Esercizio 3. Determinare la dimensione, la codimensione, una base, equazioni cartesiane, equazioni parametriche ed un complemento per U R 3, dove

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1 Sapinza Univrsità di Roma Corso di laura in Inggnria Enrgtica Gomtria - A.A Foglio n.10 Somma intrszion di sottospazi vttoriali prof. Cigliola Esrcizio 1. Sono dati i vttori v 1 = ( 1, 0, 0), v 2 = (2, 1, 1) v 3 = (1, 1, 1) di R 3. Sia W = L (v 1, v 2, v 3 ). Dtrminar la dimnsion, la codimnsion, una bas, quazioni cartsian, quazioni paramtrich d un complmnto dirtto pr W. [dim W = 2, codim W = 1, B W = { v 1, v 2 }, W x 1 = t + 2s x 2 = s, x 2 + x 3 = 0, x 3 = s U = L ((0, 1, 0))] Esrcizio 2. Dtrminar la dimnsion, la codimnsion, una bas, quazioni cartsian, quazioni paramtrich d un complmnto dirtto pr W R 4, dov W = L ((2, 1, 1, 1), (0, 0, 0, 0), (1, 1, 1, 1), (1, 0, 0, 0), (4, 2, 2, 2)). Esrcizio 3. Dtrminar la dimnsion, la codimnsion, una bas, quazioni cartsian, quazioni paramtrich d un complmnto pr U R 3, dov U = L ((1, 3, 2), (0, 1, 1), (0, 2, 2), (0, 0, 0), ( 1, 2, 1)). Esrcizio 4. Sia dato il sottospazio di R 4 E = { (x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 x 1 x 2 = 2x 1 + x 3 + 2x 4 = 0 }. Si dtrminino du basi distint B B di E. Trovar l matrici dl cambiamnto di bas d ntramb l quazioni dl cambiamnto di coordinat nl passaggio da una bas all altra. Esrcizio 5. Sia dato U = L (( ), ( ), (2 1 1 ), ( 1 )) sottospazio di M 2 (R). Dtrminar la dimnsion, la codimnsion, una bas, quazioni cartsian, quazioni paramtrich d un complmnto pr U. [dim U = 2, codim U = 2, B U = {( ), ( )}, dtto (x 1 x 2 ) il gnrico x 3 x 4 x 1 = t + s x 2 = s lmnto dllo spazio ambint, U ha quazioni paramtrich dat da x 3 = 0 x 4 = 0 x 3 = 0 cartsian, un complmnto dirtto è W {( 0 0 x 4 = ), ( )}] 1

2 Esrcizio 6. Sia dato T = { f(x) R[x] dg f(x) 2, f( 2) = 0 } { 0 } sottospazio vttorial di R[x]. Dtrminar la dimnsion, la codimnsion, una bas, quazioni cartsian, quazioni paramtrich d un complmnto pr T. [dim T = 2, codim T = 1, una bas è B T = { x + 2, x 2 4 }, dtto ax 2 + bx + c il gnrico polinomio dllo spazio ambint, T ha quazioni paramtrich dat da: a = a b = b cartsian {4a 2b + c = 0, un complmnto è dato da W = L (1)] c = 2b 4a Esrcizio 7. Sia dato S il sottoinsim di R[x] dfinito da S = { f(x) R[x] f( 1) = f(1) = 0, dg f(x) 4 } { 0 }. sottospazio vttorial di R[x]. Dtrminar la dimnsion, la codimnsion, una bas, quazioni cartsian, quazioni paramtrich d un complmnto pr S. [dim S = 3, codim T = 2, una bas è B S = { x 2 1, x 3 x, x 4 1 }, dtto ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + il gnrico polinomio dllo spazio ambint, S ha quazioni a = a b = b a b + c d + = 0 paramtrich dat da: c = c cartsian, un d = b a + b + c + d + = 0 = a c complmnto è dato da W = L (1, x)] Esrcizio 8. Sia n un intro positivo. Dimostrar ch gli insimi Sym n (R), ASym n (R) sono complmntari in M n (R). Calcolar inoltr la loro dimnsion dtrminar una loro bas. [l dimnsioni valgono rispttivamnt n2 +n 2, n2 n 2 n] Esrcizio 9. Sia n un intro positivo. Trovar un sottospazio vttorial W di M 3 (R) tal ch M 3 (R) = ASym 3 (R) Diag 3 (R) W. [una sclta possibil è lo spazio dll mtrici triangolari supriori] Esrcizio 10. Si considrino i sottospazi U = L ((2, k, 1), (k, 2, 0)) W = L ((0, 0, k)) di R 3. Al variar di k R, dtrminar la dimnsion d una bas di U +W di U W. Pr quali valori di k i sottospazi U W sono complmntari? [pr k 0, 2, 2 si ha dim U W = 0 dim U + W = 3, pr k = 0 si ha dim U W = 0 dim U + W = 2, pr k = 2, 2 si ha dim U W = 1 dim U + W = 2, gli spazi sono complmntari pr k 0, 2, 2] 2

