Algoritmo per A. !(x) Istanza di B

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1 Riduzioni polinomiali Una funzione f: T*!T* è detta computabile in tempo polinomiale se esiste una macchina di Turing limitata polinomialmente che la computi. Siano L 1 e L 2 " T* due linguaggi. Una funzione # : T*!T* è detta una riduzione polinomiale di L 1 a L 2 se per ciascun x $ T* segue che x $ L 1 se e solo se #(x) $ L 2 Algoritmo per A Si x!!(x) Algoritmo per B Istanza di A Istanza di B No Pertanto se B e un problema noto ed è possibile ricondurre il problema A al problema B con una trasformazione polinomiale P ovvero A! P B si possono trovare le soluzioni per il problema A. In altre parole l esistenza di una riduzione polinomiale da A a B ci dice che B è almeno difficile quanto A. Pertanto: - Se B è risolvibile polinomialmente lo è anche A - Se A richiede un tempo esponenziale (non polinomiale) anche B richiederà un tempo esponenziale.

2 Esempio di riduzione Riduzione del problema CICLI HAMILTONIANI a SODDISFACIBILITA Dato un Grafo G =(N,V) con N= {1,2,...n}. l obiettivo è quello di definire una trasformazione! che produca una formula booleana in CNF,! (G), tale che G ha un ciclo Hamiltoniano se e solo se! (G) è soddisfacibile. La formula! (G) contiene n 2 variabili x ij con 1! i,,j! n. Ciascuna x ij viene interpretata nel seguente modo il nodo i di G è il j-esimo nodo del ciclo Hamiltoniano di G ESEMPIO: A B E F G D A C nodi di G J-esimo nodo del ciclo B C D Nodi del ciclo Rappresentato come E F G Nodi del grafo A B C D E F G Evidentemente sulla matrice è possibile rappresentare ogni possibile ciclo del grafo. L obiettivo della riduzione è quello di costruire un sistema di vincoli costituito da clausole che caratterizzino un ciclo hamiltoniano.

3 Esempio di riduzione cont. a partire da una matrice di n 2 elementi rappresentata da x x x x 11 x x 1n n... x. x. 1n nn si introducono i due seguenti vincoli: (x 1j! x 2j...! x nj ) (x ij " x ik ) ovvero! per i,j,k=1,...,n e j!k - Il primo vincolo ci dice che almeno un nodo deve far parte del ciclo (almeno un letterale deve essere soddisfatto); Questi due vincoli garantiscono che esattamente un nodo appare come i-esimo nel ciclo Hamiltoniano. Questo viene ottenuto dalle clausole: - il secondo ci dice che due elementi della medesima riga non sono a 1 ovvero il medesimo nodo i non può apparire due volte nel ciclo. Tuttavia occorre precisare che il nodo i deve apparire esattamente una volta nel ciclo. ( x i1! x i2!...! x in ) e (x ij " x kj ) ovvero! per i,j,k=1,...,n e i!k -Un nodo i deve essere associato ad un nodo j del ciclo; - Sul medesimo nodo j del ciclo non possono esserci due nodi diversi Le clausole sopra descritte sono indipendenti dalla struttura del grafo (dipendono dal numero dei nodi)

4 Esempio di riduzione cont. Quello che abbiamo ricavato è una biiezione ovvero una permutazione dei nodi di G. L ultima condizione da verificare è che questa permutazione rappresenti un ciclo. Questo può essere ottenuto con il vincolo: per j = 1,...n e per ciascuna coppia (i,k) tale che (i,k) non è un arco di G. Quello che in altre parole il vincolo significa è che se non c e un arco tra i e k i due nodi non possono apparire consecutivamente nel ciclo ovvero come nodo j-esimo e nodo j+1-esimo del ciclo. Si osservi che la somma j+1 è fatta modulo n, cioè n+1 = 1. La costruzione richiede O(n 3 ) clausole e quindi O(n 3 ) letterali. E possibile costruire un Macchina di Turing polinomiale che computi la funzione di riduzione #. Le clausole sopra descritte dipendono dalla struttura del grafo

