velocità angolare o pulsazione (gradi /s oppure rad/s) (angolo percorso da V in un intervallo di tempo)

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1 V A = AMPIEZZA = lunghezza di V A ALTERNATA Proiezione di V X ISTANTE = velocià angolare o pulsazione (gradi /s oppure rad/s) (angolo percorso da V in un inervallo di empo) DEVE ESSERE COSTANTE Angolo ra V e asse x: = 1

2 V A = AMPIEZZA = lunghezza di V ALTERNATA Proiezione di V X =3 1 ISTANTE = 1 Angolo ra V e asse x : = 3 1

3 V A = AMPIEZZA = lunghezza di V ALTERNATA Proiezione di V X =6 1 ISTANTE = Angolo ra V e asse x : = 6 3

4 V A = AMPIEZZA = lunghezza di V ALTERNATA Proiezione di V A = AMPIEZZA = lunghezza di V X =9 1 3 = T/4 ISTANTE = 3 = T/4 Angolo ra V e asse x : = 9 3 = 9 /(T/4)=36 /T= /T 4

5 V A = AMPIEZZA = lunghezza di V ALTERNATA Proiezione di V X =1 1 3 = T/4 4 ISTANTE = 4 Angolo ra V e asse x : = 1 4 5

6 V A = AMPIEZZA = lunghezza di V ALTERNATA Proiezione di V =15 X 1 3 = T/4 4 5 ISTANTE = 5 Angolo ra V e asse x : =

7 V A = AMPIEZZA = lunghezza di V Proiezione di V ALTERNATA Semionda posiiva =18 X 1 3 = T/ = T/ ISTANTE = 6 = T/ Angolo ra V e asse x : = 18 1 =18 /(T/)=36 /T= /T 7

8 V A = AMPIEZZA = lunghezza di V ALTERNATA Proiezione di V =1 X 6 7 ISTANTE = 7 Angolo ra V e asse x : = 1 7 8

9 V A = AMPIEZZA = lunghezza di V ALTERNATA Proiezione di V =4 X ISTANTE = 8 Angolo ra V e asse x : = 4 8 9

10 V A = AMPIEZZA = lunghezza di V ALTERNATA Proiezione di V AMPIEZZA = =7 X = 3T/4 lunghezza di V 6 ISTANTE = 9 = 3T/4 Angolo ra V e asse x : = 7 9 =7 /(3T/4)=36 /T = 1

11 V A = AMPIEZZA = lunghezza di V ALTERNATA Proiezione di V =3 X = 3T/4 1 6 ISTANTE = 1 Angolo ra V e asse x : =

12 V A = AMPIEZZA = lunghezza di V ALTERNATA Proiezione di V =33 X = 3T/ ISTANTE = 11 Angolo ra V e asse x : =

13 V A = AMPIEZZA = lunghezza di V ALTERNATA Proiezione di V X = 3T/4 ISTANTE = 1 = T = T =36 6 Angolo ra V e asse x : = 36 = Semionda negaiva T 13

14 Proiezione di V RIEPILOGO = 3T/ = T 1 3 = T/ = T/ LE DUE SEMIONDE (POSITIVA E NEGATIVA) INSIEME FORMANO UNA ALTERNANZA T T = PERIODO T = è l inervallo di empo che occorre al veore V per effeuare un giro compleo ( del cerchio rigonomerico T = è anche l inervallo di empo che occorre per descrivere le semionde 14

15 LA FREQUENZA T ESEMPIO: Supponiamo che queso inervallo di empo duri 1 secondo; Domanda: quane alernanze vi sono conenue? Risposa: 8 DEFINIZIONE DI FREQUENZA: è il numero di alernanze conenue in 1 secondo UNITA DI MISURA DELLA FREQUENZA: HERTZ (Hz) Nell esempio precedene la frequenza è 8 Hz. 15

16 ESERCIZI 1. Una sinusoide presena un periodo T = 1 ms. Quane alernanze ci sono in un secondo (cioè la frequenza)? Soluzione: siccome un secondo è formao da 1 ms, vuol dire che in un secondo enrano 1 alernanze. Quindi la frequenza vale f = 1 Hz.. Una sinusoide presena una frequenza di 5 Hz. Quano vale il suo periodo T? Soluzione: 5 Hz significa che la sinusoide presena 5 alernanze in 1 secondo. Quindi per conoscere il periodo T occorre dividere l inervallo di 1 secondo in 5 pari. T = 1/5 =, s =,*1 ms = ms. 16

