Analisi Matematica II (Fisica e Astronomia) Esercizi di ricapitolazione n. 1

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Analisi Matematica II (Fisica e Astronomia) Esercizi di ricapitolazione n. 1"

Transcript

1 Analisi Matematica II (Fisica e Astronomia) Esercizi di ricapitolazione n. Università di Padova - Lauree in Fisica ed Astronomia - A.A. 8/9 venerdì 8 maggio 9 Questi esercizi sono proposti come preparazione alla I a prova parziale. Le loro risoluzioni saranno date, per uanto possibile, nel corso della lezione di lunedì /5.. (a) Dire per uali valori di α R convergono i seguenti integrali generalizzati. Calcolare poi gli integrali (iii) e (iv) per ogni α in cui convergono, e l integrale (v) per α =. (i) + dx x α x α, (ii) + x α π + dx, (iii) (x + cos x) α sin x cos α x dx, (iv) + e ( α)x sin(αx + ) dx (α ), (v) + (b) Studiare per uanto possibile l andamento delle funzioni integrali (i) F (x) = x x (x + ) α log(x α + ) dx. t t dt, + (ii) G(x) = x+ log(t + t + ) dt x senza calcolare una primitiva delle funzioni integrande di t. Solo alla fine cercare di ottenerne una forma esplicita tramite una primitiva, rispondendo alle uestioni rimaste in sospeso.. Risolvere i seguenti problemi con euazioni differenziali. (i) Data l euazione y(x + )y + y =, studiarne la crescenza delle soluzioni. Dire se vi sono soluzioni costanti, e se le soluzioni definite in x = sono pari. Si calcolino infine la soluzione tale che y() =, e la soluzione tale che y() =. (ii) Risolvere (x )y y = in due modi. Vi sono soluzioni definite su tutto R? (iii) Trovare la funzione y(x) tale che (x + )y + x y = sin x e y() = α, ove α è un parametro reale. Calcolare lim x + y(x). (Facoltativo: Calcolare lim x + y(x).) (iv) Trovare le soluzioni y(x) dell euazione differenziale y y + y = (x + )e x tali che y() = y (). (v) Alla luce di uanto studiato, dire come è fatto l integrale generale dell euazione differenziale y + αx y + 8y =, ove α R. (Facoltativo: Posto poi α =, cercare per uanto possibile di descrivere concretamente tale integrale generale.) cioè: che struttura ha (spazio vettoriale, spazio affine, nulla di tutto ciò...), e uale sarà il dominio delle soluzioni.

2 . (i) Disegnare nel piano la curva cartesiana S = {(x, y) : x y =, x } e la curva polare C di euazione ρ(θ) = cos θ con π θ 5π, descrivendo di che tipo di insiemi si tratta. Descrivere la retta ortogonale a S in (, ) e la retta tangente a C nel punto con θ = π. Scambiando le rappresentazioni, esprimere S con un euazione polare ρ = ρ(θ), e C con un euazione cartesiana del tipo f(x, y) = ; uindi scrivere esplicitamente le due parametrizzazioni di S e C come curve-grafico y = y(x) o come curve polari ρ = ρ(θ) (ual è il cambio di parametro?). (ii) Parametrizzare A = {(x, y) : x + y + x + y =, x + y } e B = {(x, y) : x + e y =, y } in modo opportuno. Calcolare l elemento d arco dσ, la lunghezza, il baricentro geometrico e l integrale al differenziale d arco di f(x, y) = x y. (iii) Disegnare il sottoinsieme di R Γ = {(x, y, z) R : x + y + z =, y = x, x } e parametrizzarlo in due modi, come curva-grafico e tramite l angolo θ delle coordinate cilindriche. Scrivere esplicitamente il cambio di parametrizzazione. Calcolare la lunghezza di Γ. Supponendo che la densità di massa di Γ evolva con la legge δ(x, y, z) = ax+by+c per certi a, b, c R, calcolare la massa e il momento d inerzia di Γ rispetto all asse z.. (a) Per ciascuna delle seguenti funzioni studiare il dominio, il segno (per (iii), il segno di ciascuna componente), la limitatezza, la continuità, e i limiti proposti (con più opzioni). y x x ( ) (i) lim ; (ii) lim arctg ( x + y y) ; x y (,); (,); (8,);( 8 5, 5 ); (iii) ( xy + sin xy lim (,);(,π); x + y ), y e x. (b) Disegnare ognuno degli insiemi che seguono, e dire se è aperto, chiuso, limitato, compatto, connesso (per archi). (i) A = {(x, y) : x y +, x y } ; (ii) B = {(x, y, z) : x + y + (z ) =, x > } ; (iii) C = {(x, y) : y < e x, x < } ; (iv) D = {(x, y, z) : x + y + x =, z + + x + z > }. Per ognuna di ueste domande, così come per uelle dell esercizio seguente, è importante riuscire a scrivere correttamente gli integrali da calcolare, anche se non si riesce a terminare il conto.

3 Soluzioni.. Si denoterà con f α(x) la funzione integranda. (a.i) L integrabilità va controllata in +, in, in + e in +. Poiché f α(x) + x ( α), l integrabilità in + dà ( α) >, ovvero α >. Si ha poi fα(x) x α, dunue l integrabilità in dà α >, ovvero α <. Infine, essendo x α + x α si ha f α(x) + x ( α), dunue l integrabilità in + dà ( α) <, ovvero α <. Riassumendo, l integrale proposto converge per < α <. (a.ii) Poiché x + cos x > per ogni x, l integrabilità va controllata in + e +. In + si ha x + cos x +, da cui (x + cos x) α +, mentre per il numeratore bisogna distinguere due casi: se α si ha x α + +, mentre se α < si ha x α + + x α. Pertanto, se α si ha f α(x) +, e non c è problema; se invece α < si ha f α(x) + x α, e bisogna che α >. Dunue si ha integrabilità in + se e solo se α >. Passando ora a +, si ha x + cos x + x da cui (x + cos x) α + x α ; per il numeratore bisogna ancora distinguere i casi α > (in cui si ha x α + + x α ) e α (in cui x α + + ). Pertanto, se α > si ha f α(x) + x α ( α) = x α, e la condizione è α <, ovvero α < ; se invece α si ha f α(x) + x ( α) = x α, e la condizione è α <, ovvero α < (sempre vero). Dunue si ha integrabilità in + se e solo se α <. Riassumendo, l integrale proposto converge per α <. sin x (a.iii) Si ha f α(x) =. Vale dunue fα(x) cos α x x (integrabile); essendo poi cos x + π ( π x), si ottiene f α(x) π ( π x) α, da cui la condizione α >, ovvero α <. Perciò l integrale converge per α <. D altra parte, una primitiva di f α(x) è cos α x (se α ) oppure log cos x (se α = ), dunue la tesi seguirebbe α anche per calcolo diretto, dando per α < il valore dell integrale generalizzato ( cos α x ] π α = >. α (a.iv) L unica uestione di integrabilità si ha in +. Per α = la funzione f (x) (a meno della costante moltiplicativa sin > ) diventa e x, ovviamente non integrabile. Se invece α > la funzione f α(x) è oscillante: poiché sin(αx + ) ha una primitiva limitata (che è cos(αx + )), il criterio di Abel-Dirichlet ci dice che se α e ( α)x è decrescente ed infinitesima (il che accade per α <, ovvero per α > ) allora l integrale converge semplicemente, mentre se α l integrale non converge. Notiamo che il calcolo di una primitiva è possibile: infatti, integrando due volte per parti 5 si ottiene R e ( α)x sin(αx + ) dx = α (α +α+) e( α)x cos(αx + ) + (α ) sin(αx + ), da cui (nell ipotesi α > ) si ottiene R + e ( α)x sin(αx + ) dx = α cos +(α ) sin (α +α+) >. (a.v) L integrabilità va controllata in + e in + ; iniziamo da +. Il fattore (x + ) α + è ininfluente; uanto a log(x α + ), se α > si ha log(x α + ) + x α (da cui la condizione α >, sempre vera), se α = si ha log(x α + ) = log (integrabile), mentre se α < si ha log(x α + ) + + log(x α ) = α log x log x + (integrabile). Perciò f α(x) è sempre integrabile in +. Passando ora a +, si ha (x + ) α + x α ; uanto a log(x α + ), se α > si ha log(x α + ) + log(x α + ) + log(x α ) = α log x + log x, se α = si ha log(x α + ) = log +, e se α < si ha log(x α + ) + x α. Pertanto, se α > si ha f α(x) + x α log x, da cui 6 la condizione α <, ovvero α > ; se α = si ha f(x) = log (ovviamente non integrabile a + ), mentre se α < si ha f α(x) + x α x α = x α, da cui la condizione α <, ovvero α > (sempre falsa). Perciò f α(x) è integrabile in + se e solo se α >. Ricapitolando, l integrale proposto esiste se e solo se α >. In particolare, uando α = si ottiene R + dx = ( log() ] + R + ( ) dx = ( ) + ( ]+ = ( ) =. (b.i) (Vedi Figura ) Poiché la funzione integranda f(t) = log() () t t + è continua (dunue localmente integrabile) su tutto R, il dominio di F (x) = R x x t t + dt è x ; inoltre, poiché f(t), si ha F (x) se e solo se x x dunue se e solo se x >. Quanto alle simmetrie, si ha F ( x) = R x x t dt; col cambio di variabile τ = t t + si ottiene dunue F ( x) = R x τ ( dτ) = R x τ x τ + dτ = F (x), dunue F (x) è una funzione dispari, e τ x + in uesto caso anche assolutamente, perché e ( α)x decresce molto rapidamente, e dunue f α(x) = o + ( ). x Il ragionamento per far vedere che l integrale non converge possiamo farlo per ogni integrale del tipo R + φ(x) sin x dx con φ(x) continua in [, + ] e φ(x) per ogni x. Infatti, se l integrale generalizzato R + φ(x) sin x dx fosse finito, esso dovrebbe coincidere con la somma della serie P n N an con an = R (n+)π φ(x) sin x dx, ma tale serie non può convergere nπ perché la successione (a n) non è infinitesima (infatti, poiché φ(x) per ogni x, e poiché sin x ha segno costante su ogni intervallo [nπ, (n + )π], si ha a n = R (n+)π φ(x) sin x dx R (n+)π sin x dx = ). 5 nπ nπ con lo stesso trucco usato per calcolare l integrale R e x sin x dx. 6 Si ricordi che la funzione x β log x γ è integrabile a + se β <, oppure se β = e γ <.

