LA GEOMETRIA ANALITICA DELLO SPAZIO

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1 CPITL 6 [numeraione araba] [numeraione devanagari] [numeraione cinese] L GEMETRI NLITIC DELL SPI L MSC DI CRTESI Si narra che Cartesio, una sera d estate, mentre si rilassava e meditava sdraiato sul suo letto, si mise a osservare le curve irregolari del volo di una mosca. Si rese conto che, se avesse potuto misurare la distana dell insetto dalle pareti e dal soffitto della camera, avrebbe potuto determinare la posiione della mosca nello spaio in qualsiasi momento. Come poteva Cartesio descrivere il volo di una mosca? La risposta a pag. 00 Bergamini, Trifone, Baroi Matematica.blu 2.0 anichelli 20 Volume 4

2 TERI CPITL 6. L GEMETRI NLITIC DELL SPI Il piano è anche detto piano terra.. LE CRDINTE CRTESINE NELL SPI I punti Per rappresentare lo spaio con un riferimento di tipo cartesiano, utiliiamo tre particolari rette a due a due perpendicolari,, e, orientate come in figura. Esse si intersecano in un punto, detto origine degli assi. In tale sistema un punto P è individuato da una terna ordinata di numeri reali e si indica P(; ; ). I numeri,, vengono detti rispettivamente ascissa, ordinata e quota. La coppia (; ) individua il punto, proieione di P nel piano. P(; ; ) P(; 6; 7) quota ascissa Figura Rappresentaione di un punto P nello spaio. ordinata (; ) a. Punto P generico. b. Punto P di ascissa, ordinata 6 e quota 7. (; 6) La diagonale di un parallelepipedo si ottiene con la formula: d = a + b + c, dove a, b, c sono le misure degli spigoli. La distana fra due punti Consideriamo i punti ( ; ; ) e B ( B ; B ; B ). Con l aiuto della figura 2, possiamo osservare che il segmento B è una delle diagonali di un parallelepipedo rettangolo i cui spigoli misurano - B, - B, - B. pplichiamo la formula per calcolare la lunghea della diagonale di un parallelepipedo: B = ( - ) + ( - ) + ( - ). B B B B B ' B B'' M B' M' B Figura 2 In particolare, la distana di un punto dall origine si calcola con la formula: = + +. Il punto medio di un segmento Consideriamo il segmento di estremi ( ; ; ), B( B ; B ; B ) e il suo punto medio M. Possiamo calcolare le coordinate di M utiliando le formule viste nella geometria analitica del piano. Le coordinate del punto medio M sono quindi date dalle formule: M = + B + B +, M =, M = B. 082 Bergamini, Trifone, Baroi Matematica.blu 2.0 anichelli 20 Volume 4

3 PRGRF 2. IL PIN TERI 2. IL PIN L equaione generale del piano Consideriamo un generico piano a nello spaio che non passi per l origine. Tracciamo la retta r per perpendicolare ad a e consideriamo il punto (a; b; c) in cui r interseca a (figura ). Prendiamo su a un punto generico P(; ; ). Poiché =a, allora = P, quindi il triangolo P è rettangolo. pplichiamo il teorema di Pitagora: 2 2 P = + P 2 " a 2 b 2 c 2 2 ( a) 2 ( b) 2 " + + = ( - c) " 2 2 " + + = a + b + c + - 2a+ a + - 2b+ b c+ c " a+ b+ c- ( a + b + c ) = 0. Poniamo -( a + b + c ) = d e otteniamo l equaione del piano a: a+ b+ c+ d = 0. In generale si può dimostrare che ogni equaione a+ b+ c+ d = 0, con a, b, c non tutti nulli, rappresenta un piano e viceversa. L equaione viene detta equaione generale del piano. In particolare, l equaione a+ b+ c = 0 rappresenta un piano passante per l origine. Piani particolari Se l equaione generale contiene una sola variabile, essa rappresenta piani paralleli a uno dei piani coordinati (figura 4). In particolare: = 0, piano ; = 0, piano ; = 0, piano ; = k, piano parallelo al piano ; = k, piano parallelo al piano ; = k, piano parallelo al piano. r α P Figura Per calcolare P,, P, applichiamo più volte la formula della distana. I piani, e vengono anche detti piani coordinati. Figura 4 piano = k piano = 0 piano = 0 k piano = k k k piano = 0 a b piano = k c Bergamini, Trifone, Baroi Matematica.blu 2.0 anichelli 20 Volume 4 08

