Appunti di Algebra Lineare - 1

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1 Appunti di Algebra Lineare - 1 Mongodi Samuele - s.mongodi@sns.it 10/11/2009 Le note che seguono non vogliono, né possono, essere il sostituto delle lezioni frontali di teoria e di esercitazione; anzi, il loro scopo è di richiamare e integrare quanto svolto in classe. Preciso fin d ora che non metterò online le soluzioni di questi esercizi, che potrete controllare venendo a ricevimento. Infine, gli esercizi con il simbolo sono più complicati degli altri e il loro svolgimento non è necessario, ma sono presenti in queste note per chi avesse interesse per la materia. 1 Numeri complessi Il campo dei numeri complessi C è l insieme di coppie di numeri reali con le seguenti operazioni {a + ib a, b R} (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d) (a + ib)(c + id) = (ac bd) + i(ad + bc) L elemento neutro per la somma è 0 = 0 + i0 e l elemento neutro per la moltiplicazione è 1 = 1 + i0; dato un numero a + ib, il suo inverso per la somma è il numero complesso a ib. Dato poi un numero complesso a + ib non nullo, il suo inverso per la moltiplicazione è 1 a + ib = a a 2 + b 2 i b a 2 + b 2 Dato il numero z = a+ib, i numeri reali a e b si dicono rispettivamente parte reale e parte immaginaria di z e si indicano con a = R(z) e b = I(z). Possiamo interpretare ogni numero complesso come un punto del piano cartesiano, associando a a + ib il punto (a, b); per questo l espressione a + ib si dice forma cartesiana. Ad ogni numero complesso z = a + ib possiamo associare la distanza del punto (a, b) dall origine, la quantità ρ = a 2 + b 2 = z detta modulo del numero complesso z; inoltre, possiamo anche considerare l angolo orientato (positivo in senso antiorario) che la semiretta dei reali positivi forma con la semiretta dall origine a (a, b), 1 θ = arctan b a = arcsin b a2 + b = arccos a 2 a2 + b = arccota 2 b 1 Le formule con tangente e cotangente possono essere usate solo quando a 0 (o risp. quando b 0), mentre le formule con seno e coseno non sono univoche (ad esempio, esistono due angoli diversi il cui seno è 1/2). 1

2 Tale angolo si dice argomento (o anomalia) del numero complesso z e si indica con arg(z). La scrittura ρ(cos θ + i sin θ) si dice forma polare di un numero complesso. Osserviamo che la scrittura polare ha una singolarità per ρ = 0. Questo dato basta univocamente a determinare il numero complesso z = 0. Inoltre l argomento θ è periodico di periodo 2π. Si hanno le seguenti relazioni: zw = z w arg(zw) = arg(z) + arg(w) e quindi in particolare z n = z n e arg(z n ) = n arg(z). Esempio Calcoliamo il cubo del numero complesso z = 1 2i, con lo sviluppo del cubo del binomio: z = (1 2i) = ( 2i)+ 1 ( 2i) 2 +( 2i) = 1 6i 12+8i = 11+2i Esempio Le potenze dell unità immaginaria i sono periodiche di periodo 4, infatti i 0 = 1 i 1 = i i 2 = 1 i = i i 4 = 1 e dunque, se h k mod 4, si avrà i h = i k. Ad esempio, i 2010 = i 2 = 1; similmente i 1 = i = i. Esempio Cerchiamo le radici quadrate del numero z = 1 + i ; per farlo, proviamo a risolvere l equazione Sviluppando, otteniamo (a + ib) 2 = 1 + i a 2 b 2 + i2ab = 1 + i ed eguagliando parte reale e parte immaginaria otteniamo { a 2 b 2 = 1 2ab = Per risolvere tale sistema non c è un metodo univoco. In questo caso, nella seconda equazione possiamo supporre a, b 0 (altrimenti il prodotto sarebbe nullo) e quindi porre, ad esempio da cui, sostituendo nella prima,, posto t = b 2, a = 2b 4b 2 b2 = 1 4t 2 = 4t 2