4 R + t possiamo limitarci allo studio con x >. Si ha lim x + = +, e R t + limx + f(t) non è integrabile a ± ). Derivando, si ottiene F (x) = ( x ) ( ) ( x ) + x essendo F (x) per x, la funzione F (x) ha un punto di minimo in x = (e, per disparità, un punto di t = + (infatti t + ( x) ( ) = x = : ( x) + x x massimo in x = ). Derivando ancora, si ha F (x) =, dunue F è convessa per x >. x Cerchiamo ora di dedurre una forma esplicita per F (x). Da F (x) = si otterrebbe immediatamente x F (x) = x + + k, con k R da determinare su ognuna delle due semirette x < e x > ; tuttavia non c è x alcun valore evidente di F (x) (ad esempio, nessun punto in cui F si annulla). Non c è dunue alternativa al trovare una primitiva di f(t), il che è comunue facile perché f(t) = e dunue F (x) = (t arctg t] t x + x = arctg + x arctg x = (x + ) (arctg x + arctg ); notando che effettivamente vale arctg x + arctg ± π x x x x x per x, si ha F (x) = x + π per x >, e F (x) = x + + π per x <. x x (b.ii) (Vedi Figura ). Anche ui, poiché la funzione integranda g(t) = log(t + t + ) è continua e su tutto R, il dominio di G(x) = R x+ log(t + t + ) dt è x, e vale G(x) se e solo se x+, il che accade x x per < x oppure x <. La funzione G(x) non ha simmetrie evidenti (al solito, verificare 6 6 calcolando G( x)). Si ha lim x G(x) = R log(t +t+) dt, che è un numero finito α < per ora sconosciuto, visto che non sappiamo calcolare (o meglio, facciamo finta di non saper calcolare) una primitiva di g(t): dunue y = α è asintoto orizzontale per G(x). Vale poi lim x G(x) = lim x ± G(x) = R ± log(t + t + ) dt, e uesti integrali generalizzati valgono (infatti g(t) ± log(t ) = log t, non integrabile a ). Derivando, si ottiene G (x) = g( x+ ) ( x+ x x ) g( ) ( ) = x + g( x+ ): poiché g(t) > per ogni t, nel dominio si (x ) x avrà G (x) se e solo se x + x +, ovvero se e solo se x oppure x +. Ne ricaviamo che G(x) avrà un punto di massimo locale (negativo) in x =, e uno di minimo locale (pure negativo) in x = +. Cerchiamo ora di dedurre una forma esplicita per G(x): integrando per parti si ottiene R g(t) dt = (t + ) log(t + t + ) + arctg (t + ) t, dunue G(x) = ((t + ) log(t + t + ) + arctg (t + ) t] x+. Chiaramente, ora x si possono determinare ad esempio α e le uote degli estremi locali.. (i) L euazione differenziale y(x + )y + y = è del primo ordine a variabili separabili. Si noti che una soluzione y(x) non si può mai annullare (altrimenti si avrebbe =, assurdo), mentre se x = si ottiene y( ) =, ovvero y( ) = ±. Supponendo invece x si ottiene y = y, dunue le soluzioni (vedi y() Figura ) sono crescenti per x < e (y < oppure < y < ) oppure per x > e ( < y < oppure y > ). Una costante y(x) k è soluzione se e solo se k =, ovvero se e solo se k =. Esaminiamo ora l eventuale parità delle soluzioni φ(x) definite in x = : se ψ(x) = φ( x), si ha ψ(x) (x + )ψ (x) + ψ(x) = φ( x)(x + )φ ( x) + φ( x) = [φ( x)(( x) + )φ ( x) + φ( x) ] φ( x)φ ( x) = φ( x)φ ( x), ma uest ultima uantità non è nulla per ogni x (a parte il caso in cui φ(x) sia una delle due soluzioni costanti ): dunue le sole soluzioni pari sono le costanti. Se la condizione iniziale è y() = la soluzione cercata è la costante y y(x) ; se invece la condizione iniziale è y() = si possono separare le variabili ottenendo y y =, da cui raddoppiando e integrando si ha log y = log(x + ) + k, ed imponendo y() = si ha k = log, da cui log y = log (x + ), da cui y = (x + ), da cui y = (x + ) (infatti vicino a (x, y ) = (, ) i due membri sono positivi), da cui y = x + 6x +, da cui y(x) = x + 6x + (infatti y() = : vedi Figura ). (ii) L euazione del primo ordine (x )y y = è sia lineare che a variabili separabili. Risolta come lineare, per x ± si ottiene y y = ; se p(x) = si ha P (x) = log x x x x, e R e P (x) (x) dx = R x dx = x sign ( x ), da cui y(x) = x x ( sign ( x ) + k) = k x = k(x ) con k R (ove ueste soluzioni sono x pensate separatamente su ognuno dei tre intervalli di R \ { }, dunue vi sarà una costante k per x <, una costante k per < x < e una costante k per x >, l una indipendente dalle altre). Il limite di tutte ueste soluzioni per x è sempre finito per ogni (k, k, k ), e vale ; invece, il limite per x è finito se e solo se k = k =, e vale ancora, ed in tal caso per x < si ottiene la costante y(x). Tuttavia, richiedendo la derivabilità anche in x = (con derivata nulla) si ottiene pure k =. In sostanza, l unica soluzione definita su tutto R è la costante y(x) = (x ). Risolviamo ora l euazione come a variabili separabili. Si ottiene (x )y = y + : notata la costante y, possiamo separare le variabili e integrare ottenendo log y + = log x + h = log e h x, da cui (posto u = ±e h ) si ha y + = u x (x ), da cui y(x) = u con u R. Si tratta di una famiglia diversa da uella () trovata in precedenza? Ovviamente ciò non può essere (ed infatti, con la relazione u = k + tra le due costanti arbitrarie k e u, le due famiglie coincidono). (iii) (Vedi Figura ) L euazione (x + )y + x y = sin x è lineare del primo ordine, e per x può essere posta in forma normale y + p(x)y = (x) con p(x) = x (dunue P (x) = log x + x + ) e (x) = sin x. Le x +

