COMPITI VACANZE ESTIVE 2017 MATEMATICA Scuola Media Montessori Cardano al Campo (VA)

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1 COMPITI VACANZE ESTIVE 2017 MATEMATICA Scuola Media Montessori Cardano al Campo (VA) Nel presente documento sono elencati gli esercizi da svolgere nel corso delle vacanze estive 2017 da parte degli studenti della Classe 1 sez. A Le prime schede offrono una panoramica sui vari argomenti affrontati nel corso dell anno, al fine di avere uno schema utile per svolgere gli esercizi ed effettuare un ripasso per poter iniziare il prossimo anno scolastico nel migliore dei modi. Le schede successive invece raccolgono una serie di esercizi di crescente difficoltà da seguire per fare un percorso di studio lineare. Per ogni scheda è presente una breve spiegazione teorica che integra quella presente su libro di testo Come già suggerito a scuola il mio suggerimento rimane quello di affrontare i vari argomenti nel corso dell intero periodo di vacanze al fine di evitare di accumulare tutte le nozioni negli ultimi giorni che invece possono essere utilizzati per un ripasso generale. Buone Vacanze Professore Ieluzzi Davide Andrea

2 SISTEMA DI NUMERAZIONE DECIMALE Il sistema di numerazione da noi usato è detto decimale ed è di tipo posizionale. I simboli del nostro sistema di numerazione sono detti cifre. Il sistema è detto decimale perché ha dieci simboli. È in base dieci perché servono dieci unità di un ordine per formare un unità dell ordine successivo. Le cifre 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0 sono utilizzate per scrivere i numeri nel sistema di numerazione decimale. Usando questi simboli è possibile comporre qualsiasi numero. In un numero, ogni cifra ha un suo valore caratteristico, il valore assoluto, e un valore relativo, che dipende dalla posizione occupata dalla cifra nel numero. 1 1 unità 10 1 decina 10 unità centinaio 10 decine migliaio 10 centinaia decina di migliaia 10 migliaia centinaio di magliaia 10 decine di migliaia milione 10 centinaia di migliaia decina di milioni 10 milioni centinaio di milioni 10 decine di milioni miliardo 10 centinaia di milioni decina di miliardi 10 miliardi centinaio di miliardi 10 decine di miliardi decine unità separatore decimale decimi centesimi millesimi 3 2, parte intera parte decimale ARITMETICA 1

3 OPERAZIONI E PROPRIETA' Addizione L addizione è l'operazione che, dati due numeri qualsiasi detti addendi, ne associa un terzo, detto somma o totale, ottenuto contando dopo il primo addendo tante unità quante sono quelle del secondo. Esempio: = Proprietà Enunciato Esempio L'addizione è un'operazione INTERNA nell'insieme dei numeri naturali Proprietà COMMUTATIVA Proprietà ASSOCIATIVA Proprietà DISSOCIATIVA ELEMENTO NEUTRO Dati due numeri naturali, la loro somma è un numero naturale Cambiando l'ordine degli addendi, la somma non cambia Sostituendo a due o più addendi la loro somma, il risultato dell addizione non cambia In un addizione sostituendo a un addendo due o più addendi la cui somma sia l addendo sostituito, il risultato non cambia. Addizionando zero ad un numero, si ottiene quel numero = 5 3, 2, 5 sono numeri naturali = = 5 (7 + 3) + 2 = = 29 + (10 + 3) = = 37 ARITMETICA 2

4 Sottrazione La sottrazione è l'operazione che a due numeri ne fa corrispondere un terzo che addizionato al secondo dà come risultato il primo. minuendo 12-8 = 4 sottraendo resto o differenza La sottrazione è l'operazione inversa dell'addizione La sottrazione non si può sempre eseguire nell'insieme dei numeri naturali (non è interna); si può eseguire quando il minuendo è maggiore o uguale al sottraendo. Proprietà INVARIANTIVA: aggiungendo o sottraendo (se possibile) uno stesso numero ai due termini di una sottrazione il risultato non cambia = = non si può eseguire = = 13 Esempio 8-5 = (8 + 5) - (5 + 5) = = = (8-5) - (5-5) = 3-0 = 3 ARITMETICA 3

