ELEMENTI DI LOGICA MATEMATICA LEZIONE X

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1 ELEMENTI DI LOGICA MATEMATICA LEZIONE X MAURO DI NASSO Dedichiao questa lezione all introduzione dei nueri reali R, definiti a partire dall insiee dei nueri razionali Q. Con questo ultio passo, avreo così raggiunto l obbiettivo riduzionista che ci eravao prefissati, cioè quello di definire tutti i fondaentali insiei nuerici a partire dal sistea dei nueri naturali. È iportante far presente subito che, dal punto di vista fondazionale, la riduzione dei nueri reali ai nueri razionali è un processo essenzialente più coplicato rispetto alle altre riduzioni viste fin qui. Infatti, le costruzioni coinvolte per le definizioni dei nueri interi, razionali, e coplessi, richiedevano soltanto l uso di prodotti cartesiani e di loro quozienti rispetto ad opportune relazioni di equivalenza. Invece, coe vedreo, la costruzione dei reali richiede un uso essenziale dell assioa delle parti, che tra l altro deterinerà il salto di cardinalità dal nuerabile al continuo non nuerabile. La pria parte della costruzione si basa esclusivaente sulle proprietà di Q coe insiee ordinato, senza alcun riferiento alla sua struttura algebrica di capo. Definizione Un sottoinsiee X Q si dice taglio di Dedekind se: (1) X è non banale, cioè X e X Q ; (2) X è un segento iniziale, cioè se x < x X allora anche x X ; (3) X non ha assio. Notiao che, in base alla condizione (2), x / X se e solo se x è un aggiorante di X. Il segento iniziale X q generato da un razionale q Q, è un taglio di Dedekind: X q = {q Q q < q}. Ma ci sono anche tagli di Dedekind che non sono di quella fora. Un tipico esepio è dato dal seguente taglio, che sarà identificato con il nuero reale 2. Esercizio L insiee X = {q Q (q 0) (q 2 Dedekind, ed inoltre X X q per ogni q Q. < 2)} è un taglio di Definizione L insiee dei nueri reali è l insiee R = {X Q X taglio di Dedekind}. Identifichiao ogni nuero razionale q Q con il corrispondente taglio di Dedekind X q R, così da avere Q R. Osserviao che l esistenza dell insiee R è garantita dall assioa delle parti e dall assioa di separazione. 1

2 2 MAURO DI NASSO La relazione d inclusione tra gli eleenti di R è una relazione d ordine totale e copleta. Precisaente: Teorea (1) Per X, Y R, poniao X Y quando X Y. Allora (R, ) è un insiee totalente ordinato ; (2) Per ogni q, q Q si ha q q X q X q. Dunque, vista l identificazione di ogni q Q con il corrispondente taglio di Dedekind X q R, (Q, ) è un sottoinsiee ordinato di (R, ); (3) Q è denso in (R, ), cioè per ogni X, Y R con X < Y, esiste q Q con X < q < Y ; (4) (R, ) è copleto, cioè ogni sottoinsiee non vuoto A R che sia superiorente liitato, aette estreo superiore: sup A = in{x R x > a per ogni a A}. Di. (1). La proprietà riflessiva, cioè X X, e la proprietà sietrica, cioè (X Y Y X) X = Y sono banalente soddisfatte. Per verificare la proprietà tricotoica, procediao per assurdo e supponiao che X Y siano due tagli di Dedekind diversi tali che X Y e Y X. Allora esisterebbe x X con x / Y, ed esisterebbe y Y con y / X. In particolare, x y. Se fosse x < y, allora per la proprietà di segento iniziale di Y si avrebbe x < y Y x Y, il che contraddice l assunzione x / Y. Analogaente, da y < x X seguirebbe che y X, entre avevao preso y / X. Dunque nessuna delle tre possibilità x = y, x < y, y < x è verificata, e si raggiunge l assurdo cercato. (2). Siano q < q due nueri razionali. Banalente X q X q. Dobbiao vedere che X q X q, e questo segue subito dalla densità di (Q, ). Infatti