Cosmologia. Alessandro Marconi

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1 Cosmologia Alessandro Marconi Dipartimento di Fisica e Astronomia Università di Firenze Appunti per il corso di Cosmologia (A.A. 214/215), basati in gran parte sul libro di Malcolm Longair Galaxy Formation, Springer Editore (seconda edizione, 28) Laurea Magistrale in Scienze Fisiche e Astrofisiche Scuola di Scienza Matematiche Fisiche e Naturali Università di Firenze Dispense e presentazioni disponibili all indirizzo: marconi Contatti: alessandro.marconi@unifi.it Ultimo aggiornamento: 11 giugno 215

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3 Capitolo 1 Introduzione La Cosmologia studia la struttura e l evoluzione dell Universo osservabile utilizzando le leggi della Fisica così come sono state dedotte dalle esperienze condotte sulla Terra. Non esistono indicazioni che queste leggi debbano essere valide su grandi scale, ovvero su scala cosmica. La Cosmologia è quindi anche un modo per verificare le leggi della Fisica in un contesto spaziale (e temporale) molto più ampio di quello in cui sono state dedotte. La Cosmologia ha una particolarità molto importante rispetto agli altri rami della Fisica: non è possibile riprodurre le misure, ovvero ripetere le misure su altri sistemi fisici simili a quello oggetto di studio. L Universo è unico e gli altri Universi, se anche esistessero, non sarebbero osservabili. Pertanto non considereremo mai alcuna proprietà dell Universo come tipica. Le osservazioni in Cosmologia sono estremamente di cili perchè la gran parte dell Universo è estremamente distante: le sorgenti sono molto deboli. Questo spiega perchè la nostra conoscenza dell Universo si sia sviluppata in parallelo con lo sviluppo dei grandi telescopi e di rivelatori sempre più sensibili. La nostra conoscenza attuale è fondata sui telescopi della classe degli 8 metri, e sui satelliti di ultima generazione in X, infrarosso e sub-millimetrico. La caratteristica più importante delle osservazioni cosmologiche è la velocità finita della luce: quando osserviamo una sorgente a distanza D, la osserviamo in uno stadio evolutivo in cui era più giovane di adesso di un tempo pari a t pd{cq. Quindi possiamo osservare lo stato attuale dell universo solo localmente. Però, sempre grazie alla velocità finita della luce, è possibile osservare nel passato. Alla distanza di 1 miliardi di anni luce, le galassie sono osservate in uno stadio evolutivo in cui avevano meno di un terzo dell età attuale. Pertanto, anche se non potremo mai studiare il passato di una galassia come la Via Lattea, potremo però identificare galassie simili alla Via Lattea ma in stadi evolutivi diversi. Supponiamo di essere in uno spazio Euclideo (in cui lo spazio è descritto dalla geometria basata sui postulati di Euclide); se siamo collocati nell origine ~x altempoattuale t t, allora possiamo solo osservare eventi nello spazio tempo per i quali ~x cpt tq. Non è possibile quindi osservare un evento arbitrario p~x, tq nello spazio tempo. Il fatto di poter osservare solo sorgenti collocate nel nostro cono di luce passato implica che le nostre possibilità di osservare l universo sono estremamente limitate. Pertanto, noi saremo in grado di comprendere la struttura dell Universo combinando osservazioni e modelli teorici solo se questa è molto semplice. Fortunatamente, sembra proprio che sia così. Le osservazioni fondamentali su cui costruiremo il modello di universo sono:

4 4 Introduzione l esistenza di una radiazione cosmica di fondo nelle microonde (Cosmic Microwave Background, CMB) con intensità incredibilmente omogenea e isotropa; lo spettro della CMB è quello di un corpo nero con T K con fluttuazioni dell ordine di T {T 1 5 ; su grandi scale, le galassie sono distribuite in cielo in modo omogeneo ed isotropo; gli spettri delle galassie presentano un redshift (spostamento verso il rosso delle righe spettrali), che è proporzionale alla distanza della galassie stesse (legge di Hubble). Tra poco descriveremo più in dettaglio queste osservazioni, il loro significato fisico e come giustifichino l assunzione di un universo omogeneo ed isotropo su grande scala, in cui non siamo osservatori particolari. Quest ultima assunzione è nota come Principio Cosmologico. Il Principio Cosmologico, combinato con le equazioni della Relatività Generale (ovvero con un trattamento rigoroso della gravità), ci condurrà alle Equazioni di Friedmann, che descrivono l evoluzione temporale di un universo in espansione. Un universo in espansione è la naturale spiegazione della legge di Hubble e del paradosso di Olbers, ovvero l apparente paradosso che si ha quando si combina l ipotesi di un universo infinito nello spazio e/o nel tempo con l osservazione che il cielo di notte è buio. L età dell universo che si ottiene dalle Equazioni di Friedmann è dell ordine di 1{H ovvero 14 Gyr per H 7 km s 1 Mpc 1 ; questo è proprio dell ordine del valore giusto per spiegare le età degli ammassi globulari, ovvero delle stelle più vecchie note ( 12 Gyr). Vedremo poi come l universo in espansione porti naturalmente all esistenza del Big Bang cioè dell istante iniziale in cui le dimensioni dell universo erano infinitesime. Un universo più piccolo di quello di adesso aveva anche una temperatura maggiore; negli istanti iniziali questa temperatura era su cientemente alta da indurre reazioni di fusione nucleare che hanno portato principalmente alla produzione di elementi come He ed altri elementi leggeri nelle abbondanze osservate ( 2 3% in massa). Questa nucleosintesi primordiale risolve un grosso problema legato al fatto che tali abbondanze osservate non sono spiegabili con le reazioni nucleari all interno delle stelle. Seguendo l espansione ed il ra reddamento dell universo, vedremo come ad un certo punto si avrà la ricombinazione con il passaggio da un universo ionizzato ad un universo prevalentemente neutro (p ` e Ñ H); la ricombinazione porta al disaccoppiamento della materia dall equilibrio termodinamico con la radiazione e lascia una radiazione fossile che costituisce proprio il fondo cosmico a microonde. Quanto appena descritto è basato sulle equazioni di Friedmann che descrivono un universo omogeneo ed isotropo, ovvero l universo su grandi scale spaziali. Su piccole scale invece è necessario spiegare la formazione delle strutture osservate (galassie ed ammassi di galassie). Queste si formano a partire da piccole perturbazioni del mezzo omogeneo che evolvono sotto l azione combinata dell espansione dell universo e del collasso gravitazionale. Un risultato importante che otterremo è che il contrasto di densità { cresce come 9 t 2{3 in un universo piatto con m 1. Questo significa che per spiegare l esistenza delle galassie osservate oggi si doveva partire da perturbazioni grandi, dell ordine di { 1 4 : queste non sono certamente perturbazioni infinitesime di origine statistica in un mezzo omogeneo. Queste perturbazioni devono aver avuto origine nell universo primordiale pre-ricombinazione. Fortunatamente, le perturbazioni dell ordine di { 1 4 sono proprio quelle che osserviamo nella radiazione cosmica di fondo, quando teniamo conto della materia oscura.

5 5 Infatti, vedremo come la materia oscura (Dark Matter) siauncostituentefondamentale dell universo, necessario a spiegare le strutture osservate, anche se al momento non sappiamo da cosa sia costituita. Infine, nei modelli attuali, l universo è costituito anche da una forma di energia oscura la cui presenza è rivelata dall esistenza di una costante cosmologica non nulla nelle equazioni di Einstein. Una costante cosmologica non nulla è richiesta dall analisi del fondo cosmico e dalle distanze misurate con le Supernovae. La costante cosmologica era stata introdotta da Einstein per ottenere una soluzione statica delle equazioni di Friedmann, prima che si scoprisse l espansione di Hubble. Vedremo quindi come il contributo di materia ed energia oscura al bilancio energetico dell universo costituisce il 96% del totale, mentre la materia ordinaria barionica ne costituisce solo il restante 4%. Ciò significa che, al momento, non sappiamo bene cosa costituisca il 96% dell universo. Nonostante l attuale ignoranza sulla natura della materia oscura e dell energia oscura, le osservazioni e gli studi teorici degli ultimi venti anni hanno permesso di entrare nell era della cosiddetta Cosmologia di precisione : i parametri cosmologici sono conosciuti con accuratezza inferiore al 5% ed è possibile a rontare domande cosmologiche molto più profonde con le generazioni presenti e future di osservazioni ed esperimenti. Il modello cosmologico attuale riesce a spiegare con grande accuratezza le osservazioni e riesce a conciliare fatti prima in apparente disaccordo: pertanto si parla comunemente di Concordance Model. Nonostante l indubbio successo, il concordance model crea tanti problemi quanti ne risolve. Lo schema è incompleto nel senso che, nell ambito del modello standard, è necessario mettere a mano le condizioni iniziali per creare l universo che osserviamo oggi. Come si è arrivati a queste condizioni iniziali? La risposta a questa domanda e la soluzione dei problemi aperti indubbiamente ci fornirà una maggiore comprensione delle leggi della fisica in condizioni che, al momento, possono essere studiate solo con osservazioni cosmologiche. I problemi aperti più importanti riguardano: Il problema dell orizzonte, ovvero perché l Universo è così omogeneo e isotropo? Nell universo primordiale solo piccole porzioni di universo sono connesse causalmente tra loro a seguito del poco tempo per il quale la luce ha potuto viaggiare. Perché allora tutto l universo si trova in condizioni simili, come indicato dalla sua omogeneità eisotropia? Il problema della piattezza: se l universo avesse un valore del parametro di densità anche di poco diverso da 1aduncertotempot, allora divergerebbe rapidamente da 1 nelle epoche successive. Come possiamo avere adesso 1, senza pensare di vivere in un epoca particolare? Il problema dell asimmetria dei barioni: nell universo primordiale è avvenuta l annichilazione tra materia e antimateria. La materia barionica attuale esiste a causa di una piccola asimmetria dell ordine di 1 9 tra barioni e antibarioni. Quale meccanismo fisico ha generato questa piccolissima asimmetria nell universo primordiale? Il problema delle fluttuazioni primordiali: per creare le galassie e gli ammassi osservati oggi, le perturbazioni di densità al momento della ricombinazione dovevano essere dell ordine di { 1 4 ; queste non sono le perturbazioni statistiche infinitesime in un mezzo omogeneo e devono essersi originate nell universo primordiale. Come si sono originate?

6 Il valore dei parametri cosmologici: il parametro di densità e la costante cosmologica sono entrambi dell ordine di 1 con.3 e.7 e ` 1.. Questo è sorprendente perché varia nel tempo con p1 ` zq 3 mentre è costante. Non è quindi chiaro perché i due parametri siano dello stesso ordine a meno di non pensare di vivere in un epoca particolare. Un ulteriore problema viene dal fatto che il valore di predetto teoricamente con le fluttuazioni quantistiche del vuoto (al momento l unica spiegazione plausibile per l origine dell energia oscura) è circa 1 12 volte più grande di quanto osservato. La natura della materia oscura e dell energia oscura: queste costituiscono il 96% dell universo ma non si sa nulla della loro origine fisica. Come vedremo, alcuni di questi problemi vengono spiegati col Modello Inflazionario, secondo il quale nei primi istanti di vita l universo ha attraversato una fase di espansione rapidissima le cui conseguenze spiegano molte delle apparenti incongruenze che abbiamo appena elencato. In conclusione, pur avendo a disposizione un modello cosmologico apparentemente autoconsistente, restano ancora troppi punti oscuri per poter essere sicuri di aver compreso il funzionamento dell universo su grande scala.

