Manuale sintetico per l uso del Control System Toolbox di Matlab

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1 Manuale sintetico per l uso del Control System Toolbox di Matlab Alessandro Melis Pierluigi Muntoni 2 Dicembre 2002 Introduzione Questo documento ha lo scopo di presentare, in una versione opportunamente semplificata, i comandi più utilizzati del Control System Toolbox di MATLAB. Per un maggiore approfondimento si rimanda all uso dei manuali specialistici indicati nella bibliografia e all help in linea del programma stesso. Il documento è suddiviso in tre sezioni: 1) Definizione di modelli TF SS ZPK SS2TF TF2SS RESIDUE Transfer function (funzione di trasferimento). Creazione di funzioni di trasferimento o conversione in funzioni di trasferimento. State space (rappresentazione in termini di variabili di stato). Crea modelli in termini di variabili di stato o trasforma in modelli in termini di variabili di stato. Zero, pole, K. Creazione di modelli zero, poli, guadagno o conversione in forma zero-poli-guadagno. State space to transfer function. Conversione da modello in variabili di stato a funzione di trasferimento. Transfer function to state space. Conversione da una funzione di trasferimento a un modello in variabili di stato. Residue (residui) Espansione in frazioni parziali. 2) Risposta di sistemi dinamici IMPULSE STEP LSIM Risposta all impulso (impulse) di sistemi lineari e stazionari. Step response (risposta indiciale). Time response (risposta ad un segnale di ingresso qualunque). 1/8

2 3) Altri comandi utili ROOTS CONV DECONV REAL IMAG ZEROS ONES EIG INV LAPLACE ILAPLACE Trova le radici (root di un polinomio. Convoluzione e moltiplicazione di polinomi. Deconvoluzione e divisione polinomiale. Parte reale (real) di un numero complesso. Parte immaginaria (imaginary) di un numero complesso. Array di zeri (zero. Array di uno (one. Autovalori (eigenvalue ed autovettori (eigenvector. Matrice inversa. Trasformata di Laplace Trasformata inversa di Laplace. Da notare come sia frequente nell help in linea del programma MATLAB l uso dell acronimo inglese LTI (linear time-invariant) ad indicare sistemi lineari e stazionari. 1. Definizione di modelli TF E possibile creare funzioni di trasferimento con il comando SYS = TF(NUM,DEN) modello a tempo continuo NUM(/DEN( Per modelli SISO, NUM e DEN sono vettori riga in cui i coefficienti del numeratore e del denominatore sono ordinati secondo potenze decrescenti di s. SYS = TF(SYS) trasforma un modello lineare e stazionario arbitrario SYS in una funzione di trasferimento. L uscita SYS è un oggetto del tipo TF. SS E possibile creare un modello in variabili di stato con il comando: SYS = SS(A,B,C,D) Modello a tempo continuo dove (A,B,C,D) sono le matrici della rappresentazione x& = Ax + Bu y = Cx + Du 2/8

3 SYS1 = SS(SYS) trasforma un modello arbitrario SYS1 in un modello in termini di variabili di stato. L uscita SYS1 è un oggetto del tipo SS. SS2TF [NUM,DEN] = SS2TF(A,B,C,D) calcola la funzione di trasferimento del sistema SISO: NUM ( 1 H ( = = C( si A) B + D DEN( x& = Ax + Bu y = Cx + Du Lo stesso comando vale anche per sistemi MIMO. TF2SS [A,B,C,D] = TF2SS(NUM,DEN) calcola la rappresentazione in variabili di stato del sistema: x& = Ax + Bu y = Cx + Du H ( = NUM ( DEN( Il vettore DEN deve contenere i coefficienti del denominatore ordinati secondo potenze decrescenti di s. La matrice NUM deve contenere i coefficienti del numeratore con tante righe quante sono le uscite y. Le matrici A,B,C,D sono indicate nella forma canonica. ZPK SYS = ZPK(Z,P,K) crea un modello SYS a tempo continuo zero-poli-guadagno (ZPK) con zeri Z, poli P, e guadagno K. L uscita SYS è un oggetto ZPK. Per modelli SISO, Z e P sono vettori di poli e zeri (impostare Z=[] se non ci sono zeri) e K è il guadagno scalare. SYS = ZPK(SYS) converte un modello SYS lineare e stazionario arbitrario in una rappresentazione ZPK. Il risultato è un oggetto ZPK. Per convertire in un modello SS e TF o viceversa, vedasi anche le funzioni ZP2TF, TF2ZP, ZP2SS, SS2ZP. 3/8