5 Moltiplicazione La moltiplicazione è l'operazione che dati due numeri qualsiasi, detti fattori, ne associa un terzo, detto prodotto, ottenuto sommando il primo tante volte quante ne indica il secondo. Esempio: 7 x 3 = = 21 x Proprietà Enunciato Esempio La moltiplicazione è un'operazione INTERNA nell'insieme dei numeri naturali Proprietà COMMUTATIVA Proprietà ASSOCIATIVA Proprietà DISSOCIATIVA Proprietà DISTRIBUTIVA ELEMENTO NEUTRO ELEMENTO ASSORBENTE Dati due numeri naturali, il loro prodotto è un numero naturale Cambiando l'ordine dei fattori, il prodotto non cambia Sostituendo a due o più fattori il loro prodotto, il risultato della moltiplicazione non cambia In una moltiplicazione sostituendo a un fattore il prodotto di due o più fattori ad esso equivalenti, il risultato non cambia. Per moltiplicare un'addizione per un numero, si può moltiplicare ciascun termine dell'addizione per quel numero e poi addizionare i prodotti ottenuti Qualunque numero moltiplicato per 1 resta invariato Qualunque numero moltiplicato per 0 dà come prodotto zero 3 x 2 = 6 3, 2, 6 sono numeri naturali 3 x 2 = 2 x 3 = 6 (7 x 3) x 2 = 21 x 2 15 x 7 = (3 x 5) x 7 (13 + 5) x 2 = (13 x 2) + (5 x 2) 37 x 1 = 1 x 37 = x 0 = 0 x 37 = 0 ARITMETICA 4

6 Divisione La divisione è l'operazione che fa corrispondere a due numeri (il secondo diverso da zero), un terzo numero (se esiste) che moltiplicato per il secondo dà come risultato il primo. La divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione La divisione non si può sempre eseguire nell'insieme dei numeri naturali (non è interna) Proprietà INVARIANTIVA: il quoziente non cambia se si moltiplicano o si dividono (se possibile) entrambi i termini della divisione per uno stesso numero diverso da zero. 21 : 3 = 7 dividendo divisore quoziente 5 x 3 = : 3 = 5 Il quoziente di 12 : 5 non è un numero naturale Esempio: 150 : 30 = (150 : 10) : (30 : 10) = = 15 : 3 = 5 La proprietà invariantiva si applica per eseguire le divisioni in cui i termini sono numeri decimali CASI PARTICOLARI: 2,72 : 1,6 = (2,72 x 10) : (1,6 x 10) = = 27,2 : 16 = 1,7 se in una divisione il dividendo e il divisore sono uguali (ma diversi da zero), il quoziente è 1 se in una divisione il divisore è 1, il quoziente è uguale al dividendo se in una divisione il dividendo è uguale a zero, il quoziente è zero se in una divisione il divisore è uguale a zero, la divisione è impossibile se in una divisione il dividendo e il divisore sono uguali a zero, il quoziente è indeterminato 9 : 9 = 1 12 : 1 = 12 0 : 5 = 0 7 : 0 = IMPOSSIBILE 0 : 0 = INDETERMINATO ARITMETICA 5

7 ESPRESSIONI Un'espressione numerica è un insieme di numeri legati fra di loro dai simboli delle operazioni. 3 + ( ) x 3 1) se non compaiono parentesi: prima si eseguono moltiplicazioni e divisioni, nell'ordine in cui sono scritte dopo si eseguono addizioni e sottrazioni, nell'ordine in cui sono scritte : = = = = = = 41 2) se compaiono delle parentesi: prima si eseguono le operazioni dentro alle parentesi tonde (seguendo le regole del punto 1) si svolgono le operazioni dentro alle parentesi quadre si svolgono le operazioni dentro alle parentesi graffe quando in una coppia di parentesi (tonde, quadre o graffe) rimane un solo numero, le parentesi si eliminano {[(6 x 3 + 3) : 7 + 6] : 3 + 8} x 5 = = {[(18 + 3) : 7 + 6] : 3 + 8} x 5 = = {[21 : 7 + 6] : 3 + 8} x 5 = = {[3 + 6] : 3 + 8} x 5 = = {9 : 3 + 8} x 5 = = {3 + 8} x 5 = = 11 x 5 = = 55 ARITMETICA 6

8 ELEVAMENTO A POTENZA La potenza di un numero è il prodotto di tanti fattori uguali a quel numero (detto base) quanti ne indica l'esponente. PROPRIETA' DELLE POTENZE esponente 2 7 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128 base valore della potenza 1) Il prodotto di due o più potenze aventi la stessa base è una potenza che ha la stessa base e per esponente la somma degli esponenti. Esempio: 2 3 x 2 4 = = 2 7 2) Il quoziente di due potenze aventi la stessa base è una potenza che ha la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti. Esempio: 2 8 : 2 3 = = 2 5 3) La potenza di una potenza è una potenza che ha la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti. Esempio: (5 2 ) 3 = 5 2x3 = 5 6 4) Il prodotto di due o più potenze aventi lo stesso esponente è una potenza che ha lo stesso esponente e per base il prodotto delle basi. Esempio: 2 3 x 5 3 = (2 x 5) 3 = ) Il quoziente di due potenze aventi lo stesso esponente è una potenza che ha lo stesso esponente e per base il quoziente delle basi. Esempio: 12 2 : 3 2 = (12 : 3) 2 = 4 2 ARITMETICA 10