se prendiao q con q < q < q, chiaraente q X q entre q / X q. Il viceversa X q < X q q < q segue direttaente da quanto appena diostrato (se per assurdo fosse q q, allora X q X q ). (3). Siano X < Y. Allora esiste q Y \ X. Osserviao che non si può escludere che X = X q. Per definizione di taglio di Dedekind, Y non ha assio, dunque esiste q Y con q < q. Così q X q \ X, e dunque X < X q. Inoltre da q Y segue subito che X q < Y. (4). Sia A R un insiee di tagli di Dedekind coe nelle ipotesi. Consideriao l unione Y = A = X A X di tutti i suoi eleenti. Vogliao diostrare che Y R, cioè che Y stesso è un taglio di Dedekind. Da questo seguirà subito la tesi perché banalente X Y per ogni X A, dunque Y è un aggiorante. Inoltre Y è il più piccolo dei aggioranti perché se Y X per ogni X A, allora chiaraente Y X A X = Y. Vediao intanto Y è un sottoinsiee non banale di Q. Per ipotesi A, dunque esiste un taglio di Dedekind X A e quindi X Y. Inoltre A è superiorente liitato, dunque esiste Z R con X Z per ogni X A, da cui Y = X A X Z Q. Per vedere che Y è un segento iniziale, consideriao y < y dove y Y. Prendiao X A con y X. Poiché X è un taglio di Dedekind, da y < y X segue che y X Y, coe voluto. Resta infine da controllare che Y non ha assio. Se y Y, prendiao X A con y X. Allora esiste y X Y con y < y.

3 DECIMA LEZIONE 3 La nostra costruzione di (R, ) ha avuto coe punto di partenza l insiee ordinato (Q, ) dei nueri razionali. Più in generale, dato un qualunque insiee denso (P, ) senza assio né inio, possiao considere l insiee P dei suoi tagli di Dedekind. Con gli stessi argoenti visti sopra, si diostra che ( P, ) è un insiee ordinato copleto che ha (una copia di) P coe sottoinsiee denso. Questo procediento di copletaento è unico a eno di isoorfisi. Precisaente, si può diostrare che se (P, ) è un un insiee ordinato copleto avente P P coe sottoinsiee denso, allora esiste una bigezione Θ : P P che preserva l ordine: p 1 < p 2 Θ(p 1 ) < Θ(p 2 ). In altre parole, a eno di cabiare i noi agli eleenti, ( P, ) e (P, ) sono lo stesso insiee ordinato. Non diostriao qui questo teorea generale di unicità del copletaento perché nel caso che ci interessa, cioè quello di Q ed R, seguirà coe corollario di un risultato più generale che diostrereo più avanti (cf. Teorea 10.13). Il nostro obbiettivo adesso è quello di dare una struttura algebrica di capo all insiee dei nueri reali. Coinciao definendo l operazione di soa tra tagli di Dedekind (di razionali): X + Y = {x + y (x X) (y Y )}. Chiaraente si tratta di una operazione coutativa e associativa. Esercizio Se q, q Q, allora X q + X q = X q+q. Occupiaoci ora dell opposto. Per i tagli di Dedekind originati da razionali, poniao (X q ) = X q. Se invece X non è della fora X q, cioè quando Q \ X non ha inio, allora poniao X = {q Q q / X}. Denotiao direttaente con 0 il taglio X 0 = {q Q q < 0}. Esercizio Sia X un taglio di Dedekind. Allora: (1) X è un taglio di Dedekind ; (2) (X) + ( X) = 0 ; (3) X < 0 se e solo se X > 0. Per definire il prodotto, consideriao pria il caso di tagli positivi X, Y > X 0. In questo caso X + = {x X x > 0} e Y + = {y Y y > 0} sono non vuoti, e si pone: X Y = {x y (x X + ) (y Y + )} {q Q q 0}. È iediato verificare che X Y è esso stesso un taglio, e che il prodotto sopra definito tra tagli positivi è una operazione coutativa e associativa. Il prodotto tra tagli di Dedekind qualunque è definito facendo uso dell opposto. Precisaente: Se X = 0 o Y = 0: X Y = Y X = 0 ; Se X > 0 e Y < 0: X Y = Y X = (X ( Y )) ; Se X < 0 e Y > 0: X Y = ( X) ( Y ).

