P ROGRAMMA DEL CORSO DI MAT EMAT ICA Calcolo di erenziale in una variabile. Funzioni: dominio, immagine, funzioni composte ed inverse.

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1 P ROGRAMMA DEL CORSO DI MAT EMAT ICA Clcolo i erezile i u vribile. Fuzioi: omiio, immgie, fuzioi composte e iverse. Esempi: Curve e super ci. Simmetrie, perioicità, gr ci. Fuzioi elemetri: Poteze, espoezile e logritmo, seo, coseo, tgete e rcotgete. De izioe i ite. Clcolo i iti. Forme i iecisioe. Due umeri specili: e,. Fuzioi cotiue. Il teorem egli zeri e il metoo i bisezioe per il clcolo pprossimto i uo zero. Esistez i mssimi e miimi. Rpporto icremetle e erivt, equzioe ell rett tgete l gr co i u fuzioe. Derivt seco: cocvità e covessità. Regole i erivzioe: Somm e i erez, prootto e quoziete, erivt ell fuzioe compost e ivers. Derivte i fuzioi elemetri: Poteze, espoezile e logritmo, seo, coseo, tgete e rcotgete. I teoremi el clcolo i erezile: Fermt, Rolle, Lgrge, e l Hopitl. Suio i fuzioi: Domiio e immgie, simmetrie, iti gli estremi el omiio, mssimi e miimi, cocvità e covessità, sitoti, gr co. Clcolo itegrle i u vribile. Itegrle i Riem: De izioe e sigi cto geometrico. Clcolo pprossimto i u itegrle: Il metoo ei rettgoli e ei trpezi. Proprietà ell itegrle e ito. Il teorem ell mei. Il teorem fometle el clcolo itegrle. Fuzioi primitive e itegrle ie ito. Metoi i itegrzioe: Scomposizioe, per prti, per sostituzioe. L formul i Tylor co il resto itegrle. Lo sviluppo i serie i poteze elle fuzioi elemetri. Clcolo i erezile e itegrle i più vribili. Derivte irezioli e przili. Griete, irezioe i mssim peez. Equzioe el pio tgete u super cie. Derivte i orie superiore. Formul i Tylor. Sego i u poliomio i secoo gro. Mssimi e miimi liberi e vicolti. Itegrli multipli. Riuzioe i u itegrle multiplo itegrli semplici successivi. Itegrzioe i coorite polri. Clcolo i ree, volumi, bricetri. Are el cerchio, volume ell sfer. Equzioi i erezili. Esempi ll sic: F = m, velocità e ccelerzioe. Equzioi i erezili el primo orie e problem i Cuchy. Sigi cto geometrico: Cmpo i irezioi. Soluzioi pprossimte i equzioi i erezili: Poligoli i Eulero. Sviluppo i serie i poteze ell soluzioe i u equzioe i erezile. Equzioi vribili seprbili e lieri. Equzioi el secoo orie lieri co coe cieti costti. L oscilltore rmoico. Algebr liere. Spzi vettorili. Esempi: Vettori el pio e ello spzio, regol el prllelogrmm, prootto sclre. Combizioe liere i vettori, vettori iipeeti. Bse e imesioe i uo spzio vettorile. Algebr elle mtrici. Sistemi i equzioi lieri.

2 AP P UNT I DEL CORSO DI MAT EMAT ICA Questi pputi soo u trcci egli rgometi che si cerc i trttre elle ore i lezioe. No evoo essere usti come surrogto i u buo libro i testo, che perché le imostrzioi ei risultti presetti soo ppe ccete, e volte soo che imprecise. L lgebr, l geometri litic e l trigoometri ei progrmmi elle scuole superiori soo prerequisiti fometli. I prticolre bisog spere cos soo le equzioi e isequzioi, l equzioe ell rett, le proprietà elle poteze, gli espoezili e logritmi, il seo e coseo e l tgete, i gr ci i tutte queste fuzioi, etc. L logic elemetre è u prerequisito cor più fometle. I prticolre bisog sper usre u liguggio o mbiguo e ver be chiro cos soo ipotesi, tesi, imostrzioe. Le e izioi e i teoremi evoo essere euciti co precisioe e illustrti co esempi e cotroesempi. NUMERI REALI Co i umeri turli N = f; ; 3; :::g si possoo fre somme e prootti, co gli iteri reltivi = f:::; ; ; ; ; ; :::g somme, sottrzioi, prootti, co i rzioli Q = fp=qg somme, sottrzioi, prootti, ivisioi. Co queste quttro operzioi elemetri si possoo già risolvere le equzioi i primo gro coe cieti iteri qx p =, x = p=q. Per risolvere le equzioi i secoo gro x + bx + c = o bsto i rzioli, m occorroo le rici qurte. Le formule risolutive elle equzioi i terzo e qurto gro fo iterveire che rici terze e qurte. E per equzioi più complicte che umeri bisog ivetre? I umeri reli R soo i corrispoez biuivoc co i puti ell rett. I umeri reli soo che i corrispoez co gli lliemeti ecimli i iti, m lo sviluppo ecimle o è uico! Per esempio : 3 = ; 333:::, ; 333:::3 = ; 999::: Quii ; 999::: =. Teorem: U umero è rziole se e solo se h uo sviluppo ecimle perioico. Dimostrzioe: Rziole implic perioico. Divieo p : q trovo ei resti r < q che opo l più q volte si ripetoo. Questo è il perioo. Perioico implic rziole. =9 = ; :::, =99 = ; :::, =999 = ; :::. Quii, per esempio, ; bcbcbc::: = = + bc=99 = (99 + bc)=99. Teorem: Le soluzioi i x +x +:::+bx+c =, co,..., b, c iteri, o soo itere o soo irrzioli. I prticolre l rice -esim i u itero k, soluzioe i x k =, se o è iter o è eche rziole. Dimostrzioe: Se x = p=q è soluzioe, sostitueol ell equzioe e eio i eomitori si ottiee u egugliz tr umeri iteri, p = q p + ::: + bpq + cq. Quii q ivie p e, se p e q soo primi tr loro, eve essere q =.

3 U corollrio ei ue teoremi preceeti è che esistoo ei umeri irrzioli. Per esempio, p è soluzioe ell equzioe x = e o è u itero,quii o è u frzioe. Esercizi: Dimostrre che se x è rziole e y irrziole, llor x + y, x y, xy, x=y, soo irrzioli. E se si x che y soo irrzioli? Le rici ei umeri iteri o soo itere o soo irrzioli. Cercre u poliomio coe cieti iteri co rice x = p + 3p 3 e cocluere che questo umero è irrziole. log (b) è rziole? Se log (b) = p=q, llor p = b q... De izioe i Deeki i umero rele: U sezioe ei rzioli è u suivisioe i questi umeri i ue clssi fa; Bg tli che ogi elemeto ell prim è miore i ogi elemeto ell seco. Ogi sezioe ei umeri rzioli e isce u umero rele e ogi rele è e ito u sezioe ei rzioli. Questo umero può essere visto come l elemeto seprtore tr le ue clssi. Come u rziole p=q è e ito u coppi i iteri fp; qg, così u rele x è e ito u sezioe ei rzioli fa; Bg. Più i geerle, ogi coppi i clssi cotigue i umeri reli fa; Bg h u elemeto seprtore, che è cotemporemete mggiore o ugule tutti gli elemeti i A e miore o ugule tutti gli elemeti i B. Per esempio, l isieme ei perimetri ei poligoi iscritti e circoscritti u cerchio soo u coppi i clssi cotigue che e iscoo il perimetro el cerchio. NUMERI COMP LESSI U umero positivo elevto l qurto rest positivo, e u umero egtivo elevto l qurto iveto positivo. Quii l rice qurt i u umero egtivo o è u umero positivo e o è u umero egtivo. O o esiste, o è u uovo tipo i umero! I mtemtic si opt per quest seco possibilità. Si e isce u umero i immgirio, cioè o rele, co l proprietà che i =, cioè i = p. Si e scoo poi i umeri complessi + ib, co e b reli. I prticolre, se b = il umero è rele e se = il umero è immgirio. Le regole el clcolo soo quelle usuli, m i si sostituisce : ( + ib) + (c + i) = ( + c) + i (b + ) ; ( + ib) (c + i) = c + i + ibc + i = (c b) + i ( + bc) ; + ib c + i = + ib c + i c i c i = ( + ib) (c i) (c + i) (c i) c + b = c + + ibc c + : Se i umeri reli sto su u rett, quelli complessi sto su u pio. Al umero +ib corrispoe il puto i coorite (; b). I coorite polri, è u vettore i lughezz = p + b e golo #, co = cos (#) e b = si (#). = p + b è il moulo e # l rgometo el umero complesso. L somm i ue umeri complessi è l somm ei vettori co l regol el prllelogrmm: (; b) + (c; ) = ( + c; b + ). Se + ib = (cos (#) + i si (#)) e c + i = 3

