Mathematical logic 1 st assessment Propositional Logic 23 October 2014

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1 Name ID. 1 Mathematical logic 1 st assessment Propositional Logic 23 October 2014 Instructions Rispondete in Italiano utilizzando una penna ad inchiostro (no matite) a meno che le domande non vi diano altre istruzioni. Scrivete in modo chiaro; risposte illeggibili non saranno considerate. Preoccupatevi di identificare in modo chiaro ogni risposta con: il numero dell esercizio corrispondente. se il caso, la parte dell esercizio corrispondente alla risposta. Depennate in modo chiaro lavoro di brutta copia e risposte che non volete siano considerate prima di consegnare il compito. Scrivete in stampatello, sui fogli che utilizzate per le risposte, il vostro nome, cognome, e numero di matricola in modo chiaro. Esercizio 1. [5 punti] Considerate il testo seguente Se Dominic va alle gare di auto, allora Helen si arrabbia. Se Ralph gioca a carte tutta la notte, allora Carmela si arrabbia. Se Helen o Carmela si arrabbia, allora Veronica (il loro avvocato) verrá contattata. Veronica non é stata contattata da nessuno. Di conseguenza, Dominic non é andato alle gare di auto e Ralph non ha giocato a carte tutta la notte. Formalizzate il testo in logica proposizionale Il testo contiene un argomentazione, cioé una conclusione a partire da un insieme di premesse. Formalizzate la relazione tra conclusione e premesse in logica proposizionale e descrivete come potreste determinarne la validit. Suggestion: usate il seguente linguaggio p = Dominic va alle gare di auto,

2 Name ID. 2 q = Helen si arrabbia, r = Ralph gioca a carte tutta la notte, s = Carmela si arrabbia, t = Veronica é contattata Soluzione. Se Dominic va alle gare di auto, allora Helen si arrabbia. p q Se Ralph gioca a carte tutta la notte, allora Carmela si arrabbia. r s Se Helen o Carmela si arrabbia, allora Veronica (il loro avvocato) verr contattata. (q s) t Veronica non é stata contattata da nessuno t Dominic non é andato alle gare di auto e Ralph non ha giocato a carte tutta la notte. p r L argomentazione si puo descrivere come p q, r s, (q s) t, t = p r (oppure p q, r s, (q s) t, t p r ) per determinarne la validità si possono utilizzare le tavole di verità, il tableau o altri metodi di prova. Esercizio 2. [4 punti] Dire se la seguente affermazione è vera (fornire una giustificazione alla risposta) Data un insieme arbitrario di interpretazioni proposizionali M, se F G è soddisfacibile in M, e F è soddisfacibile in M, allora G é soddisfacibile in M. Nota: una formula φ è soddisfacibile in un insieme di interpretazioni M se c è almeno un modello I M tale che I = φ.

3 Name ID. 3 Soluzione. L affermazione non è vera. Supponiamo che F sia la formula atomica p e G la formula atomica q. Consideriamo l inseime delle interpretazioni M = {I 1, I 2 } dove I 1 p = I 1 (q) = false, e I 2 (p) = T rue and I 2 (q) = false Abbiamo che F è soddisfacibile in M perché I 2 = F e anche F G è soddisfacibile in M perché I 1 = F G. D altra parte M non contiene nessun modello che rende vera G, infatti I 1 (q) = I 2 (q) = F alse. Esercizio 3. [6 punti] Dimostrare che se la seguente regola applicata a un ramo soddisfacibile di un tableau, almeno uno dei due rami risultanti soddisfacibile: φ ψ φ ψ Soluzione. sia I un interpretazione che soddisfa sb, in simboli I = sb siccome φ ψ sb allora I = φ ψ questo implica che I = φ o I = ψ questo implica che I = φ o I = ψ Se I = φ allora questo implica che I = sb con sb = sb { φ}; se I = ψ, questo implica che I = sb con sb = sb {ψ}. In entrambi i casi sb estendibile and un ramo soddisfacibile e quindi il teorema é dimostrato. Esercizio 4. [6 punti] Trasformate la sequente formula in CNF e determinate usando DPLL se é soddisfacibile., φ = (( p q) (r q)) (q p) Soluzione. CNF CNF (φ) = { p, q}, { p, r}, {p, q, r} DPLL No unit propagation. We select the literal p and set to true I(p) = T rue CNF (φ) p = {q}, { r}, Unit propagation on {q} Unit propagation on { r} CNF (φ) p,q = { r}

4 Name ID. CN F (φ) p,q, r = {} Satisfiable with I(p) = T rue, I(q) = T rue and I(r) = F alse Esercizio 5. [6 punti] Verificare se = (A B C) ( (B C) A) utilizzando il metodo dei tableaux Soluzione. = (A B C) ( (B C) A) vale come is puo vedere dal seguente tableau Figure 1: caption Esercizio 6. [6 punti] Formalizzare il seguente problema con la logica proposizionale, e trovarne una soluzione. Di un bruco e di una lucertola sappiamo che 4

5 Name ID. 5 il bruco dice che lui e la lucertola sono entrambi matti. Sapendo che i matti dicono sempre il falso ed i savi dicono sempre il vero, determinare tramite una tavola di verità chi è matto e chi è savio tra la lucertola ed il bruco. Suggerimento: Usare le variabili proposizionali L ed B per rappresentare rispettivamente il fatto che la lucertola è savia ed il bruco è savio. Conseguentemente L and B rappresentano rispettivamente il fatto che la lucertola è matta e che il bruco è matto. Soluzione. Se il bruco è savio allora dice la verità e quindi è vero che lui e la lucertola sono entrambi matti. Questo si formalizza con la seguente formula: B ( B L) Se il bruco è matto allora dice il falso e quindi non vale che lui e la lucertola sono entrambi matti. Questo si può formalizzare con la seguente formula: B ( B L) Le due formule sopra possono essere compattate nell unica formula: Calcoliamo la tavola di verità. B ( B L) B L ( B L) B ( B L) T T F F T F F F F T F T F F T F Visto che l unico assegnamento di verità che rende la formula B ( B L) vera è quello che pone B a falso e L a vero, possiamo concludere che il bruco è matto e la lucertola è savia.

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