4 TERI CPITL 6. L GEMETRI NLITIC DELL SPI Inoltre, se nell equaione a + b + c + d = 0 di un piano una sola variabile ha coefficiente 0, il corrispondente piano è parallelo all asse di tale variabile e perciò perpendicolare al piano individuato dagli assi delle altre due variabili (figura 5). piano a + b + d = 0 a. c = 0: il piano è parallelo all asse e perpendicolare al piano. piano a + c + d = 0 piano b + c + d = 0 b. b = 0: il piano è parallelo all asse e perpendicolare al piano. c. a = 0: il piano è parallelo all asse e perpendicolare al piano. Figura 5 Rappresentaione grafica di tre generici piani paralleli rispettivamente all asse, all asse e all asse. La forma esplicita Se nell equaione generale del piano a+ b+ c+ d = 0 è c! 0, allora possiamo risolvere l equaione rispetto a e otteniamo: = m+ n+ q. Diciamo che l equaione del piano è scritta in forma esplicita. sserviamo che, poiché per c = 0 l equaione generale rappresenta un piano parallelo all asse, si può scrivere in forma esplicita soltanto l equaione di un piano non parallelo all asse. ESEMPI Determiniamo l equaione del piano a passante per i punti (2; 0; 0), B (0; ; 0), C(0; 0; ) (figura 6). Dalla figura vediamo che il piano a non è parallelo all asse, quindi possiamo utiliare l equaione esplicita = m + n + q. Sostituendo le coordinate dei tre punti dati deduciamo il sistema nelle incognite m, n, q: 2m+ q = 0 ] [ n+ q = 0 ] q = \ " m =- ] 2 [ n =- ] q = \ Pertanto l equaione del piano BC è: 2 B =- - + oppure = 0. 2 α C Figura 6 I punti (2; 0; 0), B(0; ; 0), C(0; 0; ) e il piano a. 084 Bergamini, Trifone, Baroi Matematica.blu 2.0 anichelli 20 Volume 4

5 PRGRF 2. IL PIN TERI I piani paralleli Consideriamo i piani aventi le seguenti equaioni: = 0, = Le due equaioni sono equivalenti perché i coefficienti corrispondenti sono proporionali: i coefficienti della prima si deducono da quelli della seconda moltiplicandoli per - 4. Esse rappresentano pertanto lo stesso piano. Consideriamo ora le seguenti equaioni: = 0, = 0. Vediamo che i coefficienti delle variabili corrispondenti hanno rapporto, 2 4 mentre i termini noti hanno rapporto. Le due equaioni non hanno soluioni comuni. Infatti nella prima, per tutti i valori attribuiti alle variabili, l espressione deve valere 4, mentre nella seconda, per tutti i valori attribuiti alle variabili, la stessa espressione deve valere. I due piani, pertanto, non hanno punti comuni e sono paralleli. 2 In generale, per piani che non siano paralleli ai piani coordinati, si può dimostrare il seguente teorema sul parallelismo fra due piani. TEREM Condiione di parallelismo fra piani Due piani di equaioni a +b + c + d = 0 e al + bl + cl + dl = 0 sono paralleli se: a b c = = al bl cl. Se vogliamo considerare anche piani paralleli ai piani coordinati, allora possiamo dire che i due piani sono paralleli se: a = kal, b = kbl, c = kcl, con k! R. a b c d In particolare, se = = =, al bl cl dl i piani sono coincidenti. I piani perpendicolari Si può dimostrare il seguente teorema sulla perpendicolarità fra due piani. TEREM Condiione di perpendicolarità fra piani Due piani di equaioni a +b + c + d = 0 e al + bl + cl + dl = 0 sono perpendicolari se: Se le equaioni dei due piani sono in forma esplicita, la condiione è: mml+ nnl =-. aal+ bbl+ ccl = 0. La distana di un punto da un piano Dato il piano a di equaione a +b + c + d = 0 e il punto ( ; ; ), si dimostra che la distana h di da a è: h = a+ b+ c+ d. a + b + c Bergamini, Trifone, Baroi Matematica.blu 2.0 anichelli 20 Volume 4 085

6 TERI CPITL 6. L GEMETRI NLITIC DELL SPI ESEMPI Calcoliamo la distana del punto P(0; ; - ) dal piano di equaione = 0. Utiliiamo la formula della distana di un punto da un piano: h = $ 0- $ + 2 $ (- ) - 4 =. + (- ) Nel piano cartesiano due rette non parallele si intersecano in un punto. Per determinarne le coordinate occorre risolvere il sistema formato dalle equaioni delle due rette.. L RETT Le equaioni generali Nello spaio due piani non paralleli si intersecano lungo una retta: il sistema formato dalle equaioni dei due piani permette di determinare l equaione della retta interseione. In generale, a ogni retta nello spaio corrisponde un sistema formato da due equaioni di primo grado che rappresentano due piani non paralleli: a+ b+ c+ d = 0 * a l + b l + c l + dl= 0 Queste equaioni si dicono equaioni generali della retta. Il sistema che individua la retta non è unico, perché sono infiniti i piani che hanno per interseione la retta (figura a lato). Dunque ogni sistema equivalente rappresenta la stessa retta. ESEMPI Il sistema = 0 * = 0 rappresenta una retta. I due piani infatti non sono paralleli perché i coefficienti delle variabili corrispondenti non hanno lo stesso rapporto. bbiamo scritto l equaione della retta attraverso l interseione di un piano parallelo all asse e di un piano parallelo all asse. ltre forme dell equaione di una retta Le equaioni ridotte Riprendiamo l esempio precedente e risolviamo le equaioni in modo che e siano in funione di : - 2 =- + ] = * " [ 2+ = - ] = - \ 5 5 Le equaioni ottenute vengono chiamate le equaioni ridotte della retta data. ttribuendo a valori arbitrari si hanno le coordinate di punti appartenenti alla retta data. In generale le equaioni ridotte di una retta si ottengono scegliendo opportune coppie di piani paralleli a uno degli assi coordinati, a seconda che il sistema generale sia risolubile rispetto alle variabili e, o e, o e. 086 Bergamini, Trifone, Baroi Matematica.blu 2.0 anichelli 20 Volume 4

