Intervalli di Fiducia

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1 di Fiducia Itroduzioe per la media Caso variaza ota per la media Caso variaza o ota per i coefficieti di regressioe per la risposta media i per i coefficieti i di regressioe multilieare - Media aritmetica Sio ad ora si soo cosiderati diversi stimatori putuali: per esempio la media Y è u oggetto il cui valore atteso coicide co il parametro cercato μ. D altrode l osservazioe di Y sarà (sempre) u po più grade o u po più piccola del valore vero o possiamo affermare che y è esattamete uguale a μ. Si potrebbe costruire u itervallo del tipo μ = y ± Δy i cui riteiamo molto otoprobabile ecada il valore vero di μ. Δy dipederà dall ampiezza delle fluttuazioi Y di Tale tipo di itervallo prede il ome di itervallo o itervallo fiduciario o itervallo di cofideza

2 di Fiducia Itroduzioe Determiare l itervallo di ua gradezza misurata θ, equivale alla determiazioe di due umeri θ e θ, tali che icludao il valore vero co certezza. Comuque, si è visto che o è possibile, da u campioe fiito di dati sperimetali, trarre delle coclusioi riguardo alla popolazioe che siao certe al % E possibile stabilire però u itervallo i cui il valore vero ha probabilità molto elevata (esempio: 95% o 99%) di cadere. 3 di Fiducia Procedura Si sceglie ua probabilità γ vicia a. Tale probabilità prede il ome di livello. Si determiao quidi due quatità Θ e Θ tali che la probabilità che Θ e Θ racchiudao il valore esatto Θ sia eguale a γ. L itervallo di estremi Θ e Θ si chiama itervallo e si idica co il simbolo: CONF { Θ Θ Θ } Θ 4

3 di Fiducia Procedura Scegliere γ = 95% equivale a dire che i preseza di u campioe di dati c è ua probabilità del 95% che il valore vero ricada ell itervallo determiato. La scelta di γ implica ua differete ampiezza dell itervallo di fiducia calcolato. All aumetare di γ, quale è il comportameto della larghezza dell itervallo? 5 della Media el caso di variaza ota. Sia dato u certo campioe di dati sperimetali y, y,..., Ipotesi: Tutte le gradezze misurate soo caratterizzate dalla stessa variabile aleatoria (eguale media e variaza) e soo idipedeti. La variaza della variabile aleatoria è ota (per esempio da pregresse misure) La media, ivece, è igota. y 6 3

4 di Fiducia Caso di variaza ota La determiazioe dell itervallo passa per i segueti puti:. Scegliere u livello γ. Calcolare il valore c tale che: 3. Calcolare F X ( c) F ( c) = γ dove F è la distribuzioe cumulativa della ormale di tipo stadard, ovvero X ~ N(,) X k = cσ. L itervallo per la popolazioe sarà: { y k μ y k} cof + 7 di Fiducia Caso di variaza ota Gli campioi dei dati sperimetali possoo essere visti come sigole osservazioi della stessa variabile aleatoria Y (co eguale distribuzioe, eguale variaza, eguale media). La variabile media del campioe è quidi ua variabile aleatoria di media μ e variaza σ /. La variabile aleatoria Y X = σ ~ N μ, Y μ σ È ua variabile aleatoria ormale di tipo stadard. ~ N(,) 8 4

5 di Fiducia Caso di Variaza Nota Il valore y è quidi u valore osservato della variabile Y Determiiamo iazitutto il valore di c tale che ( c X c) = γ Questa ieguagliaza può essere scritta come: P P c Y μ σ c = γ 9 di Fiducia Caso di Variaza Nota Da cui: σ σ P c Y μ c = γ Co qualche passaggio si ottiee ifie: dove ( k μ Y + k) = γ P Y σ k = c Questo passaggio merita u po di attezioe! (riflettere sulle VA i gioco) La relazioe di prima si legge: La probabilità che il valore vero della media μ sia racchiuso i u itervallo cetrato sulla stima Y co uo spessore k è pari a γ 5

6 - Media aritmetica Caso Variaza a priori ota Importate: Nella diseguagliaza μ è sempre costate. È l itervallo che varia co il campioe. Per chiarire il cocetto, si cosideri il caso (poco realistico) i cui si abbia la coosceza della popolazioe i termii di media e variaza. La popolazioe sia, per esempio, di tipo Gaussiao co media e variaza: μ Y σ Y = 69 = 3.3 Si prelevi da questa popolazioe u campioe di elemeti per cui la variabile aleatoria media sia: μ Y σy = 69 σy = =. N - Media aritmetica Caso Variaza a priori ota Se uo statistico ripete il calcolo dell itervallo più volte (ovviamete su campioi differeti): calcolati Solo ua volta su l itervallo o racchiude il valore vero 6

