CdL in Ingegneria Gestionale e CdL in Ingegneria del Recupero Edilizio ed Ambientale
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- Albano Ferri
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1 CdL in Ingegneria Gestionale e CdL in Ingegneria del Recupero Edilizio ed Ambientale della prova scritta di Algebra Lineare e Geometria- Compito A- 8 Aprile 8 E assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 definito dalla seguente matrice: M(f) = h h h con h parametro reale. Ia ) Studiare l endomorfismo f al variare di h determinando in ciascun caso una base di Im f, una base di Ker f e le loro equazioni cartesiane. ) Studiare la semplicitá di f al variare di h. ) Il determinante di M(f) risulta: det(m(f)) = h. Se h si ha che il rango della matrice è 3, quindi dimimf = 3, dimkerf = Imf = R 3 e Ker f = R 3}. Se h = si ha che il rango della matrice è, quindi dimimf =, dimkerf = Imf = L((,, ), (,, )) e Ker f = ( y, y, y)}. Base del Ker f è A = (,, )}. Le equazioni cartesiane di Imf e Kerf nel caso h sono ovvie: Imf = R 3 nessuna equazione cartesiana, e Kerf è individuato da x = y = z =. Le equazioni cartesiane di Imf e Kerf nel caso h = sono: a) Imf (si ricordi che per trovare l equazione cartesiana bisogna imporre che il rango della seguente matrice non deve essere massimo) det = y =. x y z b) Kerf, le equazioni cartesiane sono date da Kerf : x + y = x + y z =
2 ) Lo studio della semplicita consiste nel calcolare come prima cosa il polinomio caratteristico sottraendo T dalla diagonale principale della matrice dell endomorfismo f, T h h T h T P.C.(T ) = ( T )( h T )( T ) h + h( T ) h( T ) = ( T )( h T )( T ) h + h ht + h + ht = ( T )( h T )( T ). Ne segue che gli autovalori sono T =, T =, T 3 = h. Se h ± T T T 3 f è semplice. Se h = T = T 3 T T = T 3 = con molteplicità algebrica cioe m =, T = con molteplicità algebrica m =. Calcoliamo la dimensione dell autospazio associato all autovalore : dimv = 3 ρ(m(f) I) = 3 = m quindi l endomorfismo non è semplice. Se h = T T == T 3 T = con molteplicità algebrica cioe m =, T = T 3 = con molteplicità algebrica m =. Calcoliamo la dimensione dell autospazio associato all autovalore -: dim V = 3 ρ(m(f) I) = 3 = m quindi l endomorfismo non è semplice. Ib ) Determinare il valore del parametro reale k in modo che esista un applicazione lineare ϕ : R 3 R 3 soddisfacente le seguenti condizioni: ϕ(,, ) = (k, k + 3, ) ϕ(,, ) = (k,, k) ϕ(,, ) = (, k, ) (,, ) Ker ϕ ) Determinare una base A del dominio e una base B del codominio in modo che: 3 M A,B (ϕ) = ) Il testo fornisce quattro vettori di R 3, che chiamiamo v, v, v 3, v uno di questi è necessariamente combinazione lineare degli altri la nostra applicazione ϕ esiste se le immagini continuano ad avere la stessa combinazione lineare dei vettori del dominio. Si nota che mettendo in riga in una matrice i nostri primi tre vettori v, v, v 3 si ottiene una matrice avente determinante uguale a zero v, v, v 3 sono l.d. e la loro combinazione lineare è R 3 = R R affinchè esista ϕ deve accadere che ϕ(v 3 ) = ϕ(v ) ϕ(v ) (, k, ) = (k,, k) (k, k + 3, ) uguagliando ogni singola componente del primo membro con la corrispondente componente del secondo membro si ottiene k =.