3 Esrcizio 11. Si considrino i sottospazi S = L (( 1, h, 2), (0, 2, h)) T = L ((h, h, h)) di R 3. Al variar di h R dtrminar la dimnsion d una bas di S + T di S T. Pr quali valori di h S T sono sottospazi complmntari? Esrcizio 12. Siano dati i sottospazi A = L (x 2 1, kx 2 +1) B = L (kx 2 +k, kx+x 2 ) di R 2 [x]. Al variar di k R, dtrminar la dimnsion d una bas di A + B di A B. Pr quali valori di k il vttor x 2 2kx + 1 appartin ad A + B? Esrcizio 13. Sia Z il sottospazio di M 2 (R) gnrato dall matrici A 1 = ( k ) A 2 = ( 2k 0 ). Al variar di k R, dtrminar un sottospazio complmntar di Z. 1 k [pr ogni k si usi Z = L (( ), ( ))] Esrcizio 14. Sia data la matric A = ( ) M 2(R). Dimostrar ch l insim T = { X M 2 (R) AX = XA } è sottospazio vttorial di M 2 (R). Dtrminar la dimnsion, la codimnsion, una bas, quazioni cartsian, quazioni paramtrich d un complmnto pr T. Esrcizio 15. Dimostrar ch l insim U = { ( a 2b 0 b a ) M 2(R) a, b R } è sottospazio vttorial di M 2 (R). Dtrminar la dimnsion, la codimnsion, una bas, quazioni cartsian, quazioni paramtrich d un complmnto pr U. Esrcizio 16. Dimostrar ch l insim W = { a b + ax + bx 2 R 2 [x] a, b R } è sottospazio vttorial di M 2 (R). Dtrminar la dimnsion, la codimnsion, una bas, quazioni cartsian, quazioni paramtrich d un complmnto pr W. Esrcizio 17. Nllo spazio vttorial R 3 [X] costituito dai polinomi a cofficinti rali di grado al più 3 dal polinomio nullo, si considrino i sgunti sottospazi vttoriali: U = { f(x) R 3 [X] f(1) = 0 }, W = { a + (b 2a)X + (a b)x 3 a, b R }, paramtrich d un complmnto pr U, W, U + W U W. Esrcizio 18. Nllo spazio vttorial R 3 [X], si considrino i sgunti sottospazi vttoriali: U = { f(x) R 3 [X] f( 1) = f(0) = 0 }, W = { a 3 X 3 + a 2 X 2 + a 1 X + a 0 R[X] 2a 0 + a 1 2a 2 + a 3 = a 0 + a 1 + a 2 + a 3 = 0 }, paramtrich d un complmnto pr U, W, U + W U W. Dir s U W sono a somma dirtta. Compltar una bas di U W ad una bas di W. 3

