Relazione fra tensione e angolo di scorrimento (legge di Hooke): τ = Gγ (G = modulo di elasticità tangenziale)

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1 In genere il progettista di una struttura non è chiamato solo a verificare che le tensioni ideali siano al di sotto della tensione ammissibile ma anche che gli spostamenti provocati dai carichi siano compatibili con la funionalità della struttura o della macchina che si sta progettando. Rigidee elevate (cioè piccoli spostamenti) possono essere richieste ad esempio per i telai delle macchine utensili che devono garantire la possibilità di effettuare lavoraioni accurate. Inflessioni eccessive possono comportare interferena di componenti diversi nel funionamento di una macchina o la perdita del corretto ingranamento fra due ruote dentate. Vi sono casi in cui una elevata rigidea è richiesta per eliminare problemi derivanti da vibraioni delle macchine. Spesso lo spostamento massimo ammissibile è determinato da norme o dalle specifiche tecniche della macchina, e le strutture a volte devono essere irrigidite a tal punto da rendere praticamente trascurabili, al fine della sicurea, le tensioni presenti nella struttura. Vedremo nel seguito alcuni semplici casi di calcolo degli spostamenti Comportamento torsionale (seioni circolari) Nel caso di una trave a seione circolare di raggio R soggetta a momento torcente (che vengono dette alberi ), lo spostamento locale consiste in una rotaione delle seioni. Per valutare tale rotaione ricordiamo alcune formule già viste: Relaione fra l angolo di rotaione e lo scorrimento: θ γ R R M Relaione fra la tensione massima e momento torcente applicato τ R R J p Relaione fra tensione e angolo di scorrimento (legge di Hooke): τ Gγ (G modulo di elasticità tangeniale) Combinando queste relaioni si ottiene facilmente la relaione che lega la rotaione relativa fra due seioni poste alla distana in una trave a seione circolare soggetta a un momento torcente M : θ M GJ Si definisce rigidea torsionale il rapporto fra il momento torcente applicato e la rotaione relativa: Politecnico di Torino Pagina 1 di 10 ata ultima revisione 3/10/00 M θ T Nel caso di un albero a seione variabile, la rigidea complessiva può essere valutata con il seguente ragionamento: si consideri l albero in figura formato da due tratti di seione diversa soggetti allo stesso momento torcente. Nella figura è mostrata anche la schematiaione con gli angoli delle tre seioni interessate. p GJ p

2 M t -M t 1 θ θ 0 0 θ 1 θ M t angolo di rotaione totale sarà: M t 1,J p1,j p ( θ θ ) ( θ θ ) ( θ θ ) θ dove i due addendi sono facilmente calcolabili perchè si riferiscono a tratti a seione costante: M t M GJ ( θ θ ) 1 t p M t M GJ ( θ θ ) 1 0 Avremo quindi che la rotaione complessiva può essere calcolata come somma dei due termini visti: M θ t 1 1 Mt + t 1 e quindi la rigidea complessiva t (da non confondere con il coefficiente di concentraione delle tensioni.) è data dalla formula: t 1 t 1 1+ Comportamento estensionale In modo analogo a quanto visto per il comportamento torsionale, e dalla definiione stessa di deformaione, per il caso di una trave soggetta ad un carico normale si ottiene lo spostamento di una seione rispetto ad una seione considerata ferma: P 1 t 1 p1 ε P σ E EA Anche in questo caso si definisce la rigidea assiale della trave come rapporto fra il carico e lo spostamento ottenuto: Politecnico di Torino Pagina di 10 ata ultima revisione 3/10/00 P A Nel caso di travi composte da due tratti di seione diverse si utilia un procedimento analogo a quello visto per il comportamento torsionale: EA

3 N allungamento complessivo sarà la somma degli allungamenti subiti dai due tratti, dati dalle formule: N N 1 N N 1 1 EA1 EA e quindi sarà: N 1 1 N + t 1 Anche in questo caso la rigidea complessiva è data quindi dalla formula: t 1 t 1 1+ Si noti la completa analogia formale fra il comportamento torsionale e quello estensionale. Comportamento flessionale (equaione della linea elastica) Quando si considera il comportamento flessionale gli spostamenti consistono sia in una rotaione relativa fra due seioni sia in uno spostamento ortogonale alla linea d asse indeformata; tale spostamento è chiamato freccia. Si consideri il comportamento della trave in un piano e si trascurino gli spostamenti dovuti al taglio. Si indichi con dα la rotaione fra due seioni disposte ad una distana (vedi figura). α ρ dα Ricordiamo che la curvatura k (inverso del raggio di curvatura) è legata al momento flettente applicato dalla relaione: 1 ρ k M EJ Osservando la figura è facile ricavare la relaione fra il momento applicato e la variaione della rotaione della seione: dα d 1 M d k α ρ α ρ EJ a cui si ricava che la derivata della rotaione è proporionale al momento applicato. M EJ Politecnico di Torino Pagina 3 di 10 ata ultima revisione 3/10/00

