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1 C.13 ntgrl di Rimnn Prmttimo il sgunt risultto. Lmm C.13.1 Si f un funzion limitt su = [, b]. Allor f è intgrbil s solo s pr ogni ε > 0 sistono un funzion h ε S + f un funzion g ε S f tli h h ε g ε < ε. Dimostrzion. Pr dfinizion f è intgrbil s solo s } } f = inf h : h S + f = sup g : g S f. Si f intgrbil. Fissto ε > 0, pr dfinizion di strmo infrior, è possibil individur un funzion h ε S + f tl h h ε f < ε/2; nlogmnt, pr dfinizion di strmo suprior, si può trovr g ε S f tl h f g ε < ε/2. Prtnto h ε g ε = h ε f + f g ε < ε. Vivrs, usndo l Dfinizion 9.26 l Proprità 9.27, si h g ε f f h ε quindi f f h ε g ε < ε. Pr l rbitrrirtà di ε, si ottin f = f ovvro l funzion f è intgrbil su [, b].

2 2 C.13 ntgrl di Rimnn Pg. 339 Dimostrzion dl Torm 9.31 Torm 9.31 Sono intgrbili sull intrvllo [, b] ) l funzioni ontinu su [, b]; b) l funzioni ontinu trtti su [, b]; ) l funzioni ontinu su, b) limitt su [, b]; d) l funzioni monoton su [, b]. Dimostrzion. ) Pr il Torm di Wirstrss, f è limitt su [, b], pr il Torm C.6.4 di Hin-Cntor, f è uniformmnt ontinu in [, b]. Qusto signifi h pr ogni ε > 0 fissto, sist δ > 0 tl h s x, x [, b] x x < δ llor fx ) fx ) < ε. Considrimo un suddivision x 0, x 1,..., x n } di [, b] tl h ogni intrvllo [x k 1, x k ] bbi mpizz < δ k = 1,..., n). Applihimo il Torm di Wirstrss su ognuno di ssi: pr ogni k = 1,..., n, sistono punti ξ k, η k [x k 1, x k ] tli h fξ k ) = m k = Poihé η k ξ k < δ, si h min fx) fη k) = M k = mx fx). x [x k 1,x k ] x [x k 1,x k ] M k m k = fη k ) fξ k ) < ε. Sino or h ε S + f g ε S f dfinit om Mk s x x k 1, x k ], k = 1,..., n, h ε x) = f) s x =, mk s x x k 1, x k ], k = 1,..., n, g ε x) = f) s x =. Pr ogni x [, b], risult h ε x) g ε x) < ε quindi h ε g ε = h ε g ε ) < ε = b )ε. Poihé ε è rbitrrio, pplindo il Lmm C.13.1, si ottin il risultto. b) Sino x 1, x 2,..., x n 1 } i punti di disontinuità di f intrni ll intrvllo [, b], on x k 1 < x k ; ponimo poi x 0 = x n = b. Pr k = 1,..., n, onsidrimo l funzioni ontinu sull intrvllo [x k 1, x k ] osì dfinit fx) s x x k 1, x k ), lim fx) s x = x k 1, f k x) = x x + k 1 fx) s x = x k. lim x x k

3 C.13 ntgrl di Rimnn 3 Prodndo om nll dimostrzion dl punto ), fissto ε > 0, sistono h ε,k S + f k g ε,k S f k tli h h ε,k x) g ε,k x) < ε, x [x k 1, x k ]. Sino or h ε S + f g ε S f dfinit om hε,k x) s x x k 1, x k ], k = 1,..., n, h ε x) = f) s x =, gε,k x) s x x k 1, x k ], k = 1,..., n, g ε x) = f) s x =. Allor, pr ogni x [, b], risult h ε x) g ε x) < ε, om in prdnz, onludimo pplindo il Lmm C ) Si ε > 0 fissto tl h ε = [ + ε, b ε] [, b]. L funzion f è ontinu su ε, prodndo om nl punto ), è possibil trovr du funzioni sl dfinit su ε, sino ϕ ε ψ ε, tli h ϕ ε x) fx) ψ ε x) ψ ε x) ϕ ε x) < ε, x ε. Sino inoltr M = sup fx) m = inf fx). Considrimo or l funzioni sl x x h ε S + f g ε S f dfinit om ψε x) s x ε, h ε x) = M s x / ε, ϕε x) s x ε, g ε x) = m s x / ε. Usndo il Torm 9.33 i), si h h ε g ε = h ε g ε ) + [,+ε] = 2M m)ε + ε ε h ε g ε ) h ε g ε ) + h ε g ε ) [b ε,b] < 2M m)ε + b 2ε)ε < 2M m) + b ) ε. Applindo nor il Lmm C.13.1, si ottin il risultto. d) Pr fissr l id, supponimo h l funzion f si rsnt. Ossrvimo prliminrmnt h f è limitt su [, b] in qunto f) fx) fb), x [, b]. Fissto ε > 0, si n un intro tl h n > b ; suddividimo l intrvllo in n n prti uguli di mpizz b n < ε sino x 0, x 1,..., x n } i punti di suddivision. Dfinimo l funzioni sl h n S + f g n S f dfinit om

