Ricorsione. quindi si può definire n! mediante i seguenti due punti:
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- Agostina Donata Pesce
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1 Ricorsione Due definizioni del fattoriale Prima definizione: n! = (n-1) n Per la seconda definizione notiamo che n = (n-1)! n (n-1)! quindi si può definire n! mediante i seguenti due punti: n! = 1 se n? 1 n! = n (n-1)! se n > 1 (definizione mediante equazioni di ricorrenza)
2 la prima definizione non è molto rigorosa (cosa vuol dire....?) La seconda invece è matematicamente ineccepibile. Anzi può essere usata come metodo meccanico per il calcolo del fattoriale. Per esempio: 4! = 4 3! (3 >1) = 4 3 2! (2 >1) = ! = = 24 Nota: in notazione più informatica si può scrivere: fact(n) = 1 se n? 1 fact(n) = n fact(n-1) se n > 1
3 Versione JAVA public class FactTest {public static void (String [] args) n= In.readInt("n: "); System.out.println(fact(n)); public static long fact(int n) {if (n<=1) return 1; return n * fact(n-1);
4 Simulazione (sia dato 4 in input) public class FactTest {public static void (String [] args) n= In.readInt("n: "); System.out.println(fact(n) ); public static long fact(int n) {if (n<=1) return 1; return n * fact(n-1) ;
5 public class FactTest {public static void (String [] args) n= In.readInt("n: "); System.out.println(fact(n) ); public static long fact(int n) {if (n<=1) return 1; return n * fact(n-1) ; fact
6 public class FactTest {public static void (String [] args) n= In.readInt("n: "); System.out.println(fact(n) ); public static long fact(int n) {if (n<=1) return 1; return n * fact(n-1) ; fact
7 public class FactTest {public static void (String [] args) n= In.readInt("n: "); System.out.println(fact(n) ); public static long fact(int n) {if (n<=1) return 1; return n * fact(n-1) ; fact(2) fact(1) n: 3
8 public class FactTest {public static void (String [] args) n= In.readInt("n: "); System.out.println(fact(n) ); public static long fact(int n) {if (n<=1) return 1; return n * fact(n-1) ; fact(2) fact(1) n: 3
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10 public class FactTest {public static void (String [] args) n= In.readInt("n: "); System.out.println(fact(n) ); public static long fact(int n) {if (n<=1) return 1; return n * fact(n-1) ; fact(3) fact(2) fact(1) n: 2 n: 3
11 public class FactTest {public static void (String [] args) n= In.readInt("n: "); System.out.println(fact(n) ); public static long fact(int n) {if (n<=1) return 1; return n * fact(n-1) ; (ritorna 1) fact(4) fact(3) fact(2) fact(1) n: 1 n: 2 n: 3
12 public class FactTest {public static void (String [] args) n= In.readInt("n: "); System.out.println(fact(n) ); public static long fact(int n) {if (n<=1) return 1; return n * fact(n-1) ; 1 (ritorna 2) fact(3) fact(2) fact(1) n: 2 n: 3
13 public class FactTest {public static void (String [] args) n= In.readInt("n: "); System.out.println(fact(n) ); public static long fact(int n) {if (n<=1) return 1; return n * fact(n-1) ; 2 (ritorna 6) fact(2) fact(1) n: 3
14 public class FactTest {public static void (String [] args) n= In.readInt("n: "); System.out.println(fact(n) ); public static long fact(int n) {if (n<=1) return 1; return n * fact(n-1) ; 6 (ritorna 24) fact(1)
15 public class FactTest {public static void (String [] args) n= In.readInt("n: "); System.out.println(fact(n) ); 24 public static long fact(int n) {if (n<=1) return 1; return n * fact(n-1) ;
16 public class FactTest {public static void (String [] args) n= In.readInt("n: "); System.out.println(fact(n) ); public static long fact(int n) {if (n<=1) return 1; return n * fact(n-1) ; il programma termina stampando 24.
17 Riassumendo in un metodo ricorsivo ci devono sempre essere queste due componemti: un caso semplice (per esempio il caso n<=1), che non richiede la chiamata ricorsiva del metodo stesso. un caso ricorsivo in cui il metodo viene richiamato, su paramtri che siano, in qualche modo, più semplici. Più semplici vuole soltanto dire che porteranno, prima o poi, al caso elementare.