7 Capitolo 2 La struttura dell universo su grande scala In questa parte iniziale, analizzeremo in dettaglio le osservazioni che mostrano come l universo sia omogeneo ed isotropo su grande scala, ed in espansione. Queste osservazioni costituiscono la base su cui costruiremo il modello cosmologico: la radiazione cosmica di fondo, la distribuzione delle galassie su grande scala, la legge di Hubble. 2.1 La radiazione cosmica di fondo Nel 1965, Arno Penzias e Robert Wilson stavano calibrando un sistema di ricezione alle lunghezze d onda centimetriche nei laboratori della Bell Telephone quando scoprirono un emissione intensa e di usa nelle bande cm, mm e submm. Questa emissione era rimarchevolmente uniforme in cielo e per 1 cm 1m aveva uno spettro I 9 2 come la coda di Rayleigh-Jeans di un corpo nero con temperatura T 2.7K. Ricordiamo che l intensità di un corpo nero è data dalla formula di Planck che per nel limite di Rayleigh-Jeans diventa I 2h 3 c 2 1 e h {kt 1 (2.1) I «2kT c 2 2 con h kt! 1 (2.2) La legge degli spostamenti di Wien fornisce la relazione tra lunghezza d onda del massimo dell emissione e temperatura maxt.2 cm K (2.3) per cui per T 2.7K si ha max.1 cm; quindi il massimo dell emissione cadeva a 1mm ovvero in una regione di cilmente osservabile da Terra. Negli anni 7 e 8, esperimenti con i palloni stratosferici hanno poi confermato lo spettro della parte di Jeans di corpo nero di questa emissione cosmica di fondo o CMB (Cosmic Microwave Background). La conferma definitiva che l emissione cosmica di fondo era quella di un corpo nero con T 2.7K venne con il satellite COBE (COsmic Background Explorer) lanciato nel

8 8 La struttura dell universo su grande scala T = K ΔT = K T = 18 µk Figura 2.1: Mappa a tutto cielo della radiazione cosmica di fondo, rappresentata in coordinate galattiche (ovvero il piano della galassia è l asse maggiore dell ellisse che racchiude la mappa), così come ottenuta dal satellite COBE a 5.7 mm (53 GHz). Le tre mappe rappresentano livelli diversi di sensibilità. (a) Distribuzione complessiva in cielo dell intensità della radiazione osservate. (b) Mappa da cui è stata sottratta una componente uniforme di corpo nero alla temperatura di T K; i residui hanno una distribuzione di dipolo e con fluttuazioni di temperatura massime pari T mk rispetto alla componente uniforme. (c) Mappa da cui è stata sottratta la componente di dipolo e che mostra l emissione della galassia (banda rossa). Le fluttuazioni ad alta latitudine galattica corrispondono alla combinazione di rumore e di segnale cosmologico. Tenendo conto del rumore, le fluttuazioni di natura cosmologica hanno una rms pari a T 35 2µK su scale di 7. I T riportati per le figure (b) e (c) rappresentano i limiti delle scale di colore che rappresentano i valori di temperatura compresi tra T.

9 2.1 La radiazione cosmica di fondo 9 Figura 2.2: Spettro della radiazione cosmica di fondo misurato da COBE. Le unità in ascissa sono cm 1 per cui 1 unità corrispondono a 1 mm e 5 a 2 mm. Le barre di errore corrispondono a 4. Lo spettro è quello di un perfetto corpo nero con temperatura T K, entro gli errori di misura che ottenne una mappa completa del cielo e lo spettro della radiazione dall infrarosso al millimetrico (2 1µm). Grazie alle osservazioni di COBE, John Mather e George Smoot hanno ottenuto il premio Nobel per la Fisica 26 for their discovery of the blackbody form and anisotropy of the cosmic microwave background radiation. Lo strumento FIRAS (Far Infrared Absolute Spectrophotometer) sul satellite CO- BE misurò lo spettro della radiazione cosmica di fondo tra.5-2 mm come mostrato in figura 2.2. Lo spettro così misurato (le barre d errore corrispondono a 4!) è quello di un perfetto corpo nero con T K (2.4) Le deviazioni delle misure dalla formula di Planck sono molto piccole I.3% I max per.5mm 2.5mm (2.5) Il fatto che lo spettro della CMB sia un corpo nero indica che, al momento dell emissione della radiazione, l universo era in equilibrio termodinamico e che, quindi, c era equilibrio termodinamico tra materia e radiazione. Al momento della ricombinazione, cioè al momento dell emissione dei fotoni della CMB, questo equilibrio termodinamico si è rotto e materia e radiazione si sono disaccoppiate. Come vedremo più avanti, le deviazioni dello spettro da quello di un corpo nero sono molto piccole e possono essere spiegate con l immissione di energia termica nel mezzo intergalattico ed il conseguente riscaldamento di elettroni. Ad esempio, lo scattering Compton dei fotoni del fondo da parte degli elettroni caldi nel mezzo intergalattico può causare distorsioni dello spettro (e etto Sunyaev-Zeldovich).

10 1 La struttura dell universo su grande scala Se l immissione di energia termica avviene prima della ricombinazione (z 1), ovvero quando materia e radiazione sono all equilibrio termodinamico, lo spettro della radiazione viene modificato secondo una distribuzione di Bose-Einstein con potenziale chimico µ I 2h 3 1 (2.6) c 2 e ph {kt`µq 1 ovviamente per µ siriottieneilperfettocorponero.seinveceloscatteringcompton avvenisse dopo la ricombinazione, per esempio a causa degli elettroni del mezzo intracluster, si avrebbe una deviazione dallo spettro di corpo nero I tale che $ h I I yfpxq con & % x y kt ª l.o.s. ˆ kte m e c 2 T N e dl (2.7) dove l.o.s. indica la linea di vista (line of sight), ovvero l integrale è calcolato lungo la linea di vista. Nel limite x! 1, ovvero nella parte di Rayleigh Jeans, si ha I» 2y 1 ` x (2.8) 2 Dalle misure ottenute col satellite COBE è risultato che I µ 1 4 y 1.5 ˆ 1 5 (2.9) ovvero delle deviazioni dal corpo nero estremamente piccole! Un altro strumento su COBE, il Di erential Microwave Radiometer, otteneva mappe fotometriche (immagini) a 31.5, 53, 9 GHz ( 9.5, 5.6, 3.3mm), corrispondenti a x h {kt.5,.85, 1.44 per T 3 K, cioè verso la parte di Rayleigh-Jeans dello spettro. Lo strumento aveva una risoluzione angolare sul cielo di 7. La scelta di quelle frequenze era cruciale per evitare l emissione della polvere galattica (cirri) a frequenze maggiori e l emissione di sincrotrone degli elettroni relativistici galattici a frequenze minori. Come si vede dalle mappa in figura 2.1 (a) la temperatura è rimarchevolmente costante a T K. Esistono fluttuazioni di circa 1/1 visibili in (b) dopo che è stata sottratta la componente a temperatura costante. La mappa in (b) ha una distribuzione bipolare del tipo v ı T T 1 ` cos (2.1) c che si può facilmente spiegare in seguito all e etto Doppler dovuto al moto del Sole nel riferimento della CMB (il moto annuale della Terra è già stato sottratto), come mostrato in figura 2.3. Il Sole si muove con velocità ~v d nel riferimento solidale con la CMB ed avrà una componente di velocità v d cos nella direzione P che sto osservando da Terra (come si è detto, si considera solo il moto del Sole rispetto alla CMB e si è già corretto per il moto annuale della Terra attorno al Sole). Pertanto l osservatore a Terra vedrà la CMB muoversi verso di lui con velocità v CMB v d cos e, per e etto Doppler, la frequenza sarà osservata a obs 1 ` vcmb c 1 vd cos c (2.11)

11 2.1 La radiazione cosmica di fondo 11 P CMB! v Figura 2.3: Moto del Sole rispetto alla CMB e spiegazione della componente di dipolo. L e etto Doppler altererà pertanto lo spettro di corpo nero ma sempre in modo tale da conservare l energia I obs d obs I d (2.12) In particolare, alle frequenze osservate il termine h {kt diverrà h kt h obsr1 pv d {cq cos s kt h obs kt obs (2.13) da cui T T obs 1 vd c cos» T 1 ` vd cos (2.14) c dal momento che v d {c! 1. Questa è proprio la distribuzione dipolare osservata e quindi si ottiene che T v d cos (2.15) c T Nella direzione della massima fluttuazione di temperatura (in coordinate galattiche l e b , che fornisce anche la direzione verso cui si sta muovendo il Sole) si ha T max mk (2.16) da cui, noto T K si ottiene ˆ Tmax v d c kms 1 (2.17) T Questa è proprio la velocità del Sole rispetto alla CMB ed è la combinazione del moto di rotazione attorno al centro della Via Lattea e del moto della Via Lattea rispetto alla CMB.

12 12 La struttura dell universo su grande scala Figura 2.4: Mappa a tutto cielo delle fluttuazioni di temperatura della radiazione cosmica di fondo ottenuta nel 213 dal satellite Planck dell Agenzia Spaziale Europea (ESA). La sensibilita di COBE ottenuta su scale di 7 (dimensioni della Point Spread Function - PSF - dello strumento) era meglio di 1/1, per cui era possibile rivelare residui significativi dopo la sottrazione del termine di dipolo. Ed in e etti i residui ottenuti dopo 4 anni di integrazione di COBE sono riportati in figura 2.1 (c). La figura mostra l emissione dei cirri nel disco galattico (banda rossa) che pero puo essere sottratta confrontando le mappe ottenute nelle varie bande: sappiamo infatti che TCM B 2.7 K mentre i cirri sono molto piu caldi ed hanno pertanto uno spettro diverso che ne permette l identificazione e la rimozione. Dopo aver sottratto l emissione da parte della polvere galattica ed aver considerato le regioni ad alta latitudine galattica ( b 2 ) restano delle fluttuazioni residue di temperatura la cui r.m.s. media e " T 35 2µK su scale di 7 b 2 (2.18) T 29 1µK su scale di 1 I diversi valori di T indicano che le fluttuazioni hanno ampiezze diverse su scale diverse ovvero che c e uno spettro angolare delle fluttuazioni non piatto. Si puo confrontare la vecchia immagine di COBE con la recente immagine ottenuta dal satellite Planck dell ESA (213; figura 2.4) che mostra le stesse strutture visibili ad alta latitudine galattica ma con una risoluzione spaziale notevolmente superiore. Si noti come a questa immagine sia gia stata sottratta l emissione della polvere galattica. Vedremo piu avanti che informazione puo essere ottenuta studiando lo spettro angolare delle fluttuazioni della radiazione cosmica di fondo ma, per il momento, ci basti sapere che la piccolezza delle fluttuazioni di temperatura ( T {T 1 5 ) conferma che la CMB e omogenea ed isotropa a meno di 1 parte su 1,. A questo punto e lecito chiedersi quale sia il legame tra le fluttuazioni di temperatura della CMB e la distribuzione di materia. La risposta a questa domanda sara fornita in dettaglio piu avanti nel corso e, per adesso, limitiamoci ad una semplice descrizione qualitativa. Nel modello standard del Big Bang (ovvero dell universo in espansione) la temperatura della radiazione diminuisce con l espansione dell universo in quanto i fotoni subiscono il