7 PRGRF. L RETT TERI Le equaioni sono: = g+ p * se la retta non è parallela al piano ; = h+ q = k+ r * se la retta non è parallela al piano ; = l+ s = m+ t ) se la retta non è parallela al piano. = n+ u La retta passante per due punti Siano dati i punti P(; ; ), ( ; ; ), B( 2 ; 2 ; 2 ). È possibile dimostrare che, se le coordinate verificano le condiioni ] = = =, ossia [, - - ] = \ allora P,, B sono allineati. Tali relaioni si dicono condiioni di allineamento di tre punti. Se P è un punto variabile, tali equaioni rappresentano la retta passante per due punti e B. ESEMPI Scriviamo le equaioni della retta passante per i punti (- ; 2; 0), B(; - ; - 2). Impostiamo le condiioni di allineamento del generico punto P(; ; ) con i punti e B: - (- ) = + - ] - (- ) ] = 2 - [ " [ ] = ] = \ \ Riduciamo e risolviamo rispetto alla variabile : 2 ] =- + [ 2 4 ] = - \ bbiamo così ottenuto una coppia di equaioni ridotte della retta passante per i punti dati. Le equaioni fraionarie e le equaioni parametriche Se poniamo 2 - = l, 2 - = m, 2 - = n, le precedenti equaioni assumono la seguente forma: ] = = = l m, o anche [ l m n - - = ] \ m n Bergamini, Trifone, Baroi Matematica.blu 2.0 anichelli 20 Volume 4 087

8 TERI CPITL 6. L GEMETRI NLITIC DELL SPI I coefficienti l, m, n determinano la direione. Se è data una terna ordinata di coefficienti (l; m; n), tutte le terne del tipo (kl; km; kn) individuano la stessa direione. Si può allora dimostrare che due rette sono parallele se hanno i coefficienti direttivi proporionali ossia l = kll; m = kml; n = knl e viceversa. Queste equaioni si chiamano equaioni fraionarie della retta; i numeri l, m, n costituiscono una terna ordinata di coefficienti direttivi. Il sistema può essere utiliato anche per scrivere le equaioni della retta passante per un punto dato M( ; ; ) e con coefficienti direttivi assegnati l, m, n. Nell esempio considerato l = 2, m = -, n = - 2; M è uno dei due punti o B. Se = 2, le equaioni fraionarie sono inutiliabili. Tuttavia è immediato riconoscere che la retta passante per i due punti dati è parallela al piano, quindi possiamo scrivere le equaioni ridotte. nalogamente, se = 2, la retta è parallela al piano ; se = 2, la retta è parallela al piano. ESEMPI Determiniamo le equaioni della retta passante per i punti (; ; ), B(- ; ; 0). Poiché = 2 =, la retta è parallela al piano e non è possibile utiliare le equaioni fraionarie. Scriviamo le equaioni ridotte utiliando il primo caso: = g+ p * = h+ q Sostituiamo le coordinate di e di B: ] g = 2 = g+ p, ; h q B - = 0+ p ] h = 0 " * " * quindi[ = + = 0+ q ] p =- ] q = \ Le equaioni ridotte della retta data sono: = 2- * = Le equaioni fraionarie possono essere ulteriormente trasformate osservando che, considerando una retta e un suo punto P( ; ; ), i rapporti - - -,, l m n sono uguali fra loro, ma il loro valore cambia al variare del punto P sulla retta. Se indichiamo con t il valore comune dei tre rapporti, le equaioni fraionarie si possono riscrivere nella seguente forma: ] - = t l = + lt ] - ] [ = t " [ = + mt, con t! R. ] m ] - = nt + ] = t \ \ n Queste sono le equaioni parametriche della retta; anch esse rappresentano la retta passante per un punto dato e con coefficienti direttivi assegnati. Rimangono valide anche se uno dei coefficienti direttivi è nullo. In particolare: se l = 0, la retta è parallela al piano ; se m = 0, la retta è parallela al piano ; 088 Bergamini, Trifone, Baroi Matematica.blu 2.0 anichelli 20 Volume 4