Solai e solette con armatura incrociata: comportamento e calcolo

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1 Solai e solette con armatura incrociata: comportamento e calcolo Consideriamo la piastra di figura a riferita a un sistema di assi cartesiani x e y, e in particolare le due strisce ortogonali t x e t y gravate dei carichi q x e q y esercitati da un carico ripartito uniforme q, agente perpendicolarmente alla piastra rispetto al suo piano medio. È evidente che la piastra è soggetta a flessione e, tenendo presenti le sue caratteristiche geometriche, questa si manifesta con momenti flettenti secondo direzioni ortogonali con valori diversi a seconda della coppia di strisce t x e t y considerate. Assumendo il piano medio della superficie come «piano neutro», le tensioni conseguenti alla flessione avranno un diagramma di ripartizione uguale a quello già considerato nelle travi. Tali tensioni si influenzano a vicenda tramite la deformazione per flessione, differente a seconda della coppia di strisce considerate, non modificando il modo con il quale si distribuiscono, ma solo il loro valore. Infatti, a seconda della coppia di strisce considerata, la σ agente in una direzione modifica la σ agente in direzione perpendicolare, aumentandola o riducendola; ugualmente la deformazione nel senso dell asse x incrementa o diminuisce quella nel senso dell asse y perpendicolare. Analizzando il comportamento delle due strisce generiche t x e t y [fig. b], queste hanno in comune la piccola area ; la striscia ab, deformandosi per flessione, determina una torsione nella striscia cd e l elemento comune si inflette parallelamente ai lati m, mentre le estremità a e b della striscia t y rimangono orizzontali. Ciò significa che la striscia t x sostiene la t y deformandosi per torsione, e le tensioni di questa sollecitazione assumono valore nullo in mezzeria di t x e valori massimi alle sue estremità c e d. Questo comportamento è reciproco per le due strisce e quindi vale per la striscia t x rispetto a t y e viceversa. Come si può notare, a causa della continuità strutturale esistente, la striscia di una coppia si deforma per flessione e determina, per conseguenza, una torsione nell altra. Il fenomeno flessionale è quindi quello tipico delle lastre, soltanto che la relazione di proporzionalità che esiste nelle travi fra tensione e momento flettente secondo la luce della trave, deve essere ora sostituita dalla relazione di proporzionalità fra tensione e momento flettente secondo la direzione x oppure y, quest ultimo corretto in più o in meno di una certa percentuale del momento flettente che si verifica nella direzione perpendicolare a quella considerata. I momenti flettenti, e di conseguenza lo stato tensionale e deformazionale dovuti ai carichi, assumeranno valori differenti in ogni punto e dipenderanno dai seguenti elementi: andamento del diagramma di carico; forma della piastra e sue dimensioni geometriche: le forme più comuni sono quelle circolare, rettangolare e quadrata; tipo di vincoli al contorno: una piastra rettangolare o quadrata può essere appoggiata o incastrata ai quattro lati, oppure appoggiata su alcuni lati e incastrata negli altri. Fig. a Fig. b Considerando una lastra rettangolare uniformemente caricata, gli sforzi interni che in essa si verificano sono: sforzi di taglio con andamento analogo a quello studiato per le strutture lineari, però in questo caso agenti secondo i due assi ortogonali, con valore nullo in corrispondenza degli assi di simmetria, massimo ai bordi e con presumibile andamento lineare; momenti flettenti con presumibile andamento parabolico, con valore nullo ai bordi e massimo in corrispondenza degli assi di simmetria, se la piastra è appoggiata ai bordi, con valore negativo, massimo in valore assoluto, ai bordi e positivo in corrispondenza degli assi di simmetria, nella lastra incastrata; momenti torcenti che agiscono in piani perpendicolari a quello medio, con valore nullo in corrispondenza degli assi di simmetria e massimo ai bordi, se la piastra è appoggiata, con valore nullo ai bordi e massimo in una zona abbastanza vicino ai bordi stessi, se la piastra è incastrata.

