Le successioni: intro

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2 Le successioi: itro Si cosideri la seguete sequeza di umeri:,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34, 55, 89, 44, 233, detti di Fiboacci. Essa rappreseta il umero di coppie di coigli preseti ei primi 2 mesi i u allevameto! Si cosideri la sequeza otteuta dividedo ogi elemeto per il precedete:, 2, ,,, ovvero:, 2,.5,.,.6,.625,... I valori otteuti si avviciao alla sezioe aurea:,

3 Le successioi: formalizzazioe Defiizioe Ua successioe è ua fuzioe che associa ad ogi elemeto di N u umero reale, è cioè ua fuzioe reale defiita su N: f: N R f = a a Si deota co a N a a a Spesso le successioi soo defiite da u certo itero 0 i poi, cioè il loro domiio è del tipo N 0. I tal caso, si scrive: a 0 3

4 Successioi : rappresetazioe grafica Ache le successioi possoo essere rappresetate sul piao cartesiao, sull'asse delle ascisse vegoo riportati i valori di, su quella delle ordiate ivece gli a. Il grafico è quidi costituito da ua serie di puti isolati; i figura è riportato l'esempio della successioe aturale dei umeri dispari 4

5 Le successioi: esempi Esempio. Si cosideri la successioe: al crescere di la frazioe, che assume valori positivi, si avvicia sempre di più al umero 0. Esempio 2 Si cosideri la successioe: Al crescere di la poteza assume valori sempre più gradi Esempio 3 Si cosideri la successioe : a a 0 () a Al variare di i valori soo alterativamete + e. 5

6 a = / a = ( ) ICD (Bari) Aalisi Matematica

7 Le successioi I tre esempi precedeti esibiscoo i tre diversi comportameti di ua successioe: covergete, divergete ed oscillate. Studiare ua successioe equivale ad idividuare il comportameto al crescere di ovvero al tedere di verso 7

8 Successioi umeriche: limitatezza Defiizioe Ua successioe a si dice limitata iferiormete se esiste m R a m, N; limitata superiormete se esiste M R a M, N; limitata se esistoo m, M R m a M, N. L'operazioe di limite cosete di studiare il comportameto dei umeri a quado diveta sempre più grade. Defiizioe Ua successioe a si dice che possiede defiitivamete ua proprietà se esiste u N N tale che a soddisfa quella proprietà N 8

9 Successioi covergeti Defiizioe Ua successioe a si dice covergete se esiste u umero reale l R co questa proprietà: qualuque sia ε > 0 risulta defiitivamete I altre parole: a l < ε ε > 0, N N a l < ε, N. Defiizioe Sia a ua successioe covergete. Il umero reale l che compare ella defiizioe precedete si chiama limite della successioe a. Si scrive lim a = l oppure a l per 9

10 Si oti che dalle proprietà del valore assoluto, la disuguagliaza a l < ε equivale a l ε < a < l + ε Duque la codizioe di covergeza sigifica che, fissata ua striscia l ε, l + ε comuque stretta, da u certo idice i poi i puti della successioe o escoo più da questa striscia. Da questa osservazioe risulta che: Ogi successioe covergete è limitata. Teorema di uicità del limite Ua successioe covergete o può avere due limiti distiti 0

11 Successioi divergeti Defiizioe Sia a ua successioe. Si dice che a diverge a + se M > 0 si ha a > M defiitivamete e si scrive lim + a = + Si dice che a diverge a se M > 0 si ha a < M defiitivamete e si scrive lim + a = Esempi

12 Isiemi o limitati Defiizioe Sia E R Se E o è limitato superiormete si dice che supe = + Se E o è limitato iferiormete si dice che ife = 2

13 Ifiiti e ifiitesimi Defiizioe Ua successioe si dice ifiitesima se lim + a = 0 Ua successioe si dice ifiita se lim + a = ± 3