5 Esempio di riduzione cont. Si deve ora dimostrare che G ha un ciclo Hamiltoniano se solo se!(g) è soddisfacibile. Supponiamo che ci sia un assegnamento t che renda soddisfacibile!(g). Per come è costruita la trasformazione questo significa che in ogni clausola ci deve essere almeno un letterale positivo e quindi per ciascun i esattamente un t(x ij ) è vero e per ciascun j esattamente un t(x ij ) è vero. [abbiamo costruito una biiezione] Per comodità si introduce la funzione!(.) che si applica sia sulle righe che sulle colonne e produce l indice per cui t(x ij ) = vero. Denotiamo con!(i) l unico j per cui t(x i,!(i) ) è vero Siccome si devono soddisfare anche le clausole x ij! x k,j+1 ciò significa che se i =!(j) e k=!(j+1) allora (i,k) è un arco di G per cui!(1),!(2),...,!(n) è un ciclo Hamiltoniano di G. t(x 7,!(7) ) t(x!(4),4 ) Supposto che G abbia un ciclo Hamiltoniano,!(1),!(2),...,!(n) è facile verificare che l assegnamento t in cui t(x ij ) è vero se e solo se j =!(i), soddisfa tutte le clausole di!(g). Es:!(1)= 2,!(2)= 5,!(3)= 6,!(4)= 7,!(5 )= 4,!(6)= 1,!(7)= 3 (B) (E) (F) (G) (D) (A) (C)

6 Completezza Definizione 1 Sia C una classe di complessità e sia R una classe di riduzioni. Un problema P è detto C-difficile rispetto ad R se per ogni problema P! C si ha che P! R P. Definizione 2 Sia C una classe di complessità e sia R una classe di riduzioni. Un problema P è detto C-completo rispetto ad R se P è C-difficile e inoltre P! C. La nozione di completezza puo essere usata per caratterizzare i problemi che siano i più difficili di una determinata classe. Ad esempio La programmazione lineare è uno dei problemi più difficili della classe P sotto la riduzione di tipo log-space. Estremamente interessanti sono i problemi NP-completi (sotto riduzioni polinomiali). Osservazione 1 - Per dimostrare la NP-completezza dei problemi occorre avere a disposizione un problema prototipo a cui tutti gli altri si possono ricondurre. Osservazione 2 - Avendo a disposizione un problema prototipo è possibile dimostrare la NP-completezza di un qualsiasi Problema tramite riduzioni polinomiali dal prototipo al problema sotto considerazione. [Non è banale trovare il problema prototipo]

7 Teorema di Cook Teorema (Cook) Il problema di determinare, data una formula proposizionale, se essa sia soddisfacibile o no, è NP-completo. Dato un problema S in NP, l'idea della dimostrazione è di associare ad esso una macchina di Turing non deterministica M e un polinomio P(X). Ad ogni input x del problema S, associamo una formula proposizionale!( x), computabile in tempo polinomiale a partire da (M, da P e da) x, tale che!( x) risulti soddisfacibile sse esiste un ramo della computazione di M su input x che termina in stato di accettazione entro P( x ) passi. La dimostrazione del teorema sfrutta una codifica binaria delle computazioni: ogni possibile computazione è una sequenza di configurazioni di M lunga al massimo P( x ). Inoltre, ogni stringa scritta sul nastro è al massimo lunga P( x ), perchè altrimenti sarebbe stata scritta in un numero maggiore di passi. Quindi, dato x, posso codificare polinomialmente in questo modo una qualsiasi computazione della MdT che sia possibilmente accettante per x. Ogni computazione si può quindi esprimere come un assegnamento a una serie di variabili booleane. La formula proposizionale!( x) include poi anche le condizioni sullo stato della MdT che rendono una configurazione accettante. Quindi se x è accettato esiste un assegnamento per!( x) che identifica una computazione accettante. Viceversa, se!( x) è soddisfacibile, esiste un assegnamento che identiica una computazione di M che accetta x.