18 Esempio: stampa di un numero in binario Idea del procedimento: prendiamo (rapp. binaria di 11) Fatti generali: 5 in bin l ultima cifra di n in binario è 0 se n è pari 1 se n è dispari. le cifre precedenti sono la rappresentazione in binario di n/2 (divisione intera)
19 tradotto in ragionamento ricorsivo questo diventa: Per stampare n in binario: se n<2 stampa n. altrimenti stampa n/2 (intero) in binario e poi stampa n%2 (cioè 0 se n è pari, 1 se n è dispari).
20 public class WriteBinary { public static void (String [] args) n= In.readInt("n: "); printbinary(n) ; System.out.println(); Output: public static void printbinary(int n) {if (n<2) {System.out.print(n); return; printbinary(n/2) ; System.out.print(n%2); return; n: 5
21 public class WriteBinary Output: { public static void (String [] args) n= In.readInt("n: "); printbinary(n) ; System.out.println(); public static void printbinary(int n) {if (n<2) {System.out.print(n); return; printbinary(n/2) ; printbinary(1) n: 5 System.out.print(n%2); return; n: 5
22 public class WriteBinary { public static void (String [] args) n= In.readInt("n: "); printbinary(n) ; System.out.println(); Output: public static void printbinary(int n) {if (n<2) {System.out.print(n); return; printbinary(n/2) ; printbinary(1) n: 5 System.out.print(n%2); return; n: 5 nota: 5/2=2
23 public class WriteBinary Output: { public static void (String [] args) n= In.readInt("n: "); printbinary(n) ; System.out.println(); public static void printbinary(int n) printbinary(2) n: 2 {if (n<2) {System.out.print(n); return; printbinary(n/2) ; printbinary(1) n: 5 System.out.print(n%2); return; n: 5
24 public class WriteBinary { public static void (String [] args) n= In.readInt("n: "); printbinary(n) ; System.out.println(); Output: public static void printbinary(int n) printbinary(2) n: 2 {if (n<2) {System.out.print(n); return; printbinary(n/2) ; printbinary(1) n: 5 System.out.print(n%2); return; n: 5 nota:2/2 = 1
25 public class WriteBinary { public static void (String [] args) n= In.readInt("n: "); printbinary(n) ; System.out.println(); Output: printbinary(3) n: 1 public static void printbinary(int n) printbinary(2) n: 2 {if (n<2) {System.out.print(n); return; printbinary(n/2) ; printbinary(1) n: 5 System.out.print(n%2); return; n: 5
26 public class WriteBinary { public static void (String [] args) n= In.readInt("n: "); printbinary(n) ; System.out.println(); Output: 1 printbinary(3) n: 1 public static void printbinary(int n) printbinary(2) n: 2 {if (n<2) {System.out.print(n); return; printbinary(n/2) ; printbinary(1) n: 5 System.out.print(n%2); return; n: 5
27 public class WriteBinary Output: 1 { public static void (String [] args) n= In.readInt("n: "); printbinary(n) ; System.out.println(); public static void printbinary(int n) printbinary(2) n: 2 {if (n<2) {System.out.print(n); return; printbinary(n/2) ; printbinary(1) n: 5 System.out.print(n%2); return; n: 5
28 public class WriteBinary Output: 10 { public static void (String [] args) n= In.readInt("n: "); printbinary(n) ; System.out.println(); public static void printbinary(int n) printbinary(2) n: 2 {if (n<2) {System.out.print(n); return; printbinary(n/2) ; printbinary(1) n: 5 System.out.print(n%2); return; n: 5
29 public class WriteBinary Output: 10 { public static void (String [] args) n= In.readInt("n: "); printbinary(n) ; System.out.println(); public static void printbinary(int n) {if (n<2) {System.out.print(n); return; printbinary(n/2) ; printbinary(1) n: 5 System.out.print(n%2); return; n: 5
30 public class WriteBinary Output: 101 { public static void (String [] args) n= In.readInt("n: "); printbinary(n) ; System.out.println(); public static void printbinary(int n) {if (n<2) {System.out.print(n); return; printbinary(n/2) ; printbinary(1) n: 5 System.out.print(n%2); return; n: 5
31 public class WriteBinary { public static void (String [] args) n= In.readInt("n: "); printbinary(n) ; System.out.println(); Output: 101 public static void printbinary(int n) {if (n<2) {System.out.print(n); return; printbinary(n/2) ; System.out.print(n%2); return; Il programma termina. l output è 101. n: 5
32 Una versione iterativa di printbinary. public static void printbinary(int n) {int[] x = new int[30]; int i; for (i=0;n>0;i++) {x[i] = n%2 ; n = n/2; i--; for (i=i; i>=0;i--) System.out.print(x[i]); return; notare come il metodo iterativo abbia una struttura più complessa.
