Risolvere equazioni goniometriche riconducibili a quelle elementari. Daniela Valenti, Treccani scuola

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1 Risolvere equazioni goniometriche riconducibili a quelle elementari 1

2 Metodi per risolvere equazioni trigonometriche non elementari A. Ricondurre l equazione ad equazioni elementari con procedimenti algebrici, che utilizzano anche varie formule studiate. B. Risolvere l equazione con metodi grafici, basati anche sulle trasformazioni del piano. Vediamo i due metodi su qualche esempio. 2

3 Risolvere 2sin(x) 1 = 0 Procedimento algebrico organizzato in due passi: Ripeto il procedimento per risolvere tutte le equazioni del tipo dove al posto di a e b posso trovare qualunque numero reale. 3

4 Risolvere sin 2x + π 3 = 1 2 Procedimento algebrico organizzato in due passi: Ho così ottenuto le soluzioni x k = π 12 + kπ, x' k = π 4 + kπ Ripeto il procedimento per risolvere tutte le equazioni del tipo dove al posto di a e b posso trovare qualunque numero reale. 4

5 Equazioni e identità trigonometriche Tante uguaglianze scritte in trigonometria. Ecco alcuni esempi per riflettere A. sin x + π = cos x sin x Formula di addizione del seno Identità, cioè uguaglianza vera per qualunque numero reale x. B. sin x + π = Equazioni equivalenti Equazione, cioè uguaglianza vera solo per alcuni numeri reali x da determinare. C. 3 2 cos x sin x = 1 2 5

6 Attività 2. Equazioni e identità Il lavoro di gruppo è dedicato a due attività: - risolvere equazioni trigonometriche riconducendole a quelle elementari; - confrontare identità ed equazioni trigonometriche. Dividetevi in gruppi di 2 4 persone; ad ogni gruppo viene data una scheda di lavoro da completare. Avete 30 minuti di tempo 6

7 Che cosa abbiamo ottenuto 7

8 Equazioni risolte 8

9 Equazioni e identità 9

10 B. Metodi grafici e trasformazioni del piano Vediamo ora a qualche equazione risolta con metodi grafici, che applicano anche le trasformazioni del piano 10

11 Metodo grafico Un primo esempio sin 2x ( ) = 1 2 sin(x) = 1 y = sin(x) 2 y = 1 2 sin(2x) = 1 y = sin(2x) 2 y = 1 2 x k = π 6 + 2kπ, x' k = 5 6 π + 2kπ Contrazione del piano che dimezza le ascisse x k = π 12 + kπ, x' k = 5 12 π + kπ 11

12 Confronto fra metodo algebrico e grafico sin 2x ( ) = 1 2 Procedimento algebrico organizzato in due passi: Ritrovo così le soluzioni x k = π 12 + kπ, x' k = 5 12 π + kπ 12

13 Metodo grafico Un secondo esempio sin x + π 3 sin(x) = 1 y = sin(x) 2 y = 1 2 = 1 2 sin x + π = 1 y = sin x + π y = 1 2 Traslazione verso sinistra, che sottrae π/3 alle ascisse x k = π 6 π 3 + 2kπ = π 6 + 2kπ, x' k = 5 6 π π 3 + 2kπ = π 2 + 2kπ 13

14 Confronto fra metodo algebrico e grafico Risolvere sin x + π = Procedimento algebrico organizzato in due passi: Ritrovo così le soluzioni x k = π 6 + 2kπ, x' k = π 2 + 2kπ 14

15 Metodi grafici e algebrici a confronto Requisiti del punto di vista grafico Conoscere e applicare correttamente i grafici delle funzioni circolari e le trasformazioni del piano Requisiti del punto di vista algebrico Conoscere e applicare correttamente le formule risolutive delle equazioni elementari e le identità trigonometriche. 15

16 Metodi grafici e algebrici a confronto Caratteristiche del punto di vista grafico Posso sviluppare l intuizione grafica e vedere le soluzioni anche senza disegnare i grafici. Caratteristiche del procedimento algebrico Posso sviluppare l abilità nel manipolare formule ed espressioni e saper risolvere varie equazioni. 16

17 Metodi grafici e algebrici a confronto Una saggia mescolanza dei due metodi può essere una scelta vincente: - pensare ai grafici per vedere le soluzioni e controllare i risultati dei calcoli; - conoscere formule risolutive e identità trigonometriche per verificare le intuizioni grafiche. 17

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