14 Le successioi: mootoia Successioi che presetao ua regolarità ell evoluzioe della serie di termii, ovvero il successivo è sempre maggiore (miore) del precedete oppure uguale, vegoo dette mootoe. Defiizioe Ua successioe a si dice mootoa crescete se a a +, N; strettamete crescete se a < a +, N; mootoa decrescete se a a +, N; strettamete decrescete se a > a +, N; Teorema sul limite delle successioi mootoe Sia a ua successioe mootoa. Se a è mootoa crescete e superiormete limitata, allora a è covergete e lim a = sup a N Se a è mootoa decrescete e iferiormete limitata, allora a è covergete e lim a = if a N 4

15 Esempi Esempi di successioi cresceti e decresceti soo i segueti: La successioe a = 2 è ua fuzioe strettamete crescete La successioe a = / è strettamete decrescete. 5

16 Successioi: operazioi coi limiti A) B) C) D) lim lim a b lim a lim b a b lim a lim b a lim b lim lim a b lim a b lim lim b a 6

17 Successioi: poliomi Si cosideri la successioe il cui termie geerico è rappresetato da u poliomio di grado h i : Esempio 4: a 0 h h... h Raccogliedo la poteza di grado più elevato i si ha: a lim a lim 2 (2 ) ( 200) 2 I geerale si ha: lim a sig( 0 ) 7

18 Successioi: rapporto tra due poliomi U successioe ella quale il termie geerico è dato dal rapporto di due poliomi assume l espressioe: A) h>k B) h=k C) h<k 8 k k k h h h a a a a

19 Rapporto tra poliomi i breve Cocludedo: A) se h>k la successioe è divergete a B) se h=k la successioe è covergete a C) se h<k la successioe è covergete a 0. sig ( ) 9

20 U altra forma idetermiata Per quato riguarda la successioe il cui termie geerico ha la forma: si preseta ua situazioe difficile solo se la base della poteza tede ad e l espoete tede all, perché si geera la forma idetermiata 20 p p p k k k h h h a

21 Il umero di Nepero Teorema La successioe defiita da è covergete a = +,co Si prova che a è strettamete crescete e limitata 2 a 4. Si scrive lim + = e Il umero di Nepero e è irrazioale e la sua rappresetazioe decimale iizia così:

22 Esempio Si cosideri la successioe Il calcolo del limite porta a: 22 a e e e a lim 2 2 lim

23 La successioe geometrica (di ragioe q) E la successioe q, per u fissato q R Si ha: lim q = + se q > se q = 0 se q < o esiste se q Se q >, q è mootoa crescete, illimitata superiormete. Se q =, q è costate. Se 0 < q <, q è mootoa decrescete. Se q <, q o è mootoa 23

24 Esempi a 5 9 lima 0 a 5 lima a (2) lima??? 24

25 Limiti e ordiameto Teorema di Permaeza del sego (prima forma) Se a a e a > 0 allora a > 0 defiitivamete Se a a e a < 0 allora a < 0 defiitivamete Teorema di permaeza del sego (secoda forma) Se a a e a 0 defiitivamete allora a 0 Se a a, b b e a b defiitivamete allora a b 25

26 Teorema del cofroto Se a b c defiitivamete ed esiste l R tale che a l, c l allora ache b l 26

27 Legame tra limiti di fuzioi e limiti di successioi Teorema pote Sia f ua fuzioe reale defiita el sottoisieme X di R, regolare el puto x 0 R di accumulazioe per X e sia x ua successioe di puti di X x 0 tale che lim x = x 0. Allora la successioe di umeri reali f x N composta per mezzo di f e di x N è ach essa regolare e ha lo stesso limite di f. Più schematicamete: lim f x = l x x 0 lim x = x 0 lim f x = l Vale ache il viceversa: Sia f ua fuzioe reale defiita el sottoisieme X si R e sia x 0 R di accumulazioe per X. Allora se, per ogi successioe x N di puti di X x 0 che abbia x 0 come limite, la successioe f x N è regolare e ha lo stesso limite l, la fuzioe f è regolare i x 0 e ha limite l 27

28 Serie umeriche Defiizioe Cosiderata la successioe di umeri reali a, a 2,, a i breve a N si defiisce serie umerica o, semplicemete serie, la sommatoria degli ifiiti termii a + a 2 +, +a che può essere scritta ella forma compatta = Se si cosidera la successioe S = a ; S 2 = a + a 2 ; S 3 = a + a 2 + a 3 ; S = a + a 2 + a a ;. Abbiamo costruito ua uova successioe S N il cui termie geerale S prede il ome di somma parziale -esima. Studiado il limite di tale somma si possoo verificare tre casi a 28

