FUNZIONE. Si scrive: A B f: A B x y=f(x) (si legge: f funzione da A in B) x f y= f(x)

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1 1 FUNZIONE Dati gli insiemi A e B, si definisce funzione da A in B una relazione o legge o corrispondenza che ad ogni elemento di A associa uno ed un solo elemento di B. Si scrive: A B f: A B f() (si legge: f funzione da A in B) f f() è la variabile indipendente o controimmagine di ; è la variabile dipendente o immagine di. L insieme A (in cui da ogni elemento deve partire una sola freccia) si chiama dominio o campo di esistenza. L insieme delle immagini si chiama codominio e si scrive : f(a) { f ( ) B / A } Esempio 1 A a 1 B D {a, b, c } f(a) {1, } D A f(a) B b c 3 L immagine di a è 1 e si scrive f(a)1 L immagine di b è e si scrive f(b) L immagine di c è e si scrive f(c) La controimmagine di 1 è a Le controimmagini di sono b e c La controimmagine di 3 non esiste Esempio Dati A {-, -1, 0, 1} e la funzione f:a Z definita dalla legge f() + 1, visualizzare la situazione con un diagramma a frecce e calcolare il dominio e condominio. Fra i vari tipi di funzioni sono particolarmente importanti le funzioni numeriche, in cui gli elementi del dominio e codominio appartengono ad insiemi numerici (N, Z, Q, R ). In particolare, tra le funzioni numeriche, giocano un ruolo di primo piano le funzioni in cui il dominio e codominio sono sottoinsiemi dell insieme R dei numeri reali: queste funzioni sono chiamate funzioni reali di variabile reale (funzioni reali, perché la loro immagine è contenuta in R; di variabile reale, perché il loro dominio è contenuto in R). Le funzioni reali di variabile reale vengono assegnate tramite una espressione analitica del tipo: f().. dove al posto dei puntini compare un espressione nella variabile.

2 Esempi + 3 da leggere uguale a +3 f() + 3 da leggere f di uguale a +3 Il metodo più utilizzato per rappresentare una funzione reale di variabile reale è il diagramma cartesiano, detto anche grafico della funzione. Quando viene assegnata l espressione analitica di una funzione reale di variabile reale, occorre immediatamente calcolare il suo dominio D, cioè l insieme dei valori che si possono assegnare alla variabile dipendente, in modo che l espressione non perda di significato. Nel calcolo del dominio è utile tenere presente le seguenti situazioni: f() polinomio il dominio è R A( ) f ( ) B( ) il dominio è formato dai valori che rendono B() 0 n f ( ) A( ) se n pari il dominio lo si ottiene ponendo A() 0 Esercizi sul calcolo dei domini. se n dispari il dominio è l insieme dei numeri reali R Funzioni particolari Funzione iniettiva Ad elementi distinti del primo insieme corrispondono elementi distinti del secondo insieme, cioè A, f ( ) f ( ) 1, 1 1 Funzioni suriettiva Per ogni elemento di B, esiste un elemento in A tale che l immagine f() è uguale a,cioè: B, A/ f ( ) Per poter stabilire se una funzione è suriettiva occorre sapere qual è il secondo insieme (poiché il codominio della funzione deve coincidere con il secondo insieme) Dalla definizione si intuisce che: - f(a) B, cioè che l insieme delle immagini coincide con B; - a tutti gli elementi di B devono arrivare frecce. - Ogni elemento di B ha almeno una controimmagine Funzione biiettiva Se è contemporaneamente iniettiva e suriettiva. Funzione inversa Se la funzione f: A B è biiettiva allora si può considerare la funzione inversa f -1 : B A.