4 4 C.13 ntgrl di Rimnn Allor fxk ) s x x k 1, x k ], k = 1,..., n, h n x) = f) s x =, fxk 1 ) s x x k 1, x k ], k = 1,..., n, g n x) = f) s x =. h n g n = n fx k )x k x k 1 ) = b n n = ε fb) f) ). n fx k 1 )x k x k 1 ) fxk ) fx k 1 ) ) = b ) fb) f) n l risultto sgu nor dl Lmm C S l funzion f è drsnt, l dimostrzion è nlog. Pg. 340 Dimostrzion dll Proposizion 9.32 Proposizion 9.32 Si f un funzion intgrbil su [, b]. Allor i) f è intgrbil su ogni sottointrvllo [, d] [, b]; ii) l funzion f è intgrbil su [, b]. Dimostrzion. i) S f è un funzion sl il risultto è immdito. n gnrl, si f intgrbil su [, b]; fissto ε > 0, pr il Lmm C.13.1, sistono h ε S + f g ε S f tli h h ε Poihé d g ε = hε g ε ) < ε. ) b ) hε g ε hε g ε < ε, il risultto sgu pplindo il Lmm C.13.1 ll funzion f ristrtt ll intrvllo [, d]. ii) Riordndo h f = f + + f, dov f + f sono rispttivmnt l prt positiv l prt ngtiv di f, è suffiint mostrr h sono intgrbili f + f pplir il Torm 9.33 ii), pr ottnr il risultto. Dimostrimo h f + è intgrbil. Fissto ε > 0, pr il Lmm C.13.1 sistono h ε S + f g ε S f tli h h ε g ε < ε. Si x 0, x 1,..., x n } un suddivision di = [, b] dttt ntrmb l funzioni sl h ε g ε. Considrimo l funzioni h ε,+ g ε,+, prt positiv rispttivmnt di h ε g ε. Fissto un intrvllo k = [x k 1, x k ], sminndo l tr possibili situzioni 0 g ε h ε, g ε 0 h ε g ε h ε 0, si vrifi filmnt h

5 g ε,+ f + h ε,+ C.13 ntgrl di Rimnn 5 h ε,+ g ε,+ h ε g ε < ε. k k k k Di onsgunz, si h h ε,+ S + f + g ε,+ S f + h ε,+ g ε,+ = n h ε,+ k k g ε,+ ) n h ε k Prtnto, pplindo il Lmm C.13.1, si ottin l intgrbilità di f +. n modo nlogo si vrifi h nh f è intgrbil. k g ε ) < ε. Pg. 341 Dimostrzion dl Torm 9.33 Torm 9.33 Sino f g funzioni intgrbili su un intrvllo limitto dll rtt rl. i) Additività risptto l dominio di intgrzion) Pr ogni, b,, si h fx) dx = fx) dx + fx) dx. ii) Linrità dll intgrl dfinito) Pr ogni, b α, β R, si h ) αfx) + βgx) dx = α fx) dx + β gx) dx. iii) Positività dll intgrl dfinito) Sino, b, on < b. S f 0 in [, b], llor fx) dx 0. noltr, s f è ontinu, vl l uguglinz s solo s f è idntimnt null. iv) Confronto tr intgrli dfiniti) Sino, b, on < b. S f g in [, b], llor fx) dx gx) dx. v) Mggiorzion dll intgrl dfinito) Sino, b, on < b. Allor fx) dx fx) dx. Dimostrzion. Non è diffiil vrifir h l proprità i) -v) vlgono nl so in ui l funzioni f g sono funzioni sl. Dimostrimolo prtnto pr gnrih funzioni intgrbili. i) Vrifihimo l proprità nl so < < b. L ltr possibili situzioni si studino utilizzndo tl risultto l rlzioni 9.19). Pr l Proposizion 9.32