3 che ha come soluzioni t 1,2 = 2 ± 4 4 di cui solo t 1 = 1/2 è accettabile, in quanto t = b 2. a = ± / 2, le radici quadrate di z sono Dunque b = ±1/ 2 e + i 2 2 i 2 2 Esempio Portiamo in forma polare il numero z = 2 + 2i. Per farlo calcoliamo innanzitutto il modulo: ρ = = 2 2 ed ora, per calcolare l argomento θ, abbiamo vari metodi: ad esempio sappiamo che deve essere tan θ = 1 oppure che z z = 1 + i = cos θ + i sin θ 2 2 da una di queste due è facile ricavare che θ = π/4. Dunque z = 2 2(cos π/4 + i sin π/4). Esempio Calcoliamo la quarta potenza del numero z = + i. Innanzitutto portiamolo in forma polare; si ha e tan θ = 1/, da cui θ = π/6. Ora ρ = + 9 = 2 z 4 = z 4 = ρ 4 = 16 9 = 144 arg(z 4 ) = 4 arg(z) = 2π/ quindi z 4 = 144(cos 2π/ + i sin 2π/) = 72 + i72. Esercizio 1 Calcolare le seguenti espressioni nei numeri complessi, esprimendo il risultato nella forma a + ib i. (1 + i)(1 i) 2 + (2 + i) (4 4i) ii. (2 i)i + ( + 2)i/(2 i) iii. (i 1/2) + (i + 1/2) iv. (1+2i)(2+i) 2i(2 i) (i+1)(i 1) 2i Esercizio 2 Portare in forma polare (eventualmente aiutandosi con la calcolatrice) i seguenti numeri complessi i. z = 1 + i ii. z = 2 2i iii. z = 9

4 iv. z = i v. z = ( 6 + 2) + i( 6 2) Esercizio Calcolare z 2009 in ognuno dei seguenti casi: i. z = i ii. z = ( 2 + i 2)/2 iii. z = (1 i )/2 iv. z = i 1 Esercizio 4 ( ) Osserviamo che, se z = cos θ+i sin θ, allora z 2 = cos 2θ+i sin 2θ; d altra parte, se z = a + ib, si ha z 2 = (a 2 b 2 ) + i2ab, quindi cos 2θ = a 2 b 2 = cos 2 θ sin 2 θ sin 2θ = 2 sin θ cos θ Allo stesso modo si provi a ricavare le formule di triplicazione e quadruplicazione di seno e coseno. 2 Radici n esime Se vogliamo calcolare le radici n esime di un numero complesso possiamo sfruttare le stesse relazioni: se, ad esempio, vogliamo le radici terze del numero complesso z = 2 + i 6. Innanzitutto notiamo che z = 2 2 e arg(z) = π/; ora, noi vogliamo trovare i numeri complessi w tali che w = z tali che e dunque w = 2 ed inoltre tali che w = z = 2 2 arg(w) = arg(z) Ora, osserviamo che questa uguaglianza ha, da entrambi i lati dell uguale, degli angoli; dunque essa deve valere a meno di multipli di 2π, in quanto gli angoli α e α + 2π sono uguali. Dunque l equazione precedente deve più correttamente essere scritta come arg(w) arg(z) mod 2π oppure come a questo punto, abbiamo che arg(w) = arg(z) + 2kπ = π/ + 2kπ arg(w) = π/9 + 2kπ/ e questo deve essere valutato per ogni k Z. Però, notiamo che se k = k + si ha π/9 + 2k π/ = π/9 + 2(k + )π/ = π/9 + 2kπ/ + 2π 4