4 4 MAURO DI NASSO Osserviao che, per la (3) dell Esercizio 10.6, le definizioni di sopra sono ben poste perché si riconducono al prodotto tra tagli di Dedekind positivi. Segue poi direttaente dalle definizioni che la soa tra tagli è una operazione coutativa e associativa. Esercizio (1) Vale la proprietà distributiva: X (Y + Z) = X Y + X Z ; (2) Le operazioni di soa e prodotto tra tagli di Dedekind sono coerenti con l ordinaento: X Y e Z 0 X + Z Y + Z e X Z Y Z. Definiao ora l inverso di ogni taglio positivo X > 0. Se X = X q è generato da un razionale, poniao 1/X q = X 1/q. Se invece X > 0 non è della fora X q, poniao 1/X = {1/q q / X}. Si verifica facilente che anche 1/X > 0 è un taglio di Dedekind positivo. Per X < 0 negativi, poniao 1/X = (1/( X)). Esercizio Per ogni X 0, X (1/X) = 1, il taglio generato da 1. Abbiao cosí finalente introdotto tutta la struttura dei reali, che ricapitoliao nella seguente Definizione Il sistea dei nueri reali è il sistea (R,, 0, 1, +, ) dove: R = {X Q X è un taglio di Dedekind} ; X Y se e solo se X Y ; Ogni nuero razionale q Q è identificato con il corrispondente taglio X q = {q Q q < q}. In particolare 0 = X 0 e 1 = X 1 ; La soa e il prodotto tra tagli sono definiti coe visto sopra. Mettendo insiee i risultati presentati negli ultii esercizi, si ottiene una diostrazione del: Teorea copleto. Il sistea dei nueri reali (R,, 0, 1, +, ) è un capo ordinato Il prossio teorea ci ostrerà che la proprietà di essere un capo ordinato copleto caratterizza (a eno di isoorfisi) il sistea dei nueri reali. Sia un capo ordinato qualunque. Visto che il capo Q è generato da {0, 1}, esiste ed unico ooorfiso di capi ψ : Q tale che ψ(0) = 0 e ψ(1) = 1, dove 0 e 1 sono gli eleenti neutri della soa e del prodotto di, rispettivaente. Precisaente, se n, N con > 0, ψ(± n ) = ± n, dove n = è la soa iterata di 1 con se stesso per n volte. Si può verificare facilente che ψ è un ooorfiso iniettivo di capi ordinati. 1 Visto che ψ deterina un isoorfiso con la sua iagine Q = ψ[q], possiao assuere direttaente che Q sia un sottocapo ordinato di. Proposizione Sia un capo ordinato qualunque. condizioni sono equivalenti: Allora le seguenti 1 Notiao che il capo ha necessariaente caratteristica zero perché è ordinato.

5 DECIMA LEZIONE 5 (1) soddisfa la proprietà archiedea: Sia x > 0. Allora per ogni ε > 0 esiste n N tale che n ε > x (2) Q è denso in ; (3) Non esistono infinitesii δ 0, cioè eleenti δ 0 tali che 1/n < δ < 1/n per ogni n N +. (4) N è illiitato in, cioè per ogni x esiste n N con x < n. Inoltre, quando è copleto, tutte le condizioni di sopra sono verificate. Pria di passare alla diostrazione, vediao un esepio di capo non-archiedeo. Esercizio Sia Q(x) = { A(x) } A(x), B(x) Q[x], B(x) 0 B(x) il capo delle frazioni dell anello dei polinoi Q[x] a coefficienti razionali. Poniao: a 0 + a 1 x a n x n b 0 + b 1 x b x 0 Diostrare che: a n b < 0 e A(x) B(x) C(x) D(x) A(x) B(x) C(x) D(x) 0 (1) (Q(x),, 0, 1, +, ) è un capo ordinato ; (2) Tutti gli eleenti a0+a1x+...+anxn b 0 +b 1 x+...