7. Derivate Definizione 1

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1 7. Derivte Il concetto di derivt è importntissimo e molto nturle. Per vere un esempio concreto, penste l moto di un mcchin: se f(t) è l funzione che esprime qunt strd vete percorso fino d un certo istnte t, llor l velocità cui stte ndndo è esttmente l derivt di f (cioè il tchimetro segn l derivt del contchilometri...). Detto in un ltro modo, l derivt di un funzione esprime l velocità con cui quell funzione cresce o decresce l vrire del punto. In ltre prole, considerimo un utomobile che percorre un strd, ed indichimo con s(t) lo spzio percorso in funzione del tempo t. L velocità medi dell utomobile nell intervllo di tempo [ t, t + h] è ugule l rpporto tr lo spzio percorso s( t + h) s( t) ed il tempo h impiegto fre il percorso. L velocità istntne (quell indict dl tchimetro sul cruscotto dell uto, se s(t) è espresso in chilometri e t in ore), è il limite, per h 0, dell velocità medi; quindi l velocità istntne srà ugule s( t + h) s( t) lim h o h () Dll () si evince che occorre clcolre il limite del rpporto incrementle, così chimto perché denomintore c è l incremento h dell vribile indipendente, mentre numertore c è l incremento dell vribile dipendente. Studimo l definizione precis di questo concetto. Definizione. Si f : I R un funzione sull'intervllo perto I e si 0 un punto di I. Per ogni h 0 bbstnz piccolo, il rpporto incrementle di f in 0 è il rpporto Il rpporto incrementle h un senso geometrico preciso: esprime l'inclinzione (= il coefficiente ngolre) dell rett pssnte per i punti A = (0; f(0)) e B = (0+h; f(0+h)). Se or considerimo

2 vlori di h sempre più piccoli, non è difficile intuire che l rett AB si vvicin sempre di più ll rett tngente l grfico di f nel punto A. L definizione rigoros è semplicissim: Definizione 2. Si dice che f è derivbile in 0 se esiste il limite per h 0 del rpporto incrementle: Tle limite si chim l derivt di f in 0 e si indic con ' f ( 0). Si dice che f è derivbile se è derivbile in tutti i punti del suo dominio; l funzione nche l (funzione) derivt di f. f ' ( ) si chim Osservzione. Il significto geometrico dell derivt è chiro: qundo fccimo tendere h zero, e quindi vvicinimo il punto B lungo l curv l punto A, l rett AB si vvicin sempre di più ll ' rett tngente l grfico di f in A. Quindi è nturle interpretre il vlore di f ( 0) come l pendenz dell rett tngente l grfico nel punto A. Se voglimo determinre completmente l rett tngente, bst osservre che ess deve vere l form y = + b, bbimo già detto che = ( ), inoltre l rett deve pssre per A = (0; f(0)) e quindi ' f 0 e in conclusione l'equzione dell rett tngente nel punto A è Esempio. Studimo lcuni csi in cui il clcolo dell derivt è immedito. Se f() = C è un funzione costnte, il rpporto incrementle si nnull sempre, dunque nche il limite è zero; in conclusione, un funzione costnte è derivbile ed h derivt null: Se f() = + b, bbimo subito e quindi l derivt di f() = + b è costnte ed ugule l coefficiente ngolre : 2

3 Se f ( ) 2 =, llor e mndndo h zero si ottiene ossi semplicemente Con un clcolo simile si ottiene che per ogni n intero n ( ) ' n = n Esempio 2. Non è difficile clcolre l derivt delle funzioni elementri. Considerimo d esempio l funzione esponenzile f ( ) = e. Si h e quindi se mndimo h zero ottenimo subito ossi bbimo ottenuto l semplice regol Esempio 3. Non tutte le funzioni sono derivbili! Ad esempio l funzione f ( ) = non è derivbile nel punto 0 = 0. Per verificrlo scrivimo il rpporto incrementle in 0 = 0: Chirmente il limite per h 0 di questo rpporto non esiste: inftti il limite destro è ugule 3

4 mentre il limite sinistro è ugule Notre però che è derivbile si sull'intervllo > 0, dove = e quindi l derivt vle +, si sull'intervllo < 0, dove = e quindi l derivt vle. Le seguenti proprietà ci metternno in grdo di derivre tutte le funzioni ottenute come combinzioni di funzioni elementri: Proposizione. Se f è derivbile in 0 llor f è continu in 0. Dimostrzione. Bst prtire dll seguente identità: Se clcolimo il limite per h 0 ottenimo llor e ponendo = 0 + h ottenimo ossi f è continu in 0. Proposizione 2 (Regole di derivzione). Sino f e g due funzioni derivbili. Allor vlgono le seguenti regole di derivzione: e, dove g è divers d zero, Dimostrzione. Verifichimo soltnto l prim regol (le ltre si dimostrno in modo simile, nche se con qulche conto in più): il rpporto incrementle di f +g in un punto 0 è ugule e clcolndo il limite per h 0 ottenimo subito 4

5 Proposizione 3 (Derivt dell funzione compost). Se f e g sono derivbili ed è possibile comporle, nche l funzione compost h() = g(f()) è derivbile e vle l regol di derivzione [Senz dimostrzione] Esempio 4 Provimo che l derivt del logritmo in bse ( > 0, ) di vle: ( log ) ' = log Utilizzimo le proprietà del logritmo (tr cui l su continuità) ed il limite notevole (cmbindo 0 con h 0 e b con / ) ( ) by y lim + b = lim + = lim + = e y y ± 0 y ± y ± Nel limite notevole cmbimo 0 con h 0 e b con /, quindi. b b e log ( ) log h h + h + h + h h lim lim log lim log log lim h 0 h 0 h 0 h 0 h = h = = + = = log e = log e Risult or chiro l interesse nel considerre logritmi in bse e: dto che loge e =, l derivt in bse e di è semplicemente: ( ) ' log =, > 0 Rissumimo nell tbell seguente le regole elementri di derivzione: 5

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