4 -dv a relaione fra la freccia v e la rotaione si ricava osservando la figura sopra: dv dv tan( α) α α erivando ancora rispetto a entrambi i membri si ottiene la relaione fra lo spostamento e il momento applicato: d v dα M d v M k EJ EJ Quest ultima relaione differeniale viene detta equaione della linea elastica. Per ottenere la linea elastica si parte quindi dal diagramma di momento diviso per il modulo di elasticità del materiale e per il momento d ineria della seione. Si effettua quindi una doppia integraione in cui le costanti di integraione sono determinate conoscendo i vincoli. Nel piano il ragionamento è del tutto analogo, facendo solamente attenione che a causa del sistema di riferimento che abbiamo scelto (terna destrorsa), i segni vengono cambiati: α α -du du du tan( α ) α α d u M EJ (o spostamento in direione viene indicato tradiionalmente con la lettera u ) e equaioni della linea elastica sono le ultime di una serie di equaioni fondamentali che legano fra loro varie grandee e che vengono qui riassunte: Politecnico di Torino Pagina 4 di 10 ata ultima revisione 3/10/00

5 Piano Piano dt q dm T dα M EJ d v M EJ dt dm q T dα M EJ d u M EJ Nel caso del comportamento flessionale si devono considerare due rigidee, una relativa alla rotaione e una alla freccia. Poiché le deformate non sono costanti, per consuetudine si intendono come rigidee i rapporti fra il carico e lo spostamento massimo (presi in valore assoluto). e espressioni della rigidea variano evidentemente da struttura a struttura e non è possibile dare delle formule di uso generale. Esempio di integraione della linea elastica Si consideri l albero a sbalo illustrato in figura. a coppia di cuscinetti affiancati si comporta come un incastro, per cui la schematiaione è quella riportata a fianco. In primo luogo occorre calcolare le reaioni vincolari: A M A H A R A B A H A 0 R A - 0 R A M A + 0 M A - Una volta calcolate le reaioni vincolari si tracciano i diagrammi delle caratteristiche di sollecitaione: Politecnico di Torino Pagina di 10 ata ultima revisione 3/10/00

6 T M (-) Si noti che in assena di carichi distribuiti il taglio è costante, mentre il momento flettente varia linearmente. Si integra quindi una prima volta il diagramma di momento diviso per il modulo di elasticità (E) e per il momento d ineria diametrale (siamo in presena di una seione circolare), ottenendo l andamento della rotaione a meno della costante di integraione: dα d v M EJ EJ ( ) α M C EJ EJ + 1 Integrando una seconda volta si ottiene l andamento della freccia a meno delle costanti di integraione: v α C C EJ e costanti di integraione si determinano imponendo le condiioni al contorno date dai vincoli. Nel caso in esame per 0 sia la freccia sia la rotaione sono nulle (abbiamo schematiato la coppia di cuscinetti come un incastro. Si ottiene quindi: C 1 0 C 0 e equaioni della rotaione e della freccia sono quindi: α EJ v EJ 6 3 A B v B α Β In particolare il valore della rotaione massima e della freccia massima si hanno in corrispondena della seione dove è applicato il carico ( ): α B EJ v B 3 3EJ e rigidee, nel senso detto prima, di questa struttura e di tutte quelle similari (mensole a seione costante) saranno quindi: fα EJ α B fv EJ 3 v 3 B Politecnico di Torino Pagina 6 di 10 ata ultima revisione 3/10/00

7 Nel caso di diagrammi di momento che presentino discontinuità, oppure nel caso di seioni non costanti, il procedimento è analogo, con la differena che il diagramma di momento deve essere diviso di volta in volta per l opportuno momento d ineria (oltre che per il modulo elastico) e che l integraione viene effettuata a tratti, imponendo delle condiioni di continuità fra i vari tratti. Questi casi (discontinuità del diagramma del momento e/o discontinuità delle seioni), che sono di gran lunga i più comuni in meccanica, possono essere risolti effettuando una integraione grafica del diagramma di momento diviso per ogni tratto dall opportuno valore di EJ. Il procedimento grafico risulta comunque piuttosto lungo e possibile fonte di errori. ortunatamente questi problemi sono modernamente affrontati per via numerica utiliando i calcolatori, o con programmi che effettuano automaticamente l integraione o con programmi basati sul metodo degli elementi finiti. a teoria del metodo e il suo utilio esulano dallo scopo di questo corso, e non verranno quindi affrontati. Utilio dei manuali In molti manuali, scolastici o professionali, vi sono tabelle che raccolgono le soluioni dell equaione della linea elastica per i casi delle strutture più comuni (mensole, travi appoggiate, etc.). i solito è riportata l equaione della freccia (eventualmente anche quella della rotaione) e i valori notevoli delle grandee d interesse (freccia e rotaione massima, rotaione agli estremi, freccia e rotaione sotto il carico quando non coincidono con quelle massime). Bisogna porre un minimo di attenione ai sistemi di riferimento utiliati, che possono differire da quello utiliato in questo corso. Molto spesso la soluione di un caso non previsto può essere ricavata utiliando la sovrapposiione degli effetti. Si prenda ad esempio una trave come quella in figura per la quale si voglia conoscere lo spostamento dell estremo C: A B C α B0 v c0 α A0 α0 b a Nei manuali si trova di solito la soluione per una trave fra due appoggi: α A0 α0 α B0 Politecnico di Torino Pagina 7 di 10 ata ultima revisione 3/10/00