13 2.2 La distribuzione delle galassie su grande scala 13 redshift cosmologico (in pratica vengono espansi con l universo stesso). Pertanto, come ricaveremo più avanti, la temperatura della radiazione varia con z come: T r 2.728p1 ` zq K (2.19) Per z rec 15 si ha quindi T r 4 K. A quella temperatura, nella coda di Wien di un corpo nero ci sono su cienti fotoni in grado di ionizzare tutto l idrogeno nell universo ( 912 Å) che per z z rec, era mantenuto ionizzato dai fotoni della CMB. Nelle epoche precedenti z rec, H era completamente ionizzato e quindi la materia era accoppiata alla radiazione tramite scattering Thomson (cioè tra fotone ed elettrone libero). La cosiddetta epoca della Ricombinazione avviene quindi per z z rec quando, diminuendo la temperatura della radiazione a seguito dell espansione dell universo, non c è più un numero di fotoni ionizzanti su cientemente alto da mantenere ionizzati gli atomi di idrogeno che quindi inizieranno a ricombinare. Quando osserviamo i fotoni emessi a z rec 15, osserviamo direttamente i fotoni emessi all epoca della ricombinazione: a causa dell altissima profondità ottica pre-ricombinazione, è come se stessimo osservando la superficie di una stella (fotosfera) che, nel nostro caso, è la superficie interna della sfera centrata sulla Terra con raggio corrispondente a z 15. A causa della profondità ottica dovuta allo scattering Thomson per z z rec possiamo vedere solo gli strati più esterni di questa atmosfera che prende il nome di superficie di ultimo scattering (last scattering surface). Pertanto, le fluttuazioni che vediamo sulla CMB su scale di 7 corrispondono alle perturbazioni di densità esistenti a z z rec che, successivamente, cresceranno e daranno luogo alle strutture osservate al momento attuale nell universo locale. Fino ad ora abbiamo supposto che l universo fosse trasparente tra noi e la CMB. In realtà dopo la ricombinazione e le dark ages (cioè la fase in cui c è gas neutro, senza stelle che lo possano illuminare perché non si sono ancora formate), l universo è stato nuovamente reionizzato dalle prime stelle e la presenza di elettroni liberi ha smorzato le fluttuazioni sulla CMB, grazie sempre allo scattering Thomson. Per nostra fortuna le fluttuazioni non sono state cancellate completamente e i satelliti COBE, WMAP e Planck le hanno potute osservare pur in presenza di questo damping (smorzamento). In conclusione, la radiazione cosmica di fondo è un corpo nero quasi perfetto con una temperatura osservata di T K ed una distribuzione isotropa. La densità di energia " associata a questa radiazione è ottenibile ricordando le proprietà del corpo nero "» at 4 4 B c T ˆ 1 13 erg cm 3.26 ev cm 3 (2.2) questa energia associata alla radiazione pervade l intero universo all epoca attuale e domina l energia media di tutta la radiazione di fondo cosmica (inclusa quella associata all emissione integrata delle galassie e dei nuclei galattici attivi). 2.2 La distribuzione delle galassie su grande scala Abbiamo appena visto che la CMB è rimarchevolmente isotropa ( T 3 µk) su scale 7, ovvero su scali superiori alla risoluzione angolare di COBE. Questo risultato osservativo indica che la distribuzione di materia (gas) al momento della ricombinazione era omogenea ed isotropa. Tuttavia l universo che oggi vediamo rappresentato dalle galassie è fortemente non omogeneo, con strutture che vanno dalle galassie isolate, ai gruppi, agli ammassi fino ai

14 14 La struttura dell universo su grande scala Figura 2.5: Distribuzione di galassie in cielo in un regione centrata sul polo sud galattico. superammassi e ai vuoti giganti. Andando su scale sempre più grandi la distribuzione di galassie diviene più omogenea ma contiene ancora significative fluttuazioni non casuali. La figura 2.5 è stata creata con 185 lastre fotografiche ottenute col telescopio Schmidt UK. Ciascuna lastra copre un area di 6 ˆ 6 ed è stata scansionata con l Automatic Plate Measuring (APM) machine. La regione è centrata sul Polo Sud Galattico per evitare il più possibile contaminazioni dovute a sorgenti nella nostra galassia (es. stelle). In ogni lastra, dopo la scansione, si è potuto distinguere tra stelle e galassie sulla base dei loro profili fotometrici (rispetto alle stelle, le galassie sono spazialmente risolte). La figura mostra solo le sorgenti che sono classificate come galassie (oltre 2 milioni) con magnitudini apparenti 17 b j 2.5 (b j rappresenta le magnitudini fotografiche ovvero quelle misurate con le lastre fotografiche e sono caratterizzate da una banda passante con lunghezza d onda e cace appena inferiore a B). Le varie parti dell immagine non sono significativamente diverse le une dalle altre ma la distribuzione di galassie non è uniforme su piccola scala, dove si osservano strutture filamentari, ammassi, ecc. Per dimostrare che quelle osservate sono strutture reali si dovrebbero conoscere le distanze delle galassie da noi per poter ricostruire la struttura reale in 3D a partire da quella in 2D proiettata sul cielo e mostrata in figura 2.5. Questa verifica è stata fatta, ed è stato dimostrato che, e ettivamente, queste strutture sono reali. Vediamo adesso come si possono capire e quantificare le caratteristiche delle strutture che osserviamo in figura, ovvero andiamo a studiare le proprietà di clustering delle galassie. La cosa più semplice è cominciare studiando la distribuzione delle galassie proiettata sul piano del cielo, in seguito passeremo a vedere che relazione ci sia con la struttura reale in 3D. Per studiare la distribuzione spaziale delle galassie si utilizzano comunemente le funzioni di correlazione a due punti. Data una qualsiasi galassia G ci chiediamo quale sia il numero dn di galassie osservato sul piano del cielo a distanza angolare compresa tra e ` d, ovvero nell angolo solido d 2 d (figura 2.6): dn np qd (2.21)

15 2.2 La distribuzione delle galassie su grande scala 15!!+d! G Figura 2.6: Definizione della funzione di correlazione a due punti. np q è i l n u m e r o d i g a l a s s i e p e r u n i t à d i a n g o l o s o l i d o p o s t e a d i s t a n z a d. Se le galassie fossero distribuite uniformemente in cielo si avrebbe dn n g d con n g numero medio di galassie per unità di angolo solido. A questo punto posso descrivere le deviazioni dalla distribuzione uniforme come dn np qd n g r1 ` wp qs d (2.22) wp q è la funzione di correlazione a due punti edescrivelaprobabilitàditrovareuna galassia a distanza da G in eccesso rispetto alla distribuzione uniforme ovvero rispetto alla densità media. wp q contiene le informazioni sul clustering ed è definita per una data magnitudine limite per la quale vengono selezionate le galassie. E importante notare che wp q contiene informazioni mediate radialmente attorno ad un punto, quindi non contiene informazioni sulla filamentarietà della distribuzione. L omogeneità della distribuzione delle galassie all aumentare della distanza può essere studiata misurando wp q al variare della magnitudine apparente limite del campione di galassie considerato. Si consideri quindi wp,dq che rappresenta la funzione di correlazione a due punti per tutte le galassie con distanza massima D: assumendo che tutte le galassie abbiano la stessa magnitudine assoluta, D corrisponde ad una ben precisa magnitudine limite. Si può allora facilmente determinare come cambi wp,dq al variare di D, supponendo che la distribuzione spaziale delle galassie sia invariata. Supponiamo che le galassie provengano da una distribuzione omogenea nello spazio euclideo e consideriamo la figura 2.7: è l a s c a l a a n g o l a r e s t u d i a t a n e l c a m p i o n e c o n d i s t a n z a ( m a g n i t u d i n e ) l i m i t e D mentre è l a s c a l a a n g o l a r e s t u d i a t a n e l c a m p i o n e c o n d i s t a n z a l i m i t e D. Perché il confronto abbia senso dobbiamo essere sicuri di studiare le stesse scale spaziali al variare della distanza limite e pertanto deve risultare D D ovvero D{D ; pertanto occorre considerare la scala angolare D{D in w wp,d q per sondare la stessa scala spaziale r D studiata con wp q. Adesso dobbiamo tener conto del fatto che ci aspettiamo di trovare più galassie per D, semplicemente perchè integriamo più in profondità. Supponendo che la densità media di galassie non vari tra D e D è facile vedere che,

16 16 La struttura dell universo su grande scala d! d! " G r " r D D Figura 2.7: Variazione della funzione di correlazione a due punti con la distanza. partendo da D D (vincolo di osservare le stesse scale spaziali), si ottiene d ˆ D D n g, n g ˆD D 2 d dove la prima relazione è stata ottenuta imponendo che gli angoli solidi sottendano la stessa superficie fisica e la seconda è stata ottenuta imponendo che la densità di volume di galassie non vari tra D e D. Allora da 3 si ottiene che dn n g, r1 ` w p qs d dn n g r1 ` wp qs d ˆD dn n g r1 ` w p D{D qs d D esipuòfacilmentecapireperchélafunzionedicorrelazioneaduepunticambicome wp,dq D D w ˆ DD (2.23) al variare della distanza limite da D a D. Naturalmente se lo spazio non fosse Euclideo e la distribuzione di galassie variasse con la distanza occorrerebbe tenerne conto opportunamente. E stato trovato che le funzioni di correlazione a due punti riscalano tra di loro come atteso dalla 2.23 fino a z.1. Questo fatto mostra anche come la distribuzione di galassie sia omogenea nello stesso intervallo di redshift, condizione per la validità della stessa relazione Lafigura2.8 (a) mostra la funzione di correlazione a due punti wp q adiversemagnitudinilimitenell intervallo17.5 m 2.5 constepdi.5mag,come ottenute da APM sull area rappresentata in figura 2.5. E evidente come le wp q siano diverse per normalizzazione ma anche per traslazione lungo l asse delle ascisse. La figura

17 2.2 La distribuzione delle galassie su grande scala 17 Figura 2.8: (a) Variazione osservata della funzione di correlazione a due punti con la distanza. (b) Le funzioni di correlazione in (a) sono state riscalate utilizzando la formula Figura 2.9: (a) Funzione di correlazione a due punti ottenuta con la survey SDSS. (b) Confronto tra le funzioni di correlazioni a due punti ottenute con le survey SDSS e APM, dopo che sono state entrambe riscalate per tener conto delle diverse magnitudini limite a cui sono state ottenute.

18 18 La struttura dell universo su grande scala (b) mostra le stesse wp q dopo che sono state riscalate a conteggi locali utilizzando la formula2.23. E evidente come adesso tutte le wp q si sovrappongano quasi perfettamente. Questi risultati ottenuti dalla survey APM sono stati confermati recentemente anche dalla survey SDSS (Sloan Digital Sky Survey 1 )comemostratoinfigura2.9. La wp q ottenuta con la SDSS ha considerato tutte le galassie con 21 r 22 e redshift medio z.43, ed è in ottimo accordo con i risultati della survey APM. Da notare che questo confronto tiene conto del fatto che lo spazio non è euclideo. Le figure appena viste mostrano come la distribuzione delle galassie in cielo sia regolare: esistono strutture su tutte le scale come indicato dalla wp q non nulla, ma la presenza di queste strutture varia in modo regolare dalle scale degli ammassi fino ai superammassi come wp q p.7.8q per À 1 (2.24) Su scale superiori a 1, wp q va rapidamente a, indicando che la distribuzione delle galassie tende ad essere uniforme in continuità con quanto si osserva nella CMB su scale superiori a 7. Ricordiamo che tutte queste informazioni sono mediate radialmente. Da un punto di vista fisico ha più senso considerare la funzione di correlazione spaziale dn NprqdV N r1 ` prqs dv (2.25) con N densità media (di volume). Per ricavare prq dalle osservazioni occorre conoscere la distribuzione di galassie nello spazio ed è possibile trovare una relazione analitica esatta che lega prq e wp q. Noi ci limiteremo a trovare una relazione analitica basata su alcune assunzioni semplificative che però è su ciente ai nostri scopi. Consideriamo un ammasso di galassie come rappresentato in figura 2.1 etalechela sua densità di volume sia Nprq N r1 ` prqs (2.26) Allora la densità superficiale proiettata sul piano del cielo a distanza a dal centro è con npaq ª `8 8 Nprqds (2.27) s? r 2 a 2 ds r dr? r2 a 2 (2.28) pertanto, e ettuando il cambiamento di variabili da s a a si ottiene npaq ª `8 8 Nprqds 2 ª amax a Nprqr? dr (2.29) r2 a2 dove, al posto dell integrale per s Ñ 8si è passato ad integrare tra a (distanza della direzione s dal centro dell ammasso) e a max, raggio esterno dell ammasso. Sostituendo a Nprq il suo valore si ottiene 1 npaq 2 2 ª amax a ª amax a N r1 ` prqsr pr 2 a 2 q dr 1{2 N r dr ` 2 pr 2 a 2 q1{2 ª amax a N prqr dr (2.3) pr 2 a 2 q1{2

19 2.2 La distribuzione delle galassie su grande scala 19 a s r a Vista laterale a Piano del Cielo Figura 2.1: Geometria per trovare la relazione tra la funzione di correlazione angolare e la funzione di correlazione spaziale vista lateralmente (alto) e di fronte (in basso). Se si assume ˆ r prq r (2.31) si e ettua il cambiamento di variabili x r{a esiassumea max " a, l equazione diventa Questa espressione deve essere dello stesso tipo di npaq cost 1 ` cost 2 a `1 (2.32) n g r1 ` wp qs (2.33) con a{d (D, distanza dell ammasso). L unica possibilità è che wp q `1 (2.34) ovvero la pendenza della wp q è u g u a l e a q u e l l a d e l l a prq a meno di 1. Quindi se le osservazioni mostrano che wp q p.7.8q (2.35) questo comporta che ˆ r prq r con (2.36) Questa relazione è valida su scale fisiche 1h 1 kpc 1h 1 Mpc ( 143 kpc 14 Mpc per h.7) con r 5h 1 Mpc (7 Mpc). h è la costante di Hubble in unità di