33 I numeri di Fibonacci Fibonacci e i conigli: ogni coppia di conigi diventa feconda dopo un mese dalla nascita mesi 0 1? 0 coppie di conigli 1 coppia di conigli ? 1 coppia di conigli?????????? 2 coppie di conigli 3 coppie di conigli 4 coppie di conigli in generale: conigli(0) = 0 conigli(1) = 1 conigli(n) = conigli(n-1) + conigli(n-2) (n>1)
34 Il programma JAVA per fib - versione ricorsiva public class FibRic {public static void (String [] args) n= AConsoleReader.readInt("n: "); System.out.println(fib(n) ); supponiamo 4 in input public static longfib(int n) {if ((n==0) (n==1)) return n; return fib(n-1) +fib(n-2) $3 ; fib 1
35 Il programma JAVA per fib - versione ricorsiva public class FibRic {public static void (String [] args) n= AConsoleReader.readInt("n: "); System.out.println(fib(n) ); public static longfib(int n) {if ((n==0) (n==1)) return n; return fib(n-1) +fib(n-2) $3 ; fib(1) fib 2
36 Il programma JAVA per fib - versione ricorsiva public class FibRic {public static void (String [] args) n= AConsoleReader.readInt("n: "); System.out.println(fib(n) ); public static longfib(int n) {if ((n==0) (n==1)) return n; return fib(n-1) +fib(n-2) $3 ; fib(2) fib(1) n: 3 fib 3
37 Il programma JAVA per fib - versione ricorsiva public class FibRic {public static void (String [] args) n= AConsoleReader.readInt("n: "); System.out.println(fib(n) ); public static longfib(int n) {if ((n==0) (n==1)) return n; return fib(n-1) +fib(n-2) $3 ; fib(3) fib(2) fib(1) n: 2 n: 3 fib 4
38 Il programma JAVA per fib - versione ricorsiva public class FibRic {public static void (String [] args) n= AConsoleReader.readInt("n: "); System.out.println(fib(n) ); public static longfib(int n) {if ((n==0) (n==1)) return n; return fib(n-1) +fib(n-2) $3 ; fib(4) fib(3) fib(2) fib(1) n: 1 n: 2 n: 3 fib 5
39 Il programma JAVA per fib - versione ricorsiva public class FibRic {public static void (String [] args) n= AConsoleReader.readInt("n: "); System.out.println(fib(n) ); public static longfib(int n) {if ((n==0) (n==1)) return n; return fib(n-1) +fib(n-2) $3 ; 1 fib(3) fib(2) fib(1) n: 2 ricorda 1 n: 3 fib 6
40 public class FibRic {public static void (String [] args)
41 Il programma JAVA per fib - versione ricorsiva public class FibRic {public static void (String [] args) n= AConsoleReader.readInt("n: "); System.out.println(fib(n) ); public static longfib(int n) {if ((n==0) (n==1)) return n; return fib(n-1) +fib(n-2) $3 ; 1 0 fib(3) fib(2) fib(1) n: 2 ricorda 1 n: 3 fib 8
42 Il programma JAVA per fib - versione ricorsiva public class FibRic {public static void (String [] args) n= AConsoleReader.readInt("n: "); System.out.println(fib(n) ); public static longfib(int n) {if ((n==0) (n==1)) return n; return fib(n-1) +fib(n-2) $3 ; 1 fib(2) fib(1) n: 3 ricorda 1 fib 9
43 Il programma JAVA per fib - versione ricorsiva public class FibRic {public static void (String [] args) n= AConsoleReader.readInt("n: "); System.out.println(fib(n) ); public static longfib(int n) {if ((n==0) (n==1)) return n; return fib(n-1) +fib(n-2) $3 ; fib(3) fib(2) fib(1) n: 1 n: 3 ricorda 1 $3 fib 10
44 Il programma JAVA per fib - versione ricorsiva public class FibRic {public static void (String [] args) n= AConsoleReader.readInt("n: "); System.out.println(fib(n) ); public static longfib(int n) {if ((n==0) (n==1)) return n; return fib(n-1) +fib(n-2) $3 ; 1 1 fib(2) fib(1) n: 3 ricorda 1 fib 11
45 Il programma JAVA per fib - versione ricorsiva public class FibRic {public static void (String [] args) n= AConsoleReader.readInt("n: "); System.out.println(fib(n) ); public static longfib(int n) {if ((n==0) (n==1)) return n; return fib(n-1) +fib(n-2) $3 ; 2 fib(1) ricorda 2 fib 12
