Campi conservativi e forme esatte - Esercizi svolti

Transcript

1 Campi conservativi e forme esatte - Esercizi svolti 1) Dire se la forma differenziale è esatta. ω = 2 2 ( ) 2 d ( ) 2 d 2) Individuare in quali regioni sono esatte le seguenti forme differenziali e calcolarne le primitive: ( ω 1 = 2 1 ) d + 2 d, ω 2 = 1 (2 2 d ) d. 2 3) Individuare le regioni in cui la forma differenziale seguente è chiusa: ω = d d 4) Si dica se i campi vettoriali F(,, z) = 2 i + j + z k; F(,, z) = ( e z ) i j + e z k sono conservativi in R 3. Si determini, se esiste, un potenziale. 5) Stabilire se il campo vettoriale ( F(,, z) = sin z, 2 2 e z, e ) z 2 cos z è conservativo in D = {(,, z) R 3 z > 0} e determinare i potenziali. 1

2 2 CAMPI CONSERVATIVI E FORME ESATTE - ESERCIZI SVOLTI 6) Sia f : (0, + ) R continua e F( r) = f(r) r, dove r(,, z) = (,, z), r = r. Mostrare r che F è conservativo su R 3 \ {(0, 0, 0)}. 7) Dire per quali valori dei parametri a e b è conservativo il campo vettoriale e calcolarne i potenziali. 8) Provare che il campo vettoriale a 2 i + b j i j non ammette potenziale su R 2. Individuare regioni in cui i potenziali esistono e calcolarli. 9) Individuare funzioni φ(, ) di classe C 1 in R 2 in modo tale che le forme differenziali seguenti siano esatte su R 2 : 2 d + φ(, )d, 2 d + φ(, )d, (sin + sin )d + cos φ(, )d. 10) Calcolare le primitive delle forme differenziali seguenti: zd + zd + dz, 1 d 1 d + 1 z dz, z 2 d z 2 d + z z 2 dz. 11) Calcolare l integrale γ F dp, dove F (, ) = ( , 2) e γ è il grafico della funzione percorso nel verso delle crescenti. 12) Calcolare dove γ(t) = (te t, log(t 2 + 2)), t [0, 1]. 13) Data la forma differenziale sin se 0 π f() = 0 se π 5 γ ( e d + e 1 ) d, + 1 ω = 2 + ( 1) 2 d ( 1) 2 d calcolare γ R ω, dove γ R è la circonferenza di centro l origine e raggio R 1, precorsa una volta in senso antiorario.

3 CAMPI CONSERVATIVI E FORME ESATTE - ESERCIZI SVOLTI 3 SOLUZIONI 1) La forma differenziale ω = a(, )d + b(, )d = 2 2 ( ) 2 d ( ) 2 d ha coefficienti C 1 (R 2 ) (di più, C (R 2 )). Siccome R 2 è stellato, quindi semplicemente connesso, se ω è chiusa, cioè se a = b in R2, allora è anche esatta. Calcoliamo e confrontiamo a e b. Poiché si ottiene a (, ) = 4(1 2 2 ) ( ) 3 = b (, ), (, ) R2 possiamo concludere che ω è chiusa, e quindi, per quanto detto sopra, esatta. 2) Il dominio di ω 1 = a 1 (, )d + b 1 (, )d è l aperto Ω = {(, ) R 2 0}, ovvero il piano, privato dell asse : si tratta di un aperto non connesso. Calcolando a 1 (, ) = 2 = b 1 (, ), (, ) Ω, otteniamo che ω 1 è chiusa. Ne segue che ω 1 è anche esatta in ciascuna componente connessa di Ω, ovvero negli aperti A = {(, ) R 2 < 0}, B = {(, ) R 2 > 0} corrispondenti ai semipiani determinati dall asse, siccome A e B sono semplicemente connessi. Per calcolare una primitiva f di ω 1 cerchiamo di determinare una funzione f 1 (, ) tale che f 1 = a f 1 1, = b 1, ovvero f 1 (, ) = 2 1 f 1 (, ) = 2 Integrando la seconda equazione rispetto ad otteniamo f 1 (, ) = 2 + c(), dove c() è una funzione da determinare sostituendo l espressione così trovata nella prima equazione. Abbiamo 2 + c () = 2 1,