7 di Fiducia Caso di Variaza Nota L itervallo rappreseta u itervallo di umeri reali i cui ricada il valore vero della media (μ), co ua probabilità pari al 95%. Nel caso i cui l itervallo sia del 99%, l itervallo è più grade o più piccolo di quello determiato precedetemete? Quale sarebbe l itervallo di cofideza per u livello γ del %? 3 - Media aritmetica Caso Variaza a priori ota All aumetare del umero di prove, la variaza della media aritmetica (ovvero l icertezza ella stima) decresce L itervallo di valori i cui soo più ricorreti le stime per la media aritmetica si restrige: N > N. σ = Y σ N. σ = Y σ N μ c μ μ+c μ c μ μ+c 7

8 - Media aritmetica Caso Variaza a priori ota Come valutare lo spessore c dell itervallo La costate c γ può essere valutata dalla seguete probabilità: P ( c < Z < c ) = γ γ Essedo Z la variabile aleatoria Gaussiaa stadard (di media e variaza ) γ.5 Valori tipici di c γ per differeti livelli γ γ c γ γ=.95 γ=.99 - Media aritmetica Caso Variaza o ota Il calcolo dell itervallo emerge i maiera aturale dalla atura Gaussiaa dello stimatore media aritmetica Tale derivazioe è possibile grazie alla coosceza pregressa della variaza dell errore sperimetale Nella realtà, questo è raramete possibile e si coosce solo ua stima della variaza dell errore sperimetale: s = N ( y i y) i = Tale evetualità implica u ulteriore sorgete di icertezza da teere i coto el calcolo dell itervallo I maiera ituitiva, dovremmo cosiderare degli itervalli più ampi di quelli registrati el caso di coosceza della variaza 8

9 della Media Caso di Variaza o ota. I passi per la determiazioe dell itervallo soo i segueti:. Scegliere u livello γ. Calcolare il valore c tale che: F T () c = ( + γ) Dove F T (y) è la fuzioe di distribuzioe cumulativa della T di studet ad (-) gradi di libertà 3. Calcolare la media y e la variaza s del campioe dei dati 4. sperimetali. s Calcolare k = c 5. L itervallo sarà: { y k μ y k} cof + 7 della Media Caso di Variaza o ota. La variabile aleatoria: Y μ X = σ È ua variabile ormale di tipo stadard Si è gia visto che lo stimatore imparziale variaza s può essere correlata ad ua variabile aleatoria χ a - gradi di libertà : σ χ s ( i ) χ = = = i= σ s Y Y 8 9

10 della Media Caso di Variaza o ota. I coclusioe la variabile aleatoria: Y μ Z Y T = = σ = χ s σ μ s È ua variabile aleatoria di tipo T di studet ad - gradi di libertà Il passaggio alla T di studet è ecessario per la semplificazioe della variaza σ igota. 9 della Media Caso di Variaza o ota. Il campioe di risultati sperimetali può quidi essere visto, el suo isieme, come u risultato della variabile aleatoria T di studet, ua volta ota la media dei dati sperimetali e la variaza stimata. È possibile quidi determiare quale è la probabilità che tale variabile assumi valori compresi i u certo itervallo. P ( Θ Θ ) = γ Θ

11 y della Media Caso di Variaza o ota. È ecessario quidi determiare, data la simmetria della distribuzioe, u umero c tale che P ( c T c) = F ( c) F ( c) = γ Data la simmetria della distribuzioe, F(-c) = -F(c) e quidi T T Da cui P ( c T c) = F T ( c) = γ F T c = + γ ( ) ( ) della Media Caso di Variaza o ota. La distribuzioe T di studet è geeralmete più larga della distribuzioe ormale di tipo stadard x Pertato ci attediamo u itervallo di ampiezza più grade, rispetto al caso i cui la variaza sia ota i modo esatto.