4 (cos (') + i si (')), llor ( + ib) (c + i) = (cos (#) + i si (#)) (cos (') + i si (')) = (cos (#) cos (') si (#) si (')) + i (cos (#) si (') + si (#) cos (')) = (cos (# + ') + i si (# + ')) : Il prootto i ue umeri complessi è u umero complesso co moulo ugule l prootto ei mouli, e rgometo ugule ll somm egli rgometi. SUCCESSIONI E SERIE Progressioi ritmetiche: ( + ) () = c. Progressioi geometriche: ( + )=() = c. ::: 3 3 ::: ::: =8 =4 = 4 8 ::: All somm sull rig sopr corrispoe il prootto sull rig sotto. I umeri ell rig sopr soo i logritmi i quelli sotto. I umeri ell rig sotto soo gli espoezili i quelli sopr. Le tvole ei logritmi soo progressioi ritmetiche e geometriche simili, solo più tte. U successioe f(); (); (3); :::g è u l i umeri. Quo l successioe è i it, è iteresste cooscere il comportmeto l ite, se i termii crescoo ismisur!+ f()g = +, se si vvicio u to vlore!+ f()g = A, o se ho u comportmeto cotico!+ f()g o esiste. Teorem (Archimee): < < Dimostrzioe: Il perimetro i u poligoo regolre i lti iscritto i u cerchio i rggio uo è si (=) e il perimetro i u poligoo circoscritto è t (=). Il perimetro el cerchio è il ite ei perimetri ei poligoi iscritti o circoscritti. Osservimo or che si può pssre l perimetro i u poligoo co u to umero i lti l perimetro i u poligoo co u umero i lti oppio utilizzo le formul i bisezioe, se P () = si (=), r P () = si (=) = = r q 4 4 si (=) = v u cos(=) t = r q si (=) q 4 4 (P ()=) : 4

5 Quii P (6) = 6 si(=6) = 3 q p P () = 6 3 = 3; 5::: r q P (4) = + p 3 = 3; 3::: s r q P (48) = p 3 = 3; 39::: v s u r q t P (96) = p 3 = 3; 4::: Il ite i si (=) è = 3; ::: Il problem ell iteresse composto: Co u iteresse uo ell x% u cpitle, o u ebito, C i k i ivet C ( + x=) k. E se l iteresse mtur mesilmete o giorlmete? C ( + x=) k, C ( + x=365) 365k. E se l iteresse mtur isttemete? Teorem: L successioe f( + =) g h u ite e = ; :::. Più i geerle, se f()g! +, llor ( + =()) ()! e. Dimostrzioe: f( + =) g cresce e ( + =) + ecresce, i mezzo ci st il ite e. De izioe i fuzioe espoezile: exp(x) =!+ f( + x=) g. Iftti ( + x=) = ( + x=) =x x e x. De izioe i logritmo: log(y) =!+ (y = ). Iftti, se ( + x=) = y llor x = (y = ). Veremo i seguito che per le fuzioi trigoometriche è turle misurre gli goli o i gri m i riti, i moo vere l golo pitto ugule. Similmete, per gli espoezili e i logritmi l bse turle è il umero e, quii o vri ltr bse ll ifuori i e. De izioe i Cuchy i ite!+ f()g = A: L successioe f()g h ite A se ogi " > è possibile ssocire u N tle che se > N llor j() Aj < ". Cioè, ssto u itoro i A, l itervllo (A "; A + "), tutti i termii ell successioe u certo posto i poi coo ell itoro. De izioe i!+ f()g = +: L successioe f()g h ite + se ogi M > è possibile ssocire u N tle che se > N llor () > M. Cioè, ssto u itoo i +, l itervllo (M; +), tutti i termii ell successioe u certo posto i poi coo ell itoro. 5

6 Esempi: L successioe fsi ()g o h ite. L successioe f si (=)g h ite. I umeri reli soo e iti successioi. Per esempio è il ite ell successioe f3; 3; ; 3; 4; 3; 4; 3; 45; 3; 459; :::g, < () <. Teorem: Il ite, se esiste, è uico. Dimostrzioe: Se esistessero ue iti A e B, i termii ell successioe u certo posto i poi ovrebbero stre cotemporemete i ue itori (A "; A + ") e (B "; B + "). Sceglieo tli itori isgiuti si giuge u cotrizioe. Teorem: Il ite i u successioe mooto crescete, () () (3) ::: esiste e è ugule ll estremo superiore ell isieme f()g. Dimostrzioe: Se A è l estremo superiore i f()g, A " o è l estremo superiore e A " < (N) A per u qulche N. M per l mootoi A " < (N) () A per ogi > N. Teorem (ei ue Crbiieri): Se () b() c() e se si f()g che fc()g covergoo uo stesso ite, ove volete che v ire fb()g? U successioe positiv può covergere u ite egtivo? Operzioi sui iti: Il ite ell somm, i erez, prootto, quoziete,..., i successioi è l somm, i erez, prootto, quoziete,..., ei iti. M esistoo elle forme ietermite: +, =,, =,,,... Esempi: Se P () e Q() soo poliomi, P ()=Q() = =. p + p = +. = =... 8 >< q p ; + p r s 9 q ; + + p r q ; p >= ; ::: >: >; L successioe e it per ricorrez, ( + ) = p + (), cresce e è compres tr e. Quii coverge e l ite x = p + x, cioè x = + p 5 =. U ite fcile e uo i cile: Se () è il umero i umeri primi miori o uguli, () = +;!+!+ () = log() = : Il simbolo i somm: X k=m (k) = (m) + (m + ) + ::: + (). Esempi: X k = ( + )=, X k= k= k = ( + )( + )=6. 6

7 De izioe: U somm i i iti termii è il ite, se esiste, ell successioe elle somme przili, X + X o (k) =!+ (k). k= k= Esempio: Lo sviluppo ecimle i u umero è u serie i poteze i, 3; 45::: = ::: L serie geometric: X + k= xk = x k= se jxj <. ( x) + x + x + ::: + x = + x + x + ::: + x x + x + ::: + x + x + = x + ; X x k = x+! x x se x +! : L serie rmoic X + =k = k= ::: ::: ::: = +: 9 + ::: + + ::: ::: + + ::: 6 L serie i Eulero X + k= =k = =6 e l serie X + k= =k3 =? Oltre lle somme i ite, esistoo che i prootti e quozieti i i iti termii. Per esempio, si(x) = x( + x )( t(x) = 3 x )( + x )( x : 5 x F UNIONI x x 7 ::: x )::: De izioe: U fuzioe u isieme A i u isieme B è u relzioe y = f(x) che ogi elemeto x i A, il omiio ell fuzioe, ssoci uo e u solo elemeto y i B, il coomiio. L immgie i u isieme C A è f(c) = ff(x); x Cg e l cotroimmgie i u isieme D B è f (D) = fx; f(x) Dg. U fuzioe è suriettiv se f(a) = B, cioè se per ogi y i B l equzioe y = f(x) h lmeo u soluzioe. U fuzioe è iiettiv se per u 6= v si h che f(u) 6= f(v), cioè se per ogi y i B l equzioe y = f(x) h 7

