Approfondimento Il problema dei ties nella valutazione dell associazione a livello ordinale
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- Carolina Ricciardi
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1 Approfonimento 7. - Il problem ei ties nell vlutzione ell ssocizione livello orinle L principle fonte i istorsione elle misure i ssocizione livello orinle è il numero i punteggi pri rngo, o ties. Nel cso el clcolo el coefficiente rho i Spermn, un bss percentule i ties non influisce in moo sostnzile sull stim i rho, mentre un proporzione consistente i vlori pri rngo necessit el ricorso un correzione sttistic, poiché è noto come i ties riucno l somm ei qurti sulle vribili (Σ o Σ ) l i sotto el vlore (n n)/. Questo f sì che il vlore i rho ottenuto meinte l proceur illustrt nel mnule (Prgrfo 7..) si istorto (si ve esempio Siegel & Cstelln, 988). Quest situzione è comune quno si vogliono correlre, esempio, le vlutzioni su scl Likert. In questi csi, inftti, i punteggi possono ssumere solo un numero limitto i vlori (4, 5, 6 o 7, in genere), per cui l presenz i punteggi pri rngo è più che probbile. Consierimo il cso ei ti nell Tbell 7.., nell qule sono riportte l vlutzioni i ue esmintori inipenenti el gro i compromissione cognitiv ( trscurbile; 6 sever) i 0 soggetti con lesione cerebrle. Il rho i Spermn ci servirà per verificre quno sono concori le vlutzioni. Tbell 7.. Vlutzioni el gro i compromissione cognitiv i 0 pzienti con lesione cerebrle e clcoli necessri per ottenere il rho i Spermn Esmintore X Esmintore Y Rngo X Rngo Y Rngo Y - Rngo X 4 4,0 8,5-5,5 0, ,0 8,0 0,0 0,00 0,5 8,5 -,0 4,00,5 4,0,5 6,5,5 4,0,5 6,5 6,0 4,0 -,0 4, ,0 4,0-4,0 6, ,0 8,0 4,0 6, ,0 8,0 -,0 4,00 5 0,5 4,0,5,5 6,0,0-5,0 5,00 6,0 4,0 -,0 4, ,0 8,0 4,0 6,00 6 6,0 8,0,0 44, ,0,5-6,5 4, ,0 4,0 0,0 0, ,0,5 -,5 6,5 6,0 4,0 -,0 4,00 6,0 8,5,5 6,5 6,0 8,5,5 6,5 Σ 5,00 Se clcolimo il rho i Spermn con l proceur illustrt nel mnule (ssegnno quini il rngo meio i vlori pri rngo), in bse i clcoli svolti nell Tbell 7.. ottenimo come risultto: 6 rho n n 6 5, Crlo Chiorri, Fonmenti i psicometri Copright 00 The McGrw-Hill Compnies S.r.l., Publishing Group Itli
2 L cospicu presenz i vlori pri rngo in entrmbe le vribili, però, suggerisce i ricorrere ll correzione. I fttori i correzione per i ties sulle vribili X e Y sono: T k i ( ti ti ) T ( t k i i t ) ove k numero i rggruppmenti i rnghi ientici e t i numero i rnghi ientici nell'i-esimo rggruppmento. Dimentichimoci pure per un momento che i vlori ell Tbell 7.. sono ppiti, e orinimo i vlori ell'esmintore X e ell'esmintore Y (Tbell 7..). Tbell 7.. Clcolo el numero i vlori ientici per rggruppmento (t i ) e ei fttori i correzione el rho i Spermn (T) per le vribili X e Y. i Esmintore X t i t i t i Esmintore Y t i t i t i T 49 T 0 In bse i clcoli svolti nell Tbell 7.. possimo clcolre i vlori corretti i Σ e Σ : n n T n n T , 5 L formul per clcolre il rho i Spermn corretto è quini: rho corretto ,5 5, ,5 In questo cso l istorsione non è prticolrmente sever (il vlore i rho non corretto er,74), m in ltre situzioni potrebbe iventrlo. L proceur i correzione per i ties el rho i Spermn, un po' lborios svolgere mnulmente, viene seguit i efult SPSS (vei Strumenti informtici 7.). Crlo Chiorri, Fonmenti i psicometri Copright 00 The McGrw-Hill Compnies S.r.l., Publishing Group Itli