2 2 Lo studio rigoroso di una piastra rettangolare risulta piuttosto complesso e pertanto il calcolo di progetto viene, il più delle volte, svolto applicando procedimenti approssimati basati sull ipotesi che nel punto di incontro di una qualsiasi coppia di strisce ortogonali l abbassamento sia uguale per entrambe le strisce. In realtà ciò risulta valido solo per la coppia di strisce centrali con vincoli di estremità uguali per ambedue. A partire da tale ipotesi è stato sviluppato un metodo di calcolo delle lastre molto semplice, applicabile per qualsiasi condizione di vincolo (metodo di Grashof). Il carico q uniformemente ripartito gravante sulla piastra deve essere ripartito nei carichi q x e q y [fig. a] che agiscono sulla coppia di strisce centrali, rispettivamente parallele alle dimensioni l x ed l y, imponendo che per entrambe si abbia la medesima freccia, ossia: k x q x l x = k y q y l y [] dove k x e k y rappresentano le condizioni di vincolo; ad esempio, se la striscia di luce l x è appoggiata agli estremi si ha: k x = 38 mentre se è incastrata risulta: k x = 38 0Poiché deve essere: q = q x + q y risulta: q y = q q x [2] Il valore di q x si ricava dalla relazione: q l q x = y k l x + l y Sostituendo nella [2] si ricava il valore di q y. Il coefficiente k ha i valori riportati in figura c dove sono state considerate varie possibilità di vincolo ai bordi. Noti i carichi q x e q y, le due coppie di strisce centrali, per le quali si assume una larghezza di,00 m, vengono trattate come travi sollecitate a flessione e taglio; si calcolano quindi i momenti flettenti massimi positivi e negativi delle due strisce in funzione dei relativi vincoli alle estremità, sia in mezzeria sia agli estremi. Con le stesse relazioni viste per le travi vengono poi calcolate l altezza e l area dell armatura metallica, verificando sempre, al termine del calcolo, che la freccia teorica della striscia centrale parallela alla maggiore dimensione della lastra risulti inferiore a quella ammissibile ; applicando il MSL viene considerata la condizione quasi 00 l. permanente. [3] Fig. c

3 3 Nel caso di lastre appoggiate o incernierate al contorno che presentano un elevata possibilità di deformarsi, è conveniente raffrontare il valore dello spessore h della lastra, ricavata con la formula di progetto, con quello che si ottiene imponendo che la freccia teorica risulti al massimo uguale a quella ammissibile, ossia: 0metro un armatura corrispondente a metà di quella calcolata. Perimetralmente la lastra è vincolata a una struttura lineare (travi o muri) sulla quale trasmette un carico con diagramma triangolare o a trapezio [fig. e]. 38 q x l x 00 l x [] dove si è supposto che l x rappresenti la maggiore dimensione. Ricavando il momento d inerzia I (espresso in mm ) e ponendo b = 00 mm si ottiene: 02 I d = (in mm) [] 00 Le armature metalliche calcolate sono relative alle strisce centrali ortogonali larghe,00 m e vengono ripetute per tutte le strisce costituenti due fasce centrali ortogonali [fig. d] con larghezze corrispondenti a. Nelle fasce laterali, a 2 l x e 2 l y causa della riduzione dei momenti, si può disporre per ogni Fig. d Fig. e ESERCIZIO SVOLTO Calcolare allo SLU la soletta massiccia in c.a. per un locale con dimensioni nette interne di 3,0 (l x ) 3,00 (l y ) m 2, vincolata a semincastro sui quattro lati, per la quale è previsto il carico di esercizio di 2 kn/m 2. Verrà impiegato calcestruzzo classe C /2. Resistenza di calcolo del calcestruzzo: f cd =,33 N/mm 2 Viene considerato uno spessore presunto della soletta di 0 mm.

