La parabola come luogo geometrico

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1 La paabola come luogo geometico Definizioni e pime popietà Definizioni. Si chiama paabola il luogo ei punti equiistanti a un punto, etto fuoco, e a una etta etta iettice.. Il punto ella paabola che ha minoe istanza al fuoco e quini anche alla iettice) si chiama vetice. 3. La etta pepenicolae a e passante pe si chiama asse ella paabola. Esempio. Nelle figue qui sotto sono ipotate quatto paabole, il vetice è inicato con, il fuoco con, la iettice con e l asse con. P H P H Paabola Paabola P H P H 4 3 Paabola 3 Paabola 4 Diciamo che le paabole e hanno concavità veso l alto e 3 e 4 hanno concavità veso il basso, iciamo inolte che le paabole e 3 hanno una minoe ampiezza elle paabole e 4. Ossevazione. Dagli esempi si vee come all aumentae ella istanza ta fuoco e vetice che è la stessa ta vetice e iettice) aumenti anche l ampiezza ella paabola. Ossevazione. L asse i una paabola è il suo asse i simmetia, cioè, peso un punto P ella paabola e il suo simmetico, P, ispetto a, anche P appatiene alla paabola, come si vee al isegno qui i fianco. P K P H H

2 Paabola con asse paallelo all asse elle oinate In questa sezione consieiamo nel piano catesiano una paabola che abbia asse paallelo all asse elle oinate e isolviamo ue tipi i piblemi:. eteminae l equazione i una paabola conosceno ue ta vetice, fuoco e iettice;. eteminae vetice, fuoco, iettice e asse, conosceno l equazione ella paabola. Pe falo abbiamo bisogno i alcune ossevazioni peliminai. Ossevazione. Consieiamo oa una paabola nel piano catesiano in moo tale che:. il suo asse sia paallelo all asse y e. abbia concavità veso l alto cioè il fuoco è al i sopa el vetice ) come mistato in igua. Poniamo x 0, ), questo implica che l asse ha equazione : x = x 0 Il fuoco appatiene ancoa all asse, e è al i sopa el vetice, quini x 0, + ) + y 0 ove > 0, i conseguenza la iettice ha equazione : y = O x 0 x igua > 0) Osseviamo che se < 0, imangono invaiate le cooinate i fuoco e vetice, così come le equazioni i asse e iettice x 0, ) x 0, + ) : y = : x = x 0 con l unica iffeenza ispetto a pima che. > + il fuoco si tova al i sotto el vetice e. < la iettice si tova al i sopa el vetice + O x 0 x quini la paabola ha concavità veso il basso, come mostato in igua. igua < 0) Ossevazione. Sia pe paabole con concavità veso l alto > 0) che pe paabole con concavità veso il basso < 0) la istanza el vetice al fuoco o, equivalentemente, alla iettice) è y y = + = quini l ampiezza ella paabola aumenta all aumentae i, come si vee anche nelle paabole ell Esempio.

3 Risolveemo i poblemi i tipo utilizzano il seguente teoema: Teoema L equazione i una paabola con vetice x 0, ) e fuoco x 0, + ) è: y = 4 x x 0) Dimostazione Come sempe, l equazione che etemina un luogo geometico è la tauzione algebica ella conizione geometica che efinisce il luogo. Ricoiamo che, pe la Definizione, la conizione geometica che efinisce una paabola è l equiistanza i ogni punto a fuoco e iettice; pe espimela attaveso una fomula geometica) pe pima cosa iamo ei nomi agli oggetti coinvolti: chiamiamo la paabola, il suo vetice, il fuoco e la iettice, sia inolte P un geneico punto el piano e H la sua poiezione su, come mostato in igua 3. Sciviamo la conizione geometica: y P P P H = P Pe taula in una conizione algebica bisogna consieae le cooinate ei punti: P x, y) x 0, + ) Hx, ) + H Quini la conizione geometica si tauce algebicamente nella seguente elazione: O x 0 igua 3 x x P H = P P H = P y + ) = x x 0 ) + y ) E sviluppano la conizione algebica tovata si ha: y + + y + y = x x 0 ) + y + + y y + y + y = x x 0 ) 4y 4 = x x 0 ) 4y ) = x x 0 ) y = 4 x x 0) QED Esempio. Toviamo l equazione ella paabola i vetice, ) e fuoco, 3). Pe pima cosa osseviamo che x = x + = x x = quini, pe il Teoema, l equazione i è : y = x ) 4 Che possiamo scivee anche in foma esplicita: 3 : y = 4 x x O x 3

4 Risolveemo i poblemi i tipo utilizzano il seguente teoema: Teoema Una equazione el tipo y = ax + bx + c ove a, b, c R e a 0, etemina una paabola con vetice: b a, ) iettice: ove abbiamo posto = b c. y = + fuoco: asse: b a, ) x = b a Dimostazione La imostazione consisteà nel fa veee che la paabola i vetice e fuoco ispettivamente b a, ) e b a, ) ha come equazione popio y = ax + bx + c Pe il Teoema sappiamo che una paabola con vetice x 0, ) e fuoco x 0, + ) assegnati ha equazione y = 4 x x 0) che in foma esplicita iventa: y = 4 x x 0) y = 4 x x 0 x + x 0) + y = 4 x x 0 x + 4 x 0 + ) Pe tovae l equazione ella paabola con vetice b a, ) e fuoco b a, ) obbiamo sostituie all inteno i ) le seguenti espessioni pe x 0, e : x 0 = b a ; = e = y y = ) + = = Quini, nel secono membo i ), i coefficienti ei temini i secono e pimo gao sono 4 = 4 = = a = a e x 0 = a b ) b = a a a = b mente il temine noto è 4 x 0 + = a b a ) = a b = b b c) = b b + c = c = c effettuano le peceenti sostituzioni ) iventa popio y = ax bx + c. Osseviamo infine che la paabola i vetice b a, ) e fuoco b a, ) ha iettice e asse i equazione, ispettivamente, y = = = + come inicato nella tesi el teoema. e x = x 0 = b a QED 4