3 Come imostrno le rssegne i Freemn (986), Gonzlez e Nelson (996), Kmpen (00), Chiorri (005) e i Woos (007), esiste un numero molto mpio i moelli sttistici e i coefficienti i ssocizione per vribili orinli, ognuno ei quli fornisce un ivers soluzione l problem ei ties. Si consieri l tvol i contingenz in Tbell 7... Tbell 7.. Tvol i contigenz Livello Socio-economico Titolo i stuio Licenz Mei Titolo i stuio Diplom Lure Totle Bsso 5 50 Meio Alto 6 49 Totle In un situzione i questo tipo vlutre l ssocizione fr le ue vribili col test el chi-qurto per vribili ctegorili non è molto informtivo, in qunto respingere l ipotesi null ci irebbe solo che il livello socio-economico moific l probbilità i ottenere un titolo i stuio piuttosto che un ltro, mentre se utilizzssimo nche l informzione livello orinle potremmo vlutre se livello socio-economico mggiore corrispone titolo i stuio superiore. Quest è l clssic situzione in cui ovremmo consultre, nell tbell i output i SPSS, il Liner-b-Liner Assocition, e non il chi-qurto. Airittur, nel cso ell Tbell 7.. non riusciremmo respingere l ipotesi null per il test i ssocizione livello nominle (X (4, n 55) 8,06, p,09), mentre sremmo in gro i frlo per il test i ssocizione livello orinle (Liner-b- Liner Assocition sttistic (, n 55) 7,, p,007). Se nimo osservre il riquro Orinl ell Figur 7.. (vei nche il Strumenti informtici 7.), notimo tutt un serie i inici i ssocizione livello orinle il cui cpostipite, per così ire, è il gmm (Goomn & Kruskl, 954; Yule, 900). Figur 7.. Opzioni i nlisi per un tvol i contingenz Questi inici sono bsti sul concetto i coppi (in inglese, pir). Un coppi consiste nel verificrsi congiunto i ue osservzioni sull vribile inipenente (in questo cso, il livello socio-economico) e su quell inipenente (in questo cso, il titolo i stuio). Le coppie possono essere concornti, iscornti, o ppite (i fmosi ties), e il loro numero totle è ugule l numero mssimo possibile i confronti coppie fr le osservzioni, ossi n(n )/ (in questo cso, 55(55 )/ 95). Crlo Chiorri, Fonmenti i psicometri Copright 00 The McGrw-Hill Compnies S.r.l., Publishing Group Itli
4 Le coppie concornti (C) sono il numero i csi che ottengono un rngo inferiore o superiore si sull vribile sulle righe, si sull vribile sulle colonne ell tvol i contingenz. Rispetto ll cell [Bsso; Licenz Mei] in Tbell 7.., sono coppie concornti tutte quelle che hnno si livello socio-economico mggiore, si titolo i stuio mggiore. L Tbell 7..4 mostr quli sono. Tbell 7..4 Coppie concornti (grigite) con l cell [Bsso; Licenz Mei] Licenz Mei Titolo i stuio Diplom Lure Totle Bsso 5 50 Meio Alto 6 49 Totle Il numero totle i coppie concornti per l cell [Bsso; Licenz Mei] srà ugule ll frequenz i cell () moltiplict per l somm elle frequenze elle celle concornti ( ), cui Meinte lo stesso proceimento si ottiene il numero i coppie concornti per ogni cell ell tvol (in questo cso C 479). Le coppie iscornti (D), invece, sono i csi che ottengono un punteggio inferiore su un vribile, m superiore nell ltr. In ltre prole, hnno rnghi opposti sulle ue vribili. Nel cso ell cell [Bsso; Lure] ell Tbell 7.., le coppie iscornti sono quelle che hnno titolo i stuio inferiore m livello socio-economico superiore, ossi quelle grigite in Tbell 7..5 Tbell 7..5 Coppie iscornti (grigite) con l cell [Bsso; Lure] Licenz Mei Titolo i stuio Diplom Lure Totle Bsso 5 50 Meio Alto 6 49 Totle Il numero totle i coppie iscornti per l cell [Bsso; Lure] srà ugule ll frequenz i cell () per l somm elle frequenze elle celle concornti ( ), cui Meinte lo stesso proceimento si ottiene il numero i coppie iscornti per