29 La serie coverge ed ha somma S lim S = S La serie diverge (positivamete o egativamete) lim S = ± La serie si dice idetermiata o oscillate lim S = o esiste 29

30 Criteri di covergeza Teorema Codizioe ecessaria affiché la serie = a coverga è che lim a = 0 Si osservi che la codizioe risulta solo ecessaria ma o sufficiete. Ciò vuol dire che ci permette di stabilire se ua serie diverge ma o se essa coverge Criterio di covergeza di Cauchy Codizioe ecessaria e sufficiete affiché la serie = a sia covergete è che ε > 0, ε : > ε, p, a + + a a +p < ε 30

31 Serie geometrica Come caso particolare iteressate studiamo la serie geometrica =0 di ragioe ρ R. La somma parziale eesima è: ρ = + ρ + ρ ρ + S = ρ ρ Per determiare il carattere della serie basta passare al limite Si distiguoo tre casi: lim ρ ρ lim ρ ρ =, se ρ <, la serie coverge ρ +, se ρ, la serie diverge o esiste, se ρ, la serie è idertermiata 3

32 Serie a termii positivi Ua serie è detta a termii positivi se tutti i suoi termii soo positivi (o, talvolta, o egativi). Ua serie a termii positivi o coverge o diverge positivamete ma o può mai essere idetermiata. Per tali serie valgoo i segueti criteri di covergeza Primo criterio del cofroto Se ua serie è covergete, allora ogi sua miorate è covergete. Se ua serie è divergete, allora ogi sua maggiorate è divergete. Se = a e = b soo due serie a termii positivi e se risulta a c b, essedo c ua costate positiva, allora si ha che: Se = b coverge a S b, allora = a coverge a S a ; Se = a diverge, allora ache = b diverge Secodo criterio del cofroto Due serie a termii positivi = a e = b hao lo stesso carattere se esiste fiito e o ullo il limite del rapporto dei loro termii geerali, ossia se: a lim = l 0 < b 32

33 Serie armoica geeralizzata I geerale, la cosiddetta serie armoica geeralizzata: =, co α R α Diverge se α 0 i quato il suo termie geerale o è u ifiitesimo per ; Diverge se 0 < α < i quato il suo termie geerale è miorato dal termie geerale della serie armoica α > Diverge se α = i quato si ottiee la serie armoica Coverge se α = 2 Coverge se α > 2 i quato il suo termie geerale è maggiorato dal termie geerale della serie armoica geeralizzata per α = 2: α < 2 Coverge se < α < 2 33

34 Covergeza per serie a termii positivi Criterio del rapporto o di D Alembert Data ua serie a termii positivi = a si suppoga che esista fiito il limite del rapporto tra due termii cosecutivi. Allora, <, la serie coverge a + lim = l =, ulla si può dire a >, la serie diverge Criterio della radice o di Cauchy Data ua serie a termii positivi = a si suppoga che esista e sia fiito il limite della radice -esima del suo termie geerale. Allora, <, la serie coverge lim a = l =, ulla si può dire >, la serie diverge 34

35 Serie a termii qualsiasi Diremo che ua serie è a termii qualsiasi se i suoi termii soo sia positivi che egativi. Tra tali serie, rivestoo u ruolo importate le serie a segi alteri, ossia serie i cui termii di posto pari soo positivi, metre quelli di posto dispari soo egativi o viceversa come, ad esempio: = = 2 = = Criterio di Leibitz Se i valori assoluti dei termii di ua serie a segi alteri costituiscoo ua successioe mootoa o crescete, cioè se a 0 a a 2 a e se il termie geerale coverge a zero per allora la serie coverge 35

36 Defiizioe Diremo che la serie =0 a = a 0 + a + + a + è assolutamete covergete se coverge la serie dei suoi valori assoluti, = a Teorema Se ua serie è assolutamete covergete, allora essa è ache covergete 36