4 a 3 = a 3 a [B U = { x 3 + x, x 2 2 = a 3 + a 1 a 0 = 0 + x },,, dim U = 2, codim U = 2 a 1 = a 1 a 3 + a 1 a 2 = 0 a 0 = a 0 a 3 = a 3 a B W = { x 3 x, x 2 2 = a 2 2a 0 + a 1 2a 2 + a 3 = 0 3x + 3 },,, a 1 = 3a 2 a 3 a 0 + a 1 + a 2 + a 3 = 0 a 0 = 3a 2 dim W = codim W = 2; U + W = R 3 [x] U W = { 0 }, U W sono spazi complmntari] Esrcizio 19. Nllo spazio vttorial M 3,2 (R), si considrino i sgunti sottospazi vttoriali: a 1 a 2 a 1 b 1 + c 1 = 0 U = b 1 b 2 M 3,2 (R) c 1 c 2 a 2 + b 2 c 2 = 0 a 1 a 2 a 1 + a 2 = 0 W = b 1 b 2 M 3,2 (R) b 1 b 2 = 0 c 1 c 2 c 1 + c 2 = 0 paramtrich d un complmnto pr U, W, U + W U W. Dir s U W sono a somma dirtta [B U = 0 0, 1 0, 0 0, 0 1 B W = 0 0, 1 1, U + W = M 3,2 (R), B U W = 1 1, U W non sono a somma dirtta] 0 0 Esrcizio 20. Nllo spazio vttorial R 5, si considrino i sgunti sottospazi vttoriali: U = L ((1, 1, 0, 1, 1), ( 1, 1, 0, 0, 1), (0, 0, 0, 0, 0), (0, 2, 0, 1, 2), (0, 1, 0, 1, 0)) W = (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) R 5 x 1 x 2 + x 3 = 0 x 1 + 2x 4 x 5 = 0 paramtrich d un complmnto pr U, W, U + W U W. Dir s U W sono a somma dirtta. [U W non possono ssr a somma dirtta, B U = {(1, 1, 0, 1, 1), ( 1, 1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 1, 0)} B W = {(1, 0, 1, 0, 1), (0, 1, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1, 2)} B U+W = {(1, 1, 0, 1, 1), ( 1, 1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 1, 0), (1, 0, 1, 0, 1), (0, 1, 1, 0, 0)}, B U W = {(0, 0, 0, 1, 2)}] 4

5 Esrcizio 21. Nllo spazio vttorial R 5, si considrino i sgunti sottospazi vttoriali: U = (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) R 5 2x 1 2x 2 x 3 = 0 x 1 + x 4 x 5 = 0 x 1 x 2 + x 3 = 0 W = (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) R 5 x 2 + 2x 3 x 4 = 0 x 5 = 0 paramtrich d un complmnto pr U, W, U + W U W. Dir s U W sono a somma dirtta. Esrcizio 22. Nllo spazio vttorial M 2 (R), si considrino i sgunti sottospazi vttoriali: U = { ( a 1 a 2 b 1 b 2 ) M 2 (R) {a 1 + a 2 + b 1 + b 2 = 0 } W = L (( ), ( ), ( )) paramtrich d un complmnto pr U, W, U + W U W. Dir s U W sono a somma dirtta. Esrcizio 23. Siano dati V = { (x, y) R 2 x + y = 0 } W = { (x, y) R 2 x y = 0 }. Provar ch V W sono sottospazi vttoriali di R 2 vrificar ch V W non è sottospazio vttorial di R 2. Qual è il più piccolo sottospazio vttorial di R 2 ch contin V W? Dtrminar una sua bas. Esrcizio 24. In R 4 sono dati i vttori v 1 = (1, 1, 0, 0), v 2 = (0, 0, 1, 1) v 3 = (1, 1, 2, 2). Siano poi U = L (v 1, v 2, v 3 ) W = { (x, y, z, t) R 4 x + y + z t = 0 }. paramtrich pr U, W, U + W U W. Dir s U W sono a somma dirtta. Esrcizio 25. In R 3 siano dati i sottospazi U dfinito dall quazion x+y z = 0 W qullo gnrato da (2, 4, 6) (1, 3, 1). Dtrminar la dimnsion, la codimnsion, una bas, quazioni cartsian, quazioni paramtrich d un complmnto pr U, W, U + W U W. Dir s U W sono a somma dirtta. Esrcizio 26. Si considri il sottoinsim W di M 2 (R) dfinito da U = { A M 2 (R) A = AB }, dov B = ( ). Sia poi W = Sym 2(R). Dtrminar la dimnsion, la codimnsion, una bas, quazioni cartsian, quazioni paramtrich d un complmnto pr U, W, U + W U W. Dir s U W sono a somma dirtta. 5

