Aritmetica 2016/2017 Esercitazione guidata - decima settimana

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1 Aritmetica 2016/2017 Esercitazione guidata - decima settimana Massimo Caboara caboara@dm.unipi.it Elencare i polinomi irriducibili di Z2[x] di grado 4. x x + 1 x 2 + x + 1 x 3 + x x 3 + x + 1 x 4 + x x 4 + x + 1 x 4 + x 3 + x 2 + x I seguenti polinomi sono irriducibili in Z2[x]? x 8 + x 7 + x 6 + x 4 + x 2 + x + 1[ Si ] x 3 + x 2 + 1[ Si ] x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1[ No, fattori x 3 + x + 1, x 3 + x 2 + 1] 3. I seguenti polinomi sono irriducibili in Z[x]? x 4 + 5x 3 + 7x 2 + 3x + 1[ Si, provare in, Z2]x 4 + x 3 + x 2 x 1[ Si ] 4. Fattorizzazione di x n 1 su Z[x]. [Traccia della dimostrazione] Sappiamo che le radici di x n 1 formano il sottogruppo ciclico G n < C di ordine n. Sappiamo anche che φ(d) = n d n Vogliamo dimostrare x n 1 = d(n) i=1 f i 1

2 con f i Z[x] e grado f i = φ(i). È immediato dimostrare che le radici di ordine d n formano un sottogruppo G d < G n di G n di ordine d. Dato che G n è ciclico, per ogni d c è un solo sottogruppo di ordine d e tutti i sottogruppi sono di questo tipo. Per ciascun d, le radici si dividono in radici primitive di ordine d che soddisfano solo x d 1 = 0, e non primitive, che soddisfano anche x d 1 = 0 con d d). Le radici primitive, che sono φ(d) soddisfano quindi x d 1 d d (xd 1) che è quindi un polinomio (irriducibile) di ordine φ(d) e in generale le radici di ordine 5. [126] Sia A un anello commutativo con identità e I, J ideali di A. (a) Sia a A. L insieme aj = ab b J} è un ideale di A? (b) I + J = a + b a I b J} è un ideale di A - vedre il compitino 1/12/09. (c) I : J = a A aj I} è un ideale di A? Tutti e tre gli insiemi sono ideali di A. In ciascun caso dobbiamo controllare: esistenza dello 0, chiusura sull opposto, chiusura sull addizione perchè il sottoinsieme sia un sottogruppo, e la proprietà di ideale perchè sia un ideale. (a) 0 aj? 0 J = a0 = 0 aj. B aj = B aj? B aj = b J B = ab = b J = a( b) = ab = B aj B, C aj = BC aj? B, C aj = c, b J B = ab, C = ac = BC = abac = aabc aj dato che abc J. b A C aj = bc aj? C aj = existsc J C = ac = bc = bac = abc = ac e b J = ac = bc J, da cui la tesi. (b) Per il sottogruppo. 0J = 0 I = 0 I : J. a I : J = aj I = aj I = a I : J. a, b I : J = aj I bj I = (a + b)j = aj + bj I = (a + b) I : J. Proprietà di ideale: a A, b I : J. Vogliamo dimostrare che ab I : J abj = a(bj) I. Ma bj J per ipotesi e a(bj) bj dato che bj è un ideale. [Si puó anche dimostrare direttamente] Facile controllo. 6. [119] Sia f(x) = x 6 + 3x 5 22x 4 49x x x 576. Trovare una fattorizzazione in irriducibili di f(x) in Q[x]. Abbiamo h(x) = (f(x), f (x)) = x 2 + x 8 2

3 Dato che il discriminante di h(x) = 33 non è un quadrato perfetto, h(x) è irriducibile in Q[x]. Dividendo f(x) per h(x) 2 otteniamo x 2 + x 9, che è irriducibile su Q[x] per le stesse ragioni di h(x). Una fattorizzazione in irriducibili di f(x) in Q[x] è quindi (x 2 + x 8) 2 (x 2 + x 9) 7. [DD4] È vero che 2 (x2 + x + 2, x) Z[x]? Esempio del caso I non principale. Abbiamo l equazione 2 = (x 2 + x + 2) i a i x i + 2 i b i x i da cui 2 = b 0. Una soluzione e quindi i a i = 0 e b 0 = 2 e i 0 b i = 0 8. [DXD1] Sia k campo. È vero che k[x]/k k[x] come gruppo additivo? Abbiamo che k[x] k ℵ0, e chiaramente k ℵ0 /k k ℵ0. Per esercizio, trovare un isomorfismo esplicito. 9. [DXD2] È vero che R/Q R come gruppo additivo? Abbiamo che R[x] R c, e chiaramente R c /R R c. Per esercizio, trovare un isomorfismo esplicito. 10. [111] Trovare l inverso di x 2 + 2x + 4 Z5[x]/(x 2 + 1). x 2 + 2x + 4 = 2x + 3, dato che 2x + 3 è il resto di x 2 + 2x + 4 diviso per x A Verifichiamo che 2x + 3 non sia invertibile. Dato che siano in un anello finito, basta controllare che non sia zero-divisore. Per verificare questo, basta controllare che 2x+3, x 2 +1 siano coprimi, cioè (2x+3, x 2 + 1) = 1. Questo è immediato. Possiamo limitarci a cercare polinomi di grado 1. Dobbiamo quindi trovare a, b Z5 tali che (2x + 3)(ax + b) = 1. Vale a dire (2x + 3)(ax + b) = 1 2ax 2 2ax + 2bx 2b = 1 2ax + 2bx 2a 2b = 1 ( 2a + 2b)x + ( 2a 2b) = 1 Dato che il polinomio al primo membro è di grado minore di 2, grado del polinomio generatore dell ideale per cui stiamo quozientando, possiamo usare il principio di identità dei polinomi. Abbiamo quindi il sistema 2a + 2b = 0 2a 2b = 1 a = b 4b = 1 Controlliamo: (2x + 3)(x + 1) = 2x 2 2 = 1 a = 1 b = 1 3