8 l più u soluzioe. Se u fuzioe y = f(x) è suriettiv e iiettiv, si può cosierre l fuzioe ivers x = f (y), che y i B ssoci x i A. Dt u fuzioe y = f(x) A i B e u fuzioe z = g(y) B i C, si può cosierre l fuzioe compost z = g(f(x)) A i C. I prticolre, per u fuzioe ivertibile f (f(x)) = f(f (x)) = x. Esempi: Le successioi soo fuzioi e ite sull isieme ei umeri turli. L fuzioe z = p x y ssoci u coppi i umeri (x; y) u umero z. Il omiio soo i puti el cerchio x + y e l immgie il segmeto f z g. f(x) = p exp(x) ; x! exp(x)! exp(x)! p exp(x) ; f (x) = log x + ; log x + x + x x: Le fuzioi reli i vribile rele ssocio umeri reli umeri reli. Le fuzioi mootoe cresceti < b ssocio f() < f(b). Quelle ecresceti < b ssocio f() > f(b). Le fuzioi mootoe soo iiettive e quii ivertibili. È vero il vicevers? Feomei simmetrici soo escritti fuzioi simmetriche e feomei perioici soo escritti fuzioi perioiche. Le fuzioi pri soo quelle che veri co l relzioe f( x) = f(x) e le fuzioi ispri quelle che veri co l relzioe f( x) = f(x). Per esempio, le poteze pri x soo fuzioi pri e quelle ispri x + soo ispri. Le fuzioi perioiche soo quelle che veri co l relzioe f(x + ) = f(x). Se u fuzioe h perioo h che perioo,, 3,... Le fuzioi trigoometriche soo perioiche, per esempio si(!x) h perioo =!. Vicevers, ogi fuzioe perioic o troppo ptologic può essere scompost i u i it i fuzioi trigoometriche. Il gr co i u fuzioe y = f(x) è l isieme ei puti f(x; f(x))g. Il gr co i u fuzioe pri è simmetrico rispetto ll sse elle y. Il gr co i u fuzioe ispri è simmetrico rispetto ll origie. Il gr co i u fuzioe ivers y = f (x) è il simmetrico el gr co i y = f(x) rispetto ll rett y = x. Esercizi: Stuire le fuzioi y = si(x) x, x x(x ), y = + x x. Quli soo omiio e immgie? Ci soo simmetrie? Com è il gr co? Se f(x) è pri e g(x) ispri, f(x) + g(x), f(x) g(x), f(g(x)), soo pri o ispri? Se f(x) h perioo A e g(x) perioo B, che perioo h f(x) + g(x)? Bst osservre che se f(x) h perioo A, h che perioi A, 3A,..., e se g(x) h perioo B, h che perioi B, 3B,... Se c è u multiplo comue ma = B, questo è u perioo ell somm. De izioe i ite x! f(x) = b: L fuzioe f(x) tee b quo x tee se ogi " > è possibile ssocire u tle che se < jx j < llor jf(x) bj < ". 8

9 x! f(x) = b+: L fuzioe f(x) tee b l i sopr quo x tee l i sotto se ogi " > è possibile ssocire u tle che se < x < llor f(x) b < ". x!+ f(x) = : L fuzioe f(x) tee quo x tee + se ogi M è possibile ssocire u N tle che se x > N llor f(x) < M. L rett y = mx + q è u sitoto ell fuzioe f(x) per x! + se x!+ jf(x) mx qj =. Operzioi sui iti: Il ite ell somm, i erez, prootto, quoziete,..., è l somm, i erez, prootto, quoziete,..., ei iti. M esistoo elle forme ietermite: +, =,, =,,,... Limiti otevoli: si(x) cos(x) = x! x x! x = = ( + x) =x = e x! log( + x) x x! exp(x) ( + x) = = = x! x x! x L e izioe i come ite ei perimetri i poligoi iscritti i u cerchio è =!+ si(=) e poeo = = x si ricv x! si(x)=x =. Ripetimo comuque l imostrzioe i questo ite. Assumeo < x < =, se x! si h si(x) < x < t(x); < x si(x) < cos(x)! + : D questo ite si ricv subito che ( cos(x)) =x! =, cos(x) x = cos(x) + cos(x) si(x) x + cos(x) = x + cos(x)! : L e izioe i e prtire l problem ell iteresse composto è e =!+ ( + =) e poeo = = x si h x! ( + x) =x = e. D questo ite si ricv immeitmete che log( + x)=x!, log( + x) x Co il cmbio i vribili exp(x) = log ( + x) =x! log (e) = : exp(x) x = = t e x = log( + t) si h t log( + t)! : Co il cmbio i vribili x = exp(t) si h ( + x) x = exp(t) exp(t) = exp(t) t t exp(t)! : Osservzioe: Il ite x! f(x) co il cmbio i vribile x = + t ivet t! f( + t). 9

10 Nel clcolo ei iti i espressioi complicte, può essere utile cercre i isolre quell che si ritiee l prte priciple lle prti secorie. Per esempio, l prte priciple i u poliomio x + bx + ::: + c quo x! è il termie i gro mssimo, metre l prte priciple per x! è il termie i gro miimo. Per esempio, ricoro che il ite i somme, prootti, quozieti,..., è l somm, prootto, quoziete,..., ei iti, si h x!+ x + bx + ::: + c m + ex + ::: + f = x!+ x + bx + ::: + cx x m ( + ex + ::: + fx m ) + b x + ::: + c x!+ = + e x + ::: + f x m x!+ x m = x!+ x!+ x!+ x x!+ x m : Nelle forme ietermite può essere utile ggiugere e togliere o moltiplicre e iviere per opportue qutità, i moo ricoursi se possibile elle forme ietermite ote. Per esempio, x! exp(x) cos(x) si(x) x = x! si(x) x! exp(x) x exp(x) = x! si(x) x + x! si(x) x! cos(x) + x! si(x) cos(x) x x! x: Si possoo che fre ppropriti cmbi i vribili. Per esempio, per trovre l prte priciple i u polioio x + bx + ::: + c quo x!, l sostituzioe turle è x = + t e l prte priciple risult llor il termie i gro miimo i t. Altri esempi soo i segueti: rct(x) t = x! x t! t(t) = t! x x x! log(x) = (( + t) log( + t)) ( + t)exp t! ( + t) log( + t) cos(t) t! t si(t) : = t! ( + t) exp(z) : z! z Esempio i rgiometo sbglito: Siccome il ite ell somm è l somm ei iti e si ( p x) o h ite per x! +, che si p x + si ( p x) o h ite. Di ftto il ite co + o esiste, metre quello co esiste e è zero, si p x + si p x p p p p = x + + x x + x cos si p p = x + + x cos = si p p x + + x p x! : De izioe o rigoros i fuzioe cotiu: U fuzioe è cotiu se il suo gr co è u curv cotiu, sez slti. y = f(x) è cotiu se piccole vrizioi ell x corrispooo piccole vrizioi ell y. De izioe più rigoros: U fuzioe f(x) è cotiu i u puto se x! f(x) = f(). U fuzioe è cotiu se per ogi itoro V i f()

11 esiste u itoro U i tle che f(u) V. U fuzioe è cotiu i u itervllo se è cotiu i ogi puto ell itervllo. Operzioi sulle fuzioi cotiue: L somm o i erez i fuzioi cotiue è u fuzioe cotiu, e lo stesso per il prootto o il quoziete, quo il eomitore o si ull,... L fuzioe compost i fuzioi cotiue è cotiu. L fuzioe ivers i u fuzioe cotiu è cotiu. Iftti, u fuzioe è cotiu se il suo gr co è u curv cotiu. M u fuzioe e l su ivers ho lo stesso gr co... Le fuzioi elemetri, x, x, log (x), si(x), cos(x), t(x),..., soo cotiue. L prte iter i u umero [x], e l prte ecimle x [x] soo fuzioi co iscotiuità ei puti iteri. Esercizi: Dimostrre che le fuzioi elemetri soo cotiue. Qui veri chimo per esempio che l fuzioe p p p x è cotiu l i sotto, x! x =. Se x < si h < p p x < p x. Per covicersi bst elevre qurto. Quii < p p x < " se < x < ". Teorem egli zeri (Bolzo): Se l fuzioe f(x) è cotiu ell itervllo x b e se f() < < f(b), llor esiste < c < b co f(c) =. Più i geerle, u fuzioe cotiu i u itervllo x b pree tutti i vlori tr f() e f(b). Dimostrzioe: Il sigi cto geometrico el teorem è che se il puto (; f()) st sotto l sse elle x e il puto (b; f(b)) sopr, il gr co ell fuzioe eve tglire quest sse. Ache se il teorem ppre eviete, e imo u imostrzioe che forisce u lgoritmo per otteere elle pprossimzioi rbitrrimete vicie llo zero cercto. Diviimo l itervllo [; b] el puto i mezzo (+b)=. Se f (( + b)=) = bbimo trovto lo zero. Se f (( + b)=) > cerchimo lo zero i [; ( + b)=] e se f (( + b)=) < lo cerchimo i [( + b)=; b]. Divieo ripetutmete i ue l itervllo i cui si cerc lo zero, si costruiscoo così ue successioi f()g e fb()g tli che = () () () ::: b() b() b() = b, b() () = (b ), e f(()) f(b()). Le successioi f()g e fb()g soo mootoe e ho lo stesso ite c. Per l cotiuità ll fuzioe eve essere f(c) =!+ f(()) e f(c) =!+ f(b()), quii f(c) =. Per imostrre che l fuzioe pree tutti i vlori f() < y < f(b) bst pplicre il teorem f(x) y. Illustrimo il metoo i bisezioe cerco u rice i f(x) = x 3 + x. Siccome l fuzioe è crescete, l evetule rice è uic. D f() = e f() = si ricv che c è u rice tr e. Preimo il puto i mezzo. D f(=) = 3=8 si ricv che l rice è tr / e. Preimo il puto i mezzo. D f(3=4) = =64 si ricv che l rice è tr / e 3/4... A ogi psso l errore si imezz. U teorem i puto sso: Se f(x) : [; b]! [; b] è cotiu, esiste c co f(c) = c. Cioè, se spostimo i moo cotiuo tutti i puti i u itervllo