5 e dunque mettere k o k non cambia, a livello di angoli. Dunque gli unici angoli che dobbiamo considerare come argomenti di w sono per k = 0, 1, 2. In generale se ho l equazione π/9, π/9 + 2π/, π/9 + 4π/ avrò le soluzioni mθ α θ k = α m + 2kπ m mod 2π k = 0,..., m 1 Le soluzioni dell equazione z m = 1 sono m numeri complessi di modulo 1 detti radici m esime dell unità e si scrivono come z k = cos 2kπ 7 + i sin 2kπ 7 k = 0, 1,..., m 1 Nei numeri complessi esiste un operazione detta coniugio, che agisce come segue: se esprimiamo il numero complesso z in forma cartesiana come a + ib, allora il suo coniugato z avrà la forma a ib. In forma polare, z = z e arg(z) = arg(z). Ad esempio, se z = 1 + i, allora z = 1 i; inoltre, si hanno i due seguenti fatti: z R z = z z ir z = z Notiamo inoltre che, se z = a + ib, si ha e dunque z 2 = zz; infine, si ha Infine, notiamo che si ha zz = (a + ib)(a ib) = a 2 + b 2 z = 1 z z = 1 R(z) = z + z 2 I(z) = z z 2i Esempio Risolviamo l equazione z = z 4 Possiamo procedere come segue: confrontiamo i moduli e gli argomenti dei due membri, determinando modulo e argomento di z. Confrontando i moduli si ha z = z 4 da cui z = z 4 5

6 e quindi z = 0 oppure z = 1. Confrontando gli argomenti si ottiene arg(z ) arg(z 4 ) mod 2π arg(z) 4 arg(z) mod 2π 7 arg(z) 0 mod 2π da cui arg(z) = 2kπ k = 0, 1,..., 6 7 Dunque le soluzioni sono z = 0 z = cos 2kπ 2kπ + i sin k = 0, 1,..., Metodo alternativo: Partendo dall equazione z = z 4, possiamo moltiplicare entrambi i membri per z 4, ottenendo z 7 = (zz) 4 z 7 = z 8 Uguagliando i moduli si nota che le soluzioni possibili sono z = 0 che porta a z = 0 oppure z = 1; in quest altro caso si ha z 7 = 1 e dunque le soluzioni saranno le radici settime dell unità, z = cos 2kπ 7 Esempio Risolviamo l equazione eguagliando i moduli si ha + i sin 2kπ 7 z 2 = (1 + i)z z 2 2 z = 0 k = 0, 1,..., 6 da cui z = 0 oppure z = 2. Eguagliando gli argomenti si ha 2 arg(z) arg(1 + i) arg(z) mod 2π arg(z) arg(1 + i) π/4 mod 2π da cui arg(z) = π kπ k = 0, 1, 2 e dunque le soluzioni sono z = 0 z = ( ( π 2 cos kπ ) ( π + i sin kπ )) Esercizio 5 Scrivere le radici quarte di z nei seguenti casi k = 0, 1, 2 6

7 i. z = 1 ii. z = 1 + i iii. z = 1 + i iv. z = i Esercizio 6 Determinare per quali z C valgono le seguenti equazioni i. z + z = 0 ii. z + 2z = 1 + i iii. zz 2 = 0 iv. z + z = 0 Esercizio 7 Determinare le soluzioni delle seguenti equazioni i. z 2 = z ii. (z + 1) = (z + 1) 4 iii. z 5 = 4z iv. (z + i) 2 = z i v. z 5 = z 2 vi. z = (1 + i) 2 z 2 Esercizio 8 ( ) Consideriamo l equazione z n = 1 con n 1 intero e le sue n soluzioni complesse. Dimostrare che i. tutte le soluzioni dell equazione hanno modulo 1; ii. se ζ è una soluzione, anche 1/ζ lo è; iii. se ζ è una soluzione, anche ζ lo è; iv. se ζ è una soluzione di z n = 1 e ω è una soluzione di z m = 1, allora ζω è una soluzione di z nm = 1. Esponenziale complesso Nel campo dei numeri complessi possiamo definire un operazione di esponenziazione, come nei numeri reali, ottenendo una funzione data da Osserviamo quindi che exp : C C \ {0} e z = exp(a + ib) = e a (cos b + i sin b) e z = e R(z) arg(e z ) = I(z) 7