4 4 CAMPI CONSERVATIVI E FORME ESATTE - ESERCIZI SVOLTI da cui segue c() = log + k. Possiamo quindi concludere che la funzione f 1 (, ) = 2 log è una primitiva della forma differenziale ω 1 in Ω. Tutte le primitive sono date dalla formula con k 1, k 2 R. f(, ) = { 2 log + k 1, per > 0 2 log( ) + k 2, per < 0, Studiamo ora la forma differenziale ω 2 = 1 2 (2 d ) d = a 2 (, )d + b 2 (, )d che ha per dominio l insieme Ω = {(, ) R 2 (/) > 0}, ovvero l unione del primo e terzo quadrante, esclusi gli assi coordinati. Osserviamo inoltre che ω 2 ha coefficienti C 1 nei punti del suo dominio. In tali punti confrontiamo a 2 e b 2 ; abbiamo a 2 1 (, ) = 4 = b 2 (, ). Risulta che ω 2 è chiusa e quindi anche esatta separatamente nei punti interni del primo e terzo quadrante, perché ciascun quadrante aperto è semplicemente connesso. Per calcolare una primitiva f 2, imponiamo che f 2 (, ) = 1 2 f 2 (, ) = Integriamo la prima equazione rispetto ad. Se > 0 e > d = 1 2 d = + c() = + c(), dove c() è una funzione da determinare. Sostituendo nella seconda equazione otteniamo 2 + c () =

5 CAMPI CONSERVATIVI E FORME ESATTE - ESERCIZI SVOLTI 5 da cui c () = 2 e quindi c() = 2 + k. Concludiamo che in A = {(, ) R 2 > 0, > 0} le primitive di ω 2 hanno la forma con k R. f 2 (, ) = k, Se invece < 0 e < 0, ripetendo l integrazione della prima equazione del sistema rispetto ad, si ha 1 2 d = 1 d 2 = + d() = + d(), dove d() è la funzione da determinare. Sostituendo nella seconda equazione si ha 2 + d () = da cui d () = 2 e d() = 2 + h. Pertanto in B = {(, ) R 2 < 0, < 0} una primitiva di ω 2 è con h R. Complessivamente, le funzioni f(, ) = g 2 (, ) = h, sono le primitive di ω 2 in tutto Ω, con c 1, c 2 R. { c 1, per > 0, > c 2, per < 0, < 0, 3) Scriviamo ω = a(, )d + b(, )d = d d. Il dominio di ω è l insieme Ω = {(, ) R }, ovvero il piano R 2 meno l iperbole di equazione = 0. Si verifica facilmente che pertanto ω è chiusa in Ω. a (, ) = 1 2 ( ) 2 = b (, ), (, ) Ω;

6 6 CAMPI CONSERVATIVI E FORME ESATTE - ESERCIZI SVOLTI 4) a) Si ha rot( F) = i j k z 2 z = 0. Siccome F è irrotazionale sull insieme semplicemente connesso R 3, F risulta conservativo. Un potenziale U(,, z) è dato da U( 0, 0, z 0 ) = 2 d + d + zdz, dove γ = γ 1 + γ 2 + γ 3 è la curva in figura: γ z ( 0, 0, z 0 ) (0, 0, 0) γ 1 γ 3 ( 0, 0, 0) ( 0, 0, 0) γ 2 Quindi U( 0, 0, z 0 ) = z0 t 2 dt + tdt + tdt 0 0 = z2 0 da cui U(,, z) = z2. b) Siccome rot( F) = i j k z e z e z = e z j, F non è conservativo.

7 CAMPI CONSERVATIVI E FORME ESATTE - ESERCIZI SVOLTI 7 5) Siccome F 1 (,, z) = = F 2 (,, z) F 1 z (,, z) = cos z = F 3 (,, z) F 2 e (,, z) = z z 2 = F 3 (,, z) e D è semplicemente connesso, F è conservativo su D. Dalle equazioni ricaviamo e quindi da cui e ϕ(,, z) = (,, z) = sin z 2 (,, z) = 2 e z e (,, z) = z z 2 cos z ( sin z)d = (,, z) = A (, ) = e z Derivando rispetto a z ed uguagliando 2 + A sin z + A(, ), (, ) = 2 2 e z, A(, ) = e z + B(z) ϕ(,, z) = 2 2 sin z e z + B(z). e (,, z) = cos z + z z 2 + B (z) = e cos z, z2 da cui Quindi B (z) = 0 B(z) = c. ϕ(,, z) = 2 2 sin z e z + c. 6) Sia U(t) una primitiva di f(t) su (0, + ). Allora U(r) = f(r) r r. ( F si dice campo centrale simmetrico. Caso particolare: campo newtoniano f(r) = k r 2, k > 0, U(r) = k r ).