12 chiuso e itto, lmeo u puto rest fermo. egli zeri ll fuzioe F (x) = f(x) x. Bst pplicre il teorem Teorem (Weierstrss): U fuzioe f(x) cotiu i u itervllo chiuso e itto x b h miimo e mssimo, cioè esistoo ei puti c (miimo) e (mssimo) tli che f(c) f(x) f() per ogi x i [; b]. Dimostrzioe: Spezzimo metà l itervllo i prtez. L estremo iferiore ei vlori ssuti f(x) i uo ei ue itervlli [; ( + b)=] o [( + b)=; b] è ugule ll estremo iferiore i f(x) i [; b]. Scelto l itervllo, iterimo. I questo moo si ottiee u successioe i itervlli isctolti fi()g tli che l estremo iferiore i f(x) i I() è ugule ll estremo iferiore i [; b]. Il puto i miimo cercto è e ito c = \I(). Iftti, scego u successioe fx g! c, co x I() e ff (x )g! if ff (x)g. Per l ipotesi i cotiuità, to u " > esiste u itervllo (c ; c + ) tle che per ogi puto i questo itervllo jf(x) f(c)j < ". Se è bbstz gre x (c ; c+), e quii jf(x ) f(c)j < ". L coclusioe se! + è che jif ff (x)g f(c)j ", per ogi " >. Il teorem egli zeri e quello sui mssimi e miimi o si pplico fuzioi iscotiue. È chiro che u fuzioe icotiu può sltre u vlore egtivo uo positivo sez pssre llo zero. U fuzioe cotiu su u itervllo perto o ilitto può o ver miimo o mssimo. Per esempio, l fuzioe =x ell itervlli perto < x < o h miimo e o h mssimo, metre ell itervllo ilitto x < + h mssimo m o h miimo. Le imostrzioi el teorem egli zeri e ell esistez i miimi e mssimi presette soo etrmbe bste su u processo i bisezioe egli itervlli i cui si vo cercre gli zeri e i miimi o i mssimi. Tr le ue imostrzioi c è però u i erez i sostz. L imostrzioe el teorem egli zeri è costruttiv perché permette i scegliere esplicitmete gli itervlli e è u lgoritmo implemetbile su u clcoltore. Nell imostrzioe el teorem sui miimi e mssimi o è ivece possibile eciere i u umero ito i pssi se l estremo iferiore o superiore è ell itervllo i estr o i siistr, perché i u umero ito i pssi si può solo vlutre l fuzioe i u umero ito i puti. Se però si s priori che l fuzioe h u solo mssimo reltivo, c è u lgoritmo che permette i costruire u successioe covergete questo mssimo. Per cercre il mssimo i u fuzioe f(x) co u solo mssimo reltivo i x b, si può iviere i quttro l itervllo i corrispoez ei puti < c < < e < b. Se f(c) > f() llor il mssimo è i x. Se f(e) > f() llor il mssimo è i x b. Se f(c) < f() e f(e) < f()llor il mssimo è i c x e. Si può iterre il proceimeto e ogi psso l itervllo i cui si cerc il mssimo si imezz. Esempio: Tr i rettgoli i perimetro to e esiste uo i re mssim? Se il perimetro è P, u lto è x, l ltro è P x, l re è x(p x). L vribile x vri i < x < P. Se ggiugimo questo itervllo i ue estremi, possimo pplicre ll fuzioe re il teorem i Weierstrss e cocluere che esistoo

13 ei miimi e ei mssimi. I puti x = ; P soo miimi e l re è zero. D x(p x) = P =4 (x P=) si ricv che x = P= è il mssimo. Tr i rettgoli i perimetro to quello i re mssim è il qurto. Similmete, tr i rettgoli i re t quello i perimetro miimo è il qurto. A volte si cerco ei mssimi e miimi i fuzioi più complicte elle fuzioi reli i vribile rele e o è tto chiro che questi mssimi o miimi esisto. Tr i rettgoli i perimetro to si è trovto quello co re mssim, m più i geerle si può cercre tr tutte le curve chiuse i lughezz ssegt quell che rcchiue l re mssim. Si eve cercre il mssimo ell fuzioe re e it sull isieme elle curve i lughezz sst, il mssimo o è u puto, m è u curv. Comuque, l soluzioe el problem isoperimetrico è il cerchio. Similmete, tr le super ci che rcchiuoo u volume to, quell i re miim è l sfer. Le bolle i spoe soo sferiche per questo motivo. Se chi gug pg % i tsse, chi gug pg % i tsse, chi gug 3 pg 3% i tsse,..., l fuzioe che l reito loro ssoci il reito l etto elle tsse è cotiu? Che gr co h? Qul è il mssimo reito etto? Se f(x) è il reito etto e ( ) < x, llor f(x) = ( =)x. I multipli i soo puti soo iscotiuità. Il mssimo reito eve ricercrsi tr i puti f() = ( ) e corrispoe l vlore = 5. Iftti f(( + )) f() se e solo se 99=, l successioe prim cresce e poi ecresce. DERIV AT E f(b) f() De izioe i rpporto icremetle:. b De izioe i erivt: f f(b) f() () = b!. b Poeo b = + h si può che e ire f f( + h) f() () = h!. h Il rpporto icremetle è il coe ciete golre ell rett per i puti (; f()) e (b; f(b)). L erivt è il ite, se esiste, ei rpporti icremetli, cioè ei coe cieti golri elle rette secti. Queste rette secti teoo ll rett tgete, quii l erivt è il coe ciete golre ell rett tgete. Teorem: Se esiste, l equzioe ell rett tgete ll curv y = f(x) el puto (; f()) è y = f() + f ()(x ). Dimostrzioe: y = f() + f(b) f() (x ) è l rett secte per i puti b (; f()) e (b; f(b)). Se b! l rett secte tee ll rett tgete e il rpporto icremetle tee ll erivt. U fuzioe erivbile è che cotiu. Iftti f(b) f() f ()(b )! se b!. No è vero il vicevers. Alcue fuzioi cotiue possoo o essere erivbili e lcue curve possoo o ver tgete. Per esempio, y = jxj h u golo i x = e y = x si(=x) h u sigolrità più complict. 3

14 L erivt prim f (x) i u fuzioe f(x) è su volt u fuzioe che può essere erivt. L erivt seco f (x) è l erivt ell erivt. Ci soo poi le erivte terze, qurte,... Ituitivmete, se l erivt prim è positiv, l rett tgete è rivolt i lto e l fuzioe cresce. Se l erivt seco è positiv, l erivt prim cresce, cioè i coe cieti golri elle rette tgeti crescoo e l cocvità ell fuzioe è rivolt i lto. Se f (x) >, l regioe i pio sopr l curv y = f(x) è covess e se f (x) < è covess l regioe sotto y = f(x). Esempio: L velocità mei è il rpporto tr lo spzio percorso e il tempo impiegto per percorrerlo. L velocità è erivt ello spzio rispetto l tempo. L ccelerzioe è l erivt ell velocità rispetto l tempo, cioè l erivt seco ello spzio rispetto l tempo. L legge i Newto F = m è u equzioe tr le forze che giscoo su u corpo e l erivt seco ello spostmeto. y, L otzioe i Newto per le erivte: y,... y L otzioe i Leibiz per le erivte:, y,... Gli icremeti iti elle vribili x e y soo x e y, gli icremeti i itesimi soo e y. Il rpporto icremetle è y=x e l erivt y=. Regole i erivzioe: Somm: (f(x) + g(x)) = f (x) + g (x). Iftti il rpporto icremetle ell somm è l somm ei rpporti icremetli e il ite ell somm è l somm ei iti. Prootto: (f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x). f(x + h) h! h f(x + h)g(x + h) f(x)g(x) = h! h f(x) g(x + h) g(x + h) + f(x) g(x) = f (x)g(x) + f(x)g (x): h Co l otzioe i Leibiz, se y = f(x) e z = g(x) e se, y, z soo gli icremeti i itesimi i x, y, z, si h che yz è uo zero oppio rispetto e (yz) = (y + y)(z + z) yz = y z + z y + yz = y z + z y: 4