5 sue soluzioni non possono essere poste in forma esplicita, ma applicando la formula integrale con la condizione y() = α (e pensando ovviamente x + >, ovvero x > ) si può comunue scrivere y(x) = (x + ) R (α + α+ x sin t dt R x (t + ) sin t dt), ovvero y(x) = t +. t + (x +) Quando x + il denominatore tende a + (è asintotico a x ), mentre il denominatore ha limite finito (infatti α R, e l integrale generalizzato R + dt converge grazie al criterio di Abel-Dirichlet): dunue sin t t + lim x + y(x) =. Quando invece x + il denominatore tende a +, mentre al numeratore l integrale generalizzato R converge (infatti (t + ) + (t + ), dunue sin t t + dt sin t t + + (t + ) ) ad un valore U > (infatti la funzione integranda è negativa su ], ], che però viene percorso a ritroso). Ne ricaviamo che se α U allora lim x + y(x) = ±. Se invece vale proprio α = U si ha una forma indeterminata, e con de l Hôpital si ottiene lim x + y(x) = lim x + sin x x + x (x +) = lim x + sin x = sin <. x (iv) L euazione y y + y = (x + )e x, del secondo ordine a coefficienti costanti, ha euazione caratteristica con radice doppia, dunue lo spazio delle soluzioni dell euazione omogenea è {(A + Bx)e x : A, B R}. Una soluzione particolare dell euazione completa sarà dunue della forma ỹ(x) = x (ax + b)e x, con a, b R da determinare: si ha allora ỹ (x) = ( a x + (a + b )x + bx)e x e ỹ (x) = ( a x + (a + b )x + (a + b)x + b)e x, da cui la condizione ỹ ỹ + ỹ = 8(ax + b)e x x = (x + )e, che dà a = e b =. L integrale generale 8 dell euazione completa è pertanto {y(x) = (A + Bx + 8 x + x )e x : A, B R}. Derivando si ottiene y (x) = ( A +B +( + B )x+ 6 x + 8 x )e x, dunue la condizione y() = y () dà A = ( A +B) = A B, da cui B = A: le soluzioni cercate sono pertanto uelle dell integrale generale con B = A. (v) L euazione differenziale y + αx y + 8y = è lineare, del terzo ordine, in forma normale. Essa è infatti del tipo y + a (x) y + a (x) y + a (x) y = b(x), ove le funzioni a (x) =, a (x) = ax, a (x) = 8 e b(x) = sono tutte continue nel dominio R \ { }, e andrà dunue risolta indipendentemente in uno dei due intervalli I =], [ oppure J =], + [. Su ognuno di essi (ad esempio su I), l integrale generale S dell euazione omogenea associata y + αx y + 8y = è un sottospazio vettoriale di dimensione nello spazio vettoriale complesso V = C (I, C) (le funzioni I C di classe C ), dunue sarà generato da una terna di funzioni (sistema fondamentale) {ϕ (x), ϕ (x), ϕ (x)} V ; invece l integrale generale S dell euazione completa sarà un sottospazio affine di V, ottenuto traslando S tramite una ualsiasi soluzione particolare ϕ(x) S, ovvero S = {Aϕ (x) + Bϕ (x) + Cϕ (x) + ϕ(x) : A, B, C C}. Si noti che le soluzioni saranno funzioni di classe C definite su tutto I (la stessa cosa, poi, varrà indipendentemente per J). Se α =, l euazione y + 8y = diventa a coefficienti costanti reali. L euazione caratteristica è λ + 8 =, cioè λ = 8, che ha le tre radici e ± i : un sistema fondamentale di soluzioni è pertanto {ϕ (x) = e x, ϕ (x) = e (+i)x, ϕ (x) = e ( i)x }. 7 Per cercare una soluzione particolare ϕ(x) S, in uesto caso si deve ricorrere al metodo della Variazione delle Costanti Arbitrarie. Si ha W ϕ (x) = e x e (+i )x e x ( + i )e (+i )x e x ( + i )e (+i )x e ( i )x ( i )e ( i )x ( i )e ( i )x γ (x) e x + γ (x) e (+i )x + γ (x) e ( i )x, con γ (x) = R e γ (x) = R (+ i) e ( +i i() )x dx. C A, da cui risulta det W ϕ (x) = i: pertanto sarà ϕ(x) = i e x i() dx, γ(x) = R ( i) e ( i )x i(). (i) (Vedi Figura 5) La curva S è ovviamente il segmento chiuso nel piano cartesiano che congiunge i punti (, ) e (, ), parametrizzabile cartesianamente tramite γ : [, ] R data da γ(x) = (x, x ). Invece l euazione polare ρ(θ) = = è, come noto, un ellisse (si noti che l eccentricità è e = < ), e la parametrizzazione cos θ cos θ associata di C è ϕ : [ π, 5π ] R data da ϕ(θ) = (ρ(θ) cos θ, ρ(θ) sin θ) = ( cos θ, sin θ ); nel nostro caso, si cos θ cos θ tratta dunue dell arco corto di ellisse che congiunge i punti ϕ( π ) = (, ) e ϕ( 5π ) = (, ). Vale γ (x) = (, ), dunue la retta ortogonale a S in (, ) = γ() è {(, ) + λ(, ) : λ R} = {( + λ, λ) : λ R}; da y = λ e x = + λ si ricava anche l euazione cartesiana x + y =. Si ha poi ϕ (θ) = ( 9 sin θ ( cos θ), ), pertanto un vettore tangente a C nel suo punto ϕ( π ) = (, ) è ( cos θ) ( cos θ) ϕ ( π ) = (, ), dunue la retta tangente a C in ϕ( π ) è {(, ) + λ(, ) : λ R} = {(λ, λ) : λ R}; anche ui, da x = λ e y = λ si ricava l euazione cartesiana x + y + =. Per ottenere l euazione polare di S basta partire dalla sua euazione cartesiana: da x y = si ricava 7 Per avere una base di soluzioni reali, volendo si possono rimpiazzare ϕ (x) e ϕ (x) rispettivamente con ϕ (x)+ϕ (x) e x cos( x) e ϕ (x) ϕ (x) i tenersi la base complessa. dx = = e x sin( x). Ma per i conti che seguono, in cui interviene il Wronskiano, conviene forse 5

