Elementi di teoria degli insiemi e funzioni tra insiemi

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1 Elementi di teoria degli insiemi e funzioni tra insiemi 1 / 50

2 Il concetto di insieme 2 / 50 Si considera il concetto di insieme come primitivo, cioè non riconducibile a nozioni più elementari. Più precisamente: Un insieme si può pensare come una collezione di oggetti, determinati e distinti, della nostra percezione o del nostro pensiero, concepiti come un tutto unico.

3 Elementi di un insieme 3 / 50 Generalmente, indichiamo gli insiemi con le lettere maiuscole A,B,C,D, mentre per i suoi elementi useremo le lettere minuscole a,b,c,d, Se a è un elemento di A scriviamo a A (a appartiene a A) Se invece b non appartiene a A, si scrive: b / A

4 Simboli e notazioni 4 / 50 Quando un insieme A possiede un numero finito di elementi, chiameremo questo numero cardinalità di A, e lo indicheremo con il simbolo #(A) = numero degli elementi dell insieme A Inoltre sono di uso comune i seguenti simboli : tale che esiste per ogni implica se e solo se

5 5 / 50 Come definire un insieme Un insieme si può definire in modo estensivo, cioè esibendo i suoi elementi. Esempio: l insieme A dei numeri naturali da 0 a 5 si scrive come A={0,1,2,3,4,5} In questo esempio #(A)=6 Un insieme può essere definito in modo intensivo, cioè a partire da una proprietà comune a tutti i suoi elementi. Esempio: se denotiamo con N l insieme dei numeri naturali, allora l insieme A definito sopra si può ridefinire come A={n N : n 5}

6 6 / 50 L insieme privo di elementi si chiama insieme vuoto e si indica con /0. Esempio: l insieme A formato da tutti i numeri naturali simultaneamente maggiori e minori di 5 A={n N : n>5en<5}= /0 Esempio: l insieme A formato da tutti i gli uomini che sono padri dei loro padri

7 Inclusione 7 / 50 Si considerino gli insiemi A={a,b,c,d}, B={a,b,d} Si ha x B x A Questo può essere riscritto nel modo seguente: B A e dice che l insieme B è contenuto nell insieme A

8 8 / 50 Consideriamo gli insiemi A={1,2,3,5,7} Operazioni tra insieme B={0,2,3,6,8} Unione: A B={x : x A oppure x B} Esempio: A B={0,1,2,3,5,6,7,8} Intersezione: A B={x : x A e x B} Esempio: A B={2,3} Differenza: A\B={x A : x / B} Esempio: A\B={1,5,7}

9 Complementare 9 / 50 Sia A B il complementare di A rispetto a B è: C B (A)={x B : x / A}=B\A Esempio: A={1,2,3,5,7} B={1,2,3,5,7,9,11} C B (A)={9,11}

10 Diagrammi di Venn 10 / 50 A B A B Intersezione A B A B Unione

11 Diagrammi di Venn 11 / 50 A\B A B Differenza C B (A) A B Complementare

12 Esercizio 12 / 50 Siano A, B C. Dimostrare le formule di De Morgan: C C (A B)=C C (A) C C (B) C C (A B)=C C (A) C C (B) N.B. Dati due insieme A e B si ha che A=B A B e B A

13 C C (A B)=C C (A) C C (B) Soluzione 13 / 50 C A A B B C C (A B)

14 C C (A B)=C C (A) C C (B) Soluzione 14 / 50 C C C C (A) A B A B C C (B) C A B C C (A) C C (B)

15 Prodotto cartesiano 15 / 50 Dati due insiemi A e B indichiamo con (a,b) una coppia ordinate dove a A e b B. Il prodotto cartesiano di A e B è l insieme A B={(a,b) : a A e b B} di tutte le coppie ordinate. Se #(A) e #(B) sono finite, allora #(A B)=#(A) #(B)

16 Se A={1,2}, B={a,b,c} Esempio A B={(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c)} c B b a (1,a) A B 1 2 A 16 / 50

17 I numeri naturali Insiemi numerici fonamentali N={0,1,2,...,n,...} I numeri interi Z={..., 2, 1,0,1,2,...} I numeri razionali { m } Q= n : m,n Z, n 0, m e n sono primi tra loro primi tra loro vuol dire che il M.C.D. tra m e n è = / 50

18 I numeri reali 18 / 50 Un insieme numerico fondamentale è quello dei numeri reali indicati con R Non diamo una definizione formalmente rigorosa dell insieme dei numeri reali.