15 Quoziete h! f(x) g(x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g. (x) f(x + h)=g(x + h) h! h f(x + h) f(x) g(x) f(x) h g(x)g(x + h) y y + y y z = z + z z = Fuzioe compost: h! f(g(x + h)) g(x + h) Fuzioe ivers: g(x + h) g(x) h f(x)=g(x) = z(y + y) y(z + z) z(z + z) (f(g(x))) = f (g(x))g (x). h! = f (x)g(x) f(x)g (x) g : (x) = z y y z z : f(g(x + h)) f(g(x)) = h f(g(x)) g(x + h) g(x) = f (g(x))g (x): g(x) h y = y z z : f (f(x)) = =f (x). f (f(x)) = x; (f ) (f(x))f (x) = f (f(x)) = y = y= : (x) = : Se l rett tgete y = f(x) el puto (; f()) è y = f() + f ()(x ), l rett tgete y = f (x) el puto (f(); ) è y = + (x f()) =f (). Derivte i fuzioi elemetri: x = x exp(x) = exp(x) log(jxj) = x si(x) = cos(x) cos(x) = si(x) rct(x) = + x (x + h) x x = h! h exp(x + h) exp(x) = h! log(jxj) = h! si(x) = h! = x ( + h=x) h! h=x = x : exp(x) exp(h) = exp(x) = exp(x): h h! h log(jx + hj) log(jxj) = h x log(j + h=xj) = h! h=x x : si(x + h) si(x) cos(x) si(h) + si(x) cos(h) si(x) = h h! h = cos(x) h! si(h) h cos(h) si(x) h! h h = cos(x): h! 5

16 L erivt i cos(x) si clcol come quell i si(x). Presetimo comuque elle imostrzioi ltertive i lcue i queste formule. (log) (e x ) = e x ; log(x) = x : x = exp ( log(x)) = exp ( log(x)) x = x : cos(x) = si(x + =) = cos(x + =) = si(x): L tgete e l fuzioe ivers rcotgete: t(x) : ( =; =)! ( ; +) è crescete e h u fuzioe ivers rct(x) : ( ; +)! ( =; =). (rct) (t(x)) = t(x) = si(x) = cos(x) cos (x) : = cos (x) = + t (x) ; rct(x) = + x : Il seo e l fuzioe ivers rcoseo: si(x) : [ =; =]! [ ; ] è crescete e h u fuzioe ivers rcsi(x) : [ ; +]! [ =; =]. si(x) = cos(x): (rcsi) (si(x)) = cos(x) = q ; si (x) rcsi(x) = p x : Esercizi: Derivre y = x e y = x x. Clcolre l erivt seco i y = f (x) el puto f(x). Ricvre l formul i erivzioe el quoziete f(x)=g(x) = f(x) (g(x)) lle formule i erivzioe el prootto, ell fuzioe compost e elle poteze. Dimostrre che u fuzioe pri h u erivt ispri, e vicevers. Per quli vlori i e b l fuzioe f(x) = x + b se x, cos ( p è cotiu e erivbile? x) se x > Teorem (Fermt): I u puto i miimo o mssimo l erivt, se esiste, è zero. I u puto i miimo o mssimo l rett tgete l gr co ell fuzioe è orizzotle. f( + h) f() Dimostrzioe: Se è u miimo, f( + h) f() e h h il sego i h. Il ite el rpporto icremetle è egtivo o ullo se h!, e è positivo o ullo se h! +. Quii il ite, se esiste, è zero. I miimi e mssimi i u fuzioe vo uque cercti: ) ove l erivt si ull, ) ove l fuzioe o è erivbile, 3) gli estremi el omiio i e izioe. Per esempio, l fuzioe y = jxj h miimo i x =, ove c è u 6

17 golo. L fuzioe y = p x h u mssimo i x =, ove l erivt x= p x si ull, e ue miimi i x =, gli estremi el omiio. Esercizi: Trovre il puto sull prbol y = x più vicio (; ). L istz el puto (x; x ) (; ) è p x + x + x 4. Quest fuzioe è e it per ogi x e per poter pplicre il teorem sull esistez ei miimi occorre restrigerl u itervllo chiuso e itto. È eviete se x < o se x > l istz i (x; x ) (; ) è mggiore i, metre se x = e x = quest istz è e se x = = è p 5=6 <. Quii il miimo ell fuzioe istz esiste e è i x, zi è strettmete itero questo itervllo e per l su ricerc si può pplicre il teorem i Fermt. L erivt i p x + x + x 4 si ull quo 4x 3 + x =. Poiché l fuzioe f(x) = 4x 3 + x è crescete co f() = e f() = 4, c è u solo zero e è tr e e questo zero è il puto i miimo cercto. D f(=) = = si euce che lo zero è tr / e. D f(3=4) = 9=6 si euce che lo zero è tr / e 3/4... Il seguete problem è stto posto el 547 Ferrri Trtgli i u cotes sulle equzioi i terzo gro: Diviere 8 i ue prti e b i moo che il prootto b ( b) risulti mssimo. Se è l prte più gre e b = x l più piccol, si chiee i trovre il mssimo ell fuzioe b( b) = x(8 x)(8 x) i x 4. Osservimo che sst y l equzioe y = x(8 x)(8 x) h u o ue o tre soluzioi x e i vlori miimi e mssimi che ssume l fuzioe soo quelli che o ue soluzioi. Quii si può risolvere il problem i mssimo se si coosce l formul risolutiv elle equzioi i terzo gro. Il problem è molto più semplice se si cooscoo le erivte. L erivt i x(8 x)(8 x) è 64 48x + 6x e si ull i 4 4= p 3. Dl sego ell erivt si euce immeitmete che 4 4= p 3 è u mssimo e 4 + 4= p 3 u miimo. Tr i ciliri iscritti i u sfer i rggio R trovre quello i volume mssimo. Se l ltezz el ciliro è x, il rggio i bse è p R x, il volume x R x e il mssimo cercto è i x = R= p 3. Teorem (Rolle): Se f(x) è cotiu i x b e erivbile i < x < b e se f() = f(b), llor esiste u puto < c < b co f (c) =. Dimostrzioe: Per il teorem i Weierstrss l fuzioe h mssimo e miimo. Se gli estremi ell itervllo soo cotemporemete puti i mssimo e miimo, l fuzioe è costte e l erivt è zero. Se o il mssimo o il miimo è itero ll itervllo, per il teorem i Fermt i questo puto l erivt si ull. Teorem (ell icremeto ito i Lgrge): Se f(x) è cotiu i x b e erivbile i < x < b, esiste u puto < c < b co f(b) f() = b f (c). L rett secte i (; f()) e (b; f(b)) è prllel u rett tgete l gr co ell fuzioe. Dimostrzioe: Sottrimo ll fuzioe l rett secte: 7