8 dove R(z) e I(z) sono la parte reale e la parte immaginaria di z ( a e b). Quindi, l equazione e z = 1 ha come soluzioni tutti i numeri della forma z = i2kπ con k Z. Infatti serve che e z = 1, quindi e a = 1 quindi a = 0 e arg(e z ) 0 mod 2π, quindi b = 2kπ; questa volta però non abbiamo un equazione tra due angoli, come nel caso dei problemi precedenti, ma tra un angolo e un numero reale, quindi non possiamo limitare i k da scegliere. Dunque le soluzioni di e z = 1 sono infinite:..., i6π, i4π, i2π, 0, i2π, i4π, i6π,... Notiamo poi che exp(z) = exp(z) e che valgono tutte le regole che già conoscevamo sui reali: Esempio Risolviamo l equazione exp(z + w) = exp(z) exp(w) exp(z w) = exp(z)/ exp(w) exp(nz) = (exp(z)) n e 2z = 1 i Come prima, uguagliamo moduli e argomeni: e 2z = 2 da cui Inoltre quindi e 2a = 2 a = log 2 1/4 arg(e 2z arg(1 i) π/4 mod 2pi 2b π/4 mod 2π b = π 8 + kπ k Z Dunque z = log 2 1/4 i π 8 + ikπ per k Z. Esempio Dato il numero complesso z = log 2 + iπ/4, vogliamo calcolare e z. Si ha e z = e R(z) (cos I(z) + i sin I(z)) = e log 2 (cos π/4 + i sin π/4) = ( 1 = i ) = 2 + i 2 2 Esempio Risolviamo l equazione e 2z = e z+1 8

9 Possiamo riscriverla come e 2z z 1 = 1 e dunque 2z z 1 = i2kπ da cui, scrivendo z = a + ib, otteniamo k Z 2a + i2b a + ib 1 = i2kπ k Z il sistema (o meglio, la famiglia di sistemi, al variare di k Z) { a 1 = 0 b = 2kπ che ha soluzioni a = 1, b = 2kπ e dunque le soluzioni cercate sono z = 1 + i 2kπ Esercizio 9 Calcolare e z nei seguenti casi i. z = iπ ii. z = 1 + iπ/ iii. z = 1 + iπ/ iv. z = log 2 + i121π/6 v. z = log iπ/4 Esercizio 10 Risolvere le seguenti equazioni i. e z = 1 ii. e z = i iii. e z+z = 1 iv. 2e 4 z = 1 + i Esercizio 11 Risolvere le seguenti equazioni i. e z2 = e z ii. e 2z = 8ie z+i iii. e z+1 = 4e z+1 iv. e z2 = e iz2 k Z Esercizio 12 ( ) Risolvere l equazione e mz = e w esprimendo z in funzione di w e ricavare da questo le formule per le radici m esime di un numero complesso. 9

10 4 Diseguaglianze tra moduli Le disugiaglianze tra moduli si possono ridurre, di solito, a disuguaglianze tra parte reale e parte immaginaria, oppure a disuguaglianze del tipo z < 1. Esempio Trovare per quali numeri complessi vale z + i z i. Riscrivendo la richiesta in forma cartesiana, si ha a2 + (b + 1) 2 a 2 + (b 1) 2 elevando al quadrato si ha (b + 1) 2 (b 1) 2 b 0 Quindi vanno bene tutti i numeri complessi z tali che I(z) 0. Esempio Trovare per quali numeri complessi vale e iz < 1. Sappiamo che exp(w) = e R(w), quindi e iz = e R(iz) = e b e dunque vogliamo che e b < 1, che b < 0. Quindi cerchiamo i numeri complessi z tali che I(z) < 0. Esempio Trovare per quali numeri complessi vale 12 z z 1. Riscrivendo tutto in forma cartesiana, si ha da cui che è equivalente a 12 (a + 1) 2 + b 2 11 (a 1) 2 + b 2 144(a 2 + b 2 + 2a + 1) 121(a 2 + b 2 2a + 1) 2a 2 + 2b a ((a + 50/2) 2 + b 2 ) 507 z + 50/2 507/2 Esempio Troviamo per quali numeri complessi vale e z > e iz. Sappiamo che e z = e R(z) e e iz = e I(z), quindi si ha e R(z) > e I(z) R(z) > I(z) Esercizio 1 Risolvere il sistema { (1 + i)z = z 2 e iz > 1 10