6 ρ cos θ ρ sin θ =, da cui ρ(θ) =, con π θ arctg. La parametrizzazione associata di S è cos θ sin θ γ : [ π, arctg ] R cos θ data da γ(θ) = (, sin θ ), ed il cambio di parametro α : [ π, arctg ] [, ] cos θ sin θ cos θ sin θ cos θ è x = α(θ) =. Infine, dall euazione polare ρ(θ) = di C si ricava ρ ρ cos θ =, da cui cos θ sin θ cos θ p x + y = x+, da cui elevando al uadrato (nell ipotesi x > ) l euazione cartesiana 5x +9y x 9 =. Dalla figura è chiaro che si può esprimere C come curva grafico x = x(y) (non viceversa!), e la funzione x(y) si ricava esplicitando opportunamente x dall euazione cartesiana appena trovata: si ottiene infatti x = ( ± p 9 5y 5 ), e va scelto il ramo sinistro, ovvero x = ( p 9 5y 5 ), con y. La relativa parametrizzazione è ϕ : [, ] R data da ϕ(y) = ( ( p 9 5y 5 ), y); il cambio di parametro β : [, ] [ π, 5π ] è θ = β(y) ottenuta invertendo la funzione y = y(θ) = ρ(θ) sin θ = sin θ cos θ. (ii) (Vedi Figura 6) A = {(x, y) : x + y + x + y =, x + y } è la semicirconferenza di centro (, ) e raggio 5 che sta sotto la retta y = x, mentre B = {(x, y) : x + e y =, y } è il tratto di grafico della funzione x(y) = ey con y. Una parametrizzazione conveniente di A è senz altro γ : [ π, 7π ] R data da γ(t) = ( + 5 cos t, + 5 sin t), e una di B è ϕ : [, ] R data da ϕ(y) = ( ey, y). Per A, si ha γ (t) = ( 5 sin t, 5 cos t), e γ (t) = 5: dunue dσ = 5 dt, la lunghezza è ovviamente L A = R 7π R π 5 dt = π 5, il baricentro geometrico è (xa, y A) = ( x dσ, R y dσ) = ( R 7π L A γ L A γ π 5 π ( + R 7π 5 cos t) 5 dt, π 5 π ( + 5 sin t) 5 dt) = (, ), e l integrale è R f dσ = R 7π π π γ π h( + 5 cos t) ( + i 5 5 sin t) dt (si calcola facilmente). Quanto a B, si ha ϕ (y) = ( ey, ), e ϕ (y) = + ey : dunue dσ = + ey dy, la lunghezza è L B = R + ey dy, il baricentro geometrico risulta R (x B, y B) = ( x dσ, R y dσ) = ( R ( ey L B ϕ L B ϕ L B ) + ey dy, R y L B + ey dy), e R f dσ = R h i ( ey ) y + ey dy (si può provare a calcolare uesti integrali ponendo τ = + ey ). γ (iii) (Vedi Figura 7) Γ è la curva nello spazio ottenuta intersecando il piano x + y + z = con la cubica y = x (invariante rispetto z) nel settore in cui x. Poiché y = x e z = x y = x x, è chiaro che Γ è parametrizzata come curva-grafico da γ : [, ] R data da γ(x) = (x, x, x x ). Dall euazione y = x si ricava (in coordinate cilindriche) ρ sin θ = ρ cos θ, da cui ρ(θ) = tg θ ; il punto finale della cos θ curva è (, 8, ), ed è ottenuto uando θ = arctg 8 = arctg ; si ha pertanto la parametrizzazione alternativa γ : [, arctg ] R data da γ(θ) = (ρ(θ) cos θ, ρ(θ) sin θ, z(θ)) = ( tg θ, tg θ tg θ, ( + tg θ) tg θ). Il cambio di parametro è x = α(θ) = ρ(θ) cos θ = tg θ. Usando ad esempio γ(x), si ha γ (x) = (, x, x ), da cui γ (x) = p + x + ( x ) = p ( x + x ): la lunghezza di Γ è dunue espressa da L Γ = R p ( x + x ) dx. Supponiamo ora che la densità di massa di Γ evolva con la legge δ(x, y, z) = ax+by+c per certi a, b, c R: in termini del parametro x ciò significa dunue δ(x) = ax + bx + c. La massa di Γ risulta dunue m Γ = R δ dσ = R (ax + γ bx + c) p ( x + x ) dx, ed il momento d inerzia di Γ rispetto all asse z è I z = R δ γ (x + y ) dσ = R (ax + bx + c)(x + 9 x6 ) p ( x + x ) dx. y. (a.i) La funzione f(x, y) = x x non è definita nei punti della retta y = x e nei punti strettamente interni x y alla parabola x = y. Il numeratore è (nel dominio) uando p y x x: se x < ciò è sempre vero, altrimenti per x euivale a y x (x) = x, ovvero x y + x, ovvero i punti compresi tra l asse y e il ramo destro dell iperbole euilatera di centro (, ), asintoti y = ±(x + ) e passante per (, ); invece il numeratore è > sotto la retta y = x. La combinazione dei due segni dà il segno globale di f. La funzione non è limitata (diverge a ± tendendo ai punti di y = x ), ed è ovunue continua nel dominio. Per continuità, il limite in (, ) è f(, ) =. Tendendo a (8, ) (che non sta nel dominio) la funzione tende chiaramente a ± (infatti il numeratore tende a 8, e il denominatore è infinitesimo). Tendendo a ( 8, ) (che pure non sta nel 5 5 dominio, ed è l intersezione tra y = x e l iperbole) lungo la stessa iperbole, sulla uale f è nulla, il limite di f è ovviamente, mentre in ogni intorno del punto vi sono altri punti della retta y = x, nei uali f diverge: dunue il limite di f non esiste. Infine, tendendo a sempre lungo l iperbole il limite è, e tendendovi lungo una ualsiasi curva asintotica a y = x la funzione diverge: dunue nemmeno uesto limite esiste. (a.ii) La funzione f(x, y) = arctg ( x + y y) è definita e continua su tutto R ; si ha f per arctg ( x + y y), ovvero x + y y tg, ovvero x + y y + tg : se y < tg ciò è sempre tg + vero, mentre se y tg ciò euivale a x + y y + tg oppure x + y (y + tg ), ovvero x tg oppure y x. Poiché l arco-tangente ha valori in ] π, π [, vale π f(x, y) π, dunue f è limitata. Per continuità, il limite in (, ) vale f(, ) = arctg = π < ; poi, prendendo ispirazione dallo studio del segno, tendendo a lungo l asse y si ha lim y + f(, y) = π < e limy f(, y) = π >, dunue il limite non esiste. 6

7 xy+sin xy, y e x (a valori in R ) e definita e continua su tutto R tranne (, ). x +y xy La prima componente f (x, y) = xy+sin e uando xy sin xy, ed essendo t sin t se e solo se t, ne x +y ricaviamo che f = sugli assi e f > nel primo e terzo uadrante. La seconda componente f (x, y) = y e x x (a.iii) La funzione f (x, y) = e uando y e, ed essendo uesta una condizione simmetrica rispetto ai due assi basta operare la doppia riflessione dell insieme y e x nel primo uadrante. La funzione f e limitata, perche se (x, y) 6= (, ) si ha xy sin xy f (x, y) = xy+sin xy + xy + xy = x xy +y = ; invece f non lo e, perche ad esempio sull asse x +y x +y x +y y si ha limy f (, y) = +. In (, ) la funzione f tende a, mentre f non ha limite: infatti sugli assi x e nulla, mentre sulla bisettrice y = x essa vale f (x, x) = x +sin, con limite. Pertanto f non ha limite in x (, ). In (, π), per continuita il limite e f (, π) = ( ππ+, π e ). Infine, ne f ne f hanno limite in (ad esempio, limx f (x, ) = mentre limx f (x, x) = ; e limx f (x, ) = mentre limy f (, y) = + ), dunue nemmeno f ha limite in. (b.i) (Figura 8) A e chiuso (disuguaglianze late di funzioni continue su R ), ma non e limitato (infatti tutto il semiasse {(x, ) : x > } vi e contenuto), dunue non e compatto; infine, e connesso per archi. (b.ii) (Figura 9) B e l intersezione tra la superficie dell ellissoide di centro (,, ) e semiassi,, rispettivamente lungo x, y, z, e i due semispazi x < e x > : esso non e aperto (non e intorno dei suoi punti in R ) e nemmeno chiuso (i punti di intersezione tra la superficie e i piani x = ± sono di accumulazione per B, ma non stanno in B), e limitato (infatti e contenuto nell ellissoide, dunue x, y e z, ovvero z 5), non e compatto perche non e chiuso, e non e connesso (ha due componenti). (b.iii) (Figura ) C e aperto (disuguaglianze strette di funzioni continue su R ) e limitato (infatti x <, e dunue y < e, ovvero e < y < + e ), non e compatto perche non e chiuso, ed e connesso. (b.iv) (Figura ) La condizione x + y + x =, in R, descrive la superficie cilindrica a sezione ellittica con asse parallelo all asse z che ha sezione sul piano (x, y) l ellisse con asse maggiore sull asse x, tra x = e x =, e asse minore lungo la retta x = tra y = 6 e y = 6. D altra parte, la condizione z + + x + z >, che richiede z x, euivale a x + z > z ; se z < (ovvero z > ) cio e sempre vero, mentre se z cio euivale a x + z > z + z +, ovvero x > z +. Dunue D e l intersezione tra la superficie cilindrica e il semispazio chiuso z x, e risulta dunue essere chiuso. Esso non e limitato in direzione z, dunue non e compatto; ed e connesso per archi.. La funzione integrale F (x) di (.(b.i));. La funzione integrale G(x) di (.(b.ii));. Le zone di crescenza (gialle) e la soluzione di (.i) con y() = ;. L integrale generale di (.iii). 5. Le curve S e C di (.i); 6. Le curve A e B di (.ii); 7. La curva Γ di (.iii), intersezione del piano grigio con la curva rossa. 7