20 2 La struttura dell universo su grande scala Figura 2.11: Redshift survey dell Harvard-Smithsonian Center for Astrophysics (CfA). Quest mappa contiene oltre 14, galassie che formano un campione completo tra 8.5 e 44.5 con velocità di recessione 15, km s 1. La nostra galassia è al centro della mappa e il cerchi esterno ha raggio pari a 15h 1 Mpc. Le galassie sono rappresentate in coordinate polari con r che rappresenta la distanza e l angolo che rappresenta l ascension retta. 1 km s 1 Mpc 1 che, come vedremo più avanti, vale h».7, e proprio quel valore è stato utilizzato per ottenere i numeri tra parentesi.. Su scale 1h 1 Mpc ( 14 Mpc), prq decresce più rapidamente di una legge di potenza e l ampiezza di clustering diminuisce rapidamente finché l universo diventa omogeneo e isotropo su grandi scale come la CMB. Si noti come su scale " 5h 1 Mpc (" 7Mpc) si abbia { 1ovveroilcontrasto di densità rispetto all universo omogeneo è inferiore a 1, e su scale ancora più grandi {! 1, ovvero su quelle scale le perturbazioni di densità all epoca attuale sono ancora in regime lineare. Il metodo descritto fino ad ora non è in grado di descrivere i muri e i vuoti visti nella distribuzione delle galassie, e le strutture filamentarie in genere. La natura di queste strutture è stata definita con le cosiddette redshift surveys. La figura 2.11 mostra i risultati della prima survey statisticamente completa di oltre 14, galassie brillanti ottenuta da ricercatori dell Harvard-Smithsonian Center for Astrophysics (CfA). Le galassie formano un campione completo tra 8.5 e44.5 con velocità di recessione 15, km s 1

21 2.2 La distribuzione delle galassie su grande scala 21 Figura 2.12: Distribuzione delle galassie su grande scala come ottenuta con la survey 2dF dell Anglo-Australian Telescope. In entrambi i diagrammi la distribuzione si estende fino a z «.25 e mostra la struttura cellulare della distribuzione delle galassie.

22 22 La struttura dell universo su grande scala corrispondente a D 15h 1 Mpc. La distanza delle galassie è ottenuta direttamente dalla misura del redshift tramite la legge di Hubble (vedi più avanti). La figura mostra una rappresentazione in coordinate polari con il raggio dato dalla distanza (redshift) delle galassie e la direzione individuata dall ascensione retta. Si notano varie strisciate ( dita ) che corrispondono ad ammassi di galassie: in un ammasso tutte le galassie si trovano approssimativamente alla stessa distanza da noi (ovvero allo stesso redshift medio) e quindi si dovrebbero disporre in un punto ben preciso della mappa. Questo punto viene però allungato dai moti peculiari delle galassie all interno dell ammasso. Altre survey successive hanno esteso questi studi sulla struttura a grande scala, come si vede ad esempio in figura 2.12 dove si mostrano i risultati della survey 2dF (2 degree field) eseguita all Anglo-Australian Telescope. I vuoti osservati nella distribuzione di galassie della 2dF sono su scale simili a quelli rivelati dalla survey del CfA. E ben evidente la struttura cellulare che rimane per tutta l estensione della survey. Le scale dei vuoti più grandi sono pari a 3 5 volte le scale degli ammassi ovvero misurano fino a 5h 1 Mpc. Queste sono le strutture più grandi note nell universo e la loro esistenza deve essere spiegata anche in relazione alle disomogeneità osservate nella CMB. Un risultato importante dell analisi della distribuzione delle galassie su grande scale è la struttura tipo spugna, con il tessuto spugnoso che rappresenta la distribuzione delle galassie e i buchi che rappresentano i vuoti. I vuoti ed i filamenti di galassie sono interconnessi tra loro in tutto l universo locale; questo è possibile solo in una struttura 3D tipo quella di una spugna (non è ovviamente possibile in una struttura 2D come quella che si può rappresentare su un foglio). Il termine superammasso è utilizzato per descrivere strutture che si trovano su scale più grandi di quelle degli ammassi; si può trattare di associazioni di vari ammassi oppure di distribuzioni estese di galassie. Alcuni autori chiamano superammassi i filamenti visti nelle survey. Da un punto di vista fisico la distinzione tra ammasso e superammasso è data dal fatto che la struttura sia o meno gravitazionalmente legata. Infatti i superammassi sono così grandi che, data l età finita dell universo, non hanno ancora fatto in tempo a raggiungere l equilibrio dinamico. Negli ammassi ricchi di galassie, che hanno avuto il tempo di rilassarsi dinamicamente ad una situazione di equilibrio, una galassia può aver e ettuato appena una decina di attraversamenti (crossing); pertanto nelle strutture più grandi non c è quasi stato il tempo perché diventassero legate gravitazionalmente. 2.3 La legge di Hubble e l espansione dell Universo Hubble scoprì la relazione tra la velocità di recessione delle galassie e la loro distanza nel Nel diagramma mostrato in figura 2.13 si riporta la relazione tra il redshift e la magnitudine relativa delle galassie più brillanti degli ammassi (per ogni ammasso si considera la galassia più brillante ovvero la Brightest Cluster Galaxy, BCG). Si trova che le BCG hanno tutte più o meno la stessa luminosità intrinseca per cui il loro flusso osservato è S L (2.37) 4 r 2 da cui la loro magnitudine relativa è m 2.5logS ` cost. (2.38)

23 2.3 La legge di Hubble e l espansione dell Universo Amodernversionofthevelocity distancerelationforgalaxiesforthebr Figura 2.13: Versione moderna della relazione velocità-distanza per le galassie più brillanti degli ammassi (BCG). Questa relazione indica che la velocità di recessione delle galassie è proporzionale alla loro distanza. e quindi, sostituendo S, si arriva alla relazione m 5logr ` cost. (2.39) Il redshift è definito come z oss emiss emiss eperz! 1questovieneinterpretatocomeunavelocitàdirecessioneovvero (2.4) v rec c z oss emiss emiss (2.41) in base all interpretazione di z come e etto Doppler. Il best fit (riga continua) rappresentato in figura indica una relazione del tipo che, confrontata con la 2.39, rivela che Questa viene solitamente scritta come m 5logz ` cost. (2.42) v rec 9 r (2.43) v rec H r (legge di Hubble) (2.44)

24 24 La struttura dell universo su grande scala Figura 2.14: Espansione dell universo rappresentata da 5 galassie osservate a due tempi diversi t 1 (a) e t 2 (b). con H costante di Hubble. Si ponga attenzione al fatto che, come vedremo in seguito, l interpretazione di z come velocità di recessione è fuorviante. Le galassie non stanno allontanandosi da noi, è l Universo che si sta espandendo! Quindi non si tratta di vere velocità altrimenti arriveremmo ad una contraddizione con la relatività speciale per z 1, dove si avrebbe v c. Combinando l isotropia su grande scala e l omogeneità dell universo con la legge di Hubble è possibile mostrare che, attualmente, l universo si sta espandendo in modo uniforme. Consideriamo un sistema di punti che si espande uniformemente, come schematizzato in figura La definizione di espansione uniforme è quella per cui le distanze tra due punti qualsiasi dell universo aumentano dello stesso fattore in un dato intervallo di tempo ovvero, considerate le galassie 1, 2,..., n con distanze r 1, r 2,...,r n da un qualsiasi

25 osservatore O dell universo, risulta r 1 pt 1 q r 1 pt 2 q r 2pt 1 q r 2 pt 2 q r npt 1 q r n pt 2 q costante (2.45) per t 1 e t 2, due istanti qualsiasi. La velocità di recessione della galassia 1 dall osservatore O è v 1 r 1pt 2 q r 1 pt 1 q r 1pt 1 q r1 pt 2 q t 2 t 1 t 2 t 1 r 1 pt 1 q 1 r 1pt 1 q p 1q H r 1 pt 1 q con H 1 (2.46) t 2 t 1 t 2 t 1 Per la galassia n-esima risulta invece v n r npt 1 q t 2 t 1 p 1q H r n pt 1 q (2.47) Quindi una distribuzione di galassie in espansione uniforme fornisce automaticamente una relazione velocità-distanza del tipo v 9 r. Quest analisi è ben più profonda della semplice spiegazione di v 9 r osservata localmente e si applica a tutte le galassie poste a qualsiasi distanza in un universo in espansione omogenea, quindi deve essere vera anche quando v c. Questo fatto però non è a atto in contraddizione con la relatività speciale; i punti (le galassie) partecipano semplicemente all espansione uniforme dello spazio e non c è connessione causale tra loro (cosa che darebbe la violazione della relatività speciale). In sostanza la velocità di recessione non è una velocità con cui si può trasmettere un segnale. In conclusione, il punto di partenza corretto per la costruzione di modelli per la dinamica a grande scala dell universo è che lo stesso debba essere omogeneo ed isotropo (su grande scala) ed in espansione uniforme. Questa assunzione, in unione con la teoria della Relatività Generale, ci fornirà un insieme di semplici modelli che formeranno il framework entro il quale studiare il problema dell origine e della formazione delle strutture cosmologiche che osserviamo nell universo locale.

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27 Capitolo 3 Il Principio Cosmologico e la Metrica di Robertson & Walker Le evidenza osservative viste fino ad ora, ed in particolare l isotropia della CMB, suggeriscono che il punto di partenza naturale per la costruzione di un modello cosmologico è assumere che, in prima approssimazione, l universo sia omogeneo ed isotropo all epoca presente. Questo era proprio il punto di partenza di Einstein nel 1917 per ottenere il primo modello completamente autoconsistente di universo (statico). I successivi modelli di Friedmann di universo in espansione erano a loro volta basati sulle equazioni di Einstein e sull assunzione di omogeneità e isotropia. Uno dei problemi principali per questi pionieri della cosmologia relativistica era la scelta e l interpretazione delle coordinate spazio-temporali da usare; in pratica la scelta del sistema di riferimento. Un esempio di questa di coltà è il seguente: la soluzione di de Sitter (universo vuoto) risultava stazionaria o esponenziale a seconda della scelta delle coordinate. Il problema fu risolto indipendentemente da Robertson e Walker che derivarono la metrica dello spazio-tempo per tutti i possibili modelli di universi omogenei, isotropi ed in espansione uniforme. La metrica di Robertson-Walker (RW) è indipendente dall assunzione che la dinamica su grande scala dell universo sia descritta dalle equazioni della Relatività Generale di Einstein. Un altro fondamentale passo in avanti fu fatto da Weyl nel 1923 con l introduzione di un postulato, noto oggi col nome di Postulato di Weyl : le particelle del substrato (galassie) sono collocate su geodetiche dello spazio-tempo che divergono a partire da un unico punto nel passato finito o infinito. Ciò significa che tutte le traiettorie geodetiche delle galassie nello spazio tempo non si intersecano mai eccettuato un solo punto comune a tutte nel passato finito o infinito. Questo postulato è stato introdotto da Weyl prima della scoperta dell espansione dell universo da parte di Hubble. Per substrato si intendeva un mezzo immaginario (come un fluido) che definiva e seguiva la cinematica complessiva delle galassie (le particelle del substrato). La conseguenza diretta del postulato di Weyl è l esistenza di una sola geodetica che passa per ogni punto dello spazio-tempo, tranne che nell origine dove tutte le geodetiche si intersecano. Dopo aver adottato questo postulato è possibile assegnare un osservatore fondamentale ad ogni traiettoria nello spazio-tempo ovvero è possibile considerare un osservatore in ogni punto dello spazio-tempo che porta con sé un orologio che misura il tempo t apartiredal