17 FORMULE TRA PERIODO E FREQUENZA Nel secondo esercizio appena eseguio abbiamo ricavao con un semplice ragionameno una relazione ra periodo T e frequenza f. Possiamo generalizzarla. T = 1/f f = 1/T ATTENZIONE: se T è in secondi f è in Herz 17

18 FORMULE TRA PERIODO, FREQUENZA E PULSAZIONE Troviamo ora un ulima formula. Sappiamo già che: = / T (rad/s) Siccome abbiamo ricavao che: T = 1/f, possiamo sosiuire quesa formula in quella della pulsazione. Oeniamo quindi: T 1 f 1 f f 18

19 FASE INIZIALE: (il veore V è disegnao nella sua posizione all isane = ) = 3 = 6 X X X = 9 In quese re figure abbiamo il veore V in posizioni angolari diversi all isane =. Nella prima figura il veore V forma un angolo iniziale di 3, nella seconda un angolo di 6, nella erza un angolo di 9. Le re sinusoidi iniziano da un valore che non è zero, ma deve essere calcolao con la rigonomeria. 19

20 FASE INIZIALE: (il veore V è disegnao nella sua posizione all isane =) = 18 X In quese ulime due figure abbiamo il veore V che forma un angolo iniziale di 18 ed uno di 7. X = 7 DEFINIZIONE: l angolo chiamao FASE INIZIALE che il veore V forma con l asse x all isane =, è

21 FORMULA DELLE SINUSOIDI In quesi ragionameni supponiamo che V abbia una lunghezza A = 1 Consideriamo ora alcune siuazioni. 1. Quando il veore V ha una fase iniziale =, la sua proiezione sull asse y è zero.,5 X = 3. Quando il veore V ha una fase iniziale = 3, la sua proiezione sull asse y è sen(3 ) =,5.,866 X = 6 3. Quando il veore V ha una fase iniziale = 6, la sua proiezione sull asse y è sen(6 ) =, Quando il veore V ha una fase iniziale = 9, la sua proiezione sull asse y è sen(9 ) = 1. 1

22 =,5 X = 3 FORMULA DELLE SINUSOIDI Per ricavare la formula supponiamo che la fase iniziale sia = 3. Supponiamo che il veore V abbia una pulsazione 1 /s. Ciò significa che il veore percorre un angolo di 1 al secondo. Ci possiamo ora chiedere quale sia l angolo che forma il veore V (con l asse x) ad un isane qualsiasi.,64 X = 4 1. All isane =1 s l angolo sarà * 1 = 4. Quindi possiamo calcolare la proiezione di V sull asse y: sen(4 ) =,64 Coninua./.

23 FORMULA DELLE SINUSOIDI,77 X = 5. All isane = s l angolo sarà * = 5. Quindi possiamo calcolare la proiezione di V sull asse y: sen(5 ) =,77,866 X = 6 3. All isane =3 s l angolo sarà * 3 = 6. Quindi possiamo calcolare la proiezione di V sull asse y: sen(5 ) =,866. Possiamo rarre alcune conclusioni generali: 1. dopo un inervallo di empo l angolo che forma il veore V con l asse X si calcola con la formula: = ( + * ). Il valore della proiezione di V sull asse y si calcola con la formula conosciua dalla rigonomeria: sen ( ) = sen ( + * ) 3

24 FORMULA DELLE SINUSOIDI I ragionameni precedeni sono sai fai considerando che la lunghezza del veore V sia di valore A = 1. Adesso consideriamo che il veore abbia una lunghezza qualsiasi, cioè A. La formula che abbiamo rovao per rappresenare una sinusoide si può scrivere nella forma più generale possibile: y = A * sen ( + * ) Ricordiamo le alre formule: T = 1/f f = 1/T T f 4

25 Unià di misura degli angoli Il radiane (simbolo rad) è l'unià di misura degli angoli del Sisema inernazionale di unià di misura. Tale misura rappresena il rapporo ra la lunghezza di un arco di circonferenza spazzao dall'angolo, diviso per la lunghezza del raggio di ale circonferenza. 5

26 Unià di misura degli angoli Uilià della scela del radiane La misura del radiane consene di avere formule rigonomeriche molo più semplici di quelle che si avrebbero adoando come unià di misura per gli angoli i gradi sessagesimali. Formule di conversione: 1 rad = 57,9 gradi 1 grado =,174 rad gradi radiani 15 (1/1) π 3 (1/6) π 45 (1/4) π 6 (1/3) π 9 (1/) π 1 (/3) π 135 (3/4) π 15 (5/6) π 18 π 1 (7/6) π 5 (5/4) π 4 (4/3) π 7 (3/) π 3 (5/3) π 315 (7/4) π 33 (11/6) π 36 π 6