19 I numeri reali 19 / 50 Qui ci accontentiamo di dire che operativamente possiamo identificare l insieme dei numeri reali R con i punti di una retta su cui sono fissati l origine O, corrispondente al valore 0, l unità di misura u ed il verso. u π 2, π / Q I numeri reali non razionali si chiamano irrazionali

20 2 è irrazionale 20 / 50 Supponiamo che a 2=, a,b primi tra loro b 2= a2 b 2 2 b 2 = a 2 a 2 è pari a è pari a=2c 2b 2 = 4c 2 b 2 = 2c 2 b 2 è pari b è pari Quindi a e b sono entrambi divisibili per 2 il che è in contraddizione con l ipotesi cha a e b siano primi tra loro

21 I numeri reali Sull insieme R sono definite due operazioni: la somma ed il prodotto a,b a,b a+b a b Le due operazioni soddisfano le seguenti proprietà: commutativa a+b=b+a ab=ba associativa a+(b+c)=(a+b)+c a(bc)=(ab)c elemento neutro a+0=a a 1=a inverso a+( a)=0 se a 0, a ( ) 1 = 1 a 21 / 50

22 I numeri reali 22 / 50 Vale inoltre una proprietà che coinvolge le due operazioni: distributiva (a+b)c=ac+bc

23 Ordinamento dei numeri reali 23 / 50 InRèdefinito un ordinamento totale indicato con il simbolo tale che a,b R: a b oppure b a Questo ordinamento verifica le seguenti proprietà: riflessiva antisimmetrica transitiva a a se a b e b a allora a=b se a b e b c allora a c

24 Ordinamento dei numeri reali 24 / 50 Valgono le seguenti relazioni tra l ordinamento di R e le operazioni di somma e prodotto: se a b a+c b+c c R se a b e c>0 a c bc se a b e c<0 a c bc

25 Definizione di funzione 25 / 50 Una funzione possiamo intenderla come un apparecchio di Input-Output (Ingresso-Uscita) Input Output Questo avviene secondo una legge univoca: gli stessi Input danno sempre gli stessi Output

26 26 / 50 Esempio Ogni volta che il valore di una grandezza dipende dal valore di un altra grandezza, si ha una funzione. La natura e la nostra vita sono piene di questo tipo di dipendenze. Si consideri un termometro in una posizione fissa. La temperatura segnata non sarà sempre la stessa, ma varierà con il tempo, ad esempio con l escursione termica giornaliera o stagionale. Quindi la temperatura dipende dall istante in cui viene misurata. Ciò rappresenta una funzione: Istante Temperatura

27 Definizione di funzione 27 / 50 Siano A, B due insiemi Una funzione f : A B è una legge che a ogni elemento a A associa un unico elemento b B. Si scrive f(a)=b b si chiama immagine di a attraverso f L insieme A è detto dominio di f L insieme B si chiama codominio di f

28 Esempio 28 / 50 Siano A={a, b, c, d}, B={1, 2, 3} Definiamo f : A B come f(a)=1, f(b)= 2, f(c)=1, f(d)= 2

29 Diagramma di una funzione 29 / 50 f(a)=1, f(b)= 2, f(c)=1, f(d)= 2 a b c d A B

30 Esempio di non funzione 30 / 50 a b c d A B

31 Funzioni surgettive 31 / 50 Sia f : A B una funzione. Diremo che f è surgettiva (o suriettiva) se: y B, x A t.c. f(x)=y In altre parole f è surgettiva se Im(f)=f(A)={y B : y=f(x) per qualche x A}=B

32 Funzione non surgettiva f(a)=1, f(b)= 2, f(c)=1, f(d)= 2 a b c d A B Im(f)={1, 2} B Quindi f non è surgettiva 32 / 50

33 Funzioni iniettive 33 / 50 Sia f : A B una funzione. Diremo che f è iniettiva se: x 1,x 2 A f(x 1 )=f(x 2 ) x 1 = x 2 Equivalentemente se x 1,x 2 A x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 )

