3 - Trasformata di Fourier discreta Discrete Fourier Transform ( DFT)

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1 3 - rasormata d orr dscrta Dscrt orr rasorm D - Dscrtzzazo dlla sr d orr - Dzo rortà dlla D - D d sgal traslat - U smo d D - ormla d vrso dlla D - Egaglaza d Parsval - D ral 3 - Dscrtzzazo dlla sr d orr S cosdr sgal rodco xt d rodo rarstato dalla sr d orr: t c t t c t dt Pr calcolar coct d orr c s ò rcorrr ad a ormla d qadratra S soga d sddvdr l trvallo trvall gal mdat t: t S ò allora arossmar l tgral d a zo t s mdat la somma d trm c s ottgoo moltlcado l valor d t to t r la lgzza dll trvallo adact S sa qd l arossmazo: t dt t sg la sgt arossmazo r coct d orr: c t Qsta srsso mlca c s ottgoo solo coct tra loro dstt dall rlazo: ± sg att c: c ± c c c S ossoo qd scglr coct co da a - o da /- a / s è ar S s o: d modo c: c t mdat gl coct d orr cos calcolat s ò ottr a arossmazo a trm dl sgal d artza Ammttdo c sa ar s ò scrvr: / t / t Q s è sosto d calcolar l sgal solo t t S ossrv c la rqza massma lgata alla dstaza d camoamto è data da: ν max t ν rtato l armoca massma è / volt l armoca odamtal

2 U rsltato mortat dlla tora dlla trasormata d orr dscrta è c la rcdt somma o dà solamt a arosmazo d valor dl sgal d artza ma rsttsc sattamt tal valor S s ossrva oltr c gl ormao a sccsso rodca co rodo c ac gl sozal lla sommatora soo rodc co rodo s otrà scrvr: / / la scda srsso otdo ssr tlzzata l caso c è ar Iatt s s a a sccsso rodca la somma d so valor s qalq trvallo rodo d lgzza o dd dall trvallo qsto L qazo costtrà la dzo dlla trasormata d orr dscrta mtr l qazo sarà dtta la sa ormla d vrso Prmssa Sa sgal camoato rarstato da vttor d lgzza co comot - lla tora dlla D occorr cosdrar l sgal rolgato sgal rodco co rodo Così m è dto r og m co la rortà m m- m Dzo rortà dlla D La trasormata d orr dscrta d sgal rodco d rodo è la sccsso rodca ac ssa d rodo dta da: r og d artcolar r - S a att: ± ± m Dalla rodctà d m sg c r og tro s a: La D d sgal REALE soddsa all codzo: Dmostrazo: La scoda rlazo sg dalla rodctà dl sgal Cò sgca c s s cosdrao valor d da a - s è ar allora / è ral valor d r /- soo comlss cogat d valor r /- /- ll ord

3 U sgal rodco s dc PARI s soddsa la codzo: - rtato all tro dll trvallo rodo { -} s a: - S è dsar l sgal cot / valor dstt / s è ar U sgal rodco s dc DISPARI s soddsa la codzo: - - rtato all tro dll trvallo rodco { -} s a: - - S a: - - qd s è ar s a ac / sg c s è dsar l sgal cot a art l sgo -/ valor dstt mtr s è ar cot -/ ar ar / / dsar dsar La D d sgal PARI è PARI mtr la D d sgal DISPARI è DISPARI Dmostrazo: S è ar s a: S è sgal REALE PARI allora ac la sa D è ral ar s è sgal REALE DISPARI allora la sa D è IAGIARIA DISPARI - Pr qato rgarda la rma art dlla rooszo s a: I modo aalogo s ott la scoda art: L ltma gaglaza drva dall ossrvazo gà atta c la somma s trvallo rodo d valor d a sccsso rodca o dd dall trvallo I modo aalogo s dmostra la scoda art dlla rooszo

4 QUADRO RIASSUIVO DELLE PROPRIEA DI SIERIA: sgal REALE D - sgal PARI D PARI - - sgal DISPARI D DISPARI sgal REALE PARI D REALE PARI - - sgal REALE DISPARI D IAGIARIA DISPARI D d sgal traslat Sa tro d sgal rodco s dc -RASLAO d l sgal rodco dto da: Usado ac la codzo d rodctà: s vd c ll trvallo rodo d artza { -} l tto d a -traslazo d cosst l orr ll oszo { -} valor d ll oszo { - - -} ll oszo { -} valor d ll oszo { --} Prtato a - traslazo è qvalt ad a PERUAZIOE CICLICA d valor d sll trvallo odamtal S è ar / s ott l RIBALAEO dl sgal: valor d ll scod / oszo vgoo ost ll rm / mtr valor ll rm / oszo vgoo ost ll scod / Esmo d rbaltamto d sgal /