+b x dove n < sono infinitesii. Diostriao ora la proposizione di sopra. Di. Per vedere l equivalenza delle quattro condizioni, diostriao in sequenza le iplicazioni (1) (2) (3) (4) (1). (1) (2). Siano 0 < x < y due eleenti positivi di. Per la proprietà archiedea, esiste N tale che 1 > 1 y x, cioè 1 < y x. Di nuovo per la proprietà archiedea, l insiee A = {n N n 1 > x} =, e per il principio del buon ordinaento dei nueri naturali, esisterà n = in A. Chiaraente (n 1) 1 / A, e quindi: x < n 1 = (n 1) + 1 x + 1 < x + (y x) = y. Dunque n è la frazione cercata. Il caso x < 0 < y è banale perché 0 Q. Infine, se x < y < 0, per il caso già diostrato esiste n con 0 < y < n < x, e quindi x < n < y. (2) (3). Per assurdo sia δ 0 un infinitesio. Possiao supporre δ > 0 (altrienti prendiao δ). Per ogni n, N + si ha 0 < n < δ, visto che δ < 1 per definizione di infinitesio. Ne seguirebbe che Q non sarebbe denso in. (3) (4). Se N fosse liitato, esisterebbe x tale che x > n per ogni n N. Ma allora 1 x sarebbe un infinitesio positivo. (4) (1). Per ipotesi, esiste n N tale che x ε < n, dunque n ε > x. Per concludere la diostrazione, basta vedere che se una delle quattro condizioni equivalenti di sopra non vale, allora non è copleto. Supponiao dunque che (4) non valga, cioè che N sia liitato in. È facile verificare che se x è un aggiorante di N, allora anche x 1 lo è. Dunque sup N non esiste.

6 6 MAURO DI NASSO Siao finalente pronti a diostrare che R è l unico capo ordinato copleto (a eno di isoorfisi). Teorea (Unicità dei reali). Ogni capo ordinato copleto è isoorfo al sistea dei nueri reali (R,, 0, 1, +, ). Di. Sia un qualunque capo ordinato copleto. Abbiao visto che si può direttaente assuere Q. Per evitare confusioni, denotiao con la relazione d ordine su, e con R la relazione d ordine su R data dall inclusione tra tagli di Dedekind. Sui nueri razionali q, q Q le due relazioni coincidono, e in questo caso scrivereo sepliceente q < q. Denotiao infine con sup e con sup R gli estrei superiori calcolati in ed in R, rispettivaente. Notiao che se X R è un taglio di Dedekind, allora X è superiorente liitato anche in. Risulta così ben definita la funzione: ψ : R dove ψ(x) = sup X. La funzione ψ preserva l ordine, ed è quindi iniettiva. Infatti se X Y, per densità esiste q Q con X < R q < R Y, e dunque ψ(x) = sup X q < sup Y = ψ(y ). Occupiaoci ora della suriettività, e prendiao un generico x. È facile verificare che l insiee di razionali x = {q Q q < x} è un taglio di Dedekind. Per la densità di Q in, si ha x = sup x = ψ( x ). Resta da vedere che ψ è un ooorfiso di capi, cioè che per ogni X, Y R, valgono le uguaglianze ψ(x + Y ) = ψ(x) + ψ(y ) e ψ(x Y ) = ψ(x) ψ(y ). Denotiao con ξ = ψ(x) = sup X e con η = ψ(y ) = sup Y. Se x X e y Y, chiaraente x < ξ e y < η, dunque x + y < ξ + η, e quindi ψ(x + Y ) = sup{x + y (x X) (y Y )} ξ + η. issiao ora a < ξ + η. Per definizione di estreo superiore, esistono x X e y Y con x > ξ ε e y > η ε, dove abbiao preso ε = ξ+η a 2 > 0. Ma allora x + y > ξ + η 2ε = a. Questo diostra che ψ(x + Y ) = sup{x + y (x X) (y Y )} sup{a a < ξ + η} = ξ + η. Per diostrare che ψ(x Y ) = ψ(x) ψ(y ) si procede in odo siile, a un po più laborioso. Occorre considerare pria il caso di tagli positivi, e poi passare al caso generale. Le verifiche sono lasciate per esercizio.