8 8 CAMPI CONSERVATIVI E FORME ESATTE - ESERCIZI SVOLTI 7) Il campo F = a 2 i + b j ha componenti C 1 (R 2 ). Pertanto, affinché sia conservativo in R 2 è sufficiente provare che sia irrotazionale nel piano, ovvero che si abbia cioè 2a = b. Ciò avviene per b = 2a. (a2 ) = (b), (, ) R2, Per calcolare un potenziale U, risolviamo il sistema U (, ) = a2 Dalla prima equazione otteniamo U (, ) = 2a. U(, ) = a 2 + c() con c() funzione da determinare. Sostituendo nella seconda equazione si ha 2a + c () = 2a, da cui c () = 0 e c() = c 0, con c 0 R. In conclusione i potenziali del campo F sono le funzioni U(, ) = a 2 + c 0, c 0 R. 8) Il campo i j non ammette potenziale su R 2 in quanto definito in Ω = R 2 \{(0, 0)}. Poiché F è irrotazionale, cioè ( ) = 2 ( ) 2 = ( allora esso ammette potenziale in ogni aperto semplicemente connesso A Ω. Per calcolare un potenziale U, ad esempio in A = {(, ) R 2 > 0}, imponiamo che U (, ) = U (, ) = Dalla prima equazione ricaviamo U(, ) = ), (, ) A. ( ) d = arctan + c()

9 CAMPI CONSERVATIVI E FORME ESATTE - ESERCIZI SVOLTI 9 con c() funzione da determinare. Sostituendo nella seconda equazione rimane c () = 0 ovvero c() = c 0, con c 0 R. In conclusione ( ) U(, ) = arctan + c 0, c 0 R esprime i potenziali di F definiti in A 9) Per individuare φ(, ) in modo tale che ω 1 = 2 d + φ(, )d sia esatta su R 2 imponiamo che ovvero dove ϕ() è una funzione arbitraria in C 1 (R). (2 ) = φ(, ), φ (, ) = 2 φ(, ) = ϕ(), Consideriamo ora il caso di ω 2 = 2 d + φ(, )d e imponiamo che cioè (2 ) = φ(, ), 2 = φ (, ). Segue che φ (, ) = 2 se 0. Essendo φ φ (, ) continua, deve essere (, ) = 2 (, ) R2, da cui φ(, ) = 2 + ϕ() con ϕ() funzione arbitraria in C 1 (R).

10 10 CAMPI CONSERVATIVI E FORME ESATTE - ESERCIZI SVOLTI Infine, per ω 3 = (sin + sin )d + (cos )φ(, )d, imponendo che si ha e quindi con ϕ() funzione arbitraria. (sin + sin ) = (cos )φ(, ), cos = cos φ (, ) φ (, ) = 1 φ(, ) = + ϕ(), 10) a) Consideriamo la forma ω 1 = zd + zd + dz. Si ha che (z) (z) z (z) z = z = (z) = = () = = () (,, z) R 3, e quindi ω 1 è chiusa, ed i suo dominio è tutto R 3, che è semplicemente connesso. Quindi ω 1 è esatta. Per calcolare una primitiva ϕ(,, z) partiamo dalla condizione (,, z) = z, da cui, integrando, ϕ(,, z) = z + A(, z). Derivando rispetto ad otteniamo A (,, z) = z + (, z) = z, e quindi A(, z) = B(z), essendo nulla la sua derivata parziale rispetto ad. Analogamente z = + B (z) =, da cui B(z) = c 0, costante. In conclusione le primitive di ω 1 sono tutte e sole della forma ϕ(,, z) = z + c 0, c 0 R.