3 3 Osservazioni I grafici di f e f -1 sono identici. Per determinare la funzione inversa basta calcolare in funzione di. Qualora si voglia, nella rappresentazione grafica, anche per f -1 la come variabile indipendente, si scambia la con la, ottenendo così f -1 (). Graficamente f -1 () si ottiene disegnando il grafico simmetrico di f() rispetto alla retta (bisettrice primo e terzo quadrante). Esercizio Data la funzione f : R R determinare il dominio e il codominio; verificare se f è iniettiva, suriettiva, biiettiva. Calcolare, se esiste, la funzione inversa; in caso contrario apportare le eventuali modifiche per renderla invertibile. 3 4 Esempi di funzioni: f()-3, f ( ), f ( ) 4 3 Funzione composta Date le funzioni f : D f I f e g : Dg Ig, se I f Dg allora esiste la funzione composta h g f : D f Ig tale che a associa h() g[f()]. La scritta g f si legge g composta f. D f I f f Ig f() g Dg h g[f()]h() Potrebbe succedere che solo una parte dell I f sia contenuta nel Dg, in tal caso per considerare la funzione composta occorrerà restringere il D f, cioè considerare la parte di D f la cui I f sia contenuta nel Dg. D f Dg Ig f f() g g[f()] I f restrizione del dominio immagine della restrizione del dominio (contenuta in Dg) In definitiva per poter considera la funzione composta deve essere I f Dg Φ

4 4 1) Funzione di proporzionalità diretta k k R0 e sono grandezze direttamente proporzionali e sono tali che il loro rapporto è costante, cioè: k Graficamente tale funzione rappresenta una retta passante per l origine degli assi e per disegnarla occorre trovare almeno due punti. La costante k si chiama coefficiente angolare o pendenza della retta e fornisce l informazione di quanto la retta è inclinata rispetto l asse positivo delle. Per trovare l angolo di inclinazione si usa la relazione tg α k. Esempio Data la funzione 3 Si trovano i punti: assegnando alla valori arbitrari si trovano i valori corrispondenti della come in tabella: I rapporti sono tutti uguali a 3 (coefficiente angolare) e sono grandezze direttamente proporzionali si è in presenza di una funzione di proporzionalità diretta. Per trovare l angolo che la retta forma con l asse positivo della si utilizza tg α e 3 tramite la calcolatrice, digitando la funzione inversa della tangente, si trova α. ) Funzione di proporzionalità inversa k k R0 e sono grandezze inversamente proporzionali e sono tali che il loro prodotto è costante, cioè: k

5 5 Graficamente tale funzione rappresenta una curva costituita da due rami separati, detta iperbole equilatera. k<0 k>0 Dal grafico si vede che le curve si avvicinano sempre di più agli assi cartesiani senza mai toccarli; per tale motivo gli assi cartesiani si chiamano asintoti. Esempio Data la funzione Si trovano i punti: assegnando alla valori arbitrari si trovano i valori corrispondenti della come in tabella: / 1/ 4 1 I prodotti sono tutti uguali a e sono grandezze inversamente proporzionali si è in presenza di una funzione di proporzionalità inversa. 3) Funzione lineare Rappresenta una classe più generale delle funzioni di proporzionalità diretta. m + q m, q R Il grafico è una retta generica. L equazione m + q si dice equazione della retta informa esplicita m è il coefficiente angolare o pendenza della retta e fornisce l informazione di quanto la retta è inclinata rispetto l asse positivo delle. Per trovare l angolo di inclinazione si usa la relazione tg α m. q è l ordinata all origine, cioè l ordinata del punto in cui la retta incontra l asse. Esempio Rappresentare graficamente la funzione: 3-4

6 6 4) Funzione modulo 0 Dalla definizione di modulo si ha: < 0 5) Funzione parte intera [ ] Rappresenta la parte intera di un numero decimale. [ 3,4 ] 3 [ 0.8 ] 0 [ -,4 ] - 6) Funzione mantissa m () Rappresenta la parte decimale di un numero decimale. m (,3) 0.3 m(-,4) - 0,4 m(1.0) 0 m(.0) 0 FUNZIONI PARI E DISPARI Per verificare se una funzione è pari e dispari si calcola f(-): Se f(-) f() Se f(-) - f() allora la funzione è pari, cioè il suo grafico è simmetrico rispetto l asse allora la funzione è dispari, cioè il suo grafico è simmetrico rispetto l origine degli assi FUNZIONI A TRATTI

.y 6. .y 4. .y 5. .y 2.y 3 B C C B. B f A B f -1

.y 6. .y 4. .y 5. .y 2.y 3 B C C B. B f A B f -1 Funzioni FUNZIONI Una funzione è una relazione fra due insiemi non vuoti e, che associa ad ogni elemento uno e un solo elemento. In simboli si scrive: = oppure. x 1. x..y B C.y 5 x 4..y 4 L elemento è

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