Grafici elementari 1 - geometria analitica

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1 Grfii elementri - geometri nliti Un equzione rppresent un funzione se è possiile metterl in form espliit (rivre l y) ottenendo un sol espressione. Un urv rppresent un funzione se, preso un qulsisi punto sull sse delle sisse e immginndo di trire per tle punto un rett vertile, tle rett inontr un sol volt il grfio dell urv (eventulmente si può restringere il dominio un sottointervllo dell sse delle sisse). Si fornisono le indizioni per l ostruzione del grfio prtire dll'equzione noni. Se l'equzione è in form divers, prim di rppresentrl è ene elorrl trmite operzioni lgerihe per portrl in form noni. Si trttno qui solo onihe di equzione generi x + y + x + dy + e 0, ovvero onihe on gli ssi prlleli gli ssi rtesini. Si frà eezione solo per l'iperole. Rett Tutte le equzioni di primo grdo in x e y rppresentno delle rette sul pino rtesino. Rett generi: y mx + q m è il oeffiiente ngolre e rppresent l'inlinzione dell rett rispetto l semisse positivo delle x q è l'interett, ovvero il punto di intersezione dell rett on l'sse y. Per rppresentre un rett: riport l'ordint q sull'sse delle y (punto A) dl punto A spost verso destr di tnte unità qunto indito nel denomintore di q e poi verso l'lto se q è positivo o verso il sso se q è negtivo di tnte unità qunto indito nel numertore (punto B) l rett pss per A e per B Rppresent le rette y 0 y ± ± ± ± x y ± 3x x 0 3 Rette orizzontli: nell'equzione non ompre il termine x: y k Rette vertili: nell'equzione non ompre il termine y: x k 3 Rppresent le rette y 5 x 5 y x + 5 y x 4 Cironferenz Un'equzione di seondo grdo in x e y in ui i termini di seondo grdo in x e y ino oeffiienti uguli e in ui si possiile lolre il rggio (vedi formule di seguito) rppresent un ironferenz. Cironferenz on entro nell'origine e rggio r: x + y Cironferenz on entro nel punto C ( x ; y 0 0 ) e rggio r: ( ) ( ) x x + y y Equzione generi: x + y + α x + β y + γ 0 r 0 0 r α β α β entro: C ; rggio: r + γ Rppresent le ironferenze x + y x + 6y + 0 ; x + y + 4x 6 0 ; x + y + 4x + 8y 5 0

2 Prol on sse vertile Un'equzione di seondo grdo in x e di primo grdo in y rppresent un prol on sse vertile. Prol on vertie nell'origine: y x indi l'mpiezz dell prol. In prtiolre: se > 0 l prol è rivolt verso l'lto, se < 0 l prol è rivolt verso il sso. Per trire il grfio è onveniente rivre qulhe punto trmite sostituzione, riordndo he l urv pss per il vertie ed è simmetri rispetto l suo sse (rett vertile pssnte per il vertie) Prol generi: y x + x + Vertie: V ; ( 4 4 ) Il vertie è un punto dell prol: un volt rivt l'siss si può rivre l'ordint per sostituzione. Per trire il grfio: vedi indizioni sopr. Punti prtiolrmente utili: intersezioni on gli ssi rtesini. Rppresent le prole y 3x x + ; y x ; y x x Prol on sse orizzontle Un'equzione di primo grdo in x e di seondo grdo in y rppresent un prol on sse vertile. Equzioni ome sopr, m si smino x e y: x y (vertie nell'origine) x y + y +, V ; ; > 0 prol rivolt verso destr, < 0 verso sinistr. 4 Rppresent le prole 3 x y + 4y 3; x x ; y 4x + 0 Ellisse on entro nell'origine L'ellisse è il luogo dei punti del pino per i quli l somm delle distnze d due punti detti fuohi è ostnte. Ellisse on fuohi sull'sse x: 0, F ;0 Fuohi: F ( ) ( ) Punto generio dell'ellisse: P ( x; y) ; P pprtiene ll'ellisse PF + PF Equzione dell'ellisse: +, dove > e L'ellisse è simmetri rispetto gli ssi rtesini (oinidenti on gli ssi dell'ellisse) Vertii dell'ellisse (intersezioni on gli ssi): A ( ; 0), A ( ;0), B ( 0; ), B ( 0; ) Asse trsverso (ioè ontenente i fuohi) orizzontle, di lunghezz, sse non trsverso vertile, di lunghezz. Per ostruire l'ellisse: si riportno sull'sse x i vlori e - (vertii A, A ) si riportno sull'sse y i vlori e - (vertii B, B ) si tri un rettngolo on i lti prlleli gli ssi rtesini e pssnti per i punti ppen individuti