6 [ B U = {( ), ( )}, B W = {( ), ( ), ( )} B U W = {( )}, U + W = M 2(R)] Esrcizio 27. Sono dati i sottospazi di R 4 U = { (x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 x 1 2x 2 + x 4 = 0 } V = { (x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 x 1 2x 2 + x 4 = x 1 + x 2 + x 3 = 0 }. Compltar una bas di U V ad una bas di U + V. Esrcizio 28. Sono dati i sottospazi di R 4 U = { (x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 x 1 x 2 + x 4 = x 2 + x 3 = 0 } V = { (x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 x 1 + x 3 + x 4 = x 1 + x 2 + x 3 = 0 }. (i) Calcolar la dimnsion di U, V, U + V d U V. (ii) Compltar una bas di U, V, U + V d U V ad una bas di R 4. [rispttivamnt 2, 2, 3, 1] Esrcizio 29. Sia V uno spazio vttorial ral di dimnsion 4 sia B = { 1, 2, 3, 4 } una sua bas. Siano Y = L ( ; ; ) Z = L ( ; ). (i) Si dtrminino basi dimnsioni di Y, Z, Y Z d Y + Z. [ B Y = { ; } B Z = { ; } B Y Z = { } B Y +Z = { ; ; }] (ii) Stabilir s la somma di Y Z è dirtta. [la somma non può ssr dirtta prché i quattro gnratori di Y Z non coinvolgono il vttor v 4 ] (iii) Trovar un complmnto dirtto di Y Z in Y, in Z, in Y + Z d in V. Esrcizio 30. Sia V uno spazio vttorial ral di dimnsion 5 siano E d F suoi sottospazi di dimnsion 3 4 rispttivamnt. Fornir una stima pr l dimnsioni di E + F d E F. 6

7 [ 4 dim E + F 5, 2 dim E F 3 ] Esrcizio 31. Siano dati in R 3 i sottospazi vttoriali E h, gnrato dai vttori v 1 = (2, 1, 0), v 2 = (0, 2, h) v 3 = (2, 3, h), dov h è un paramtro ral, d F = { (x, y, z) R 3 x y = y + z = 0 }. Stabilir pr quali valori di h si ha ch E h F = R 3. Esrcizio 32. Siano dati in R 4 il sottospazio E gnrato da u 1 = (1, 1, 2, 0) d u 2 = x z = 0 (0, 1, 0, 1), d il sottospazio F k dfinito dall soluzioni dl sistma, y + z + kw = 0 con k paramtro ral. Pr quali valori di k la somma E + F k è dirtta? [ k 1/3 ] Esrcizio 33. Si considrino i sottospazi di R 4 V 1 = L ((2, 1, 0, 1), (1, 2, 3, 2), (1, 0, 1, 0)) V 2 = {(x, y, z, t) R 4 2x + 2y + z + 2t = 2x z = y + z + t = 0}. (i) Dtrminar l dimnsioni di V 1 V 2. (ii) Stabilir s R 4 = V 1 V 2. Esrcizio 34. Sia V uno spazio vttorial di dimnsion 4 con bas { v 1, v 2, v 3, v 4 }. Considrar in V i sottospazi: U = L (v 1 + 2v 3 v 4, v 1 v 2 + v 3 v 4, v 1 + v 2 ) W = L (v 1 + v 2 + v 3, v 2 + v 3 + v 4, v 1 v 2 v 4 ) (i) Trovar l dimnsioni di U W U + W. [dim U + W = 4, dim U W = 2] (ii) Stabilir s U W sono sottospazi complmntari. [no] (iii) Compltar una bas di U W ad una bas di U + W. [B U W = {3v 1 + 2v 2 + 2v 3 v 4 ; 2v 1 + v 3 v 4 } B U+W = {3v 1 + 2v 2 + 2v 3 v 4 ; 2v 1 + v 3 v 4 ; v 1 + 2v 3 v 4 ; v 1 + v 2 + v 3 } ] 7

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