18 F (x) = f(x) f() + f(b) b f() (x ) : Si h F () = F (b) e, per il teorem i Rolle, F (c) =. Teorem (ell icremeto ito i Cuchy): Se f(x) e g(x) soo cotiue i x b e erivbili i < x < b, co g (x) 6=, esiste u puto < c < b co f(b) f() g(b) g() = f (c) g (c). Dimostrzioe: Poeo H(x) = (g(b) g())f(x) (f(b) f())g(x), si h H() = H(b) e, per il teorem i Rolle, H (c) =. Osservimo che se g(x) = x si riottiee il teorem ell icremeto ito i Lgrge. Corollrio: Se f (x) > l fuzioe è crescete e se f (x) < l fuzioe è ecrescete. Dimostrzioe: Per ogi e b esiste c tle che f(b) f() = (b )f (c). Se per ipotesi f (c) >, llor b > implic f(b) f() >. Corollrio: Se f (x) = l fuzioe è costte. I prticolre, ue fuzioi co l stess erivt i eriscoo per u costte. Dimostrzioe: Per ogi e b esiste c tle che f(b) f() = (b )f (c). Se f (c) =, llor f(b) = f(). Attezioe! Le ue ermzioi L erivt i u fuzioe costte è zero e Se u fuzioe h erivt zero llor è costte soo istite e ho imostrzioi i ereti. L prim ermzioe è ble, l seco u po meo. Per esempio l erivt i f(x) = rct(x) + rct(=x) è ieticmete zero, quii l fuzioe è costte. Poeo x = si euce che quest costte è =. Come ltro esempio risolvimo l equzioe i erezile y(x) = y(x). U soluzioe è y(x) = e le ltre si ottegoo osservo che se y(x) 6=, llor (log(jy(x)j) x) = y(x)=y(x) =, log(jy(x)j) = c + x, y(x) = e c e x. U ppliczioe sic: Se s(t) è l posizioe l tempo t i u corpo soggetto ll forz i grvità, l somm ell eergi cietic m s(t) = e potezile mgs(t) è costte. Iftti, s(t) t C mgs(t) A = ms(t) s(t) g = : Teorem (DeL Hôpitl): Se f(x) e g(x) soo cotiue e erivbili i x >, co x!+ f(x) = x!+ g(x) =, il ite x!+ f(x)=g(x) è u form ietermit =. M se g (x) 6= e se x!+ f (x)=g (x) esiste, llor che x!+ f(x)=g(x) esiste e questi ue iti soo uguli. 8

19 Esistoo risultti loghi per ltre forme i iecisioe, f(x)! e g(x)!, x!,... Dimostrzioe: Per semplicità imostrimo il teorem ell ipotesi f(x) e g(x) cotiue e erivbili i x, co f() = g() = e g () 6=. I questo cso, f(x) g(x) = f(x) f() f(x) f() x = g(x) g() x g(x) g()! f () g () : Per imostrre il teorem sez l ipotesi i erivbilità el puto, si può usre il teorem ell icremeto ito i Cuchy. Attezioe! Il teorem ell Hôpitl o si pplic iti che o soo forme i iecisioe. Per esempio x!+ x= cos(x) 6= x!+ = si(x). Cofroti i i itesimi e i iti: I logritmi crescoo più letmete elle poteze, x!+ x " = log(x) = + per ogi " >, e le poteze crescoo più letmete egli espoezili, x!+ x =x = + per ogi > e ogi itero. Iftti, x!+ x x!+ x = x " log(x) = x!+ "x " x!+ =x = " x!+ x" = +; log() x log () x x = ::: = x!+! = +: x " ecresce più velocemete i quto log(x) cresce quo x! +, x!+ x " log(x) =. L lgoritmo i Newto per il clcolo umerico egli zeri i u fuzioe: Si sostituisce ll fuzioe y = f(x) l rett tgete y = f() + f ()(x ) e si sostituisce llo zero ell fuzioe f(x) = lo zero ell rett f() + f ()(x ) =, cioè x = f()=f (). Prteo u puto = () si ottiee così u successioe (+) = () f(())=f (()) che, sotto opportue ipotesi, coverge molto velocemete llo zero cercto. Applico il metoo i Newto ll fuzioe x A si ottiee l lgoritmo i Eroe per il clcolo ell rice qurt. Per clcolre p A, si poe g(x) = x + A e, scelto u rbitrrio () > p A, si e isce ricorsivmete ( + x ) = g(()). L successioe f()g coverge velocemete p A. Iftti, ( + ) p A = g(()) g( p A) = g (c)(() p A): Osservimo or che g (c) < =, quii ogi psso l errore si riuce i più ell metà. Azi, g ( p A) = si ricv che l errore ecresce cor più velocemete. Se F (x; y; :::) è u fuzioe i più vribili e se le ssimo tutte meo u, otteimo elle fuzioi i u sol vribile cui possimo pplicre 9

20 l operzioe i erivzioe. De imo così le erivte przili: F (x + h; y; :::) F (x; y; :::) >< F (x; y; :::) = h! F (x; y + h; :::) F (x; y; :::) >: F (x; y; :::) = ; h! h Più i geerle, si può e ire l erivt ell irezioe i (; b; :::), F (x + h; y + hb; :::) F (x; y; :::) h! F (x; y; :::) + F (x; y; :::) + L equzioe el pio tgete ll super cie z = F (x; y; :::) el puto (; b; :::; F (; b; :::)) è + z = F (; b; F (; b; :::)(x ) F (; b; :::)(y ) + L formul i Tylor per fuzioi i ue vribili z = F (x; G (t) = F ( + t (x ) ; b + t (y b)); G() = G() G() + G() + F (x; y) = F (; F (; b)(x ) F (; F (; b)(x @ F (; b)(x )(y ) + F (; b)(y Se F (x; y; :::) h u miimo o u mssimo i (; b; :::), llor l fuzioe x! F (x; b; :::) h u miimo o u mssimo i x =, y! F (; y; :::) h u miimo o u mssimo i y = b,... Quii ei puti i miimo o mssimo iteri l omiio ell fuzioe le erivte przili si ullo. I miimi e mssimi vo uque cercti ove tutte le erivte przili si ullo, ove l fuzioe o è erivbile e gli estremi el omiio i e izioe. Il metoo ei miimi qurti: Suppoimo i vere u isieme i ti ccoppiti (x ; y ), (x ; y ),..., (x ; y ),..., che possimo immgire come u uvol i puti el pio, e cerchimo u rett y = mx+q che si vvicii il più possibile tutti questi puti. U possibile rispost l problem è t ll rett che ree miim l somm egli scrti qurti F (m; q) = X j= (y j mx j q). Derivimo rispetto m e q, + ::: 8 >< F (m; F (m; q) X j= X X X x j (y j mx j q) = x j y j + x j m + X x j q; j= j= j= j= j= j= X X (y j mx j q) = y j + x j m + q:

21 Uguglio zero le erivte, si ottiee u sistem i ue equzioi elle ue icogite m e q. L soluzioe el sistem etermi l rett ei miimi qurti. Esempio: Tr tutti i trigoli i perimetro P trovre quello i re mssim. Se i lti soo x, y, z, e se x + y + z = P, l re è p P (P x) (P y) (P z). Posto z = P x y, il qurto ell re è P (P x) (P y) (x + y P ). Le erivte przili si ullo P x) (P y) (x + y P ) = P (P y) (P x y) = P x) (P y) (x + y P ) = P (P x) (P x y) = : Quii le erivte si ullo per x = y = z = P=3. equiltero! Il trigolo è ST UDI DI F UNIONI Per stuire u fuzioe si può cercr i pplicre il protocollo seguete: ) Isieme i e izioe, immgie, evetuli simmetrie e perioicità, evetuli iscotiuità. Può che essere sigi ctivo etermire le itersezioi co gli ssi e il sego. ) Limiti ll frotier e evetuli sitoti. A questo puto si ovrebbe già vere u ie qulittiv el gr co, iftti molte fuzioi soo i certo seso crtterizzte lle loro sigolrità, che si trovo i solito gli estremi el omiio i e izioe. 3) Derivt, sego ell erivt, evetuli miimi e mssimi. 4) Derivt seco, cocvità, covessità, essi. 5) Gr co qulittivo y = f(x). Esempio: y = x p jlog(x)j. Domiio fx > g. Immgie fy g. eri fx = g, questo puto è u miimo ssoluto. x!+ y = +, x!+ y = +, l fuzioe v ll i ito più velocemete i ogi rett y = mx + q, quii y o ci soo sitoti. = log(x) +. L erivt tee ll i ito i = jlog(x)j x = ; e si ull i x = = p e, prim i questo puto l erivt è positiv y e opo egtiv, il puto è u mssimo reltivo. = log(x) 4x jlog(x)j. I 3= < x < e < x < p e l fuzioe è cocv e i x > p e covess. Il puto x = è u cuspie e il puto x = p e u esso. Esempio: y = si(x) ( si(x)). Domiio f < x < +g. Perioicità. Immgie f 3 y =8g. eri fx = ; =6; 5=6; g. y = cos(x) ( 4 si(x)). Miimi fx = =; 3=3g e mssimi fx = rcsi(=4); rcsi(=4)g. INT EGRALI