3 l'ellisse deve essere ontenut nel rettngolo e pssre per i vertii, rispettndo l simmetri rispetto gli ssi. Ellisse on fuohi sull'sse y: F ;, F 0; P x; y Fuohi: ( 0 ) ( ) Punto generio dell'ellisse: ( ) P pprtiene ll'ellisse PF + PF Equzione dell'ellisse: +, dove > e Asse trsverso (ioè ontenente i fuohi) vertile, di lunghezz, sse non trsverso orizzontle, di lunghezz. Vertii e metodo di ostruzione identii i preedenti. L'ellisse risulterà on sse vertile mggiore dell'sse orizzontle. Rppresent le ellissi x + y 4 6 ; x + y 9 ; x + y 5 9 ; 5x + 9y 5 Iperole on entro nell'origine L'iperole è il luogo dei punti del pino per i quli l differenz delle distnze d due punti detti fuohi è ostnte. Iperole on fuohi sull'sse x: 0, F ;0 Fuohi: F ( ) ( ) Punto generio dell'iperole: P ( x; y) ; P pprtiene ll'iperole PF PF Equzione dell'iperole:, dove + L'iperole è simmetri rispetto gli ssi rtesini (oinidenti on gli ssi dell'iperole) Vertii dell'iperole (intersezioni on gli ssi): A ( ; 0), A ( ;0) Asse trsverso (ioè ontenente i fuohi) orizzontle, di lunghezz, sse non trsverso vertile, di lunghezz. Asintoti dell'iperole: y ± x sono rette ui il grfio dell'iperole si vviin sempre di più, senz mi torle, mn mno he i si llontn dl entro. Per ostruire l'iperole: si riportno sull'sse x i vlori e - (vertii A, A ) si riportno sull'sse y i vlori e - si tri un rettngolo on i lti prlleli gli ssi rtesini e pssnti per i punti ppen individuti si trino le digonli del rettngolo, proseguendo ll'esterno dell figur: si trtt degli sintoti dell'iperole l'iperole deve essere estern l rettngolo, preismente destr e sinistr dei due lti vertili. E' ostituit d due rmi, isuno dei quli pss per un vertie, prosegue vviinndosi sempre di più entrmi gli sintoti, rispettndo l simmetri rispetto gli ssi. Iperole on fuohi sull'sse y: Fuohi: F ( 0; ), F ( 0; ) Punto generio dell'iperole: P ( x; y) P pprtiene ll' iperole PF PF