28 28 Il Principio Cosmologico e la Metrica di Robertson & Walker punto singolare in cui tutte le traiettorie si intersecano: t è detto tempo cosmico ed è misurato da orologi che sono stati sincronizzati nell origine comune a tutte le geodetiche la cui esistenza è predetta dal postulato di Weyl. Prima di ottenere il framework in cui costruire il modello standard è necessaria un ulteriore assunzione, il cosiddetto Principio Cosmologico : non siamo osservatori collocati in una posizione particolare dell universo e, come corollario, possiamo quindi a ermare che: siamo collocati in una posizione tipica e qualsiasi altro osservatore fondamentale collocato in qualsiasi altra parte dell universo vedrebbe le stesse strutture su grande scala che vediamo noi ovvero la stessa espansione di Hubble, le stesse proprietà della CMB, la stessa struttura delle galassie su grande scala, ecc.). Come abbiamo già visto, la combinazione della legge di Hubble con l isotropia dell universo comporta che il sistema di galassie si espanda uniformemente e che ogni osservatore in ogni galassia veda la stessa espansione allo stesso tempo cosmico. La CMB, la struttura a grande scala delle galassie (con il clustering che va a zero su grande scala), e l ubiquità della struttura a spugna indicano proprio che il principio cosmologico è una assunzione ragionevole. Vedremo adesso come, combinando l omogeneità e l isotropia dell universo, la legge di Hubble e la metrica di Minkowski della Relatività Speciale, si arrivi ad ottenere la metrica di Robertson e Walker (RW) per un qualsiasi modello cosmologico, omogeneo, isotropo ed in espansione uniforme. 3.1 Spazi Curvi Isotropi Gli spazi non Euclidei nascono dalla scoperta che è possibile costruire una geometria autoconsistente senza il famoso V postulato di Euclide sulle rette parallele che si incontrano solo all infinito. Riemann fu colui che dette una solida base teorica alle geometrie non Euclidee mentre Einstein combinò la Relatività Speciale e la teoria della gravitazione tramite la geometria Riemanniana e il calcolo tensoriale per ottenere la teoria della Relatività Generale. Con la Relatività Generale era finalmente possibile costruire modelli autoconsistenti di universo. E possibile giungere alla metrica di RW senza passare per le complessità della geometria Riemanniana. Per capire quanto non Euclidea è la geometria in uno spazio bidimensionale, usiamo il trasporto parallelo dei vettori mantenendoci nello spazio bidimensionale. Cominciamo con il caso di geometria piana Euclidea e consideriamo il triangolo ABC ed il versore in A perpendicolare al lato AB: trasportiamolo parallelamente a se stesso in B; ruotiamolo di un angolo in senso antiorario rendendolo perpendicolare al lato BC; trasportiamolo parallelamente a se stesso in C; ruotiamolo di un angolo in senso antiorario rendendolo perpendicolare al lato AC; trasportiamolo parallelamente a se stesso in A; ruotiamolo di un angolo ` per riportarlo nella posizione iniziale in A.

29 3.1 Spazi Curvi Isotropi 29 A $+!! " " B # C # Figura 3.1: Trasporto parallelo di un vettore attorno ad un triangolo in un piano. A questo punto abbiamo e ettuato una rotazione totale in senso antiorario pari a 2 ovvero: rotazione totale 2 (3.1) e calcolando la rotazione totale come somma delle rotazioni in A, B e C otteniamo ` `p ` q 2 (3.2) Ovvero, per il triangolo ABC con una geometria piana (Euclidea) risulta ` ` (somma angoli interni triangolo ABC) (3.3) Consideriamo adesso il caso di una geometria curva come quella sulla superficie di una sfera (figura 3.2). Il triangolo ABC adesso è definito con il vertice A sul polo della sfera ed i vertici B e C sull equatore ; i lati AB e AC sono dei meridiani e l angolo BÂC è p a r i a. Come prima il versore in A è perpendicolare al lato AB ed e ettuiamo le seguenti operazioni: trasportiamolo parallelamente a se stesso in B; ruotiamolo di un angolo lato BC; {2 in senso antiorario rendendolo perpendicolare al trasportiamolo parallelamente a se stesso in C; ruotiamolo di un angolo lato AC; {2 insensoantiorariorendendoloperpendicolareal

30 3 Il Principio Cosmologico e la Metrica di Robertson & Walker A! "+! C $ "/2 "/2 # B Figura 3.2: Trasporto parallelo di un vettore attorno ad un triangolo su una superficie sferica. trasportiamolo parallelamente a se stesso in A; ruotiamolo di una angolo ` per riportarlo nella posizione iniziale in A. A questo punto abbiamo e ettuato una rotazione totale in senso antiorario pari a: rotazione totale ` ` ` 2 ` ` ` 2 ` (3.4) 2 come prima questa corrisponde alla somma degli angoli interni del triangolo più, ovvero che può essere riscritta e interpretata come ` `p ` q 2 ` (3.5) ` ` (somma angoli interni triangolo ABC) (3.6) La superficie del settore sferico AˆBC è pari a Sparea triangolo ABCq R 2 c (3.7) con R c raggio di curvatura. Per esempio, se 2 si ha 2 R 2 c (superficie della semisfera). Pertanto si può finalmente scrivere che nel caso del triangolo ABC su una superficie sferica ` ` 9 Sparea triangolo ABCq (somma angoli interni triangolo ABC) 9 Sparea triangolo ABCq (3.8)

31 3.1 Spazi Curvi Isotropi 31 Questo di erisce dal caso di triangolo sul piano (geometria euclidea) per cui ` ` (somma angoli interni triangolo ABC) Quindi è proprio il valore della somma degli angoli interni di un triangolo, sottratta di, che determina se la geometria è piatta o meno. La relazione 3.8 è u n a p r o p r i e t à generale degli spazi isotropi. Calcoliamo adesso qual è la somma degli angoli interni in una figura chiusa in uno spazio curvo isotropo. Con riferimento alla figura 3.3a, consideriamo 2 geodetiche g 1 e g 2 che partono dall origine O e che formano un angolo d piccolo tra loro. Siano A e B i punti su g 1 e g 2 adistanzar da O e si connettano con una curva la cui distanza da O sia r in ogni suo punto (ovvero preso un punto qualsiasi P della curva AB la distanza PO misurata lungo la geodetica è r). La curva AB è perpendicolare in A a g 1 ed in B a g 2. Si consideri anche una curva analoga ad AB ma a distanza r ` dr da O. Nello spazio euclideo avremmo per d piccolo (figura 3.3a): AB prq rd (3.9) questo non è più vero nello spazio non Euclideo dove scriveremo in generale AB prq fprqd (3.1) Prendiamo adesso un vettore di lunghezza dr in A tangente alla geodetica g 1 ovvero perpendicolare a AB e trasportiamolo in B parallelamente a se stesso. Il vettore formerà un angolo con la g 2. Nel caso di geometria piana si avrebbe ovviamente d. Per la regola 3.1 con cui calcoliamo la lunghezza degli archi possiamo scrivere Siccome dr è piccolo, possiamo scrivere pr ` drq prq` f pdrq (3.11) fpdrq fpq`f 1 pqdr (3.12) Questa espressione deve valere nel limite di uno spazio Euclideo in cui f prq r, ovvero f pdrq dr. Pertanto per consistenza con lo spazio Euclideo deve risultare f pq e f 1 pq 1, ovvero pr ` drq prq dr pr ` drq prq d prq dr dr df prq d dr (3.13) Muoviamoci adesso di una distanza x lungo le geodetiche g 1 e g 2 arrivando rispettivamente in C e D. Analogamente a prima ` pr ` x ` drq pr ` xq dr d d rfpr ` xqs (3.14) dr d d prq fprq`df x (3.15) dr dr

32 32 Il Principio Cosmologico e la Metrica di Robertson & Walker (a) O d! r A dr #(r) B dr g1 #(r+dr) " g2 "-! O (b) d! r r S1 A $(r) B "/2 # "/2+# g1 g2 (c) O d! r S1 A %x $(r) S2 B C g1 $(r+%x) # D g2 #+%# Figura 3.3: Trasporto parallelo di un vettore attorno ad un triangolo in uno spazio curvo isotropo.

33 3.1 Spazi Curvi Isotropi 33 ovvero sostituendo a il suo valore trovato precedentemente df prq d ` dr df prq d ` d d2 fprq dr dr 2 d2 fprq dr 2 xd (3.16) Verifichiamo nuovamente che questa relazione abbia senso per uno spazio Euclideo: ponendo f prq r nell espressione appena ottenuta (3.13) siottiene d che è proprio la relazione corretta. Da d 2 f{dr 2 si ottiene anche, come deve essere poichè i vettori trasportati in B e D sono paralleli tra loro e formano lo stesso angolo con g 2. Adesso dobbiamo trovare un modo per valutare. Nel trasporto parallelo sul triangolo sferico ABC abbiamo visto che psomma angoli interni triangolo ABC q ` ` 9 Sparea triangolo ABCq (3.17) che avevamo ricavato dimostrando che protazione totale vettore 2 q ` ` 9 Sparea triangolo ABCq (3.18) Con riferimento alla figura 3.3b, consideriamo il trasporto parallelo di un vettore perpendicolare a g 1 in O fino ad A; il vettore viene poi ruotato di un angolo {2 etrasportato parallelamente fino in B dove, per la curvatura dello spazio formerà una angolo con la geodetica g 2 perpendicolare ad AB. Ruotiamo quindi il vettore di {2` etrasportiamolo parallelamente in O dove lo ruoteremo nuovamente di d per sovrapporlo al vettore di partenza. La rotazione totale è {2 `p {2 ` q`p d q 2 ` d, pertanto possiamo scrivere dalla 3.8 p2 ` d q 2 9S 1 (3.19) Sempre in riferimento alla figura 3.3c, consideriamo anche la geodetica CD perpendicolare a g 1 e g 2 che dista x da AB. Ovviamente la lunghezza di CD è adesso pr` xq el angolo in D tra il vettore e g 2 è `. Analogamente a prima avremo p2 ` ` d q 2 9 S 2 (3.2) La costante di proporzionalità è la stessa nei due casi per l isotropia dello spazio. Prendendo la di erenza membro a membro si ottiene x 9 S (3.21) con S S 2 S 1 area del loop ABDC. Questa espressione fornisce la variazione dell angolo di deviazione dalla geodetica in uno spazio isotropo. Possiamo scrivere Ma sappiamo anche che ed avevamo trovato che per cui si ottiene infine l equazione k S (3.22) S prq x fprqd x (3.23) d2 f dr 2 x (3.24) d 2 fprq dr 2 kfprq (3.25)

34 34 Il Principio Cosmologico e la Metrica di Robertson & Walker con k costante di proporzionalità ed il segno - scelto per convenienza. l equazione di un moto armonico con soluzione fprq A sin `k r 1{2 ` B cos `k r 1{2 Questa è (3.26) che, per r Ñ sidevericondurreall espressionenelcasoeuclideoovverofprq r. Questo significa che se dr è p i c c o l o r i s p e t t o a l r a g g i o d i c u r v a t u r a d e l l o s p a z i o n o n c i r e n d i a m o conto della curvatura stessa. Pertanto r Ñ, fprq ÑA `k 1{2 r ` B Ñ r (3.27) Quindi perché fprq tenda a r si deve avere B ea k 1{2. La condizione di limite Euclideo comporta la soluzione fprq sinpk1{2 rq k 1{2 (3.28) con k che assume il significato di curvatura dello spazio e può essere k, k ek. Se k possiamoscriverek k 1 con k 1 e fprq sinhpk11{2 rq k 11{2 (3.29) Nel caso k invecefprq Ñr elasuaderivatasecondaènulla. Questi risultati appena ottenuti includono tutti i possibili spazi isotropi: k ovvero,spaziosferico k ovvero,spazioiperbolico k ovvero,spaziopiatto(euclideo) In termini geometrici possiamo scrivere R c k 1{2 (3.3) con R c raggio di curvatura di una sezione bidimensionale dello spazio curvo isotropo, che ha lo stesso valore per tutti i punti e le orientazioni nel piano. Spesso si scrive ˆ r fprq R c sin (3.31) ovvero siamo riusciti a esprimere fprq tramite la curvatura dello spazio. R c è r e a l e p e r geometrie sferiche chiuse, immaginario per quelle iperboliche aperte ed infinito nel caso Euclideo. L esempio più semplice di questo tipo di spazi è proprio la superficie sferica vista all inizio in cui R c è p r o p r i o i l r a g g i o d e l l a s f e r a. I l f a t t o c h e R c sia immaginario può essere interpretato in termini di raggi di curvatura uguali ma con segni diversi in direzioni diverse, come nel caso di una sella che permette di visualizzare le proprietà di uno spazio iperbolico al pari della sfera. Concludiamo questa parte ricordando che abbiamo ottenuto la regola con cui si misurano le distanze in direzione perpendicolare alla geodetica passante per l origine ovvero in seguito alla sola variazione dell angolo : fprq sin `k 1{2 r k 1{2 R c ˆ r R c sin R c (3.32)