8 Gli insiemi A, B, C e D di (.b). 8

Matematica e Statistica

Matematica e Statistica Matematica e Statistica Prova d esame (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 0/3 Matematica e Statistica Prova di MATEMATICA (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie

Dettagli

Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 2011/2012

Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 2011/2012 Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 211/212 Ricordare: una funzione lipschitziana tra spazi metrici manda insiemi limitati in insiemi limitati; se il dominio di una funzione

Dettagli

a) Osserviamo innanzi tutto che dev essere x > 0. Pertanto il dominio è ]0, + [. b) Poniamo t = log x. Innanzi tutto si ha:

a) Osserviamo innanzi tutto che dev essere x > 0. Pertanto il dominio è ]0, + [. b) Poniamo t = log x. Innanzi tutto si ha: ESERCIZIO - Data la funzione f (x) = (log x) 6 7(log x) 5 + 2(log x) 4, si chiede di: a) calcolare il dominio di f ; ( punto) b) studiare la positività e le intersezioni con gli assi; (3 punti) c) stabilire

Dettagli

Esercizi di Analisi Matematica I

Esercizi di Analisi Matematica I Esercizi di Analisi Matematica I Andrea Corli e Alessia Ascanelli gennaio 9 Indice Introduzione iii Nozioni preliminari. Fattoriali e binomiali..................................... Progressioni..........................................

Dettagli

DOMINIO E LIMITI. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi: 1) f(x,y) = y2 x 2 + y 2.

DOMINIO E LIMITI. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi: 1) f(x,y) = y2 x 2 + y 2. FUNZIONI DI DUE VARIABILI 1 DOMINIO E LIMITI Domini e disequazioni in due variabili. Insiemi di livello. Elementi di topologia (insiemi aperti, chiusi, limitati, convessi, connessi per archi; punti di

Dettagli

Calcolo integrale in più variabili

Calcolo integrale in più variabili ppunti di nalisi II Calcolo integrale in più variabili Integrali doppi Nel caso di una funzione di una variabile f : a, b] R, supponendo f continua e fx) a, b], la quantità b a fx)dx indica l area fra

Dettagli

I appello - 26 Gennaio 2007

I appello - 26 Gennaio 2007 Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. Informatica e delle Telecom. A.A.006/007 I appello - 6 Gennaio 007 Risolvere gli esercizi motivando tutte le risposte. (N.B. il quesito teorico è obbligatorio)

Dettagli

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26 Indice L attività di recupero 6 Funzioni Teoria in sintesi 0 Obiettivo Ricerca del dominio e del codominio di funzioni note Obiettivo Ricerca del dominio di funzioni algebriche; scrittura del dominio Obiettivo

Dettagli

EQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6

EQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6 EQUAZIONI DIFFERENZIALI.. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x log t (d) x = e t x log x (e) y = y 5y+6 (f) y = ty +t t +y (g) y = y (h) xy = y (i) y y y = 0 (j) x = x (k)

Dettagli

ESERCITAZIONI DI ANALISI 1 FOGLIO 1 FOGLIO 2 FOGLIO 3 FOGLIO 4 FOGLIO 5 FOGLIO 6 FOGLIO 7 SVOLTI. Marco Pezzulla

ESERCITAZIONI DI ANALISI 1 FOGLIO 1 FOGLIO 2 FOGLIO 3 FOGLIO 4 FOGLIO 5 FOGLIO 6 FOGLIO 7 SVOLTI. Marco Pezzulla ESERCITAZIONI DI ANALISI FOGLIO FOGLIO FOGLIO 3 FOGLIO 4 FOGLIO 5 FOGLIO 6 FOGLIO 7 SVOLTI Marco Pezzulla gennaio 05 FOGLIO. Determinare il dominio e il segno della funzione ( ) f(x) arccos x x + π/3.

Dettagli

Analisi Mat. 1 - Ing. Inform. - Soluzioni del compito del 23-3-06

Analisi Mat. 1 - Ing. Inform. - Soluzioni del compito del 23-3-06 Analisi Mat. - Ing. Inform. - Soluzioni del compito del 3-3-6 Sia p il polinomio di quarto grado definito da pz = z 4. Sia S il settore circolare formato dai numeri complessi che hanno modulo minore o

Dettagli

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica DIPARTIMENTO DI MATEMATICA Università degli Studi di Trento Via Sommarive - Povo (TRENTO) Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata,

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DI UNA FUNZIONE STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)

Dettagli

Esempi di funzione. Scheda Tre

Esempi di funzione. Scheda Tre Scheda Tre Funzioni Consideriamo una legge f che associa ad un elemento di un insieme X al più un elemento di un insieme Y; diciamo che f è una funzione, X è l insieme di partenza e X l insieme di arrivo.

Dettagli

Integrali doppi - Esercizi svolti

Integrali doppi - Esercizi svolti Integrali doppi - Esercizi svolti Integrali doppi senza cambiamento di variabili Si disegni il dominio e quindi si calcolino gli integrali multipli seguenti:... xy dx dy, con (x, y R x, y x x }; x + y

Dettagli

Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio

Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio. Funzioni e insiemi numerici.4 Verificare che (A B) (A B) = (A A ) B. ) Sia (a, b) (A B) (A B). Allora a (A A ) e b B, da cui (a,

Dettagli

2 Argomenti introduttivi e generali

2 Argomenti introduttivi e generali 1 Note Oltre agli esercizi di questa lista si consiglia di svolgere quelli segnalati o assegnati sul registro e genericamente quelli presentati dal libro come esercizio o come esempio sugli argomenti svolti

Dettagli

09 - Funzioni reali di due variabili reali

09 - Funzioni reali di due variabili reali Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 09 - Funzioni reali di due variabili reali Anno Accademico 2013/2014

Dettagli

I appello - 24 Marzo 2006

I appello - 24 Marzo 2006 Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. Energetica e Gestionale A.A.2005/2006 I appello - 24 Marzo 2006 Risolvere gli esercizi motivando tutte le risposte. I.) Studiare la convergenza puntuale,

Dettagli

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t)

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t) CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti 1. Determinare lim M(sin) (M(t) denota la mantissa di t) kπ/ al variare di k in Z. Ove tale limite non esista, discutere l esistenza dei limiti laterali. Identificare

Dettagli

Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni

Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni Capitolo 9 9.1 Crescenza e decrescenza in piccolo; massimi e minimi relativi Sia y = f(x) una funzione definita nell intervallo A; su di essa non facciamo, per ora, alcuna particolare ipotesi (né di continuità,

Dettagli

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE Sia I un intervallo di R e siano a = inf(i) R { } e b = sup(i) R {+ }; i punti di I diversi dagli estremi a e b, ( e quindi appartenenti all intervallo aperto

Dettagli

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO SIMULAZINE DI PRVA D ESAME CRS DI RDINAMENT Risolvi uno dei due problemi e 5 dei quesiti del questionario. PRBLEMA Considera la famiglia di funzioni k ln f k () se k se e la funzione g() ln se. se. Determina

Dettagli

Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione:

Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione: Verso l'esame di Stato Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione: y ln 5 6 7 8 9 0 Rappresenta il campo di esistenza determinato

Dettagli

Funzioni in più variabili

Funzioni in più variabili Funzioni in più variabili Corso di Analisi 1 di Andrea Centomo 27 gennaio 2011 Indichiamo con R n, n 1, l insieme delle n-uple ordinate di numeri reali R n4{(x 1, x 2,,x n ), x i R, i =1,,n}. Dato X R

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione suppletiva

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione suppletiva ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 00 Sessione suppletiva Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA Se il polinomio