5 orma - La D dl -traslato d è data da: Dmostrazo S a: dov s è sato acora a volta l atto c la somma s tvallo rodo o dd dall trvallo OSSERVAZIOE l caso artcolar d ar / s a / 34 - U smo d D S cosdr l sgal rodco d lgzza cos dto r valor dll dc m ll trvallo -/ /: m - -- < / altrmt Prtato l sgal a solo comot dvrs da zro do coto dlla rodctà la D ò ssr dta da: / / qd l caso artcolar cosdrato s a: S ossrv c s a: E oorto scrvr la trasormata l modo sgt: R s calcola allora la sommatora mdat la ormla gà volt sata: s s Sosttdo ll srso r s ott: - s s cos da c tlzzado la ormla: s a cos b sa b sa b s gg al rsltato al: s s S ossrv c a l massmo assolto r a adamto oscllat dcrsct co zr sattamt cambamt d sgo sazat crca d /: è largo l sgal strtto dvta l massmo rcal dlla sa D

6 35 - ormla d vrso dlla D I dvrs orazo d laborazo d sgal s ttao orazo slla sa D s o allora l roblma d sar qal sgal corrsod alla D laborata Pù gral s o l roblma d sar s la D d sgal cot ormazo comlta sl sgal mdsmo o altr arol s è ossbl rcostrr l sgal a artr dalla sa D La rsosta a qsto roblma è data dalla ormla d vrso dlla D c assm la orma sgt: A art l attor / s ot la smmtra tra dzo d vrso dla D: s ottgoo l a dall altra cambado ad sot Dmostrazo - La ormla d vrso è a drtta cosgza dl atto c la somma dll radc -sm dll tà è zro S s dca co m l scodo mmbro dlla ormla d vrso rcdtmt data sosttdov la ormla dlla D s a: dov s è osto: S S Pr s a S mtr r dvrso da s a: S Qst ltma rortà drva dal orma slla somma dll radc - sm dll tà dato c al varar d trm dlla sommatora rcorroo ttt l radc -sm S ò comq rtr la dmostrazo d ql orma odo S ò ac scrvr: w S δ dov s è trodotto l smbolo d Krocr δ c è gal a r d gal a zro altrmt La codzo sddtta è ac dtta codzo d ortogoaltà sg ovvamt c Soamo c sa ar S s trodcoo sgt sgal rodc: la ormla d vrso o ssr scrtta lla orma sgt: qd l sgal rodco è a combazo lar d sgal rodc w Qst godoo dll rortà:

7 S cosdr l caso rqt ll alcazo c s a: cos s qd la art ral s alla r /4 3/4 mtr la art mmagara s alla r / rtato a solo cambamto d sgo Etramb ao rodo qd l sgal a rqza S cosdr o: cos s la art mmagara s alla r /4 / 3/4 d a tr cambamt d sgo co rodo / rqza Lo stsso dcas r la art ral Il sgal sccssvo: 3 cos 3 s 3 a solo rodo la sa art mmagara s alla solo r tttava camba sgo 5 volt l s ò qd attrbr rqza 3 I gral s a: cos s qd la art mmagara camba sgo - volt Solo cas 4/ qst avvgoo corrsodza d zr d l sgal a rodo / S ò comq armar c l sgal a rqza r valor d o a / Pr qll sccssv la rqza è - Prtato r s a l armoca odamtal mtr r gl altr valor d s ottgoo l armoc sror Qlla d rqza massma corrsod a / Co l rcdt otazo s ò ac scrvr la ormla d vrso dlla D lla orma sgt: / / sado la solta rortà c la somma o dd dal artcolar trvallo rodo sclto S s trodc la sgt dzo d rodotto scalar tra d sgal a valor comlss: a c s ò asocar a orma: allora s ò dar trrtazo gomtrca alla codzo d ortogoaltà s a att: j j δ j 36 Egaglaza d Parsval Valgoo l sgt rlazo c rdoo l om rsttvamt d gaglaza d Parsval d gaglaza d Parsval gralzzata: H c ossoo ssr ac scrtt lla orma sgt: qd sgal ssodal ormao a bas ortoormal llo sazo ormato da ttt sgal H

8 Dmostramo l gaglaza d Parsval gralzzata dato c qlla d Parsval sg da qsta odo Dalla ormla d vrso r co o scambo dll ord d sommazo s a: H S ossrv artcolar c s d sgal soo ortogoal coè l loro rodotto scalar com dto rcdza è llo allora ac l loro D soo ortogoal 37 D ral l caso d sgal ral m d ar la D comlssa ò ssr rmazzata dall sgt trasormat ral: s Im B cos R A r l qal val la ormla d vrso: s cos / A B A A m

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