6 6 C.13 ntgrl di Rimnn i), f è intgrbil sugli intrvlli [, b], [, ] [, b]. noltr, fissto ε > 0, sino g ε S f h ε S + f tli h h ε g ε < ε g ε Poihé l proprità vl pr l funzioni sl, si h prtnto g ε = g ε + f g ε f f + Pr l rbitrrità di ε, il risultto sgu. f f h ε f h ε + g ε < ε. ii) Dividimo l dimostrzion in du prti, vrifindo h ) b) b αfx) dx = α fx) dx ) b fx) + gx) dx = fx) dx + gx) dx. h ε. h ε = h ε Supponimo, pr fissr l id, h si < b. Nl primo so, s α = 0 l vrifi è bnl. Si α > 0. Ossrvimo h s g S f h S+ f llor αg S αf αh S+ αf ; dunqu α gx) dx = Dll disuguglinz α αgx) dx αfx) dx gx) dx dgli intgrli g fndo vrir g S f ottin α fx) dx = α nlogmnt dll disuguglinz αfx) dx αhx) dx = α hx) dx. αfx) dx, prndndo l strmo suprior usndo l intgrbilità di f su [, b], si fx) dx αfx) dx α αfx) dx ; hx) dx si h n onlusion, αfx) dx α fx) dx = α fx) dx.

7 quindi α α fx) dx fx) dx = αfx) dx αfx) dx. C.13 ntgrl di Rimnn 7 αfx) dx α fx) dx S α < 0, l dimostrzion è nlog ossrvndo h s g S f h S+ f llor αg S + αf αh S αf. Vrifihimo or il punto b). Sino f 1 S f, f 2 S + f, g 1 S g g 2 S + g ; llor f 1 + g 1 S f+g f 2 + g 2 S + f+g. Dunqu f 1 x) dx + g 1 x) dx = = f1 x) + g 1 x) ) dx α fx) + gx) ) dx ) b fx) + gx) dx f2 x) + g 2 x) ) dx f 2 x) dx + g 2 x) dx. Fisst g 1, f 2 g 2 prndndo l strmo suprior dgli intgrli vrir di f 1 in S f fx) dx + si h g 1 x) dx fndo or vrir g 1 in S g g 1 x) dx si h fx) dx + gx) dx α fx) + gx) ) dx ) b fx) + gx) dx f 2 x) dx + f 1 x) dx l g 2 x) dx ; prndndo nor l strmo suprior dgli intgrli α fx) + gx) ) dx ) b fx) + gx) dx f 2 x) dx + g 2 x) dx. Riptndo lo stsso rgionmnto prim fissndo g 2 fndo vrir f 2 S + f poi fndo vrir g 2 S g + si ottin fx) dx + gx) dx α fx) + gx) ) dx ) b fx) + gx) dx fx) dx + gx) dx

8 8 C.13 ntgrl di Rimnn d ui il risultto. iii) L funzion g ostnt ugul zro pprtin S f, prtnto 0 = gx) dx fx) dx. Supponimo or h f si ontinu; ovvimnt s fx) = 0 llor Vrifihimo l implizion invrs, ossi h s fx) dx = 0. fx) dx = 0 llor fx) = 0. S pr ssurdo foss f x) 0 pr un rto x, b), pplindo il Torm C.4.2 sist un intorno δ x) = x δ, x + δ) [, b] un ostnt K f > 0, pr ogni x δ x). Prtnto l funzion sl Kf s x gx) = δ x) 0 s x / δ x) pprtin S f fx) dx gx) dx = δk f > 0, d ui l ssurdo. Quindi fx) = 0 pr ogni x, b), pr ontinuità, f è null nh ngli strmi b. iv) Sgu dirttmnt dl punto iii), ossrvndo h l funzion hx) = gx) fx) 0. v) Pr l Proposizion 9.32 ii), l funzion f è intgrbil su [, b]. Riordndo h f = f + f dov f + è l funzion prt positiv f l funzion prt ngtiv di f) usndo l linrità dll intgrl dimostrt nl punto ii), si h fx) dx = f + x) dx f x) dx. Utilizzndo l disuguglinz tringolr, l positività dll intgrl dimostrt nl punto iii) si riordi h f +, f 0) l rlzion f = f + + f si ottin fx) dx f + x) dx + f x) dx = f + x) dx + f x) dx = f+ x) + f x) ) dx = fx) dx.

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