4 11. [110] Trovare zero-divisori, nipotenti ed invertibili di Z5[x]/(x 2 + 1). Fattorizziamo x come (x + 2)(x 2), quindi ci sono zero-divisori, e sono gli elementi appartenti a (x + 2) (x 2). Non ci sono nilpotenti in quanto x è sqfr. Dato che siamo in un anello finito, gli elementi non nulli sono o zero-divisori o invertibili, quindi gli invertibili sono gli elementi appartenenti a Z5[x]/(x 2 + 1) ((x + 2) (x 2)). 12. [112A] Trovare la formula per gli inversi in Z11[x]/(x 2 + x + 1). Controlliamo facilmente, per esempio col criterio delle radici, che x 2 +x+1 è irriducibile in Z11[x]. Tutti gli elementi non nulli di Z11[x]/(x 2 + x + 1) sono quindi invertibili. Sia f Z11[x]/(x 2 +x+1), f 0; vogliamo trovare g Z11[x]/(x 2 +x+1) tale che fg = 1. Possiamo scegliere f;, h k[x] con f, g < 2 tali che f = f e g = g, quindi Dati A, B Z11. Ax + B è il generico elemento di Z11[x]/(x 2 + x + 1). Dobbiamo trovare a, b Z11 tali che (Ax + B)(ax + b) = 1. Possiamo supporre A 0 dato che altrimenti f Z11 e l inverso è banale. Vale a dire (Ax + B)(ax + b) = 1 aax 2 + bax + abx + bb = 1 aax + bax + abx aa + bc = 1 ( aa + ba + ab)x + ( aa + bc) = 1 Abbiamo quindi il sistema in Z11 aa + ba + ab = 0 aa + bb = 1 nelle variabili a, b con i parametri A, B. Risolvendo il sistema otteniamo A a = A 2 AB + B 2 A B b = A 2 AB + B 2 Verifichiamo: (Ax + B)(ax + b) = A A 2 AB + B 2 x + A B A 2 AB + B 2 = 1 4

5 13. [117A] Determinare la parte squarefree e una fattorizzazione in irriducibili di f = x 5 3x 4 3x 3 + x 2 3x 3 Z7[x]. Dato che p > f, posso calcolare immediatamente sqfr(f) = x 5 3x 4 3x 3 + x 2 3x 3 (x 5 3x 4 3x 3 + x 2 3x 3, 2x 4 + 2x 3 2x 2 + 2x 3 = x5 3x 4 3x 3 + x 2 3x 3 x 2 3x 3 = x5 3x 4 3x 3 + x 2 3x 3 h = x = g Calcoliamo g(0) = 1, g(1) = 2, g( 1) = 0, g(2) = 2, g( 2) = 0, g(3) = 0 e qui ci fermiano perchè abbiamo già trovato 3 radici, il masimo numero possibile. Quindi g = (x + 1)(x + 2)(x 3). Vediamo se i fattori lineari di g sono anche fattori di h. Abbiamo che Quindi h = (x + 2) 2 e (x + 1) h (x + 2) h (x + 2) 2 h f = gh = (x + 1)(x + 2)(x 3)(x + 2) 2 = (x + 1)(x 3)(x + 2) [DD3] È vero che 5 (x, 2) Z[x]? Esempio del caso I non principale. Se 5 (x, 2) avremmo l equazione 5 = x i a i x i + 2 i b i x i da cui 5 = 2b 0, che è impossibile in Z. 15. [110B] Trovare l inverso di 3x Z5[x]/(x 2 + 1). Dato che 3x mod x = 3x 1, 3x = 3x 1 = 2x 1. Ricordiamo che per calcolare 3x mod x basta sostituire x 2 con 1 in 3x Possiamo limitarci a cercare polinomi di grado 1. Dobbiamo quindi trovare a, b Z5 tali che (2x 1)(ax + b) = 1. Vale a dire (2x 1)(ax + b) = 1 2ax 2 + 2bx ax b = 1 2a( 1) + 2bx ax b = 1 2a b + (2b a)x = 1 5

6 Dato che il polinomio al primo membro è di grado minore di 2, grado del polinomio generatore dell ideale per cui stiamo quozientando, possiamo usare il principio di identità dei polinomi. Abbiamo quindi il sistema 2a b = 1 2b a = 0 2a b = 1 a = 2b 5b = 1 0 = 1 a = 2b ed il sistema è chiaramente impossibile. Del resto, 2x 1 = 2(x + 2), e quindi avremmo potuto dire subito che 2x 1 non è invertibile. 6