9 POTENZE PARTICOLARI: qualunque potenza con esponente uno è uguale alla base qualunque potenza con base uno è uguale a uno qualunque potenza con esponente zero e base diversa da zero è uguale a 1 qualunque potenza con base zero e esponente diverso da zero è uguale a 0 qualunque potenza con base zero ed esponente zero non ha significato 3 1 = = = = = non ha significato POTENZE DI = = = = = = = = 0, = 0, = 0,001 Scrittura polinomiale di un numero: rappresenta un numero ponendo in evidenza le unità dei vari ordini 21,607 = x x x x 10 3 Notazione scientifica di un numero: consiste nel prodotto di un numero decimale (mantissa), in cui la parte intera è costituita dalla prima cifra diversa da zero, per l'opportuna potenza di dieci = 1,23 x ,3 = 6,78 x ,0052 = 5,2 x 10-3 ARITMETICA 11

10 Ordine di grandezza di un numero: è la potenza di 10 che più si avvicina a quel numero ~ 10 3 infatti il numero è compreso tra e (1.000 < < ) ma è più vicino a = ~ 10 9 infatti il numero è compreso tra e ( < < ) ma è più vicino a = ARITMETICA 12

11 DIVISIBILITA' Un multiplo di un numero è il prodotto di quel numero per un numero naturale Dati a e b numeri naturali, se a è multiplo di b si può dire che: - a è divisibile per b (b 0) - b è un divisore di a 18 è multiplo di 6 (6 x 3 = 18) 18 è divisibile per 6 6 è un divisore di 18 CRITERI DI DIVISIBILITA' Un numero è divisibile per 2 se la cifra delle unità è pari. Un numero è divisibile per 3 (o per 9) se la somma delle sue cifre è multiplo di 3 (o di 9). Un numero è divisibile per 4 (o per 25) se le ultime due cifre a destra formano un numero multiplo di 4 (o di 25) oppure sono due zeri. Un numero è divisibile per 5 se la cifra delle unità è zero oppure 5. Un numero è divisibile per 10, 100, se le ultime cifre sono rispettivamente 1, 2, 3 zeri. I numeri 106, 190, 248, 512, 1284 sono divisibili per è divisibile per 3, infatti 9+1+2=12 e 12 è multiplo di è divisibile per 9, infatti =18 e 18 è multiplo di 9. I numeri 148, 772, 1284 sono divisibili per 4. I numeri 375, 1250, 7325, 8600 sono divisibili per 25. I numeri 70, 135, 2190, 6885 sono divisibili per è divisibile per è divisibile per 100 e per è divisibile per 1000, per 100 e per 10. Un numero è divisibile per 11 se la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e quella delle cifre di posto pari è un multiplo di 11 (0, 11, 22, 33...) è divisibile per 11 infatti: somma delle cifre di posto dispari = = 17 somma delle cifre di posto pari = = = 11 Un numero naturale (maggiore di 1) si dice primo se è divisibile solo per 1 e per se stesso Sono numeri primi: 7 (è divisibile solo per 1 e per 7), 19 (è divisibile solo per 1 e per 19), 23 (è divisibile solo per 1 e per 23) ARITMETICA 13

