Lezioni di geometria combinatoria

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1 Quaderni dell'unione Matematica Italiana 48 Giuseppe Tallirli Lezioni di geometria combinatoria Pitagora Editrice Bologna 2005

2 Indice Prefazione v 1 Campi di Galois Introduzione Automorfismi di un campo finito Quadrati e non quadrati in K,, - Forme quadratiche 3 2 Campi di Galois non standard Filtri su un insieme Pluriprodotti di campi Campi non standard Campi ordinati II campo dei reali non standard Isomortismi tra campi non standard Campi di Galois non standard 26 3 Spazi geometrici Spazi geometrici - Definizioni ed esempi Esempi di spazi geometrici ; Spazi geometrici composti 33 4 Spazi lineari Spazi lineari e loro sottospazi Dimensione di uno spazio lineare Esempi di spazi lineari 2-matroidali ma non 3-matroidali Esempio di spazio lineare non matroidale 44 5 Spazi proiettivi e affini Spazi proiettivi Equazione dell'iperpiano. Spazio duale Spazi di Galois I piani proiettivi finiti di ordine q Spazi affini Piani affini 56 6 Spazi polari 59

3 6.1 Spazi parziali di rette Spazi parziali di rette proiettivi e spazi polari Spazi polari singolari e loro desingolarizzazione Spazi polari non singolari Spazi parziali di rette subimmersi Esempi di spazi polari 73 Bibliografìa 78 7 Ipersuperficie algebriche Generalità sulle ipersuperficie algebriche di P rk Punti semplici e punti multipli Tangenti asintotiche Coni e Monoidi Quadriche 91 8 Teoria delle coniche in un piano di Galois Teoria delle coniche in caratteristica pt Teoria delle coniche in caratteristica p = Lo spazio delle coniche e la superficie di Veronese Spazio delle coniche La Varietà M\ e la Superficie di Veronese V Piani tangenti e secanti in coniche V Quadriche e varietà grassmanniane in PG(r, q) La quadrica di Klein e la geometria delle rette di PG(3, q) Richiami su omografie e reciprocità di P r>k Polarità e polarità mille in P r, K Polarità, polarità nulla, quadriche in caratteristica II gruppo delle omografie di P5,K che mutano in sé ( Le sezioni iperpiane della quadrica di Klein Le sezioni di Q con i sottospazi di PG(5, q) La grassmanniana delle rette di P r,k II gruppo delle omografie di P r>k che mutano ^r,i,k in sé 141 lo.losottograssmanniane di^r> i,k La grassmanniana delle rette di PG{r, q) Spazi parziali di rette e grassmanniana delle rette Le (n)-varietà di uno spazio proiettivo Le (n)-varietà regolari Spazi massimali in una (n)-varietà regolare non singolare Proprietà delle (w)-varietà regolari non singolari di tipo m in P rk Sulle («)-varietà regolari non singolari in PG(r, q) Proprietà degli spazi massimali di una («)-varietà regolare non singolare di tipo m di P,,K, w<(r-l)/ I due sistemi di spazi massimali di una (2)-varietà di tipo iperbolico di P2r+i.K 159

4 HI 11.7 Caratterizzazione delle (w)-varietà regolari di PG(r, q) (n > 3) come varietà hermitiane Caratterizzazione delle (2)-varietà regolari di P f,k come quadriche Blockingsets La teoria dei /t-insiemi Caratteri di un ^-insieme rispetto alle rette in PG(r, q) Insiemi di tipo (0,M)I in PG(r,q) Caratteri di un -insieme rispetto ai sottospazi Insiemi di tipo (0, n) rispetto ai sottospazi di dimensione d Alcuni À:-insiemi di tipo (1,«) di PG(2,q) I A:-insiemi di tipo (1,«)i in PG(r,q) Blocking sets e (k; m, «)-insiemi rispetto alle rette in PG(r, q) Blocking sets e (k; m, w)-insiemi nella dimensione d in PG(r, q) Blocking sets rispetto alle rette Blocking sets in PG(2, q) Esempi Blocking sets in un piano proiettivo di ordine q Blocking sets in PG(3, q) Blockingsets in AG(r,q) rispetto alle rette Spettro dei blocking sets in PG{2, q) Disegni Disegni: definizioni e prime proprietà Esempi di disegni Matrici di incidenza di uno spazio geometrico Disegni simmetrici Esempi di disegni simmetrici Disegni composti Estensioni di sistemi di Steiner Insiemi di differenze e disegni Le «-pie di insiemi di differenze disegni simmetrici Proprietà ed esempi II Teorema di Bruck-Ryser-Chowla Caratterizzazione degli interi somma di due quadrati Conseguenze del Teorema B.R.C Disegni ottenuti da disegni simmetrici Sistemi di terne di Steiner Proprietà ed esempi S(2,3, q) ottenuti da una «-pia di insiemi di differenze Duplicazione di un S{2,3,v) Prodotto di sistemi di terne di Steiner La famiglia dei sistemi di Steiner S(2,3,49) II reticolo dei sottospazi di S(2,3,7) o 5(2,3,49) Esempi di S(2,q + \,q ì + q 2 + q + 1) non isomorfi 271

5 IV 14 (n,d)-stetemi in P rk. A r, K Definizioni e generalità sugli («, (^-sistemi Gli («, d)-sistemi negli spazi di Galois Generalità sugli («, c/)-sistemi parziali 284 Note bibliografiche 287 Indice dei simboli 289 Indice analitico 291

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