Dettagli

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia DERIVATE DELLE FUNZIONI esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia Incremento della variabile indipendente e della funzione. Se, sono due valori della variabile indipendente, y f ) e y f ) le corrispondenti

Dettagli

b) Il luogo degli estremanti in forma cartesiana è:

b) Il luogo degli estremanti in forma cartesiana è: Soluzione della simulazione di prova del 9/5/ PROBLEMA È data la funzione di equazione: k f( ). a) Determinare i valori di k per cui la funzione ammette punti di massimo e minimo relativi. b) Scrivere

Dettagli

Analisi 2. Argomenti. Raffaele D. Facendola

Analisi 2. Argomenti. Raffaele D. Facendola Analisi 2 Argomenti Successioni di funzioni Definizione Convergenza puntuale Proprietà della convergenza puntuale Convergenza uniforme Continuità e limitatezza Teorema della continuità del limite Teorema

Dettagli

DUE PROPOSTE ANALISI MATEMATICA. Lorenzo Orio

DUE PROPOSTE ANALISI MATEMATICA. Lorenzo Orio DUE PROPOSTE DI ANALISI MATEMATICA Lorenzo Orio Introduzione Il lavoro propone argomenti di analisi matematica trattati in maniera tale da privilegiare l intuizione e con accorgimenti nuovi. Il tratta

Dettagli

3. Sia g(x) = 4. Si calcoli l area del triangolo mistilineo ROS, ove l arco RS appartiene al grafico di f(x) o, indifferentemente, di g(x).

3. Sia g(x) = 4. Si calcoli l area del triangolo mistilineo ROS, ove l arco RS appartiene al grafico di f(x) o, indifferentemente, di g(x). Esame liceo Scientifico : ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMI Problema. Sia ABCD un quadrato di lato, P un punto di AB e γ la circonferenza

Dettagli

4 Funzioni di due o più variabili reali

4 Funzioni di due o più variabili reali 4 Funzioni di due o più variabili reali Dopo aver studiato in dettaglio le funzioni di una variabile reale, affrontiamo ora alcuni aspetti della teoria delle funzioni di due o più variabili reali. La nostra

Dettagli

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata libera e vincolata Generalità. Limiti e continuità per funzioni di 2 o Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor libera vincolata Lo ordinario è in corrispondenza biunivoca con i vettori di

Dettagli

Numeri reali. Funzioni e loro grafici

Numeri reali. Funzioni e loro grafici Argomento Numeri reali. Funzioni e loro grafici Parte B - Funzioni e loro grafici Funzioni reali di variabile reale Definizioni. Supponiamo che A sia un sottoinsieme di R e che esista una legge che ad

Dettagli

LEZIONE 7. Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2. 2, x3 +2x +3.

LEZIONE 7. Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2. 2, x3 +2x +3. 7 LEZIONE 7 Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2 2 6x, x3 +2x 2 6x, 3x + x2 2, x3 +2x +3. Le derivate sono rispettivamente,

Dettagli

11) convenzioni sulla rappresentazione grafica delle soluzioni

11) convenzioni sulla rappresentazione grafica delle soluzioni 2 PARAGRAFI TRATTATI 1)La funzione esponenziale 2) grafici della funzione esponenziale 3) proprietá delle potenze 4) i logaritmi 5) grafici della funzione logaritmica 6) principali proprietá dei logaritmi

Dettagli

Le derivate versione 4

Le derivate versione 4 Le derivate versione 4 Roberto Boggiani 2 luglio 2003 Riciami di geometria analitica Dalla geometria analitica sulla retta sappiamo ce dati due punti del piano A(x, y ) e B(x 2, y 2 ) con x x 2 la retta

Dettagli

6) f(x, y) = xy 1 log(5 2x 2y) x + y. 2x x 2 y 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 x Esercizio 2. Studiare gli insiemi di livello delle seguenti funzioni:

6) f(x, y) = xy 1 log(5 2x 2y) x + y. 2x x 2 y 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 x Esercizio 2. Studiare gli insiemi di livello delle seguenti funzioni: FUNZIONI IN PIÙ VARIABILI 1. Esercizi Esercizio 1. Determinare il dominio delle seguenti funzioni, specificando se si tratta di un insieme aperto o chiuso: 1) f(x, ) = log(x x ) ) f(x, ) = x + 3) f(x,

Dettagli

SIMULAZIONE TEST ESAME - 1

SIMULAZIONE TEST ESAME - 1 SIMULAZIONE TEST ESAME - 1 1. Il dominio della funzione f(x) = log (x2 + 1)(4 x 2 ) (x 2 2x + 1) è: (a) ( 2, 2) (b) ( 2, 1) (1, 2) (c) (, 2) (2, + ) (d) [ 2, 1) (1, 2] (e) R \{1} 2. La funzione f : R R

Dettagli

Anno 4 Grafico di funzione

Anno 4 Grafico di funzione Anno 4 Grafico di funzione Introduzione In questa lezione impareremo a disegnare il grafico di una funzione reale. Per fare ciò è necessario studiare alcune caratteristiche salienti della funzione che

Dettagli

Numeri Complessi. 4. Ricordando che, se z è un numero complesso, zz è un numero reale, mettere sotto la forma. z 2 + 2z + 2 = 0. z 2 + 2z + 6 = 0.

Numeri Complessi. 4. Ricordando che, se z è un numero complesso, zz è un numero reale, mettere sotto la forma. z 2 + 2z + 2 = 0. z 2 + 2z + 6 = 0. Numeri Complessi. Siano z = + i e z 2 = i. Calcolare z + z 2, z z 2, z z 2 e z z 2. 2. Siano z = 2 5 + i 2 e z 2 = 5 2 2i. Calcolare z + z 2, z z 2, z z 2 e z z 2. 3. Ricordando che, se z è un numero complesso,

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI 1) Determinare il dominio delle seguenti funzioni di variabile reale: (a) f(x) = x 4 (c) f(x) = 4 x x + (b) f(x) = log( x + x) (d) f(x) = 1 4 x 5 x + 6 ) Data la funzione

Dettagli

EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti. y = xy. y(2) = 1.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti. y = xy. y(2) = 1. EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti 1. Determinare la soluzione dell equazione differenziale (x 2 + 1)y + y 2 =. y + x tan y = 2. Risolvere il problema di Cauchy y() = 1 2 π. 3. Risolvere il problema

Dettagli

Esercizi di Analisi Matematica

Esercizi di Analisi Matematica Esercizi di Analisi Matematica CAPITOLO 1 LE FUNZIONI Exercise 1.0.1. Risolvere le seguenti disuguaglianze: (1) x 1 < 3 () x + 1 > (3) x + 1 < 1 (4) x 1 < x + 1 x 1 < 3 x + 1 < 3 x < 4 Caso: (a): x 1

Dettagli

Esercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di

Esercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di Esercizi svolti. Si consideri la funzione f() 4. a) Verificare che la funzione F() 4 + arcsin è una primitiva di f() sull intervallo (, ). b) Verificare che la funzione G() 4 + arcsin π è la primitiva

Dettagli

Elementi di topologia della retta

Elementi di topologia della retta Elementi di topologia della retta nome insieme definizione l insieme è un concetto primitivo che si accetta come intuitivamente noto secondo George Cantor, il padre della teoria degli insiemi: Per insieme

Dettagli

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE 1. EQUAZIONI Definizione: un equazione è un uguaglianza tra due espressioni letterali (cioè in cui compaiono numeri, lettere

Dettagli

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE Funzione: legge che ad ogni elemento di un insieme D (Dominio) tale che D R, fa corrispondere un elemento y R ( R = Codominio ). f : D R : f () = y ; La funzione f(): A

Dettagli

Trasformazioni geometriche nel piano cartesiano

Trasformazioni geometriche nel piano cartesiano Trasformazioni geometriche nel piano cartesiano Francesco Biccari 18 marzo 2013 Una trasformazione geometrica del piano è una legge (corrispondenza biunivoca) che consente di associare a un determinato

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Successioni e serie numeriche