46 Il programma JAVA per fib - versione ricorsiva public class FibRic {public static void (String [] args) n= AConsoleReader.readInt("n: "); System.out.println(fib(n) ); public static longfib(int n) {if ((n==0) (n==1)) return n; return fib(n-1) +fib(n-2) $3 ; fib(2) fib(1) n: 2 ricorda 2 $3 fib 12
47 public class FibRic {public
48 Il programma JAVA per fib - versione ricorsiva public class FibRic {public static void (String [] args) n= AConsoleReader.readInt("n: "); System.out.println(fib(n) ); public static longfib(int n) {if ((n==0) (n==1)) return n; return fib(n-1) +fib(n-2) $3 ; 1 fib(2) fib(1) n: 2 ricorda 1 ricorda 2 $3 fib 14
49 Il programma JAVA per fib - versione ricorsiva public class FibRic {public static void (String [] args) n= AConsoleReader.readInt("n: "); System.out.println(fib(n) ); public static longfib(int n) {if ((n==0) (n==1)) return n; return fib(n-1) +fib(n-2) $3 ; fib(3) fib(2) fib(1) n: 0 n: 2 ricorda 1 ricorda 2 $3 $3 fib 15
50 Il programma JAVA per fib - versione ricorsiva public class FibRic {public static void (String [] args) n= AConsoleReader.readInt("n: "); System.out.println(fib(n) ); public static longfib(int n) {if ((n==0) (n==1)) return n; return fib(n-1) +fib(n-2) $3 ; 1 0 fib(2) fib(1) n: 2 ricorda 1 ricorda 2 $3 fib 16
51 Il programma JAVA per fib - versione ricorsiva public class FibRic {public static void (String [] args) n= AConsoleReader.readInt("n: "); System.out.println(fib(n) ); public static longfib(int n) {if ((n==0) (n==1)) return n; return fib(n-1) +fib(n-2) $3 ; 2 1 fib(1) ricorda 2 fib 17
52 public class FibRic {public static void (String [] args) n= AConsoleReader.readInt("n: "); System.out.println(fib(n) ); Il programma JAVA per fib - versione ricorsiva 3 public static longfib(int n) {if ((n==0) (n==1)) return n; return fib(n-1) +fib(n-2) $3 ; fib 18
53 Il programma JAVA per fib - versione ricorsiva public class FibRic {public static void (String [] args) n= AConsoleReader.readInt("n: "); System.out.println(fib(n) ); public static longfib(int n) {if ((n==0) (n==1)) return n; return fib(n-1) +fib(n-2) $3 ; Il programma stampa 3 e termina. fib 19
54 Nota: i risultati parziali di alcune espressioni (tipicamente in questo caso i risultati di fib(n-1) scritti in verde) possono essere ricordati nel frame in cui vengono calcolati. Questo processo è invisibile all utente e viene gestito interamente dal compilatore. Però ora dimentichiamo pure tutto. Quello che importa è sapere che per scrivere un metodo si può assumere di averlo già disponibile, purchè lo si usi su dei dati, in qualche modo, più semplici. Più semplici vuole soltanto dire che porteranno, prima o poi, al caso elementare.
55 Possibili problemi (nascosti) della ricorsione - Il numero di frames per uno stesso metodo allocati contemporaneamente sullo stack può diventare molto grande e causare uno stack overflow. E difficile che accade se la ricorsione è usata in modo classico. - L allocazione di un frame costa comunque tempo: di questo bisogna a volte tenerne conto. - Può capitare (senza accorgersene) di ripetere (nello stesso programma) la chiamata di un metodo sugli stessi dati: l effetto puo essere impressionante! Se possibile evitare questo!
56 Esempio: Figura 5 Schema delle invocazioni del metodo ricorsivo fib su 6 notare le duplicazioni delle chiamate sullo stesso parametro.
57 Si può facilmente vedere che il numero di chiamate ricorsive per calcolare fib(n) è superiore a fib(n) stesso. 1? 5 Ora fib(n) si può approssmare con? n dove? =. 2 per esempio fib(30)? fib(40)? fib(50)? (crescita esponenziale!) - Il programma iterativo, invece, ripete un ciclo n volte per calcolare fib(n).
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