima del problema dello zaino in tempi polinomiali (algoritmo esatto polinomiale) Inoltre: Il problema dello zaino è NP-hard

49 Il problema dello zaino è NP-hard Appartiene ad una classe di problemi per i quali: - non è mai stato trovato un algoritmo esatto polinomiale - se si trovasse un algoritmo esatto polinomiale per uno di questi problemi, ogni problema della classe avrebbe un algoritmo esatto polinomiale Teoria della complessità computazionale

50 È altamente probabile che un algoritmo esatto polinomiale per il problema dello zaino non esista Potenziare gli algoritmi esatti algoritmi euristici PROBLEMA MODELLO ALGORITMI software

51 Algoritmi esatti: Risolvere all ottimo istanze sempre più grandi PROBLEMA MODELLO Soluzione ottima in meno di un secondo! ALGORITMI software

52 Algoritmi euristici: Trovare soluzioni sempre più vicine all ottimo PROBLEMA MODELLO Garanzie sulla bontà della soluzione! ALGORITMI software

53 4) Utilizzo di software Gli algoritmi esatti ed euristici sono implementati in software Esatti general purpose: - Risolutore di Excel - MPL - LINGO PROBLEMA MODELLO ALGORITMI software

54 PROBLEMA MODELLO ALGORITMI software

55 Il problema dello zaino e la Logistica Il problema dello zaino è uno dei sottoproblemi della logistica La vera sfida consiste nel trovare la soluzione migliore per l intero sistema

56 componenti fornitori 164 impianti rivenditori PROBLEMA MODELLO Risparmio del 26% del costo logistico! ALGORITMI software

57 Conclusione 0 Un antico proverbio recita: Se un problema non ha soluzioni, perchè preoccuparsi? Se un problema ha soluzioni, perchè preoccuparsi? PROBLEMA MODELLO ALGORITMI Un problema dello zaino con 60 oggetti ha soluzioni