11 CAMPI CONSERVATIVI E FORME ESATTE - ESERCIZI SVOLTI 11 b) La forma ω 2 = a(,, z)d + b(,, z)d + c(,, z)dz = 1 d 1 d + 1 z dz, è definita su Ω = {(,, z) R 3 0, 0, z 0}. Inoltre in Ω si ha a = 0 = b a z = 0 = c b z = 0 = c e dunque ω 2 è chiusa in Ω. Dato un qualsiasi aperto semplicemente connesso A Ω, ω 2 è esatta in A. In particolare si può considerare come A uno qualsiasi degli ottanti aperti di R 3. Per calcolare una primitiva ϕ in A consideriamo le equazioni Integrando la prima otteniamo ϕ(,, z) = = 1 = 1 = 1 z z. 1 d = log + A(, z). Derivando rispetto ad e tenendo conto della seconda equazione si ha A (,, z) = (, z) = 1, da cui A(, z) = log + B(z). Analogamente, derivando rispetto a z e tenendo conto della terza equazione, A (,, z) = z z (, z) = B (z) = 1 z. Quindi B(z) = log z + c 0 e concludiamo che le primitive di ω 2 in A sono della forma ϕ(,, z) = log log + log z + c 0 c 0 R. c) La forma ω 3 = a(,, z)d + b(,, z)d + c(,, z)dz = z 2 d z 2 d + z z 2 dz

12 12 CAMPI CONSERVATIVI E FORME ESATTE - ESERCIZI SVOLTI è definita su Ω 3 = R 3 \ {(0, 0, 0)}, dove si ha a 2 (,, z) = ( z 2 ) 2 = b (,, z) a 2z (,, z) = z ( z 2 ) 2 = c (,, z) b 2z (,, z) = z ( z 2 ) 2 = c (,, z). Dunque ω 3 è chiusa su Ω 3, che è semplicemente connesso, e quindi ω 3 è esatta. Dalle equazioni ricaviamo ϕ(,, z) = (,, z) = z 2 (,, z) = z 2 z (,, z) = z z z 2 d = 1 2 log( z 2 ) + A(, z). Derivando rispetto ad e confrontando con la seconda equazione (,, z) = z 2 + A (, z) = z 2, da cui A = 0 Analogamente, derivando rispetto a z A(, z) = B(z). z (,, z) = z z 2 + B (z) = z z 2, e quindi Concludiamo che le primitive di ω 3 sono B (z) = 0 B(z) = c 0. ϕ(,, z) = 1 2 log( z 2 ) + c 0 c 0 R. 11) Si ha (16 2 2, 2) se F(, ) = ( , 2) se > 16,

13 CAMPI CONSERVATIVI E FORME ESATTE - ESERCIZI SVOLTI 13 e la curva γ si può scrivere come unione delle due curve γ 1 (t) = (t, sin t), t [0, π], γ 2 (t) = (t, 0), t [π, 5]. Osserviamo che F è conservativo in A = {(, ) R < 16} e γ 1 è contenuta interamente in A. Dunque γ 1 F = γ 3 F, dove γ3 è qualsiasi altra curva contenuta in A ed avente gli stessi estremi di γ 1. In particolare possiamo scegliere come γ 3 la curva γ 3 (t) = (t, 0), t [0, π] A γ 1 π 5 0 γ 3 γ 2 Da quanto visto sopra e dall uguaglianza γ 2 (t) = γ 3 (t) = (1, 0) risulta γ F dp = = = = = F dp + F dp γ 1 γ 2 F dp + F dp γ 3 γ 2 π = = 47, 16 t 2 dt + 16 t 2 dt (16 t 2 )dt + 5 π t 2 dt (t 2 16)dt 16 12) La forma integranda è esatta in Ω = {(, ) R 2 > 0}, con primitiva ϕ(, ) = e log.

14 14 CAMPI CONSERVATIVI E FORME ESATTE - ESERCIZI SVOLTI Inoltre il sostegno della curva γ è contenuto in Ω, perciò ( e d + e 1 ) d γ = ϕ(γ(1)) ϕ(γ(0)) = ϕ(e, log 3) ϕ(0, log 2) = 3e log(log ( 3) + ) log(log 2) log 2 = 3e + log log 3 13) La forma ω è chiusa in R 2 \ {(0, 1)}. Se 0 < R < 1, γ R ω = 0 perché ω è esatta sull aperto semplicemente connesso {(, ) R 2 < 1}. Se R > 1, si osservi che γ R è omotopa alla circonferenza γ di centro (0, 1) e raggio 1, percorsa una volta in verso antiorario; γ(t) = (cos t, 1 + sin t), t [0, 2π]. Pertanto ω = γ R dove γ(t) = (cos t, 1 + sin t), t [0, 2π]. γ ω = 2π 0 dt = 2π