Corso di Analisi Matematica. Successioni e serie numeriche a.a. 2011/12 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Successioni e serie numeriche Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità

Dettagli

x ( 3) + Inoltre (essendo il grado del numeratore maggiore del grado del denominatore, d ancora dallo studio del segno),

x ( 3) + Inoltre (essendo il grado del numeratore maggiore del grado del denominatore, d ancora dallo studio del segno), 6 - Grafici di funzioni Soluzioni Esercizio. Studiare il grafico della funzione f(x) = x x + 3. ) La funzione è definita per x 3. ) La funzione non è né pari, né dispari, né periodica. 3) La funzione è

Dettagli

Studio di funzioni ( )

Studio di funzioni ( ) Studio di funzioni Effettuare uno studio qualitativo e tracciare un grafico approssimativo delle seguenti funzioni. Si studi in particolare anche la concavità delle funzioni e si indichino esplicitamente

Dettagli

LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO

LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO Una trasformazione geometrica è una funzione che fa corrispondere a ogni punto del piano un altro punto del piano stesso Si può pensare come MOVIMENTO di punti e

Dettagli

Funzioni. Capitolo 6. 6.1 Concetto di funzione e definizioni preliminari

Funzioni. Capitolo 6. 6.1 Concetto di funzione e definizioni preliminari Capitolo 6 Funzioni 6. Concetto di funzione e definizioni preliminari Definizione 6. Dati due insiemi non vuoti D e C, si dice applicazione o funzione una qualsiasi legge (relazione) che associa ad ogni

Dettagli

1 Grafico di una funzione reale 1. 2 Funzioni elementari 2 2.1 Funzione potenza... 2 2.2 Funzione esponenziale... 3 2.3 Funzione logaritmica...

1 Grafico di una funzione reale 1. 2 Funzioni elementari 2 2.1 Funzione potenza... 2 2.2 Funzione esponenziale... 3 2.3 Funzione logaritmica... UNIVR Facoltà di Economia Sede di Vicenza Corso di Matematica Funzioni reali di variabile reale Indice Grafico di una funzione reale 2 Funzioni elementari 2 2. Funzione potenza................................................

Dettagli

Durata della prova: 3h. 2 +y 4. tan y sin y lim = 1. (x 4 +y 2 )y 3

Durata della prova: 3h. 2 +y 4. tan y sin y lim = 1. (x 4 +y 2 )y 3 Università degli Studi di Napoli Federico II Corso di Laurea in Matematica Analisi Matematica II (Gruppo ), A.A. 22/3 Prova scritta del 28 gennaio 23 Durata della prova: 3h. sercizio (8 punti). Si consideri

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA 1 Sia f la funzione definita da: f

Dettagli

Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R

Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R Studio di funzione Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R : allo scopo di determinarne le caratteristiche principali.

Dettagli

Prova parziale di Geometria e Topologia I - 5 mag 2008 (U1-03, 13:30 16:30) 1/8. Cognome:... Nome:... Matricola:...

Prova parziale di Geometria e Topologia I - 5 mag 2008 (U1-03, 13:30 16:30) 1/8. Cognome:... Nome:... Matricola:... Prova parziale di Geometria e Topologia I - 5 mag 2008 (U1-03, 13:30 16:30) 1/8 Cognome:................ Nome:................ Matricola:................ (Dare una dimostrazione esauriente di tutte le

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2011

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2011 ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINAMENT Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEMA Si considerino le funzioni f e g definite, per tutti

Dettagli

1 Definizione: lunghezza di una curva.

1 Definizione: lunghezza di una curva. Abstract Qui viene affrontato lo studio delle curve nel piano e nello spazio, con particolare interesse verso due invarianti: la curvatura e la torsione Il primo ci dice quanto la curva si allontana dall

Dettagli

Corso di Matematica per CTF Appello 15/12/2010

Corso di Matematica per CTF Appello 15/12/2010 Appello 15/12/2010 Svolgere i seguenti esercizi: 1) Calcolare entrambi i limiti: a) lim(1 x) 1 e x 1 ; x 0 x log 2 x b) lim x 1 1 cos(x 1). 2) Data la funzione: f(x) = x log x determinarne dominio, eventuali

Dettagli

Le trasformazioni geometriche

Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni affini del piano o affinità Le similitudini Le isometrie Le traslazioni Le rotazioni Le simmetrie assiale e centrale Le omotetie

Dettagli

Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili

Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili I risultati principali della teoria dell ottimizzazione, il Teorema di Fermat in due variabili e il Test dell hessiana, si applicano esclusivamente

Dettagli

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2001 Sessione suppletiva

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2001 Sessione suppletiva ESME DI STT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINMENT 1 Sessione suppletiva Il candidato risolva uno dei due problemi e dei 1 quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEM 1 Si consideri la funzione reale

Dettagli

Osservazione 2 L elemento di arrivo ( output) deve essere unico corrispondenza univoca da A e B. f : A B

Osservazione 2 L elemento di arrivo ( output) deve essere unico corrispondenza univoca da A e B. f : A B FUNZIONI Definizione 1 Dati due insiemi A e B, si chiama funzione da A a B una legge che ad ogni elemento di A associa un (solo) elemento di B. L insieme A si chiama dominio della funzione e l insieme

Dettagli

Guida pratica per la prova scritta di matematica della maturità scientifica

Guida pratica per la prova scritta di matematica della maturità scientifica Giulio Donato Broccoli Guida pratica per la prova scritta di matematica della maturità scientifica Comprende: Metodi matematici fondamentali per affrontare i temi assegnati Esercizi interamente svolti

Dettagli

1 Insiemi in R n 1 1.1 Simmetrie degli insiemi... 5

1 Insiemi in R n 1 1.1 Simmetrie degli insiemi... 5 UNIVR Facoltà di Economia Sede di Vicenza Corso di Matematica Funzioni reali di più variabili Indice Insiemi in R n. Simmetrie degli insiemi............................................ 5 2 Funzioni da

Dettagli

Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014

Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014 Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 14 Problema 1 Punto a) Osserviamo che g (x) = f(x) e pertanto g () = f() = in quanto Γ è tangente all asse delle ascisse,

Dettagli

CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE

CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE. Esercizi x + z = Esercizio. Data la curva x, calcolare l equazione del cilindro avente γ y = 0 come direttrice e con generatrici parallele al vettore v = (, 0, ).

Dettagli

Numeri Complessi. 4. Ricordando che, se z è un numero complesso, zz è un numero reale, mettere sotto la forma. z 2 + 2z + 2 = 0. z 2 + 2z + 6 = 0.

Numeri Complessi. 4. Ricordando che, se z è un numero complesso, zz è un numero reale, mettere sotto la forma. z 2 + 2z + 2 = 0. z 2 + 2z + 6 = 0. Numeri Complessi. Siano z = + i e z 2 = i. Calcolare z + z 2, z z 2, z z 2 e z z 2. 2. Siano z = 2 5 + i 2 e z 2 = 5 2 2i. Calcolare z + z 2, z z 2, z z 2 e z z 2. 3. Ricordando che, se z è un numero complesso,

Dettagli

1 Massimi e minimi liberi 1. 2 Massimi e minimi vincolati 7. 3 Soluzioni degli esercizi 12

1 Massimi e minimi liberi 1. 2 Massimi e minimi vincolati 7. 3 Soluzioni degli esercizi 12 UNIVR Facoltà di Economia Sede di Vicenza Corso di Matematica 1 Massimi e minimi delle funzioni di più variabili Indice 1 Massimi e minimi liberi 1 Massimi e minimi vincolati 7 3 Soluzioni degli esercizi

Dettagli

Numeri Complessi. 4. Ricordando che, se z è un numero complesso, zz è un numero reale, mettere sotto la forma. z 2 + 2z + 2 = 0. z 2 + 2z + 6 = 0.