ogni cell ell tvol (in questo cso D 97). Le coppie, poi, possono essere ppite (tie) sull prim vribile (o inipenente, T ), sull secon (o ipenente, T ), o su entrmbe (T ) le vribili, in qunto le osservzioni ell Tbell 7.. possono essere ppite per il livello socio-economico, per il titolo i stuio, o per entrmbe le vribili. L Tbell 7..6 mostr le coppie ppite sul livello socio-economico (celle grigite) e sul titolo i stuio (celle in neretto) per l cell [Bsso; Licenz Mei]. Crlo Chiorri, Fonmenti i psicometri Copright 00 The McGrw-Hill Compnies S.r.l., Publishing Group Itli
5 Tbell 7..6 Coppie ppite (tie) sul livello socio-economico (grigite) e sul titolo i stuio (in neretto) per l cell [Bsso; Licenz Mei] Licenz Mei Titolo i stuio Diplom Lure Totle Bsso 5 50 Meio Alto 6 49 Totle Anche in questo cso il numero totle è to l prootto ell frequenz i cell per l somm elle frequenze elle celle ppite (in questo cso T 6 e T 598). Il numero i coppie ppite su entrmbe le vribili, invece, si ottiene meinte l somm i f(f )/ per ogni cell, ove f è l frequenz i cell (in questo cso T 9). L Tbell 7..7 riport l fmigli i inici gmm clcolbili. Tbell 7..7 Fmigli egli inici gmm per l misur ell ssocizione livello orinle (ttto Woos, 007) Nome Inice Formul Clcolo per i ti in Tbell 7.. gmm (Goomn & Kruskl 954; Yule, 900) tu- (Kenll, 98) 0,5 n( n ) tu-b (Dniels, 944; b Kenll, C + D + T )( C + 945) tu-c (Sturt, 95) γ γ, 9 C + D , 0,5 55(55 ) b, 0 D + T ) ( )( ) ( , 0 ( m ) ( ) 0,5 n 0,5 55 m , 5 C + D + T + T , 0 C + D + T , 0 C + D + T LG LG , 5 C + D + T LG LG , 5 C + D + T K , 9 C + D + 0,5T + 0,5T , ,5 598 e i Wilson (Wilson, 974) i Somers (Somers, 96) i Kim (Kim, 97) LG (Leik & Gove, 969) LG (Leik & Gove, 969) K i Kim (97) K Not: C numero i coppie concornti; D numero i coppie iscornti; n numero i osservzioni; m minore fr numero i righe e numero i colonne; T ties sull vribile ; T ties sull vribile ; T ties si sull vribile si sull vribile Crlo Chiorri, Fonmenti i psicometri Copright 00 The McGrw-Hill Compnies S.r.l., Publishing Group Itli
6 Pregi e ifetti egli inici in Tbell 7..7 sono illustrti Freemn (986). Gonzlez e Nelson (996) forniscono invece un lgoritmo per eciere qule inice scegliere in bse l ftto che i punteggi ppiti possno essere forzti ll proceur i clssificzione oppure no. I ties forzti ll proceur sono quelli legti ll prticolre clssificzione ottt, m che non necessrimente riflettono l effettivo punteggio: nel cso el livello socio-economico ci trovimo esttmente in quest situzione, in qunto le persone ll interno ell ctegori bsso non necessrimente hnno lo stesso livello socio-economico. I ties non forzti ll proceur sono invece quelli ovuti l ftto che effettivmente le osservzioni sono ppite, come è il cso el titolo i stuio. Gonzlez e Nelson (996) propongono l lgoritmo i ecisione in Tbell Tbell 7..8 Inici i ssocizione livello orinle rccomnti Gonzlez e Nelson (996) in bse l ftto che i ties sulle ue vribili sino forzti oppure no ll proceur i clssificzione Ties sull vribile (ipenente) Ties sull vribile (inipenente) Forzti Non forzti Forzti Gmm i Goomn e Kruskl (954) i Somers (96) Non forzti z i Kim (97) e i Wilson (974) Nel cso ell Tbell 7.., poiché i ties sono forzti ll proceur sull vribile (Livello Socio-Economico) m non sull vribile (Titolo i Stuio), ovremmo quini scegliere il i Kim (97). Crlo Chiorri, Fonmenti i psicometri Copright 00 The McGrw-Hill Compnies S.r.l., Publishing Group Itli
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