3 ) Sia k = per esistere la nostra applicazione lineare. Dette A = v, v, v 3 } e B = w, w, w 3 } le rispettive basi del dominio e codominio, per definizione di matrice associata a una applicazione lineare rispetto a due basi scelte rispettivamente nel dominio e codominio si hanno le segeunti relazioni ϕ(v ) = 3w, ϕ(v ) = w, ϕ(v 3 ) = Da cui w = 3 ϕ(v ), w = ϕ(v ), w 3 Quindi scegliamo come base A = v, v, v 3 } la base formata da v = (,, ), v = (,, ), v 3 = (,, ) (i tre vettori l.i. del quesito precedente) e come base B = w, w, w 3 } formata da w = 3 ϕ(v ) = 3 (,, ) = ( 3, 3, 3 ), w = ϕ(v ) = (,, ) = (,, ), w 3 un qualunque vettore l.i. con w, w, (esempio w 3 = (,, )). Sia fissato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O. x, y, z, u. II ) Determinare la retta ortogonale e incidente le rette di equazioni x z = y z + = e x z = y z + =. ) Sia π il piano passante per O e ortogonale alla retta r di equazioni x 5y + = y +z = e sia N = π r. Determinare la retta t passante per N e parallela ai piani α e β di equazioni x y + z = e x 3y + z = rispettivamente. 3) Determinare e studiare il fascio φ delle coniche del piano z = che passano per i punti A = (, ), B = (, ), O e sono tangenti in O all asse y. ) Detta p la parabola del fascio φ si studi la generica quadrica che contiene p, contiene la retta x = y = ed tangente nell origine al piano x z =. ) Cominciamo col determinare i punti impropri delle due rette: i parametri direttori della retta x z = y z + = sono (,, ) P = (,,, ) e della retta x z = y z + = sono (,, ) P = (,,, ).Dopodichè calcoliamo il punto impropio P condizione di ortogonalità l + m + n = = (l, m, n, ) della retta ortogonale ad entrambe le rette imponendo la l + m + n = m = l = n P = ( n,, n, ) P = (,,, ). Consideriamo i fasci di piani aventi per assi le due rette: x z + λ(y z + ) = λ = 3 µ(x z ) + (y z + ) = µ = x z 3(y z + ) = y z + =
4 ) I parametri direttori della retta x 5y + = y + z = sono (5,,, ) P = (5,,, ) π : 5X + Y Z = 5x + y z = x = N : x 5y + = y = 3 N = (, 3, ) y + z = z = La retta t passante per N ha equazione: x l = y 3 m = z n avente parametri direttori (l,m,n) ortogonali ai parametri direttori dei due piani, quindi l + m ( ) + n = m = 3l P = (, 3, 5, ) l + m ( 3) + n = n = 5l t : x = y 3 3 = z 5 t : 3x + y 6 = 3 5x + z + 3 = 3) φ è un fascio di coniche tangenti; una conica spezzata è data dalla retta tangente (x=) e dalla retta passante per i due punti A e B (x-=), l altra è la congiungente il punto di tangenza con A e con B ( y(x-y)=) quindi φ : x(x ) + λy(x y) = z = Il determinante della matrice associata 3x3 DetB = λ e della sottomatrice x DetA = λ λ. Se DetB = λ λ coniche irriducibili. Se deta = λ λ > < λ < ellissi. Se deta = λ λ = λ = parabola. Se deta = λ λ < λ <, λ > iperboli. L iperbole equilatera si ottiene per λ =. Abbiamo caratterizzato solo le coniche irriducibili poiche conosciamo i punti base del fascio e le sue coniche spezzate. ) La parabola del fascio si ottiene per λ = la quadrica contenente la parabola è p : x + y xy x = z(ax + by + cz + d) + x + y xy x = affinchè essa contenga la retta dobbiamo sostituire le coordinate del punto generico della retta nell equazione della quadrica cioè z(a + b + cz + d) + + = c =, a + b + d = Inoltre è noto che il piano tangente ad una quadrica nell origine è il complesso dei termini di I grado, cioè dz x = x dz = d = a + b + = la quadrica generica cercata è z(( b)x + by + ) + x + y xy x =
5 La matrice associata al fascio di quadriche B = b b b b Scegliamo l ultima riga per applicare il primo teorema di Laplace detb = In modo analogo calcoliamo il deta (b + ) 6 detb > b (b + ) deta = deta < b Se detb = b = Quadrica degenere con deta = Cono. Se detb b Quadriche non degeneri. In particolare a)se deta = b = Paraboloide ed è iperbolico poichè il detb >. b)se deta b Iperboloidi o Ellissoidi. Esse sono iperboloidi poichè dal polinomio caratteristico di A si vede che P A (T ) = T 3 + T + (5b + b + ) + etc.. dove il trinomio 5b + b + > b quindi i coefficienti del polinomio caratteristico non sono a segni alternati e non sono dello stesso segno. Inoltre si tratta si iperboloidi iperbolici poichè il detb >.
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