27 ESERCIZI SULLE SINUSOIDI 1. Una sinusoide ha la frequenza di 1 Hz, l ampiezza A=5, la fase iniziale =15. a) Quano vale T b) Quano vale c)quale angolo è formao dal veore V con l asse x dopo un inervallo = 1 ms? d) Quale valore assume la sinusoide dopo che è rascorso inervallo = 1 ms? RISPOSTA: a)t = 1/f = 1/1 =,1 s = 1 ms. b) f = 6,8*1 = 68 rad/s. c) = + (occorre rasformare i gradi in radiani = 15 = (1/1) π), = (1/1) π + 68*,1 =,617+,68 =,8897 rad =,8897 * 57,9 = 5,97. d) y = A * sen ( + * ) = 5*sen (,8897) = 5*sen(5,97) = 5*,7768 = 3,884 7

28 VALORE MEDIO DELLE SINUSOIDI T Quando si parla di valore medio si inende una operazione maemaica del ipo: (A+B) /. Nel caso di una sinusoide si deve considerare un inervallo di empo pari al periodo T e al suo inerno si deve fare l operazione precedene ripeua per ui i valori che la sinusoide sessa assume. Infai si raa di sommare i numeri che sono rappresenai nel grafico aveni lo sesso colore e poi dividere per. È evidene che le somme risuleranno ue uguali a zero. Infai: (+1-1)/ =; (+-)/ =; (+3-3)/ =; ecc. La conclusione di queso ragionameno è che una sinusoide ha VALORE MEDIO = 8

29 SINUSOIDI CON VALORE MEDIO DIVERSO DA ZERO T In queso secondo caso la sinusoide è saa raslaa verso l alo (di +1). Il risulao del calcolo del valore medio ora non è più zero. Un calcolo approssimaivo ci fornisce il seguene risulao: (+1+1)/=+1; (++)/=+1; (+3-1)/=+1; (+4-)/=+1; (+3-1)/=+1; (++)/=+1; In effei un calcolo maemaico più rigoroso (che però va olre le conoscenze di queso corso) ci fornisce lo sesso risulao, cioè +1. Si può concludere che il valore medio di una sinusoide è pari al valore n (posiivo o negaivo) di cui è saa raslaa verso l alo o verso il basso. 9

30 SINUSOIDI CON VALORE MEDIO DIVERSO DA ZERO Un calcolo più preciso del valore medio si può fare graficamene. Occorre calcolare la superficie coloraa. Per eviare calcoli roppo complicai si ricorre ad operazioni grafiche conrollabili visivamene. 3

31 SINUSOIDI CON VALORE MEDIO DIVERSO DA ZERO 1 In quesa diaposiiva le zone colorae di verde sono uguali ma di segno opposo e quindi la loro media è zero:quindi possiamo cancellarle. Le zone colorae di giallo invece sono enrambe posiive e di uguale superficie. Possiamo quindi agliare la zona 1 incollarla nella zona. Si oiene quindi la figura successiva. 31

32 SINUSOIDI CON VALORE MEDIO DIVERSO DA ZERO Come si noa dalla figura, dopo avere eliminao le pari posiive e negaive, ma di uguale valore, resa una pare del grafico originale che è cosane. La conclusione di uo il ragionameno grafico è che una sinusoide raslaa verso l alo o verso il basso di n ha valore medio proprio uguale ad n. Nel nosro esempio quindi il valore medio è +1. 3

33 VALORE EFFICACE DI UNA SINUSOIDE Il valore medio appena discusso ha poca imporanza praica. Si sudia poiché è necessario per comprendere il nuovo valore chiamao EFFICACE. Queso nuovo paramero è invece fondamenale nello sudio delle grandezze eleriche alernae che inizieremo ra poco. La sua imporanza sarà chiara più avani nel corso. Possiamo anicipare che con queso valore efficace poremo raare l alernaa come se fosse una coninua, con una faciliazione dei calcoli e dei ragionameni. Anche in queso caso raeremo l argomeno in modo grafico, poiché maemaicamene risulerebbe al di fuori della poraa delle cognizioni auali della classe. Supporremo di avere una sinusoide come quella uilizzaa per il calcolo del valore medio. La sinusoide ha la seguene espressione: Y = 3*sen(* * f * ) La cosa imporane è il valore di ampiezza che vale 3. Si raa ovviamene di un esempio, quindi in seguio il valore numerico 3 sarà sosiuio dal valore generico A. 33