34 Funzione non iniettiva f(a)=1, f(b)= 2, f(c)=1, f(d)= 2 a b c d A B a c mentre f(a)=f(c)=1 Quindi f non è iniettiva. 34 / 50

35 Esercizio 35 / 50 Siano A={a,b,c,d}, B={1,2,3} (i) (ii) (iii) (iv) (v) Definire una funzione f : A B surgettiva Definire una funzione f : B A iniettiva una funzione f : B A surgettiva? una funzione f : A B iniettiva? Definire una funzione f : A A iniettiva e surgettiva

36 Definire una funzione f : A B surgettiva 36 / 50 a b c d A B f(a)=1, f(b)= 2, f(c)=3, f(d)= 2

37 Definire una funzione f : B A iniettiva 37 / a b c d B A f(1)= b, f(2)= c, f(3)= a

38 una funzione f : B A surgettiva? 38 / 50 No Affinché la funzione f : B A sia surgettiva ci dovrebbe essere almeno un elemento di B per ogni elemento di A, cioè si dovrebbe avere: #(B) #(A) a b c d B A

39 39 / 50 No poiché una funzione f : A B iniettiva? #(A)>#(B) Infatti, dovendo ogni elemento di A avere un immagine in B, necessariamente almeno due elementi di A dovranno avere la stessa immagine. a b c d A B

40 Definire una funzione f : A A iniettiva e surgettiva 40 / 50 a b c d a b c d A A f(a)= d, f(b)=c, f(c)=b, f(d)=a

41 Funzioni bigettive 41 / 50 Sia f : A B. Diremo che f è bigettiva (o corrispondenza biunivoca) se f è surgettiva e iniettiva.

42 Funzioni definite tra gli insieme numerici 42 / 50 Sia f :N N definita da: f(n)=2n Questa funzione è surgettiva? No Infatti 2n è sempre un numero pari, quindi l immagine della funzione non contiene numeri dispari Questa funzione è iniettiva? Si f(n 1 )=f(n 2 ) 2n 1 = 2n 2 n 1 = n 2

43 Composizione di funzioni 43 / 50 A x g B C g(x) f(g(x)) f Si chiama funzione composta f g : A C la funzione definita da: (f g)(x)=f(g(x))

44 Esempio 44 / 50 Sia e sia g : f : R R x f(x)=x 2 R R x g(x)=x+1 (f g)(x)=f(g(x))= f(x+1)=(x+1) 2 (g f)(x)= g(f(x))= g(x 2 )=x (f g)(x) (g f)(x)

45 Sia Esempio e sia f : g : R R x f(x)=x+2 R\{0} R x g(x)= 1 x f g : R\{0} g R f R x 1 x 1 x + 2 g f : f R R R 2 2+2=0 g g f non si può definire 45 / 50

46 Funzione inversa Se tale inversa g esiste, viene indicata con il simbolo f 1 46 / 50 Sia A un insieme. La funzione identità di A, generalmente indicata col simbolo I A, è la funzione Sia I A : A A x I A (x)=x f : A B Diremo che f ammette funzione inversa (o è invertibile) se esiste g : B A (i) g f = I A (ii) f g=i B

47 Funzione inversa 47 / 50 Proprietà Sia f : A B Allora f è invertibile se e solo se f è bigettiva

48 Sia A={a,b,c,d}. Definiamo f : A A come segue: f(a)= b, f(b)= c, f(c)=d, f(d)=a Esempio a b c d a b c d A A La sua inversa f 1 : A A è f 1 (a)=d, f 1 (b)=a, f 1 (c)=b, f 1 (d)=c 48 / 50

49 Esempio 49 / 50 f : R R x x 2 Questa funzione non è invertibile. Non è ingettiva: f(x)=f( x) Non è surgettiva: Im(f)={x R : x 0} R

50 50 / 50 Denotiamo con Esempio R + ={x R : x 0} Allora la funzione f : R + R + x x 2 è bigettiva e quindi invertibile L inversa, f 1 : R + R + è tradizionalmente indicata col nome di radice quadrata e simbolo x R + f R + f 1 R + x x 2 x 2 = x