35 3.2 La Metrica dello Spazio-Tempo per gli Spazi Curvi Isotropi 35 Questo risultato ci permette di calcolare lo spostamento infinitesimo dl dovuto ad uno spostamento dr lungo la geodetica radiale e ad uno spostamento infinitesimo prqd lungo la geodetica tangenziale come ˆ r dl 2 dr 2 ` prqd dr 2 ` Rc 2 sin 2 d (3.33) R c come vedremo, questo è proprio la metrica di uno spazio curvo isotropo bidimensionale. 3.2 La Metrica dello Spazio-Tempo per gli Spazi Curvi Isotropi In uno spazio Euclideo l elemento di linea, dl, ovvero la distanza tra due punti separati da variazioni infinitesime delle coordinate dx, dy, dz, è dl 2 dx 2 ` dy 2 ` dz 2 (3.34) Consideriamo adesso il caso più semplice di spazio isotropo curvo bidimensionale, la superficie della sfera, e determiniamo dl per una sistema di coordinate sulla superficie stessa. O " P dɸ! ɸ d! dɸ Figura 3.4: Coordinate sulla superficie della sfera, spazio curvo isotropo bidimensionale. Possiamo definire un sistema di riferimento ortogonale in ogni punto della sfera utilizzando le coordinate sferiche: le coordinate ortogonali sulla superficie della sfera sono,. L incremento della distanza sulla superficie della sfera al variare di è dl R c d (3.35)

36 36 Il Principio Cosmologico e la Metrica di Robertson & Walker con R c raggio della sfera. Quello al variare di è i n v e c e dl R c sin d (3.36) con R c sin raggio per movimenti lungo il parallelo identificato da. generico per variazioni di e è p e r t a n t o L incremento dl 2 R 2 cd 2 ` R 2 c sin 2 d 2 (3.37) dove i due termini rappresentano, rispettivamente, l incremento lungo la geodetica e perpendicolare ad essa. R c, raggio della sfera, è il raggio di curvatura del nostro spazio. Questa espressione è la metrica dello spazio bidimensionale e può essere scritta in forma tensoriale come dl 2 g µ dx µ dx (3.38) Un risultato fondamentale della geometria di erenziale è che g µ, tensore metrico, contiene tutte le informazioni sulla geometria intrinseca dello spazio. Il problema è che è possibile avere molti sistemi di riferimento per descrivere le coordinate di un punto su una qualsiasi superficie bidimensionale. Per esempio sul piano posso avere coordinate cartesiane e polari dl 2 dx 2 ` dy 2 dl 2 dr 2 ` r 2 d 2 (3.39) Come è possibile determinare la curvatura intrinseca di uno spazio a partire da g µ e indipendentemente dal sistema di riferimento? Gauss fu il primo a trovare la soluzione per questo problema. Per esempio, nel caso di un tensore metrico bidimensionale che si può ridurre a forma diagonale come quelli visti fino ad ora, si ha " 1 k B2 g 11 B2 g 22 2g 11 g 22 Bx 2 2 Bx 2 1 «` 1 2 Bg 11 Bg 22 ˆBg11 ` 2g 11 Bx 1 Bx 1 Bx 2 «` 1 2 Bg 11 Bg 22 ˆBg11 ` 2g 22 Bx 2 Bx 2 Bx 1 con k che rappresenta la Curvatura Gaussiana della superficie. Consideriamo (3.4) dl 2 dr 2 ` r 2 d 2 g 11 dr 2 ` g 12 drd ` g 21 drd ` g 22 d 2 (3.41) per cui g µ ˆ 1 r 2 ovvero, svolgendo i calcoli, si ottiene k. Invece con (3.42) dl 2 R 2 cd 2 ` R 2 c sin 2 d 2 (3.43)

37 3.2 La Metrica dello Spazio-Tempo per gli Spazi Curvi Isotropi 37 si ha g µ ˆ R2 c R 2 c sin 2 (3.44) ovvero, svolgendo i calcoli, si ottiene k 1{R 2 c. In generale negli spazi curvi k varia da punto a punto ma la metrica ottenuta per la superficie sferica ha curvatura k R 2 c in tutti i punti della superficie: pertanto questa metrica risulta essere la metrica di uno spazio bidimensionale isotropo. L estensione della metrica bidimensionale sferica agli spazi tridimensionali isotropi è immediata se consideriamo che ogni sezione bidimensionale di uno spazio curvo isotropo deve essere essa stessa uno spazio bidimensionale isotropo, di cui già conosciamo il tensore metrico. Abbiamo appena ottenuto il sistema di riferimento naturale per uno spazio bidimensionale isotropo, ovvero un sistema polare in cui si misura la distanza apartiredall origine O, e l angolo misura la rotazione rispetto ad una direzione di riferimento. Consideriamo il sistema di riferimento sulla superficie della sfera; avevamo trovato che dl 2 R 2 cd 2 ` R 2 c sin 2 d 2 (3.45) eladistanza da O è R c cioè d 1 R c d (3.46) la misura dell arco che si ottiene variando di una quantità d può essere trovata dalla con la 3.45 ma anche con la regola 3.32 che abbiamo appena trovato ovvero ˆ R c sin d fp qd R c sin d (3.47) R c si noti come questa espressione risulti anche dalla semplice sostituzione di {R c in R c sin. Pertanto l elemento di linea è ˆ dl 2 d 2 ` fp q 2 d 2 d 2 ` Rc 2 sin 2 d 2 (3.48) R c è l a d i s t a n z a m i n i m a t r a O e P sulla superficie della sfera ed è pertanto la distanza geodetica tra O e P nello spazio curvo isotropo. Le geodetiche sono l equivalente delle rette negli spazi piani. Al posto di possiamo utilizzare un altra misura di distanza ˆ x R c sin (3.49) R c da cui dx 2 dx 2 ˆ 1 sin 2 «ˆ 2 x 1 R c R c d 2 d 2 dx 2 1 kx 2 d 2 (3.5)

38 38 Il Principio Cosmologico e la Metrica di Robertson & Walker con k 1{R 2 c. E quindi possibile ricavare d da dx elametricadiventa dl 2 Si noti l interpretazione della distanza x fornita dalla relazione dx2 1 kx 2 ` x2 d 2 (3.51) dl xd (3.52) dove xd rappresenta la distanza propria perpendicolare alla coordinata radiale. Pertanto x è l espressione corretta del raggio da utilizzare per il calcolo della lunghezza di un arco che sottende un angolo d alla distanza geodetica da O con ˆ x R c sin (3.53) x è nota come distanza angolare in cosmologia perché fornisce il valore corretto per il calcolo della lunghezza di un segmento perpendicolare alla linea di vista da O. Si possono usare indi erentemente o x ma se usiamo x, l incremento della distanza geodetica, ovvero lungo una geodetica, è dato da d dove k 1{R 2 c è l a c u r v a t u r a c h e p u ò e s s e r e k perlospaziosfericocomequelloappenadiscusso; k perunospaziopiatto,incuir c Ñ8; k perunospazioiperbolico. R c dx p1 kx 2 q 1{2 (3.54) Adesso possiamo passare a scrivere l incremento spaziale dl in un qualsiasi spazio curvo isotropo tridimensionale. Il trucco è che qualsiasi sezione bidimensionale deve essere uno spazio isotropo per il quale la metrica è ˆ dl 2 d 2 ` Rc 2 sin 2 d 2 (3.55) R c oppure dl 2 dx2 1 kx ` 2 x2 d 2 (3.56) Per estrapolare dallo spazio bidimensionale allo spazio tridimensionale possiamo pensare al passaggio tra le coordinate polari nel piano r, (ovvero quelle che otteniamo per k ) dl 2 dx 2 ` x 2 d 2 (3.57) alle coordinate sferiche r,, sempre in uno spazio piatto dl 2 dx 2 ` x 2 `d 2 ` sin 2 d 2 Per cui viene naturale pensare alla trasformazione da x, dl 2 (3.58) dx2 1 kx 2 ` x2 d 2 (3.59)

39 3.3 La Metrica di Robertson-Walker 39 a x,, dl 2 dx2 1 kx ` `d 2 x2 2 ` sin 2 d 2 (3.6) Ponendo k siritrovanoicasiprecedentidicoordinatepolariesfericheingeometria piana. Analogamente considerando la distanza lungo la geodetica si passa da, ˆ dl 2 d 2 ` Rc 2 sin 2 d 2 (3.61) R c a,, ˆ dl 2 d 2 ` Rc 2 sin `d 2 2 ` sin 2 d 2 R c (3.62) A questo punto possiamo scrivere la metrica di Minkowski dello spazio tempo in un qualsiasi spazio curvo tridimensionale ds 2 dt 2 1 c 2 dl2 (3.63) Ricordiamo nuovamente di stare attenti al diverso significato che le distanze e x hanno: è l a d i s t a n z a m i s u r a t a l u n g o l a g e o d e t i c a p a s s a n t e p e r l o r i g i n e d e l s i s t e m a d i riferimento; x è la distanza angolare ovvero la distanza misurata perpendicolarmente alla geodetica passante per l origine Tra le due vale la relazione d dx p1 kx 2 q 1{2 (3.64) 3.3 La Metrica di Robertson-Walker Per poter applicare la metrica ds 2 dt 2 1 c 2 dl2 dl 2 d 2 ` R 2 c sin 2 ˆ R c `d 2 ` sin 2 d 2 (3.65) agli spazi omogenei ed isotropi abbiamo bisogno del principio cosmologico ovvero del fatto che non siamo in una posizione particolare dell universo; concetto di osservatore fondamentale e tempo cosmico. Considerati dei modelli di universo omogeneo ed isotropo, definiamo un insieme di osservatori fondamentali che si muovono in modo tale che l universo appaia loro sempre omogeneo ed isotropo. Ogni osservatore ha un orologio e misura un tempo proprio detto tempo cosmico. Gli orologi sono sincronizzati tra loro grazie al postulato di Weyl secondo cui le geodetiche di tutti gli osservatori nello spazio tempo si intersecano in un

40 4 Il Principio Cosmologico e la Metrica di Robertson & Walker punto nel passato che è l origine del riferimento; il tempo cosmico è misurato proprio rispetto a quel punto per il quale t. La metrica può quindi essere scritta nella forma ds 2 dt 2 1 ˆ 2 d 2 ` R 2 c 2 c sin `d 2 2 ` sin 2 d (3.66) R c con t tempo cosmico, R c raggio di curvatura e d incremento di distanza propria nella direzione radiale (ovvero lungo la geodetica passate per l osservatore e l origine). C è però un problema nell applicare la metrica ad un universo in espansione. t (tempo cosmico) t r (distanza) t1 t = world line galassia a t1 cono di luce passato Figura 3.5: Cono luce passato e world line di una galassia osservata per t t 1. Dal momento che la luce viaggia con velocità finita c, osserviamo solo gli oggetti che sono collocati sul cono di luce passato che è centrato sulla Terra all epoca attuale t t. Quindi, quando osserviamo un oggetto distante, lo osserviamo ad un epoca t t 1 t quando l universo era omogeneo ed isotropo ma le distanze tra gli osservatori erano più piccole e la curvatura spaziale diversa. Il problema è che noi possiamo applicare la metrica ds 2 solo ad uno spazio curvo isotropo definito ad un unica epoca. Per risolvere questo problema ricorriamo al seguente esperimento concettuale (thought experiment): per misurare la distanza propria d da mettere nella metrica consideriamo una serie di osservatori fondamentali collocati tra noi e la galassia G la cui distanza vogliamo misurare. Quando tutti questi osservatori si ritrovano nell origine al tempo t, ricevono l istruzione di misurare la distanza d dall osservatore immediatamente vicino al tempo t, determinato dal suo orologio. Tutte queste misure vengono poi inviate anoiepertanto,sommando,tuttiid ricevuti possiamo determinare all epoca t e questo può essere inserito nella metrica. Si noti che questa è in realtà una distanza fittizia e in pratica non si possono misurare le distanze così. Noi osserviamo le galassie distanti in un epoca precedente alla nostra ma non sappiamo come proiettare le loro posizioni all epoca attuale, ovvero non conosciamo la loro world line. Quindi la distanza