8 3 vma αestremi 48EJ 16EJ a freccia nel punto C si ricava facilmente consideranto che il tratto BC è scarico: b vc0 αb0 a 16EJ a Eserciio -1 Calcolare lo spostamento dell estremo e le sollecitaioni presenti nella struttura in figura, composta da due aste in serie con seione circolare di diametro 1 10 mm e 8 mm, lunghe entrambe 100 mm e soggette ad un carico P di 10 kn. Il materiale è un acciaio da costruione con modulo elastico E MPa φ 10 φ 8 P Eserciio - Si considerino le due aste dell eserciio precedente disposte in parallelo, come indicato in figura, e si calcoli lo spostamento dell elemento rigido di collegamento, la fora agente su ognuna delle aste e la tensione nelle aste. φ 10 φ 8 P 100 Eserciio -3 Si considerino ancora le due aste dell eserciio 1, soggette però ad un momento torcente M10 Nm. Si calcolino lo spostamento angolare totale e le tensioni tangeniali presenti nelle due aste. Politecnico di Torino Pagina 8 di 10 ata ultima revisione 3/10/00

9 φ 10 φ 8 M Eserciio -4 a figura mostra la schematiaione di un albero costituito da due tratti: il tratto AB ha una lunghea a 400 mm con seione di diametro 1 60 mm, il tratto BC ha una lunghea b 00 mm con seione di diametro 0 mm. Il materiale è acciaio (E MPa), e la fora applicata è 000 N. Calcolare gli spostamenti nel punto di applicaione della fora e nella meeria del tratto AB. 1, J 1, J a b A B C Cenni sulla soluione di sistemi iperstatici Come visto in precedena si dicono iperstatiche le strutture in cui il numero di vincoli (e quindi di reaioni vincolari incognite) eccede il numero di equaioni di equilibrio indipendenti che è possibile scrivere per la struttura (3 nel piano e 6 nello spaio). Il numero di vincoli sovrabondanti è pari ad h, cioè al grado di iperstaticità della struttura. Per risolvere questo tipo di problemi devono essere aggiunte altre h condiioni alle equaioni di equilibrio; queste condiioni possono essere introdotte considerando la deformabilità della struttura e imponendo che le condiioni di vincolo delle strutture deformate siano rispettate. ra i vari metodi sviluppati per il calcolo delle iperstatiche il più semplice da utiliare manualmente è il metodo delle fore, illustrato schematicamente nella figura Il metodo prevede la sostituione della struttura reale con una isostatica ottenuta eliminando semplicemente i vincoli sovrabbondanti (la scelta dei vincoli da eliminare non è in generale univoca); tale struttura viene detta sistema ridotto o sistema principale. Essendo il sistema ridotto isostatico si possono facilmente ottenere le reaioni vincolari, i diagrammi delle caratteristiche di sollecitaione e la configuraione deformata, cioè gli spostamenti locali. Ovviamente in corrispondena dei vincoli che sono stati eliminati vi saranno degli spostamenti non nulli. Per valutare le reaioni vincolari incognite si considera una ulteriore struttura per ognuno dei vincoli che sono stati eliminati. Politecnico di Torino Pagina 9 di 10 ata ultima revisione 3/10/00

10 Tali strutture, detti sistemi supplementari, sono costituite ognuna da una struttura con i vincoli considerati nel sistema ridotto su cui agisce una componente di fora o di momento, incognita, corrispondente al vincolo eliminato. Per determinare il valore da assegnare a tale componente si impone che essa produca nel sistema supplementare uno spostamento (in senso generale, cioè una traslaione se viene applicata una fora o una rotaione se viene applicato un momento) uguale e contrario a quello ottenuto per il sistema ridotto nella seione in cui agisce la fora incognita. a soluione della struttura reale si ottiene poi semplicemente utiliando la sovrapposiione degli effetti. A l B Struttura reale Sistema ridotto (0) + Sistema supplementare R b v b 0 Eserciio - Si consideri la struttura iperstatica ottenuta sostituendo all appoggio sinistro dell albero presentato nell eserciio -4 un incastro (ad esempio perché è stato utiliato un cuscinetto a rulli o due cuscinetti a sfere affiancati): il tratto AB ha una lunghea a 400 mm con seione di diametro 1 60 mm, il tratto BC ha una lunghea b 00 mm con seione di diametro 0 mm. Il materiale è acciaio (E MPa), e la fora applicata è 000 N. Si ricavino le reaioni vincolari e gli spostamenti sotto al carico e nella meeria del tratto AB. 1, J 1, J a b A B C Politecnico di Torino Pagina 10 di 10 ata ultima revisione 3/10/00