8 Utilità delle riduzioni polinomiali Una volta provata la NP-completezza di un primo problema (teorema di Cook) molti altri problemi possono essere dimostrati essere NP-completi. Il metodo è proprio quello di ricondurre SAT al problema incognito usando riduzioni polinomiali. Si possono sfruttare i seguenti due teoremi: Teorema (transitività di! P ):Se " 1 è una riduzione polinomiale da L 1 a L 2 e " 2 è una riduzione polinomiale da L 2 a L 3 allora la loro composizione " 1 " 2 è una riduzione polinomiale da L 1 a L 3 Teorema: sia L un linguaggio in NP e sia L 1 un linguaggio NP-completo tale che L 1! P L. Allora L è NP-completo. Dim. Sia L i un qualunque linguaggio in NP allora per l NP-completezza di L 1 si ha L i! P L 1, inoltre siccome per ipotesi L è un linguaggio in NP, L è NP-completo per la definizione di NP-completezza. Si dimostra come tutti i problemi NP-completi sono riducibili uno all altro. Pertanto per la dimostrazione della NP-completezza di un problema è sufficiente prendere come problema prototipo uno qualunque di quelli dimostrati NP-completi. Inoltre si può enunciare il seguente teorema: Teorema: Sia L un linguaggio NP-completo, allora P=NP sse L!P La questione se P=NP oppure P#NP non è a tutt oggi stata dimostrata.

9 NP-completezza di 3-sat E chiaro che 3-SAT è un caso particolare di SAT. Si riduce SAT a 3-SAT nel seguente modo: Partendo da un insieme di Clausole F si perviene in un tempo polinomiale ad un set di clausole "(F) di al più tre letterali. Per ogni Clausola C = ($ 1 %$ 2 %...%$ k ) in F con k > 3, si introducono y k-3 variabili booleane che non appaiono da altra parte nella formula e si rimpiazza C con le seguenti clausole: C = ($ 1 %$ 2 % y 1 ), (y 1 %$ 3 % y 2 ),(y 2 %$ 4 % y 3 ),...,(y k-4 %$ k-2 % y k-3 ),(y k-3 %$ k-1 % $ k ) F è soddisfacibile sse "(F) è soddisfacibile. Intuizione - si interpreta la variabile y i nel seguente modo: qualunque sia il valore della variabile y i almeno uno dei letterali $ i+2...$ k deve essere vero. [le y i non devono modificare lo stato dei $ i ] - e la clausola (y i % $ i+2 % y i+1 ) : se y i è vero allora o $ i+2 oppure y i+1 è vero.

10 NP-completezza di 3-sat cont. Supponiamo che esista un assegnazione che soddisfi le clausole "(F), per quelle di lunghezza k! 3 la verifica è immediata, per quelle più lunghe si esaminano le clausole trasformate. Si ha pertanto da esaminare in luogo di ogni clausola C! F la clausola trasformata C! "(F). C = ($ 1 %$ 2 % y 1 ), (y 1 %$ 3 % y 2 ),(y 2 %$ 4 % y 3 ),...,(y k-4 %$ k-2 % y k-3 ),(y k-3 %$ k-1 % $ k ) Supposto che vi sia un assegnamento di verità per C! "(F), ciò significa che almeno un $ i deve essere positivo, per cui è soddisfacibile anche la clausola C di partenza. Per verificare questa situazione basta considerare che se l assegnazione fosse tale che nessun $ i è positivo le variabili y i per costruzione non sono in grado di rendere vera la clausola C. In altre parole la insoddisfacibilità della clausola C corrisponde alla insoddisfacibilità della clausola C di partenza. Supponiamo ora che esista un assegnazione che soddisfi le clausole F, al solito si considerano quelle di lunghezza k > 3. Con riferimento alla generica clausola C! F, sia j il più piccolo indice per cui $ j =vero [tale indice esiste perchè F è soddisfacibile]. Si pongono a vero le variabili ausiliarie y i se i! j-2 e tutte le altre variabili si pongono a false. Se dovesse essere $ 1 oppure $ 2 =vero si mettono a false tutte le y i Esempio: supposto $ 4 =vero ponendo a vero le variabili y 1 e y 2 e false y 3, y 4... si ha il risultato voluto.

11 Riduzioni notevoli SAT 3SAT MAXSAT INDEPENDENT SET EXSACT COVER HAMILTON CYCLE KNAPSACK CLIQUE NODE COVER UNDIRECT HAMILTON CYCLE PARTITION TWO MACHINE SCHEDULING TRAVELING SALESMAN