12 Un numero composto è un numero naturale che non è primo Scomporre un numero in fattori primi significa trovare i numeri primi il cui prodotto è uguale al numero dato. N.B. Ogni numero composto è rappresentato da una sola scomposizione in fattori primi. Il massimo comune divisore (M.C.D.) di due o più numeri è il maggiore dei loro divisori comuni. Due o più numeri si dicono primi tra loro se il loro M.C.D. è 1. Per calcolare il M.C.D. di due o più numeri: - si scompongono i numeri dati in fattori primi; - si moltiplicano tra loro i fattori primi comuni, ciascuno preso una sola volta con il minimo esponente con cui compare nella scomposizione. Il minimo comune multiplo (m.c.m.) di due o più numeri è il minore dei loro multipli comuni. Per calcolare m.c.m. di due o più numeri: - si scompongono i numeri dati in fattori primi; - si moltiplicano tra loro i fattori primi comuni e non comuni, ciascuno preso una sola volta con il massimo esponente con cui compare nella scomposizione. Sono numeri composti: 14 (è divisibile anche per 2 e per 7), 33 (è divisibile anche per 3 e per 11) 14 = 2 x 7 16 = 2 x 2 x 2 x 2 = = 3 x 5 18 = 2 x 3 x 3 = 2 x 3 2 M.C.D.(15; 25) = 5 D(15) = {1; 3; 5; 15} e D(25) = {1; 5; 25} 9 e 35 sono primi tra loro 9 = = 5 x 7 M.C.D.(48; 60) = 2 4 x 3 60 = 2 2 x 3 x 5 M.C.D.(48; 60) = 2 2 x 3 = 12 m.c.m.(6; 9) = 18 M(6) = {6; 12; 18; 24; 30; 36; 42;...} M(9) = {9; 18; 27; 36; 45; 54; 63;...} m.c.m. (18; 28) = 2 x = 2 2 x 7 m.c.m.(18; 28) = 2 2 x 3 2 x 7 = 252 ARITMETICA 14

13 FRAZIONI L'unità frazionaria è il simbolo che rappresenta una delle parti uguali in cui una grandezza (che si considera come intero) è stata divisa. La frazione è il simbolo che rappresenta una o più unità frazionarie uguali. Il denominatore indica in quante parti uguali è stata divisa l'unità. Il numeratore indica quante di queste parti uguali sono state considerate. Ogni frazione rappresenta il quoziente della divisione tra il numeratore e il denominatore. La frazione complementare di una frazione indica la parte mancante per arrivare all'intero. Applicare una frazione come operatore ad una grandezza significa dividere quest'ultima per il denominatore e moltiplicare il risultato per il numeratore. 1 6 numeratore 3 denominatore 8 (si legge tre ottavi) 3 8 = 3 : 8 = 0, è la frazione complementare di Calcolare i di 32 euro: 8 32 : 8 x 3 = 12 euro Sulla linea dei numeri le frazioni indicano nuovi punti ai quali corrispondono nuovi numeri chiamati numeri razionali. Due o più frazioni si dicono equivalenti se, applicate come operatore a una stessa grandezza, conducono allo stesso risultato. Sono frazioni equivalenti: 2 3 ; 4 6 ; 6 9 ; 8 12 ; Proprietà INVARIANTIVA delle frazioni: moltiplicando o dividendo (se possibile) i termini di una frazione per uno stesso numero diverso da zero, si ottiene una frazione equivalente a quella data. 4 7 = = 8 14 ; = 20 :4 24 :4 =5 6 ARITMETICA 15

14 Ridurre una frazione ai minimi termini significa trasformarla nella frazione equivalente avente i termini primi tra loro. Per ridurre due o più frazioni al minimo comune denominatore: 1) si riducono le frazioni date ai minimi termini; 2) si calcola il m.c.m dei denominatori delle frazioni ottenute; 3) si trasforma ciascuna frazione nella frazione equivalente avente per denominatore il m.c.m. trovato :5 = :5 = 9 :9 18 :9 = 1 2 La frazione termini 1 2 è ridotta ai minimi 20 Ridurre le frazioni 16 e 11 al 6 minimo comune denominatore: 20 1) la frazione non è ridotta ai minimi termini: 16 = 5 4 ; 2) m.c.m.( 4; 6) = 12; 3) 5 4 = e 11 6 = ARITMETICA 16

15 CALCOLO FRAZIONARIO La somma di due o più frazioni aventi lo stesso denominatore è una frazione che ha il denominatore delle frazioni date e per numeratore la somma dei numeratori. Per addizionare due o più frazioni che non hanno lo stesso denominatore - prima si riducono al minimo comune denominatore; - poi si applica la regola per l'addizione di frazioni aventi lo stesso denominatore = = = = = = = = Sottrazione di frazioni - con uguale denominatore - con diverso denominatore Il prodotto di più frazioni è una frazione che ha: - per numeratore il prodotto dei numeratori; - per denominatore il prodotto dei denominatori = = = = = = = = = La frazione inversa o reciproca di una frazione si ottiene scambiando il numeratore con il denominatore della frazione data. Il prodotto di due frazioni reciproche è uguale a 1. La frazione inversa di = è 4 13 Per dividere una frazione per un'altra (non nulla) si moltiplica la prima per l'inversa della seconda : = = Per elevare a potenza una frazione si elevano all'esponente di quella potenza entrambi i termini (numeratore e denominatore) della frazione. ( 5 2= 7) 52 7 = ARITMETICA 17

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