5 Ossevazione.3 Nella peceente imostazione abbiamo visto che a = 4, quini a = 4 = 4, quini a e sono concoi cioè hanno lo stesso segno, entambi positivi o entambi negativi), quini, pe l Ossevazione. possiamo eue la concavità i una paabola al segno i a: a > 0 concavità veso l alto; a < 0 concavità veso il basso. Esempio. Tovae le cooinate el vetice e el fuoco, nonché le equazioni ella iettice e ell asse, ella paabola i equazione y = x + x + Cominciamo al vetice b a, ) 4, ) 4 Oa possiamo poceee in ue moi:, 4 ). Toviamo fuoco, iettice e asse così come abbiamo fatto pe il vetice: b a, ), ), ) :. Poiché = = 4 y = + = = + = 3, i conseguenza toviamo il esto: x 0, + ), + ), ) e : x = b a =, ) : y = = = 3 e : x = x 0 = Esiste in ealtà un alto moo ancoa pe affontae i poblemi i tipo, si chiama Metoo el completamento el quaato Consiste nel potae l equazione ata nella foma y = ax x 0 ) alla quale si veono subito le cooinate el vetice x 0, ) e il valoe i =. Spieghiamo tale metoo passo pe passo utilizzano l equazione ell Esempio.: y = x +x+.. attoizziamo a secono membo a =, otteneno y = x + 4x + ).. Consieiamo x + 4x come la pima pate ello sviluppo el quaato i un binomio i cui quini il pimo temine è x, e icaviamo il secono temine al oppio pootto: 4x = x. Quini il secono temine è e il suo quaato è Sommiamo e sottaiamo questo quaato al secono membo: y = x +4x+) = x +4x+4 4+) = x +4x+4 ) = x +4x+4) = x+) Quini si ha a cui emegono subito, ) e = = y + = x + ), si posegue come nel punto ell Esempio.. 5

6 Riassumeno, abbiamo visto ue tipi i poblemi sulla paabola:. Deteminae l equazione i una paabola conosceno vetice e fuoco o vetice e iettice, o fuoco e iettice), conosceno cioè i valoi i x 0, e. Pe isolvee questo tipo i poblema icoiamo al Teoema, usiamo cioè y = ax x 0 ). Deteminae vetice, fuoco, iettice e asse conosceno l equazione ella paabola, conosceno cioè i te coefficienti a, b e c. Pe isolvee questo tipo i poblema icoiamo al Teoema, usiamo cioè: b a, ) b a, ) : y = + Osseviamo che in entambi i casi abbiamo te infomazioni: x 0, e oppue a, b e c. In geneale si ha che: : x = b a Pe eteminae univocamente una paabola bisogna avee te infomazioni inipenenti ta loo. Ricoiamo che pe eteminae univocamente una etta bisogna avee, invece, ue infomazioni inipenenti ta loo m e q). Esempio.3 Deteminae l equazione ella paabola che passa pe i punti A, ), B0, ) e C, 3). L equazione geneica i una paabola è y = ax + bx + c, imponiamo il passaggio pe i te punti: A = a b + c B = c C 3 = a + b + c Metteno a sistema le te equazioni peceenti, toviamo le te incognite a, b e c: c = a b + c = a + b + c = 3 Quini l equazione è y = x + x +. c = a = b c + = b + = b a + b + c = 3 c = a = b b + b = 3 = c = b = a = b = 6

7 3 Paabola con asse paallelo all asse elle ascisse In questa sezione consieiamo nel piano catesiano una paabola che abbia asse paallelo all asse elle ascisse, come mostato in igua 4 e igua 5. È possibile ipetee gli stessi agionamenti ella peceente sezione scambiano il uolo i x e y, aivano ai seguenti isultati: Teoema 3 L equazione i una paabola con vetice x 0, ) e fuoco x 0 +, ) è x x 0 = 4 y ) Tale paabola ha iettice e asse i equazione : x = x 0 : y = Una tale paabola ha inolte concavità veso esta se > 0 igua 4) e veso sinista se < 0 igua 5). Teoema 4 Una equazione el tipo x = ay + by + c ove a, b, c R e a 0, etemina una paabola con, b ) a, b ) a : x = + : y = b a ove abbiamo posto = b c. x 0 x 0 x 0 + O x O x 0 + x 0 x 0 x igua 4 > 0) igua 5 < 0) 7

8 4 Riepilogo geneale Paabola con asse paallelo all asse y equazione : y = 4 x x 0) equazione : y = ax + bx + c vetice : x 0, ) vetice : b a, ) fuoco : x 0, + ) fuoco : b a, ) iettice : y = iettice : y = + asse : x = x 0 asse : x = b a > 0 concavità veso l alto a > 0 concavità veso l alto < 0 concavità veso il basso a < 0 concavità veso il basso Paabola con asse paallelo all asse x equazione : x x 0 = 4 y ) equazione : x = ay + by + c vetice : x 0, ) vetice :, b a ) fuoco : x 0 +, ) fuoco :, b a ) iettice : x = x 0 iettice : x = + asse : y = asse : y = b a > 0 concavità veso esta a > 0 concavità veso esta < 0 concavità veso sinista a < 0 concavità veso sinista fine 8