22 Se si vuole misurre l re i u cert regioe, l si ricopre co qurti i lto u metro (per esempio) e poi si coto i qurti. Per u misur più precis si possoo usre qurti i u ecimetro quro, e per u precisioe mggiore si possoo usre i cetimetri qurti... Il metoo i esustioe per misurre u regioe rbitrri è l pprossimzioe i quest regioe co ltre che si so misurre. L re i u rettgolo è bse per ltezz. U isieme è misurbile se può essere pprossimto l i etro e l i fuori co poligoi uioe i rettgoli isgiuti. Se le ree ei poligoi iteri e esteri soo u coppi i clssi cotigue, l elemeto seprtore è l re ell isieme. De izioe ituitiv i itegrle b f(x): È l re ell regioe eitt ll curv y = f(x) e lle rette x =, y =, x = b. L otzioe è i Leibiz: Diviimo l regioe sotto l curv i tti rettgoli i ltezz f(x) e bse i itesim, l re i u rettgolo è f(x) e l re ell regioe è l somm S = R b i tutte queste ree i itesime. Il metoo ei rettgoli per il clcolo pprossimto i u itegrle: Diviimo [; b] i = x y x y ::: x = b e clcoo l somm elle ree ei rettgoli i bse [x j ; x j+ ] e ltezz f(y j ), b X f(x) f(y j ) (x j+ x j ) : j= Se i puti fx j g soo equiistti, x j = + j(b )=, e se y j = x j, b f(x) b X f + j b : Il metoo ei trpezi per il clcolo pprossimto i u itegrle: Ivece ei rettgoli, si può pprossimre l re co trpezi, b X f(x) f + j b + f + (j + ) b b j= = f() + f(b) X + f + j b A : j= j= Esempi: Co il metoo ei rettgoli e ei trpezi clcoo Rettgoli : T rpezi : b b X j= j b = b3 X + b X + j= j= j b j = b3 3 b b 3 + b3 6 ; A = b3 3 + b3 6 : x.

23 Per! + etrmbe le espressioi teoo b 3 =3, che è il vlore ell itegrle. Osservimo però che el metoo ei trpezi l covergez è più veloce che el metoo ei rettgoli. Co il metoo ei rettgoli clcoo b X jb= = b j= b x : b b=! b log() : I questi esempi bbimo e ito l itegrle i u fuzioe come il ite elle ree ei rettgoli. Ache se questo è molto itiutivo e sostzilmete corretto, co u e izioe i itegrle u poco più complict le imostrzioi ei teoremi risulto più semplici. De izioe: L fuzioe crtteristic I (x) i u itervllo I è l fuzioe che vle uo ell itervllo e zero l i fuori. U fuzioe X semplice è u fuzioe che pree solo u umero ito i vlori, c j Ij (x). j= L itegrle i u fuzioe crtteristic è l misur ell itervllo e, più i geerle, l itegrle i u fuzioe semplice è b X c j Ij (x) = j= X c j ji j \ [; b]j : Ituitivmete, il gr co i u fuzioe semplice è costte trtti e si può visulizzre come u isieme i rettgoli e l itegrle è l re i questi rettgoli. De izioe i itegrle i Riem: Gli itegrli iferiore e superiore i u fuzioe itt e it su u itervllo itto soo ( b ) b f(x) = sup g(x) : g(x) semplice e g(x) f(x) ; b j= ( ) b f(x) = if h(x) : h(x) semplice e h(x) f(x) : L itegrle iferiore è miore o ugule ll itegrle superiore e u fuzioe è itegrbile se questi ue itegrli iferiore e superiore soo uguli. I prticolre, u fuzioe f(x) è itegrbile i [; b] se per ogi " > esistoo ue fuzioi semplici g(x) f(x) h(x) co b (h(x) g(x)) < ". Le fuzioi itegrbili soo quelle che possoo essere pprossimte sotto e sopr fuzioi semplici. U esempio i fuzioe o itegrbile è l fuzioe f(x) ugule per x rziole e ugule per x irrziole. Iftti se g(x) 3

24 f(x) è semplice, llor g(x) e llor h(x) e b f(x) = b. b f(x) =. Se h(x) f(x) è semplice, Teorem: Le fuzioi mootoe soo itegrbili. Dimostrzioe: U fuzioe mooto crescete i ogi itervllo x j x x j+ può essere pprossimt l i sotto e l i sopr lle costti f (x j ) f (x) f (x j+ ). Se x j = + j(b )=, b X f j= b + j b f(x) b b f(x) f(x) b f(x) b (b ) (f(b) f()) X f j= + j b! se! +: Teorem: Le fuzioi cotiue soo itegrbili. Pseuo imostrzioe: Se u fuzioe h u umero ito i mssimi e miimi, è possibile iviere l itervllo itegrzioe i sottoitervlli ove l fuzioe è mooto. A questo puto bst pplicre il teorem preceete. Proprietà ell itegrle: Aitività: b f(x) + c b f(x) = Cofroto: Se f(x) g(x) llor Lierità: b b (f(x) + g(x)) = c f(x). f(x) b b f(x) + g(x). b g(x). Queste proprietà soo immeitmete veri cte se f(x) e g(x) soo fuzioi semplici. Le fuzioi itegrbili soo iti i fuzioi semplici e le proprietà vegoo ereitte i iti. L itività è chirmete ver se b c e rime ver per ogi, b, c, se si e isce b Teorem ell mei: Se f(x) è itegrbile, (b ) if ff(x)g b f(x) = b f(x). f(x) (b ) sup ff(x)g : Ioltre, se f(x) è cotiu esiste c b tle che ; b b f(x) = f(c): 4

25 Dimostrzioe: Si h if ff(x)g f(x) sup ff(x)g e itegro si ottiee l prim prte el teorem. I prticolre f(x) è u vlore b b compreso tr if ff(x)g e sup ff(x)g e u fuzioe cotiu ssume tutti i vlori tr l estremo iferiore e superiore. b f(x) è il vlor meio ell fuzioe. b Teorem fometle el clcolo (Leibiz e Newto): ) L erivt è l operzioe ivers ell itegrle. Se f(x) è cotiu, x f(t)t = f(x): ) Se F (x) è u primitiv i f(x), cioè F (x) = f(x), x f(t)t = F (t)j x = F (x) F (): Dimostrzioe: ) Per l itività ell itegrle e il teorem ell mei, il rpporto icremetle ell fuzioe itegrle è x+h! x f(t)t f(t)t = x+h f(t)t = f(c): h h Il puto c è compreso tr x e x + h. Se h!, c! x e f(c)! f(x). Quii l erivt ell fuzioe itegrle esiste e è ugule ll fuzioe itegr. Osservimo che l ipotesi i cotiuità è stt ust ell esistez ell itegrle, per poter pplicre il teorem ell mei e per cocluere che f(c)! f(x) se c! x. ) Si h x f(t)t x F (x) = f(x) f(x) = : U fuzioe co erivt zero è costte, quii prticolre, se x = si ottiee x f(t)t =, quii c = f(t)t F (). F (x) = c. I Riimostrimo il teorem, utilizzo il teorem ell icremeto ito e il metoo ei rettgoli per il clcolo pprossimto i u itegrle. Se = x x ::: x = x e se F (t) = f(t), esistoo x j y j x j+ tli che X X F (x) F () = (F (x j+ ) F (x j )) = f(y j ) (x j+ j= j= x j ) b f(x): 5

26 Nell otzioe i Leibiz, se y = z=, llor y = z e l somm egli icremeti z è l i erez tr i vlori i z gli estremi ell itervllo i itegrzioe. Per clcolre u re y, bst trovre z tle che y = z=. x Clcoo l re i u trigolo rettgolo i cteti e b: b = x b b b = b=. Clcoo l re sotto u prbol: x = x 3 =3 b = b3 =3. Il teorem fuzio! De izioe: U primitiv o itegrle ie ito f(x) è u fuzioe che erivt à l fuzioe i prtez, f(x) = f(x). L itegrle è l iverso ell erivt. Attezioe! U fuzioe h u sol erivt. L primitiv ivece o è uic, m ue primitive i eriscoo solo per u costte. Se F (x) è u primitiv i f(x), tutte le ltre primitive soo ell form F (x) + c. Nel seguito, per questioi tipogr che, ci imeticheremo spesso i quest costte. Le fuzioi costruite compoeo fuzioi elemetri, poteze, espoezili, logritmi, seo e coseo,..., ho u erivt elemetre. Il vicevers o è sempre vero. Per esempio le fuzioi si(x)=x o exp( x ) soo elemetri m o ho u primitiv elemetre. I ogi cso, ogi fuzioe cotiu f(x) h u primitiv, l fuzioe itegrle x f(t)t. L ricerc i primitive è l iversioe ell operzioe i erivzioe, le regole i itegrzioe soo l iverso i quelle i itegrzioe. Primitive i fuzioi elemetri: x = x+ + cos(x) = si(x) x = log(jxj) si(x) = cos(x) b exp(x) = exp(x) + x = rct(x) L itegrzioe per prti è l iverso ell erivt el prootto, f (x)g(x) + f(x)g (x) = (f(x)g(x)) = f(x)g(x); f (x)g(x) = f(x)g(x) f(x)g (x): L itegrzioe per sostituzioe è l iverso ell erivt ell fuzioe compost, f (g(x))g (x) = f(g(x)) = f(x)g(x): 6