34 VALORE EFFICACE DI UNA SINUSOIDE Per deerminare il valore efficace di una sinusoide occorre procede come indicao di seguio. 1. Calcolare il quadrao di una sinusoide;. Calcolare il valore medio del quadrao appena calcolao. 3. Fare la radice quadraa del valore medio calcolao al puno. Consideriamo il puno 1. Cosa significa calcolare il quadrao di una sinusoide? Supponiamo di considerare l espressione precedene: Y = 3*sen(* * f * ) Il suo quadrao si calcola maemaicamene in queso modo: Y = [3*sen(* * f * )] = 9*[sen(* * f * )] Invece di effeuare il calcolo maemaicamene, lo effeueremo graficamene. Il grafico risulane dovrà avere un valore massimo uguale a 9 e dovrà essere sempre di valore posiivo (per effeo dell operazione di elevazione al quadrao) Vediamo graficamene il risulao dell operazione di elevazione al quadrao di una sinusoide. 34

35 VALORE EFFICACE DI UNA SINUSOIDE Quesa è la sinusoide originale (di ampiezza = 3) Queso è il risulao della operazione di elevazione al quadrao (noare ampiezza = 9 e valori ui posiivi, cioè la curva sa ua sopra l asse x) Infine si noa anche un raddoppio della frequenza. 35

36 VALORE EFFICACE DI UNA SINUSOIDE , Passiamo adesso a considerare il puno. Una prima osservazione su queso grafico ci dice che il valore medio è pari a 4,5 (la meà dell ampiezza che è 9). Quesa osservazione si può verificare come è sao già fao in precedenza, quando abbiamo parlao del valore medio di una sinusoide. 36

37 VALORE EFFICACE DI UNA SINUSOIDE Anche in queso caso possiamo ripeere le sesse considerazioni fae in precedenza sul valore medio e roveremo che esso è proprio 4,5. Successivamene vedremo come calcolare la superficie coloraa in blu in modo semplice e quindi calcolare il valore efficace. 37

38 VALORE EFFICACE DI UNA SINUSOIDE Da quesa figura si comprende perché il valore medio è 4,5. Basa sposare le pari di colore uguale come indicao e avremo il risulao della figura successiva. Inolre si noa facilmene che la superficie della curva originale (in blu) non cambia. 38

39 VALORE EFFICACE DI UNA SINUSOIDE Abbiamo dimosrao che il valore medio del quadrao di una sinusoide è pari alla meà della sua ampiezza. In queso caso l ampiezza è (3) = 9 e quindi il valore medio è 4,5. Più in generale possiamo sabilire la seguene formula: Dao che A è l ampiezza della sinusoide, il valore medio del quadrao di una sinusoide è (A) /. Noiamo da quesa figura che la superficie è rimasa inaleraa. Adesso però si raa di calcolare l area di un reangolo, molo più semplice rispeo a prima. 39

40 VALORE EFFICACE DI UNA SINUSOIDE Infine consideriamo il puno 3. Ricordiamo che abbiamo fao il quadrao di una sinusoide, poi abbiamo calcolao il valore medio della nuova funzione, ora dobbiamo fare la radice quadraa di queso valore medio, per riornare alla sinusoide iniziale. Quindi il valore efficace di una sinusoide è oenua con la formula seguene: A A A V, 77 EFF 1, 414 A 4

41 VALORE EFFICACE DI UNA SINUSOIDE Applichiamo la formula appena rovaa alla sinusoide da cui eravamo parii. L ampiezza è A = 3. Il valore efficace si calcola: V EFF =,77*A =,77*3 =,11 Y = 3*sen(* * f * ),11,7 3,4,1 1,8 1,5 1,,9,6,3 -,3 -,6 -,9-1, -1,5-1,8 -,1 -,4 -,

42 SOMME E DIFFERENZE CON LE SINUSOIDI In eleroecnica è frequene effeuare somme e differenze ra sinusoidi avene la sessa frequenza f. Il calcolo con le regole della rigonomeria è lungo e spesso complesso, quindi occorre rovare una ecnica rapida e semplice. Facciamo un esempio: 1. Y 1 = 3*sen(* * f * ) = 3*sen(* * 5 * ). Y = 4*sen(* * f * ) = 4*sen(* * 5 * ) Abbiamo due sinusoidi con la sessa frequenza f = 5 Hz (deve essere sempre così!!), la sessa fase iniziale =, ampiezze diverse A 1 = 3 ed A = 4. Calcoliamo ora la somma e la differenza delle due sinusoidi: Y S = Y 1 + Y Y D = Y 1 - Y Nella prossima diaposiiva visualizzeremo i risulai oenui con EXCEL, senza calcolare maemaicamene in modo direo le formule. Vedremo nello sesso isane ( =,5 s) l ampiezza della nuova curva e rarremo conclusioni. 4