41 3.3 La Metrica di Robertson-Walker 41 dipende in e etti dalla scelta del modello cosmologico che determina le world lines delle galassie, a loro volta determinate dall espansione dell universo. Vediamo adesso come cambiano le coordinate delle galassie in un universo in espansione uniforme. Le definizione di espansione uniforme che abbiamo già visto è che le distanze tra noi e due qualsiasi osservatori i e j misurate a due qualsiasi istanti t 1 e t 2 cambiano mantenendo costante il loro rapporto i pt 1 q j pt 1 q ipt 2 q j pt 2 q costante 1 (3.67) ovvero portando gli i a primo membro e i j al secondo si ottiene i pt 1 q i pt 2 q jpt 1 q j pt 2 q costante 2 (3.68) poichè questa relazione deve essere valida per ogni coppia i, j e t 1,t 2, l unica possibilità è che i pt 1 q i pt 2 q jpt 1 q j pt 2 q costante 2 apt 1q (3.69) apt 2 q dove aptq, per i modelli isotropi di universo, è una funzione universale nota come fattore di scala e che descrive come le distanze relative tra due qualsiasi osservatori varino nel tempo. Poichè abbiamo la libertà di scegliere la normalizzazione di aptq poniamo apt q 1 (3.7) ovvero il fattore di scala è unitario all epoca attuale. Definiamo poi la distanza r come il valore di misurato all epoca attuale quindi tale che ptq aptq r (3.71) r diventa quindi un etichetta di distanza per indicare un osservatore fondamentale mentre la variazione temporale della sua distanza propria è presa in carico da aptq. r è l a coordinata di distanza radiale comovente, o distanza comovente. Si noti come definita secondo l equazione 3.71 soddisfi la condizione di espansione uniforme. Anche le distanze proprie nella direzione perpendicolare alla linea di vista devono cambiare di una fattore aptq tra t e t per l omogeneità e isotropia dell universo ovvero lptq lpt q aptq apt q aptq (3.72) ma abbiamo ds 2 dt 2 1 ˆ 2 ptq d 2 ` R c 2 c ptq 2 sin `d 2 2 ` sin 2 d R c ptq (3.73) che più sinteticamente possiamo scrivere con ds 2 dt 2 1 c 2 d 2 ` R c ptq 2 sin 2 ˆ ptq R c ptq d! 2 `d 2 ` sin 2 d 2 d! 2 (3.74) (3.75)

42 42 Il Principio Cosmologico e la Metrica di Robertson & Walker La distanza angolare è pertanto lptq R c ptq sin ˆ ptq R c ptq! (3.76) Si noti come si sia messa in evidenza la dipendenza temporale ptq e R c ptq. Considerando la 3.72 deve pertanto risultare R c ptq sin ptq R c pt q sin R cptq pt q R cpt q Sfruttando il fatto che ptq aptqr erielaborandosiottiene R c ptq aptqr aptq sin r R c pt q sin R c ptq R c pt q aptq (3.77) (3.78) questa uguaglianza deve essere valida per ogni t. Poichè il secondo membro non dipende da t l unica possibilità è che R c ptq aptqr c pt q (3.79) cioè anche il raggio di curvatura dello spazio deve essere proporzionale a aptq. Quindi, per mantenere l omogeneità e l isotropia dell universo, la curvatura deve cambiare con l espansione secondo k R 2 c 9 aptq 2 (3.8) k però non può cambiare segno per cui il tipo di geometria (sferica, iperbolica o piatta) rimane sempre lo stesso. Definiamo adesso R come il raggio di curvatura all epoca attuale pertanto il raggio di curvatura al tempo t è R R c pt q (3.81) R c ptq aptqr (3.82) equindi, sostituendoanche ptq aptqr, la metrica diventa ds 2 dt 2 1 r 2 ı aptq 2 dr 2 ` aptq 2 R 2 sin `d 2 2 ` sin 2 d c 2 R efinalmenteotteniamo ds 2 dt 2 aptq2 r 2 ı dr 2 ` R 2 sin `d 2 2 ` sin 2 d c 2 R (3.83) (3.84) questa è la metrica di Robertson-Walker per un qualsiasi universo omogeneo ed isotropo in espansione uniforme. E possibile riscrivere questa metrica in modo diverso utilizzando, ad esempio, la distanza angolare comovente r r R sin R r dr 2 cos 2 R dr 2 dr 2 1 sin 2 r R ı r 2 dr 2 1 dr 2 R

43 3.3 La Metrica di Robertson-Walker 43 ponendo k R 2 si ottiene ovvero la metrica nella forma ds 2 dt 2 aptq2 c 2 dr 2 1 kr 2 dr 2 (3.85) 2 dr 2 ` r 2 1 kr 2 `d 2 ` sin 2 d con il cambio di variabili r 2 kr 2 la metrica diviene infine (3.86) ds 2 dt 2 R2 cptq c 2 «dr 2 1 r 2 ` r2 `d 2 ` sin 2 d 2 (3.87) con R c ptq Raptq raggio di curvatura dello spazio al tempo t che vale quindi R per t t, ovvero al tempo attuale. L importanza delle metriche viste fin qui è che permettono di definire un intervallo invariante ds tra eventi ad una qualsiasi epoca o con una qualsiasi collocazione nello spazio. Ricordiamo che nella metrica ds 2 dt 2 aptq2 r 2 ı dr 2 ` R 2 sin `d 2 2 ` sin 2 d c 2 R (3.88) t è i l t e m p o c o s m i c o m i s u r a t o d a u n o s s e r v a t o r e f o n d a m e n t a l e a p a r t i r e d a l m o m e n t o in cui tutte le geodetiche si incrociano; r è la distanza radiale comovente che è fissata per ogni galassia ed è indipendente dal tempo; r rappresenta la distanza propria verso una galassia misurata al tempo t ed è quindi una estrapolazione poichè la galassia viene osservata ad un tempo t 1 precedente a t ; aptqdr è l elemento di distanza propria (o geodetica) nella direzione radiale all epoca t; aptqr sinpr{rqd aptqr d è l elemento di distanza propria perpendicolare alla direzione radiale e sottesa dall angolo d come vista dall origine; aptqr sinpr{rq sin d aptqr sin d è l e l e m e n t o d i d i s t a n z a p r o p r i a n e l l a d i r e - zione d. Da notare che fino ad ora non abbiamo ancora specificato nulla relativamente alla fisica che determina il tasso di espansione dell universo: questa è tutta dentro la funzione aptq. Tuttavia, qualsiasi sia la fisica che determina aptq, la metrica RW permette solo 3 tipi di geometrie e queste sono fissate ad ogni t poichè la curvatura varia come k 9 aptq 2. In conclusione è importante precisare quanto segue: la metrica di RW ovvero quella che descrive un universo omogeneo ed isotropo in espansione uniforme [ ptq aptqr] vale solo sulle scale per cui l assunzione di omogeneità e isotropia è valida. Ovvero la metrica di RW vale solo sulle scale su cui la CMB e la distribuzione delle galassie sono uniformi.

44 su scale più piccole l universo non è omogeneo ed isotropo; per esempio nei dintorni di una stella la metrica sarà quella di Schwarzschild (ovvero la metrica attorno ad una distribuzione sferica di massa) e pertanto nel passare dalle grandi scale alle piccole scale (quelle di una stella) la metrica si dovrà trasformare da quella RW a quella di Schwarzschild. Questo significa anche che, su piccole scale, la gravità è dominata dalle stelle (o dalle galassie) e non dall universo nel suo insieme. Pertanto sulle piccole scale non ci sarà l espansione cosmologica vista da Hubble. Una galassia è tenuta insieme dalla sua gravità, pertanto non si espande. Allo stesso modo la distanza Terra-Sole non varia, il metro campione non si espande e l atomo non si espande. L espansione si ha solo su grande scala quando le forze gravitazionali (o elettromagnetiche) che ci sono su piccola scala sono trascurabili.

45 Capitolo 4 Osservazioni in Cosmologia Molti dei più importanti risultati che permettono di collegare le proprietà intrinseche degli oggetti distanti a quelli osservati sono indipendenti dallo specifico modello cosmologico ovvero da aptq 4.1 Il Redshift Cosmologico Se e è la lunghezza d onda di emissione e o è la lunghezze d onda osservata, il redshift cosmologico è dato da z o e e (4.1) interpretato in termini di e etto Doppler come velocità di recessione di una galassia si avrebbe ˆ o v c 1 (4.2) da cui la legge di Hubble v H r.sez 1allorav c ma in questo caso non è c o r r e t t o usare la formula relativistica dell e etto Doppler perché v 9 r si applica sempre: v non è una velocità vera con cui si possa trasmettere il segnale ma è il risultato dell espansione dell universo. Consideriamo un pacchetto d onda di frequenza 1 che è stato emesso nell intervallo di tempo cosmico compreso tra t 1 e t 1 ` t 1 ; lo stesso pacchetto verrà osservato a frequenza nell intervallo di tempo cosmico compreso tra t e t ` t. Poichè il segnale si propaga lungo il cono luce allora ds 2 ; inoltre la propagazione è radiale ovvero lungo la geodetica che ci unisce al luogo di emissione, pertanto d, d. Dalla metrica di RW si ottiene allora ovvero ds 2 dt 2 aptq2 r 2 ı dr 2 ` R 2 sin `d 2 2 ` sin 2 d c 2 R e dt 2 aptq2 c 2 dr 2 (4.3) dt aptq dr Ñ dr cdt c aptq (4.4) dove si deve notare che il segno - deriva dal fatto che durante il viaggio dei fotoni dt deve aumentare (scorrere del tempo) e dr deve diminuire (i fotoni si avvicinano a noi

46 46 Osservazioni in Cosmologia che siamo nell origine del riferimento per t t ); aptqdr è s e m p l i c e m e n t e l i n t e r v a l l o d i distanza propria al tempo cosmico t. L inizio del pacchetto d onda parte per t t 1, percorre un tratto r ed arriva per t t per cui deve valere ª r ª t dr t 1 cdt aptq (4.5) Analogamente la fine del pacchetto d onda parte per t t 1 ` t 1, percorre lo stesso tratto r ed arriva per t t ` t con t che indica le durate del pacchetto emesso e del pacchetto osservato: ª ª t` t cdt dr (4.6) r t 1` t 1 aptq Iprimimembridelledueespressionisonougualipercuidevevalere ª t` t ª cdt t t 1` t 1 aptq t 1 cdt aptq (4.7) ovvero, considerando gli estremi di integrazione Zª t ª ZZ cdt t` t t 1 aptq ` ZZ t ª cdt t1` t 1 aptq t 1 ª t cdt aptq Z Z cdt ZZ t 1 aptq Z (4.8) Poichè la durata del pacchetto d onda è trascurabile rispetto al tempo cosmico ( t 1! t 1, t! t )sipuòscrivere c t apt q c t 1 apt 1 q (4.9) ed alla fine, dato che apt q 1, si ottiene t t 1 apt 1 q (4.1) questa è l espressione cosmologica del fenomeno della dilatazione dei tempi; un fenomeno avvenuto su tempo scala t 1 in una galassia distante, viene osservato avvenire su un tempo scala t più lungo poichè apt 1 q 1. Questo è lo stesso fenomeno della dilatazione dei tempi nella Relatività Speciale. Adesso possiamo ottenere il legame tra redshift e fattore di scala, infatti, la durata del pacchetto d onda è legata alla frequenza da cui risulta t ; t 1 (4.11) 1 apt 1 q; 1 apt 1 q (4.12) Confrontandolo con la (4.1) ericordandoche o, 1 e, si ottiene z apt q ovvero aptq 1 z ` 1 (4.13) questa è una delle più importanti relazioni in cosmologia e mostra il vero significato fisico di z: il redshift è una misura del fattore di scala al momento dell emissione del fotone. Per esempio, osservare una galassia a z 3significaosservarlaquandol universoaveva

47 4.1 Il Redshift Cosmologico 47 L(t) LMAX LMAX/2 w Figura 4.1: Curva di luce media delle supernovae di tipo Ia. aptq 1{4 e le distanze tra gli osservatori fondamentali erano un fattore 4 più piccole di quelle attuali. E importante notare come la conoscenza di z porti a conoscere aptq ma non il tempo t acuiquestocorrisponde. Sepotessimoconosceret potremmo ricavare la funzione aptq direttamente dalla osservazioni e non dai modelli. Un altra conseguenza importante di quanto visto fino ad ora è l espressione per la distanza radiale comovente di una galassia osservata a tempo t 1 : r ª t t 1 c dt aptq (4.14) r è u n a d i s t a n z a artificiale che dipende da come si è espanso l universo. L espressione per la dilatazione dei tempi t t 1 {apt 1 q ovvero t t 1 p1 ` zq (4.15) fornisce la possibilità di un test osservativo per la metrica RW. Le supernovae di tipo Ia si originano per l esplosione di nane bianche in sistemi binari, dopo che l accrescimento di massa della compagna le ha portate oltre il limite di Chandrasekhar: il collasso che si genera porta all accensione delle reazioni di bruciamento del Carbonio in un ambiente dominato dalla pressione di degenerazione degli elettroni, che è quindi indipendente dalla temperatura. Si innesta quindi una reazione a catena (runaway process) cheportainfineall esplosionedellasupernova. Poichèilprocessofisico è s e m p r e l o s t e s s o ( e s p l o s i o n e d i n a n a b i a n c a c o n m a s s a d i p o c o s u p e r i o r e a l l i m i t e d i Chandrasekhar), le supernovae di tipo Ia sono candele standard: hanno curve di luce con la stessa forma (con solo una piccola dispersione) e la stessa luminosità al picco. La figura 4.1 mostra la curva di luce di una supernova di tipo Ia; sia w la sua larghezza a metà altezza.