4 . Analisi dei carichi Permanente strutturale: (,00,00 0,) m 3 /m 2 2 kn/m 3 = G = 3,7 kn/m 2 Carico variabile di esercizio: Q k = 2,00 kn/m 2 Con la combinazione fondamentale l azione di calcolo risulta: F d = γ G G + γ Q Q k =,3 3,7 +, 2,00 = 2,38 kn/m 2 Considerando la striscia centrale larga,00 m, il carico lineare è: q = F d,00 = 2,38,00 = 2,38 kn/m Le luci nette vengono incrementate del % per ottenere quelle di calcolo e si ha: L x = l x,0 = 3,0,0 3,68 m L y = l y,0 = 3,00,0 = 3, m Il rapporto fra le due dimensioni è 3,68/3,,7, per cui la soletta può essere calcolata come una piastra. In base alle condizioni di vincolo ai bordi si assume k = e vengono calcolati i carichi q x e q y che gravano sulle due strisce centrali: q 2,38 3, q x = = y L y,80 kn/m k L x + L y 3,68 + 3, q y = q q x = 2,38,80 = 27,8 kn/m 2. Calcolo dei momenti flettenti In base alle condizioni di vincolo ai bordi, i momenti flettenti risultano: M Ed,x = ± q x L x2 = ±,80 3,68 2 ± 6,70 kn m 2 2 M Ed,y = ± q y L y2 = ± 27,8 3, 2 ± 22,8 kn m Progetto della soletta Considerando il valore più elevato del momento, lo spessore della soletta, essendo b = 00 mm, risulta: M Ed,y 22,8 d = = 6,2 mm 0,87 f cd b 0,87,33 00 e assumendo il copriferro di 3 mm, lo spessore reale è: s =,2 + 3 = 39, mm 0 mm L armatura necessaria nella direzione x vale: M 6,70 A s,x = = 6 Ed,x 3,79 mm 2 /m 30,9 d 30,9 corrispondente a 6 = 7,239 mm 2 /m, ossia ogni 6 mm, mentre nella direzione y: M 22,8 A s,y = = 6 Ed,y 69,8 mm 2 /m 30,9 d 30,9 corrispondente a 6 2 = 678,8 mm 2 /m, ossia 2 ogni 6 mm.. Verifica al taglio Lo sforzo massimo di taglio vale: q V Ed = y L y 27,8 3, = 3, kn 2 2 La resistenza a taglio senza specifiche armature risulta: 0 k = + 2,38 per cui si assume k = 2

5 e prolungando 3 2 = 339,292 mm 2 diritti fino ai bordi, il rapporto geometrico di armatura vale: A ρ = sl 339,292 = 0,00323 < 0,02 b w d 00 V Rd = 0, ,003 23, e quindi non occorrono specifiche armature per il taglio. Lo schema esecutivo delle armature è riportato in figura. 00 6,933 3 N = 6,933 kn > V Ed L x = 368 L y = 3 y l x = 30 x l y = a ) + /33 cm b ) / 33 cm a ) / 33 cm a) + 2 /33 cm-0 70 ferri a) e b) alte rnati ogni 6, cm b) 2 /33 cm - a) 2 /33 cm -00 ESERCIZIO Un serbatoio pensile per acqua con capacità di circa 302 m 3 ha una base con dimensioni nette interne di 2,80 m 3,0 m. La soletta di fondo appoggia su quattro travi perimetrali che collegano quattro pilastri in c.a. Progettare a flessione e taglio la soletta allo SLU nell ipotesi che i due lati opposti più lunghi siano vincolati a semincastro, mentre sugli altri due si abbia un appoggio semplice, utilizzando calcestruzzo classe C 2/30 (copriferro 3 mm). [q x 7,9 kn/m; q y = 28, kn/m; M x 3,7 kn m; M y 22, kn m; s = 0 mm minimo; A s,x = 37,87 mm 2 con dei quali 3 prolungati fino ai bordi; A s,y = 600,2 mm 2 con = 67,68 mm 2 prolungando 2 fino ai bordi; non occorre armatura a taglio]