4 RESIDUE [R,P,K] = RESIDUE(B,A) trova i residui, i poli e il termine K = b n / a n (che vale zero se n>m) di un espansione in frazioni parziali del rapporto di due polinomi B(/A(. Se non vi sono radici di molteplicità maggiore di uno, B( A( = R(1) R(2) R( n) K( s P(1) s P(2) s P( n) I vettori B ed A indicano i coefficienti del numeratore e del denominatore del polinomio secondo l ordine decrescente di s. I residui vengono indicati nel vettore colonna R, la posizione dei poli nel vettore colonna R, ed il termine K = b n /a n nel vettore riga K. Il numero di poli è n = length(a)-1 = length(r) = length(p). Il vettore del coefficiente K = b n /a n è nullo se length(b) < length(a), altrimenti length(k) = length(b)-length(a)+1. Se P(j) =... = P(j+m-1) è un polo di molteplicità m, allora l espansione include termine della forma R( j) R( j + 1) + s P( j) ( s P( j)) 2 R( j + m 1) ( s P( j)) [B,A] = RESIDUE(R,P,K), con 3 argomenti in ingresso e 2 in uscita, converte l espansione in frazioni parziali nuovamente in un polinomio con coefficienti in A e B. 2. Risposta di sistemi dinamici IMPULSE IMPULSE(SYS) traccia la risposta all impulso di un modello LTI SYS (creata con TF, ZPK, o SS). L intervallo di tempo e il numero di punti sono selezionati in automatico. IMPULSE(SYS,TFINAL) simula la risposta all impulso da t = 0 all istante finale t = TFINAL. IMPULSE(SYS,T) utilizza il vettore dei tempi T costruito dall utente per la simulazione. Per sistemi continui, T dovrebbe essere nella forma Ti:dt:Tf dove dt diventerà il tempo di campionamento di una approssimazione discreta al sistema continuo. L ingresso ad impulso si assume venga sempre applicato nell istante t = 0 (indipendentemente da Ti). IMPULSE(SYS1,SYS2,...,T) traccia la risposta all impulso di più sistemi LTI SYS1, SYS2 in un singolo grafico. Il vettore dei tempi T è opzionale. Si può inoltre specificare un colore, lo stile della linea, una indicazione per ciascun sistema, come in impulse (sys1,'r',sys2,'y-- ',sys3,'gx'). Quando richiamata con argomenti a primo membro, [Y,T] = IMPULSE(SYS,...) 4/8

5 restituisce la risposta d uscita Y ed il vettore dei tempi T usato per la simulazione. Non viene visualizzato alcun grafico sullo schermo. STEP STEP(SYS) traccia la risposta al gradino di un modello LTI SYS (creata con TF, ZPK, o SS). L intervallo di tempo e il numero di punti sono selezionati in automatico. STEP (SYS,TFINAL) simula la risposta al gradino dall istante t = 0 all istante finale t = TFINAL. STEP (SYS,T) utilizza il vettore dei tempi T costruito dall utente per la simulazione. Per sistemi continui, T dovrebbe essere nella forma Ti:dt:Tf dove dt diventerà il tempo di campionamento di una approssimazione discreta al sistema continuo. L ingresso a gradino si assume venga sempre applicato a t = 0 (indipendentemente da Ti). STEP (SYS1,SYS2,...,T) plotta la risposta al gradino di più sistemi LTI SYS1, SYS2 in un singolo grafico. Il vettore dei tempi T è opzionale. Si può inoltre specificare un colore, lo stile della linea, e un segnaposto per ciascun sistema, come in impulse(sys1,'r',sys2,'y-- ',sys3,'gx'). Quando richiamata con argomenti a primo membro, [Y,T] = STEP (SYS,...) restituisce la risposta d uscita Y ed il vettore dei tempi T usato per la simulazione. Non viene visualizzato alcun grafico sullo schermo. LSIM LSIM(SYS,U,T) traccia la risposta nel tempo di un modello LTI SYS al segnale d ingresso descritto da U e T. Il vettore dei tempi è costituito di campioni spaziati regolarmente nel tempo ed U è una matrice con tante colonne quanti sono gli ingressi e la cui i-esima riga specifica il valore dell ingresso al tempo T(i). Per esempio, t = 0:0.01:5; u = sin(t); lsim(sys,u,t) simula la risposta di SYS u(t) = sin(t) durante 5 secondi. Nel continuo, il periodo di campionamento T(2)-T(1) dovrebbe essere scelto abbastanza piccolo da evidenziare i dettagli del segnale di ingresso. LSIM(SYS,U,T,X0) specifica uno stato X0 iniziale diverso da zero (solo per sistemi a variabili di stato). LSIM(SYS1,SYS2,...,U,T,X0) simula la risposta di un sistema multiplo di sistemi LTI SYS1,SYS2,... in un solo grafico. La condizione iniziale X0 è opzionale. Si può inoltre specificare un colore, uno stile della linea, e un segnaposto per ciascun sistema, come in lsim(sys1,'r',sys2,'y--',sys3,'gx'). Quando richiamata con argomenti a primo membro, [Y,T] = LSIM(SYS,U,...) 5/8