12 per stimatori Caso geerica per variaza o ota. Dato uo stimatore geerico (N.B. di tipo gaussiao), la variabile aleatoria ˆθ ˆ θ θ s θ Rappreseta sempre ua variabile aleatoria di tipo T di studet. Ituitivamete, tale gradezza è la distaza tra valore osservato e valore vero, ormalizzata per la radice della variaza La gradezza s θ è il valore osservato della variaza dello stimatore Il umero di gradi di libertà della T di studet dipede ivece da caso a caso. Si deve fare riferimeto ai gradi di libertà della stima della variaza 3 per i coefficieti di regressioe Oltre alle stime putuali sui coefficieti di regressioe è possibile valutare u itervallo per i coefficieti stimati della regressioe. Lo spessore dell itervallo è ua misura della qualità della regressioe. 4

13 per i coefficieti di regressioe Nel caso della regressioe lieare, è ecessaria ua stima imparziale della variaza dell errore sperimetale: s = MSE = i= ( y b b x ) I parecchi libri di testo tale espressioe prede ache il ome di Errore Quadratico Medio (i iglese: Mea Square Errore, acroimo MSE) i i 5 per i coefficieti di regressioe Si è gia visto che gli stimatori b e b soo delle variabili aleatorie Gaussiae, ell ipotesi che l errore ella misura all esperimeto i- esimo sia Gaussiao. Si può dimostrare che le segueti variabili aleatorie: b β MSE S e b β x MSE + xx S xx soo delle distribuzioi T di studet ad - gradi di libertà. 6 3

14 per i coefficieti di regressioe Procedura: Si sceglie u livello γ Calcolare il valore c tale che: () = ( + γ) F T c Dove F è la distribuzioe t di studet ad - gradi di libertà. Calcolare MSE k = c k S Gli itervalli sarao: = c x MSE + xx S xx { b k β b + k } e cof { b k β b } cof + k 7 per i coefficieti di regressioe La quatità: ( b ) se = MSE S xx Si chiama errore stadard della pedeza e misura la precisioe co cui β è stata stimata. I modo aalogo, la quatità: se x ( b ) = MSE + Si chiama errore stadard dell itercetta e misura la precisioe co cui β è stata stimata. S xx 8 4

15 per la risposta media U ulteriore esempio è la determiazioe dell itervallo per la risposta media E(y=b +b x) per u particolare valore della variabile regressore x La stima putuale forisce u valore: y ˆ = b + b x Ci si poe il problema della determiazioe di u itervallo di fiducia per la variabile y i corrispodeza del valore x 9 per la risposta media Il primo passaggio cosiste ella determiazioe della variaza della variabile aleatoria La variaza è: V [ ] ( yˆ ) V ( b + b x ) = V Y + b ( x x) σ ( x x) ( x x) σ + = = Si può dimostrare che le VA Y e b = σ + + Cov( Y, b ) soo S xx S xx idipedeti Se per σ prediamo lo stimatore MSE si può dimostrare che la variabile aleatoria: y yˆ ( x x) MSE + S xx È ua distribuzioe T di studet ad - g.d.l. 3 5

16 per la risposta media Procedura: Scegliere u livello γ Calcolare il valore c tale che: () = ( + γ) F T c Dove F è la distribuzioe T di studet ad - gradi di libertà. Calcolare ( x ) = c L itervallo sarà: k MSE ( ) x x + S xx { yˆ k( x ) y y k( x )} cof + ˆ 3 per la risposta media L itervallo è variabile co x, esso assumerà valore miimo i corrispodeza del cetroide dei dati

17 per i Coefficieti di ua regressioe multilieare Problema: Regressioe multilieare: y = F α T a = ( ) ( p)( p ) T ( F F) F y Ipotesi: Gli errori ε i soo idipedeti e ormalmete distribuiti. La variaza degli errori è uguale a σ Ne segue che la stima a è ormalmete distribuita co vettore media α e matrice di covariaza σ (F T F) - Questo implica che la margiale di ogi coefficiete di regressioe è ormale co media α j evariazaσ C jj,l elemeto diagoale della matrice (F T F) - 33 per i Coefficieti di ua regressioe multilieare Ne cosegue che la geerica statistica: a j α j MSE C jj È ua distribuzioe t di studet ad -p gradi di libertà, dove MSE è la stima di σ, così come defiito el semplice caso della regressioe lieare. 34 7

18 per i Coefficieti di ua regressioe multilieare Procedura: Scegliere u livello γ Calcolare il valore c tale che: () = ( + γ) F T c Dove F è la distribuzioe t di studet ad -p gradi di libertà. Calcolare k = c MSE C jj L itervallo sarà: cof { a k α a k} j j j