Numeri Complessi. 4. Ricordando che, se z è un numero complesso, zz è un numero reale, mettere sotto la forma. z 2 + 2z + 2 = 0. z 2 + 2z + 6 = 0. Numeri Complessi. Siano z = + i e z 2 = i. Calcolare z + z 2, z z 2, z z 2 e z z 2. 2. Siano z = 2 5 + i 2 e z 2 = 5 2 2i. Calcolare z + z 2, z z 2, z z 2 e z z 2. 3. Ricordando che, se z è un numero complesso,

Dettagli

Note di matematica per microeconomia

Note di matematica per microeconomia Note di matematica per microeconomia Luigi Balletta Funzioni di una variabile (richiami) Una funzione di variabile reale ha come insieme di partenza un sottoinsieme di R e come insieme di arrivo un sottoinsieme

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2003 Sessione straordinaria

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2003 Sessione straordinaria ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 3 Sessione straordinaria Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA È assegnata

Dettagli

2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE

2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 2.1 CONCETTO DI FUNZIONE Definizione 2.1 Siano A e B due insiemi. Una funzione (o applicazione) f con dominio A a valori in B è una legge che associa ad ogni elemento

Dettagli

Geometria analitica di base (prima parte)

Geometria analitica di base (prima parte) SAPERE Al termine di questo capitolo, avrai appreso: come fissare un sistema di riferimento cartesiano ortogonale il significato di equazione di una retta il significato di coefficiente angolare di una

Dettagli

1.2 Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche

1.2 Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche . Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche Per le definizioni e teoremi si fa riferimento ad uno qualsiasi dei libri M.Bertsch - R.Dal Passo Lezioni di Analisi

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Funzioni reali di variabile reale

Corso di Analisi Matematica. Funzioni reali di variabile reale a.a. 2011/12 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Funzioni reali di variabile reale Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità

Dettagli

Coordinate Cartesiane nel Piano

Coordinate Cartesiane nel Piano Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi (spesso

Dettagli

Serie numeriche e serie di potenze

Serie numeriche e serie di potenze Serie numeriche e serie di potenze Sommare un numero finito di numeri reali è senza dubbio un operazione che non può riservare molte sorprese Cosa succede però se ne sommiamo un numero infinito? Prima

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI Esercizi risolti

FUNZIONI ELEMENTARI Esercizi risolti FUNZIONI ELEMENTARI Esercizi risolti 1 Discutendo graficamente la disequazione x > 3+x, verificare che l insieme delle soluzioni è un intervallo e trovarne gli estremi Rappresentare nel piano x, y) l insieme

Dettagli

Svolgimento 1 Scriviamo la funzione f(x) che rappresenta la spesa totale in un mese: Figura 2 Il grafico di f(x).

Svolgimento 1 Scriviamo la funzione f(x) che rappresenta la spesa totale in un mese: Figura 2 Il grafico di f(x). Problema 1 Il piano tariffario proposto da un operatore telefonico prevede, per le telefonate all estero, un canone fisso di euro al mese, più centesimi per ogni minuto di conversazione. Indicando con

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ODINAMENTO 2011. Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti scelti nel questionario 1.

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ODINAMENTO 2011. Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti scelti nel questionario 1. ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ODINAMENTO 11 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 1 quesiti scelti nel questionario 1. PROBLEMA 1 Si considerino le funzioni f e g definite, per

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2002 Sessione suppletiva

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2002 Sessione suppletiva ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. Sessione suppletiva Il candidato risolva uno dei due problemi e dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA Nel piano riferito

Dettagli

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti. Determinare kπ/ [cos] al variare di k in Z. Ove tale ite non esista, discutere l esistenza dei iti laterali. Identificare i punti di discontinuità della funzione

Dettagli

Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1. Federico Lastaria federico.lastaria@polimi.it

Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1. Federico Lastaria federico.lastaria@polimi.it Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Federico Lastaria federico.lastaria@poi.it Primi teoremi di caclolo differenziale Ottobre 2010. Indice 1 Funzioni derivabili su un intervallo 1 1.1

Dettagli

Capitolo 5. Funzioni. Grafici.

Capitolo 5. Funzioni. Grafici. Capitolo 5 Funzioni. Grafici. Definizione: Una funzione f di una variabile reale,, è una corrispondenza che associa ad ogni numero reale appartenente ad un insieme D f R un unico numero reale, y R, denotato

Dettagli

ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 7. DERIVATE. A. A. 2014-2015 L. Doretti

ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 7. DERIVATE. A. A. 2014-2015 L. Doretti ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 7. DERIVATE A. A. 2014-2015 L. Doretti 1 Il concetto di derivata di una funzione è uno dei più importanti e fecondi di tutta la matematica sia per

Dettagli

Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria).

Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria). Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria). Aprile 20 Indice Serie numeriche. Serie convergenti, divergenti, indeterminate.....................

Dettagli

Università degli studi di Brescia Facoltà di Medicina e Chirurgia Corso di Laurea in Infermieristica. Corso propedeutico di Matematica e Informatica

Università degli studi di Brescia Facoltà di Medicina e Chirurgia Corso di Laurea in Infermieristica. Corso propedeutico di Matematica e Informatica Università degli studi di Brescia Facoltà di Medicina e Chirurgia Corso di Laurea in Infermieristica a.a. 2006/2007 Docente Ing. Andrea Ghedi Lezione 2 IL PIANO CARTESIANO 1 Il piano cartesiano In un piano

Dettagli

la funzione è definita la funzione non è definita Si osservi, infatti, che la radice di un numero negativo non esiste nel campo dei numeri reali.

la funzione è definita la funzione non è definita Si osservi, infatti, che la radice di un numero negativo non esiste nel campo dei numeri reali. 1 y 4 CAMPO DI ESISTENZA. Poiché data è una irrazionale con indice di radice pari, il cui radicando è un polinomio, essa risulta definita solo per i valori della per i quali il radicando è positivo, ovvero

Dettagli

~ Copyright Ripetizionando - All rights reserved ~ http://ripetizionando.wordpress.com STUDIO DI FUNZIONE

~ Copyright Ripetizionando - All rights reserved ~ http://ripetizionando.wordpress.com STUDIO DI FUNZIONE STUDIO DI FUNZIONE Passaggi fondamentali Per effettuare uno studio di funzione completo, che non lascia quindi margine a una quasi sicuramente errata inventiva, sono necessari i seguenti 7 passaggi: 1.

Dettagli

5. LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE vers 100609

5. LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE vers 100609 5. LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE vers 100609 sostituscono le pagg. 50-58 (fino alle eq. 5.28) Come già visto è stato scelto l'ellissoide come riferimento planimetrico sul quale proiettare tutti i punti

Dettagli

Programma di Matematica

Programma di Matematica Programma di Matematica Modulo 1. Topologia in R 2. Funzioni in R 3. Limite e continuità di una funzione Unità didattiche Struttura algebrica di R Insiemi reali limitati e illimitati Intorno di un punto

Dettagli

Insiemi di livello e limiti in più variabili

Insiemi di livello e limiti in più variabili Insiemi di livello e iti in più variabili Insiemi di livello Si consideri una funzione f : A R, con A R n. Un modo per poter studiare il comportamento di una funzione in più variabili potrebbe essere quello

Dettagli

Esercizi di Matematica. Funzioni e loro proprietà

Esercizi di Matematica. Funzioni e loro proprietà www.pappalardovincenzo.3.it Esercizi di Matematica Funzioni e loro proprietà www.pappalardovincenzo.3.it ESERCIZIO www.pappalardovincenzo.3.it ESERCIZIO ESERCIZIO www.pappalardovincenzo.3.it ESERCIZIO

Dettagli

LA FUNZIONE INTEGRALE

LA FUNZIONE INTEGRALE LA FUNZIONE INTEGRALE MAGLIOCURIOSO & CAMILLO magliocurioso@hotmail.it Sommario. In questa breve dispensa ho semplicementrascritto in L A TEX il contenuto di questa discussione: http://www.matematicamente.it/forum/

Dettagli

Dispense di Matematica Analisi Matematica. Riccarda Rossi

Dispense di Matematica Analisi Matematica. Riccarda Rossi Dispense di Matematica Analisi Matematica Riccarda Rossi Corso di Laurea in Disegno Industriale Università degli Studi di Brescia Anno Accademico 2009/2010 2 Capitolo 1 Nozioni preliminari 4 Riccarda Rossi

Dettagli