11 Esercizio 14 Risolvere il sistema { z = z z + i > z i Esercizio 15 Risolvere il sistema { e 2z = 2e z z log 2 < 4 5 Interpretazione grafica dei numeri complessi Come già detto, ogni numero complesso può essere pensato come un punto del piano cartesiano; il passaggio da forma cartesiana a forma polare è allora il passaggio dalle coordinate cartesiane alle coordinate polari. Inoltre, se fissiamo un numero complesso z 0, l applicazione che manda ogni numero complesso z in z + z 0 è una traslazione del piano; se infatti z 0 = a + ib, la trasformazione è data da { x x + a y y + b Se invece fissiamo un numero reale k, la trasformazione che manda z in kz è un omotetia di centro l orgine; infine, se fissiamo un numero complesso ω tale che ω = 1 (e quindi tale che ω = cos θ + i sin θ), l applicazione z ωz è una rotazione di un angolo θ attorno all origine. Infine, il coniugio realizza la simmetria rispetto all asse reale. Il modulo di un numero complesso z = zz = a 2 + b 2 è la distanza dall origine del punto associato a z; allo stesso modo, il modulo della differenza tra due numeri complessi è la distanza tra i punti a loro associati: z 0 z 1 = (a 0 a 1 ) 2 + (b 0 b 1 ) 2. Negli esempi che seguono vedremo i luoghi geometrici descritti da equazioni o disequazioni. Esempio L insieme dei numeri complessi che soddisfano l equazione zz = r 2 è la circonferenza di centro l origine e raggio r; infatti zz = a 2 + b 2. Più in generale, l insieme (z z 0 )(z z 0 ) = r 2 descrive una circonferenza di centro z 0 e raggio r. Esempio L insieme dato da z r descrive l interno del cerchio di raggio r e centro l origine, unito alla circonferenza. Esempio L insieme z + 1 = z 1 è l insieme dei punti z tali che la distanza di z dal punto 1 = ( 1, 0) è uguale alla distanza di z dal punto 1 = (1, 0), è l asse del segmento che unisce 1 e 1, è l asse delle ordinate, cioè l asse immaginario. Dunque il luogo z +1 < z 1 è il semipiano a sinistra (dalla parte dei reali negativi) dell asse immaginario, mentre z + 1 > z 1 descrive il semipiano destro (reali positivi). Esempio Le soluzioni dell equazione z m = 1 sono i vertici di un m agono regolare inscritto nella circonferenza unitaria con un vertice nel punto 1. Le soluzioni di z m = ω con ω = 1 saranno i vertici di un m agono regolare inscritto nella circonferenza unitaria, che sarà ruotato di un angolo θ = arg(ω)/m rispetto al precedente. 11

12 Esempio Le soluzioni di z(1 + i) = (1 i)z sono i numeri complessi a + ib tali che (a + ib)(1 + i) = (a ib)(1 i) a + ib + ia b = a ib ia b a = b dunque sono i punti sulla diagonale del primo e del terzo quadrante. Esercizio 16 Trovare i luoghi geometrici descritti dalle seguenti equazioni: i. z(1 i) z(1 + i) = 2i ii. z 2 z 2 = 2 iii. z(z z + 2) = z(z z + 2) iv. z 1 = z i Esercizio 17 Trovare i luoghi geometrici descritti dalle seguenti disequazioni: i. z 2 < 4 ii. z + 1 z iii. z + z /2 < 6 Esercizio 18 ( ) Scrivere le seguenti trasformazioni del piano in termini di numeri complessi, (Ad esempio, la trasformazione rotazione di π/4 attorno al punto 1 è z ω(z 1) + 1 con ω = 1/ 2 + i/ 2). i. Rotazione di centro i e angolo π/6. ii. Simmetria rispetto all asse immaginario. iii. Simmetria centrale rispetto a i. Esercizio 19 ( ) Dati tre punti nel piano (e quindi tre numeri complessi) z, w, v, trovare un espressione per seno e coseno dell angolo formato dalle rette da z a w e da v a w. Dimostrare che i due triangoli z, v, w e z, v, w sono simili se e solo se z w v w = z w v w Infine, dimostrare che tre punti fanno un triangolo equilatero se e solo se z + ωv + ω 2 w = 0 con ω = 1/2 + i /2. 12