4 Equzione dell' iperole: +, dove + Asse trsverso (ioè ontenente i fuohi) vertile, di lunghezz, sse non trsverso orizzontle, di lunghezz. Vertii dell'iperole (intersezioni on gli ssi): B ( 0; ), B ( 0; ) Asintoti e metodo di ostruzione identii i preedenti. L'iperole risulterà quest volt sopr e sotto l rettngolo di ostruzione. Rppresent le iperoli x y 4 6 ; + 9 ; x y 5 9 ; 5x + 9y 5 Iperole riferit i propri sintoti Un'iperole equilter (, il rettngolo di ostruzione divent un qudrto) può essere ruott di 45, in modo d fr oinidere gli sint oti on gli ssi rtesini. Equzione: xy k Se k > 0 i due rmi si trovno nel I e III qudrnte (prodotto delle oordinte positivo), i vertii hnno oordinte V ( ± k ; ± k ). Se k < 0 i due rmi si trovno nel II e IV qudrnte (prodotto delle oordinte negtivo), i vertii hnno oordinte V ( ± k ; m k ). Rppresent le iperoli xy 3, xy 5, xy 3 Funzione omogrfi E' un funzione del tipo x + y. x + d. Se 0 si ridue ll rett. Se 0 y x + d d e il determinnte D d 0 divent l rett d y d ui si elimin il punto di siss x 3. Se 0 e D 0 si h un'iperole riferit d ssi prlleli i propri sintoti, ovvero d un'iperole ruott (vedi so preedente) e trslt. Il entro è C ;. Rispetto d un sistem di ssi X Y trslti on origine nel punto C, l'iperole h equzione D XY 3x + 5 x x + Rppresent le funzioni omogrfihe y, y, y x + 3 x x Ellisse e iperole riferite d ssi prlleli i propri In presenz di un'equzione del tipo x + y + x + dy + e 0, on 0 e 0, possimo rionduri : un ironferenz se un'ellisse se e, onordi un'iperole se e, disordi

5 Può nhe suedere he, pur ridendo in un delle preedenti sistihe, l'equzione in reltà non rppresenti null o rppresenti un solo punto nel pino rtesino. In tl so, pur seguendo il proedimento tr reve illustrto, non si giungerà ll'equzione noni dell oni riert (es: si giunge un ironferenz on rggio nullo) In presenz di un'equzione del tipo sopr si proede ome nel seguente esempio: 9x 54x + 5y 00y 44 0 (ellisse) Tr i termini in x rogliere il oeffiiente del termine di seondo grdo (idem per i termini in y): 9( x 6x) + 5( y 4y) 44 0 Nelle prentesi ottenute ggiungere un termine numerio in modo d ompletre un qudrto di inomio. Il termine viene poi nhe sottrtto per ottenenre un'equzione equivlente ll preedente: 9 x 6x y 4y ( ) ( ) 0 [( x 3) 9] + 5 ( y ) [ 4] Lsindo inditi i qudrti di inomio ottenuti, proedere on le operzioni lgerihe: 9 x y ( ) ( ) 0 9( x 3) + 5( y ) 5 0 Si er di riondursi ll form noni dell'equzione dell'ellisse: si port seondo memro il termine noto 9( x 3) + 5( y ) 5 si divide per il termine noto per vere seondo memro 9( x 3) 5( y ) ( x 3) ( y ) A questo punto si h l'equzione dell'ellisse in form noni: X + Y 5 9 X x 3 essendo. Si trtt quindi di un'ellisse trslt. L'origine del sistem di Y y ssi di riferimento srà O '( 3;) (i vlori sottrtti rispettivmente d x e d y ) Si proede quindi ll ostruzione seguendo le indizioni per l'ellisse on entro nell'origine, m il sistem di ssi ui i riferimo per l ostruzione srà quello entrto in O'. Rppresent le urve 4x y 4x + y + 0, 3y y 8x + 5 0, 4x + 9y 4x 36y Potenze di x n Non strettmente legte ll geometri nliti, si itno le funzioni del tipo y x on n N, per nlogi on il grfio dell prol. Si distinguono due si. n pri: si ottiene un grfio simile quello dell prol y x. Tutti i grfii hnno vertie nell origine e pssno per i punti ( ;) e ( ; ). Al resere dell potenz il grfio tende d ppittirsi ontro l sse delle sisse per < x <, mentre tende diventre più ripido per x < x >.

6 n dispri: si ottiene un grfio simile i preedenti, m l prte di grfio nel II qudrnte viene riltt nel III. Tutti i grfii pssno per l origine e pssno per i punti ( ;) e ( ; ). Al resere dell potenz il grfio tende d ppittirsi ontro l sse delle sisse per < x <, mentre tende diventre più ripido per x < x >. 4 6 Rppresent sullo stesso pino rtesino le urve y x, y x, y x e onfrontle. Rppresent sullo stesso pino rtesino le urve y x, 3 y x, 5 y x e onfrontle.

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