27 Per clcolre b F (g(x))g (x) si può pplicre l sostituzioe g(x) = t e g (x) = t che trsform f x bg i fg() t g(b)g, b F (g(x))g (x) = g(b) g() F (t)t: U fuzioe rziole è il quoziete i ue poliomi P (x)=q(x). Coosceoe gli zeri, si può scomporre Q(x) i fttori i primo gro e i secoo gro sez rici reli, Q(x) = c (x ) m (x ) m ::: x + b x + c x + b x + c ::: Questo permette i scomporre P (x)=q(x) i frzioi più semplici. Per opportui poliomi R(x), A i (x), B j (x), P (x) Q(x) = R(x) + X i A i (x) (x i ) mi + X j B j (x) (x + b j x + c j ) j : Ci si ricouce quii itegrre queste fuzioi rzioli più semplici e i segueti esempi soo tipici: Esempi: x 4 + x x 3 + x = x 3 + 3x + x x 3 + x + x = 8 < log (jx j) se = ; (x ) = (x ) : se 6= : x + b x + bx + c = log x + bx + c : = rct(x + b): + (x + b) x + x x + x + x + x + x + : x + + (x + )! : Esempi i itegrzioe per prti: x e x = x e x x e x = x e x x e x + ( ) x log(x) = x log(x) = (x ) log(x): x x e x = ::: 7

28 Esempi i itegrzioe per sostituzioe: x ; x = t; log() x = t; = log() t x + p x + = x = log() t log() x x ( x ) = log() t t (t ) log (jt j) log (jtj) t = = log (jx j) log (j x j) log() log() x + p x + ; x = t ; = tt; t + t + t + t p3 t t + t + t = = log t + t + p3 rct = p 3 + (t + )= p 3 t t + p = log x + p x + p3 rct 3 p x + p : 3 = Il prootto i ito i Wllis ::: =. Poeo I() = cos (t)t, si h I() = =, I() =, e itegro per prti, = = cos (t)t = si(t) cos (t) = + ( ) si (t) cos (t)t = = ( ) cos (t) cos (t)t = ( ) = cos (t)t ( ) = cos (t)t; I() = 3 I( ) = I( 4) = ::: I(k) = k k 3 k k ::: k k 4 ; I(k ) = k k 3 ::: 3 : Poiché cos (t) ecresce l crescere i, si h I(k + ) < I(k) < I(k ), k k k 4 k + k k 3 ::: 3 < k k 3 k k ::: < k k 4 k k 3 ::: 3 ; k k k k k 4 k + k k k 3 k 3 ::: 3 < < k k k k 4 k k k 3 k 3 ::: 3 : i f Co l sostituzioe x = R si(t) e = R cos(t)t che trsform f = t =g, si ottiee +R R R x = R + L equzioe i u semicerchio i rggio R è y = p R +R R p R x = R += = += = R x Rg cos + (t)t. x e l re el cerchio è cos (t)t = R (t + cos(t) si(t)) += = = R : 8

29 Ivece i clcolre l primitiv, si può itegrre cos (t) che osservo che per simmetri l re sotto cos (t) è ugule quell sotto si (t), e quii è l metà i quell sotto cos (t) + si (t), += = cos (t)t = += = cos (t) + si (t) t = += = t = : Per clcolre il volume ell sfer i rggio R, tgol fette. U fett è u ciliro co bse circolre i rggio p R z e ltezz i itesim z. Il volume i u fett è R z z e il volume ell sfer è l somm i questi volumi, +R R R z z = R z z 3 +R = 4 3 R 3 R3 : Ituitivmete l re ell sfer è il volume ell bucci iviso per l ltezz ell bucci: 4 3 (R + 4 h)3 3 R3 = 4R : h!+ h L erivt ell re el cerchio R è il perimetro el cerchio R, l erivt el volume ell sfer 4=3R 3 è l re 4R. De izioe i itegrle geerlizzto i fuzioi o itte o su itervlli o itti: Se f(x) è cotiu i x < b e x!b f(x) =, e imo l itegrle geerlizzto b f(t)t = x!b x f(t)t. è cotiu i x < +, e imo l itegrle geerlizzto Similmete, se f(x) + f(t)t = x x!+ f(t)t. Ovvimete il ite può che essere i ito o può o esistere. Esempi: + t t = x!+ t t = x x x!+ 8 >< t t = x x!+ x!+ >: 8 >< t t = >: x!+ x!+ x!+ x!+ = + se > ; log(=x) = + se = ; x = se < : x = se > ; log(x) = + se = ; x = + se < : 9

30 b Clcoo p. Il poliomio (x )(b x) ssomigli l (x )(b x) y poliomio (y + )( y) e p = rcsi(y). Cerchimo llor u sostituzioe y! x che m! e! y b. x = b y + b + ; = b b y; (x )(b x) = y ; b p = (x )(b x) y p = y rcsi(y)j = : L fuzioe gmm i Eulero (z) = + t z e t t: Se z > l itegrle geerlizzto esiste e itegro per prti si veri c che (z + ) = z (z). D quest equzioe fuziole e () = si ricv che (+) = ::: =!. SERIE DI P OT ENE Come i umeri ho uo sviluppo ecimle, cioè i serie i poteze i, così le fuzioi, lmeo quelle o troppo ptologiche, ho uo sviluppo i serie i poteze ell vribile x. Il prototipo è l serie geometric: x = + x + x + x 3 + ::: se jxj < : Sostitueo t e t x e itegro si ottegoo gli sviluppi i serie el logritmo e ell rcotgete, log( + x) = rct(x) = x x t + t = t + t = x x t + t t 3 + ::: t = x t + t 4 t 6 + ::: t = x x + x3 3 x x5 5 x :::; x :::; Poeo per esempio x = si ottiee = + =3 ::: = log() e =3 + =5 ::: = =4. Cerchimo i sviluppre u fuzioe f(x) i serie i poteze cetrte i u puto, f(x) = + (x ) + (x ) + (x ) 3 + ::: Per etermire,,,,..., si eriv più volte quest presut ietità e si sostituisce x, 3

31 f(x) = + (x ) + (x ) + (x ) 3 + :::; f() = ; f(x) = + (x ) + 3(x ) + :::; f () = ; f(x) = + 6(x ) + :::; f () = ; 3 3 f(x) = 6 + :::; f () = 6; ::: L formul i Tylor: f(x) = f() + f ()(x ) + f () (x ) + f () (x ) 3 + ::: 6 Osservimo che i primi ue termii y = f()+f ()(x ) o l equzioe ell rett tgete ll curv y = f(x) el puto (; f()). I primi + termii ell formul i Tylor o u pprossimzioe ell fuzioe co poliomi i gro i u itoro i. Sfortutmete l ugugliz tr fuzioe e serie i poteze o è sempre ver, m sotto opportue ipotesi ivet u teorem. Teorem (l formul i Tylor co il resto itegrle): Se f(x) è erivbile + volte e f (+) (x) è itegrbile, f(x) = X k= f (k) () (x ) k + k! x (x t) f (+) (t)t:! Dimostrzioe: De eo! = e k! = ::: k, si h (x t) k =k! = t (x t)k+ =(k + )! e itegro per prti, x x f(x) = f() + f (t)t = f() f (t)(x t)j x + (x t)f (t)t = f() f (t)(x t)j x x f (x t) x (t) (x t) + f (t)t = f() + f ()(x ) + f () (x ) + ::: + f () () (x ) +! x (x t) f () (t)t:! Teorem (l formul i Tylor co il resto i Lgrge): Se f(x) è erivbile + volte, esiste u puto < t < x tle che f(x) = X k= f (k) () (x ) k + f (+) (t) k! ( + )! (x )+ : Dimostrzioe: Bst pplicre ripetutmete il teorem ell icremeto X f (k) () ito i Cuchy lle fuzioi F (x) = f(x) (x ) k e G(x) = k= k! 3