43 SOMMA TRA SINUSOIDI Y1 Y ,5,1,15,,5 -,5,1,15,, =3+4 Ys ,5,1,15,, La somma è ancora una sinusoide, avene la sessa frequenza e avene come ampiezza la somma delle ampiezze. 43

44 DIFFERENZA TRA SINUSOIDI Yd +1 = (-4) 1,5 1,5 -,5,5,1,15,,5-1 -1,5-1=3-4 La differenza è ancora una sinusoide, avene la sessa frequenza e avene come ampiezza la differenza delle ampiezze. 44

45 RIEPILOGO DELLA SOMMA E DIFFERENZA TRA SINUSOIDI 8 Ys 6 Y 4 -,5,1,15,,5 Y Y d = Y 1 Y Conclusioni: somme e differenze ra sinusoidi isofrequenziali, sono ancora sinusoidi di sessa frequenza, ma con ampiezze diverse (o somma o differenze ra le ampiezze originarie). La fase iniziale, supposa zero, resa ancora zero. NOTA: la differenza Y d si poeva oenere anche facendo Yd = Y Y 1, ma la sinusoide risulane sarebbe saa ribalaa (sfasaa di 18 ). 45

46 SOMMA E DIFFERENZA TRA SINUSOIDI: METODO VETTORIALE La ecnica grafica non è uilizzabile praicamene in eleroecnica. Il meodo veoriale è invece molo più facile e veloce. Vediamo in cosa consise. VETTORI IN FASE Y 1 = 3 Y = 4 Come già descrio in precedenza, ogni veore roane descrive una sinusoide. Quindi uilizziamo i veori sommandoli o soraendoli ra loro per oenere le sinusoidi corrispondeni. Di conseguenza possiamo sosiuire le operazioni rigonomeriche con operazioni veoriali. Y S = 3+4 = 7 Y D = -1 46

47 ESEMPI DI CALCOLO VETTORIALE Nei segueni esempi raeremo alcuni casi noevoli di somma o differenza ra veori e successivamene racceremo le sinusoidi corrispondeni. VETTORI IN QUADRATURA (1 caso) Y =1 Y S =? Y 1 = Y 1 ed Y sono due veori sfasai di 9 (si dicono in quadraura), e la loro somma Y S avrà un modulo ed una fase calcolai di seguio. y S y 1 y modulo della somma fase della somma y S y1 1 y arcg( ) y y 1 1 arcg( ) 5, 36 arcg(, 5) 6, 56 47

48 CORRISPONDENZA TRA VETTORI E SINUSOIDI Y1 Y =1 Y S =, ,5,1,15,,5 =6,56 Y 1 = -3,36 Ys 3 Y 1,5 1,5 -,5,5,1,15,, ,5,1,15,,5-1 -1,5 Confronare i veori con le rispeive sinusoidi e riconoscere la corrispondenza ra ampiezze e ra le fasi iniziali. 48

49 ESEMPI DI CALCOLO VETTORIALE VETTORI IN QUADRATURA ( caso) Y1,5 1,5 1,5 -,5,5,1,15,,5-1 -1,5 - -,5 Y =1 Y 1 = Y S =,36 Ys = - 6,56 Y 3 1,5 1,5 -,5-1 -1,5,5,1,15,, ,5,1,15,,5 Anche ora confronare i veori con le rispeive sinusoidi e riconoscere la corrispondenza ra ampiezze e ra le fasi iniziali. 49

50 ESEMPI DI CALCOLO VETTORIALE VETTORI IN OPPOSIZIONE DI FASE Y = 1 Y S = Y 1 - Y Y S = 1 = 18 Y 1 =,5 1,5 1,5 -,5-1 -1,5 - -,5 Y1,5,1,15,,5 Ys Y 1,5 1,5 1 1,5 -,5,5,1,15,,5,5 -,5,5,1,15,, ,5-1,5 5

51 CONCLUSIONI Al calcolo ra sinusoidi aveni la sessa frequenza (isofrequenziali), si sosiuisce il calcolo ra veori, più facile e veloce. Per il calcolo ra veori si uilizzano le ecniche già sudiae con i numeri complessi. 51