6 restituisce la storia della risposta d uscita Y ed il vettore dei tempi T usato per la simulazione. Non viene visualizzato alcun grafico sullo schermo. La matrice Y ha LENGTH(T) righe e tante colonne quante sono le uscite in SYS. 3. Altri comandi utili ROOTS ROOTS(C) calcola le radici di un polinomio i cui coefficienti sono elementi del vettore C. Se C ha N+1 componenti, il polinomio è C(1)*X^N C(N)*X + C(N+1). CONV Convoluzione e moltiplicazione di polinomi. C = CONV(A, B) esegue la convoluzione dei vettori A e B. Il vettore risultante ha una dimensione pari a LENGTH(A)+LENGTH(B)-1. Se A e B sono vettori le cui componenti rappresentano i coefficienti di un polinomio, farne la convoluzione è equivalente a moltiplicare i due polinomi. DECONV [Q,R] = DECONV(B,A) esegue la deconvoluzione tra il vettore A ed il vettore B. Il risultato viene restituito nel vettore Q e il resto nel vettore R così che B = conv(a,q) + R. Se A e B sono vettori di coefficienti polinomiali, la deconvoluzione è equivalente alla divisione polinomiale. Il risultato della divisione fra B ed A è il quoziente Q e il resto R. REAL REAL(X) è la parte reale di X. IMAG IMAG(X) è la parte immaginaria di X. ZEROS ZEROS(N) è una matrice NxN di zeri. ZEROS(M,N) or ZEROS([M,N]) è una matrice MxN di zeri. ZEROS(SIZE(A)) è una matrice di zeri della stessa dimensione di A. ONES ONES (N) è una matrice NxN di uno. ONES (M,N) or ONES ([M,N]) è una matrice MxN di uno. ONES (SIZE(A)) è una matrice di uno della stessa dimensione di A. 6/8

7 EIG E = EIG(X) è un vettore che contiene gli autovalori di una matrice quadrata X. [V,D] = EIG(X) genera una matrice diagonale D di autovalori ed una matrice completa V le cui colonne sono i corrispondenti autovettori cosicché X*V = V*D. INV INV(X) è la matrice inversa della matrice quadrata X. LAPLACE L = LAPLACE(F) è la trasformata di Laplace della sym scalare F con la variabile indipendente di default t. Il risultato di default è una funzione di s. Se F = F(, LAPLACE restituisce una funzione di t: L = L(t). Per definizione, L( = int(f(t)*exp(-s*t),0,inf), dove la variabile di integrazione è t. Esempi syms a s t w x laplace(t^5) restituisce 120/s^6 laplace(exp(a*t)) restituisce 1/(s -a) laplace(diff(sym('f(t)'))) restituisce laplace(f(t),t,*s-f(0) ILAPLACE F = ILAPLACE(L) è la trasformata inversa di Laplace della funzione simbolica scalare L (per default, s variabile indipendente e come risultato una funzione di t). Esempi. syms s t w x y ilaplace(1/(s-1)) ilaplace(1/(s^2+1)) restituisce exp(t) restituisce sin( 7/8

8 Bibliografia [1] Manuale Matlab a cura di Giuseppe Ciaburro [2] A.Grace, A.J.Laub, J.N.Little, C.M.Thompson. Control System Toolbox For Use with Matlab. The Mathworks Inc. [3] William J. Palm III. Matlab 6 per l ingegneria e le scienze. Mc Graw Hill 8/8

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