48 48 Osservazioni in Cosmologia w osservata s = w/(1+z) (1+z) A. Marconi Cosmologia (213/214) Figura 4.2: In alto: durata (stretch) w delle curve di luce di supernovae a distanze cosmologiche. In basso: le durate del pannello alto sono state divise per p1 ` zq e, come atteso, sono diventate costanti.

49 4.2 La legge di Hubble 49 Posso misurare la durata w delle curve di luce delle supernovae di tipo Ia a vari redshift cosmologici; queste durate dovrebbero essere allungate di un fattore p1 ` zq. La figura 4.2 mostra le larghezze osservate w delle supernovae di tipo Ia (alto) e dopo che sono stati corrette per la dilatazione cosmologica dei tempi, ovvero divise per p1 ` zq. Come si vede dalle figure in alto ed in basso, le durate delle supernovae sono state allungate dall espansione cosmologica dei tempi e dopo la correzione per questo e etto sono diventate praticamente costanti entro gli errori di misura, come ci aspettavamo dall essere candele standard. In e etti, la curva di luce in figura 4.1 è stata ottenuta mettendo insieme le curve di luce di supernovae a vari z ma sempre dopo aver corretto per la dilatazione cosmologica dei tempi. 4.2 La legge di Hubble La legge di Hubble è v H D (4.16) con D distanza della galassia. Per quanto detto fino ad ora, la distanza della galassia D deve corrispondere alla distanza propria ovvero alla distanza misurata lungo la geodetica che unisce noi alla galassia osservata; v è p r o p r i o l a v a r i a z i o n e c o n i l t e m p o d i q u e s t a distanza propria. Poichè la legge di Hubble deve valere per qualsiasi osservatore a qualsiasi tempo possiamo scrivere che al tempo t si ha d dt Hptq ptq (4.17) ovviamente H Hptq per t t si ottiene H Hpt q H. Passando alle coordinate comoventi ptq aptq r (4.18) si ottiene ovvero Ar daptq dt Hptqaptq A r (4.19) Hptq 9aptq aptq Dal momento che H è m i s u r a t a a l l e p o c a a t t u a l e i n c u i apt q 1, risulta che ovvero H è i l t a s s o d i e s p a n s i o n e a t t u a l e d e l l u n i v e r s o. (4.2) H 9apt q (4.21) 4.3 Diametri angolari La metrica RW scritta con la coordinata comovente r ds 2 dt 2 aptq2 r 2 ı dr 2 ` R 2 sin `d 2 2 ` sin 2 d c 2 R tale che ptq aptqr, ci permette di trovare facilmente le dimensioni di un oggetto di lunghezza propria d perpendicolare alla coordinata radiale al redshift z. Supponiamo,per

50 5 Osservazioni in Cosmologia semplicità, che le geodetiche passanti per l origine (ovvero per l osservatore) e delimitanti l oggetto formino un angolo d con d =. La lunghezza propria d dell oggetto si ottiene dalla metrica per la sola variazione di di un angolo pari a ovvero r d aptqr sin R aptqd D 1 ` z (4.22) dove si è sfruttato che aptq 1{pz ` 1q. L angolo sotto cui l osservatore vede la lunghezza propria d è pertanto dp1 ` zq D (4.23) con D misura di distanza r D R sin R (4.24) Per piccoli redshift, z! 1, si ha r! R (ovvero R Ñ8perché la geometria tende ad essere Euclidea, cioè piatta) e pertanto» dp1 ` zq R pr{rq» d r (4.25) che non è altro che la relazione Euclidea tra raggio, angolo ed arco sotteso. In conclusione si può scrivere d (4.26) D A con D A D 1 ` z R sinpr{rq 1 ` z (4.27) distanza angolare, definita proprio per avere una relazione tra e d simile alla relazione Euclidea. E utile calcolare il diametro angolare di un oggetto che continua a far parte dell espansione dell universo, ovvero che continua ad espandersi con esso. Questo è proprio il caso delle perturbazioni infinitesime di densità che si osservano sulla CMB, oppure è il diametro angolare che le strutture su grande scala esistenti oggi avrebbero avuto ad un epoca precedente, se si fossero espanse con l universo. Questo calcolo ci servirà per poter calcolare le dimensioni che hanno oggi le strutture che osserviamo sulla CMB, ovvero determinate scale angolari di oggetti a z 15. Un oggetto la cui scala fisica oggi è dpt q echesièespansoconl universo,avràavuto una scala a z pari a dptq dpt qaptq dpt q (4.28) 1 ` z L angolo sotto cui la scala dptq è v i s t a o g g i è ovvero dptqp1 ` zq D dpt q 1 ` z 1 ` z D dpt q D notare come in questo caso sia sparito il fattore 1 ` z. dpt q D (4.29) (4.3)

51 4.4 Intensità apparente, flusso e luminosità Intensità apparente, flusso e luminosità Consideriamo una sorgente a redshift z con luminosità specifica Lp q alla frequenza 1 [Lp q E t 1 1 ]. Vogliamo trovare il flusso osservato Sp q alla frequenza apt 1 q 1 1 {pz ` 1q che un osservatore misura per t t [Sp q E A 1 t 1 1 ]. La sorgente emette Np 1 q fotoni di energia h 1 nella banda 1, 1 ` 1 nel tempo proprio t 1, ovvero: Lp 1 q Np 1q h 1 1 t 1 (4.31) I fotoni emessi dalla sorgente sono distribuiti isotropicamente su una sfera centrata sulla sorgente a t 1 e, quando arrivano all osservatore a t, solo una frazione di essi è intercettata dal telescopio. I fotoni giunti a t hanno una frequenza: esonoosservatiperuntempoproprio 1 z ` 1 (4.32) nella banda di frequenza t t 1 apt 1 q t 1 p1 ` zq (4.33) 1 z ` 1 (4.34) Se il telescopio ha diametro l esottendeunangolosolido come visto dalla sorgente a t 1 si ha Sp q Np ˆ q h 1 ˆ ˆ t 4 p l{2q 2 (4.35) dove p {4 q è la frazione dei fotoni emessi dalla sorgente ed intercettati dal telescopio, p l{2q 2 è l a r e a d e l t e l e s c o p i o. Galassia t = t1!"!l Osservatore t = to Diametro telescopio Figura 4.3: Traiettorie geodetiche dei fotoni che intercettano i bordi del telescopio. Per trovare bisogna innanzitutto considerare che il telescopio non partecipa all espansione dell universo perché le forze di legame che tengono insieme gli atomi/molecole del materiale che lo costituiscono sono molto maggiori della gravità. Inoltre l angolo è d a t o d a ˆ 2 (4.36) 2

52 52 Osservazioni in Cosmologia L angolo è quello formato dalle due geodetiche che partono dalla galassia a t 1 eportano ai punti diametralmente opposti dello specchio del telescopio di diametro l: tutte le geodetiche dei fotoni intercettati dal telescopio saranno comprese tra queste due geodetiche limite (figura 4.3). Pertanto l angolo è proprio quello che sottende il diametro del telescopio come visto dalla galassia al tempo di arrivo dei fotoni t. Per determinare si può ricorrere alla metrica RW ds 2 dt 2 aptq2 r 2 ı dr 2 ` R 2 sin `d 2 2 ` sin 2 d c 2 R tenendo presente che la distanza x perpendicolare alla geodetica è data da r x aptqr sin (4.37) R Per avere il diametro del telescopio l sotteso dall angolo basta imporre che x l e t t, tempo cosmico a cui si trova il telescopio. Ovvero si ottiene r l R sin D (4.38) R con D misura di distanza e pertanto ˆ 2 ˆ 2 l 2D 2 (4.39) Infine, sostituendo nella (4.35), si ottiene Sp q Np 1q h 1 { p1 ` zq 1 { p1 ` zq t 1 p1 ` zq ˆ 1 ˆ l 2 1 ˆ (4.4) 4 4D 2 {4 l 2 dove si può facilmente riconoscere che Sp q Lp 1 q 4 D 2 p1 ` zq (4.41) Se ripetiamo l analisi con le quantità bolometriche, ovvero integrate su, possiamo scrivere sfruttando la formula appena trovata ovvero L bol da cui si ottiene infine ª `8 Lp 1 qˆd 1 ª `8 4 D 2 p1 ` zqsp qˆp1 ` zqd (4.42) ª `8 L bol 4 D 2 p1 ` zq 2 Sp qˆd 4 D 2 p1 ` zq 2 S bol (4.43) S bol L bol 4 D 2 p1 ` zq 2 avendo definito la distanza di luminosità D L pari a L bol 4 D 2 L (4.44) D L p1 ` zq D (4.45) per avere un espressione analoga alla legge dell inverso del quadrato (S L{4 D 2 )inuno spazio piatto. Si noti come il fattore p1 ` zq 2 determini una diminuzione della brillanza

53 4.5 Densità numerica di sorgenti 53 superficiale all aumentare del redshift ( dimming cosmologico ). Ricordando l espressione per la distanza angolare, D A D{p1 ` zq, se ne deduce infine la relazione tra le distanze angolari e di luminosità D L p1 ` zq 2 D A (4.46) Ricordando la (4.44) èanchepossibilescrivere Sp q Lp q 4 D L 2 Lp 1 q p1 ` zq Lp q (4.47) che permette di mettere in collegamento diretto la luminosità ed il flusso a. Questa però richiede la conoscenza dello spettro della sorgente ed il termine tra r...s è d e t t o k-correction. Questo termine era stato introdotto negli anni 3 per correggere l e etto cosmologico sui flussi. Infatti possiamo scrivere in magnitudini assolute M erelativem: ovvero con M 2.5logLp q`cost. m 2.5logSp q`cost. 1 M m 5logD L kpzq 2.5logp4 q (4.48) Lp 1 q kpzq 2.5log p1 ` zq Lp q k-correction utilizzata per correggere le magnitudini ovvero i flussi monocromatici. 4.5 Densità numerica di sorgenti (4.49) Spesso è necessario conoscere il numero di oggetti in un particolare intervallo di redshift z,z ` dz. Poichè c è una relazione biunivoca tra r e z r ª t t 1 cdt aptq ª t t 1 cr1 ` zptqsdt (4.5) il problema è semplice perché, per definizione, r è la distanza radiale propria definita all epoca attuale e pertanto possiamo lavorare interamente in termini di volumi comoventi all epoca attuale, in cui il raggio di curvatura è R. Il volume di una shell sferica di spessore dr eraggior (entrambe grandezze comoventi) è pertanto dv da ˆ dr 4 R 2 sin 2 r R dr 4 D 2 dr (4.51) con da ottenuto ovviamente tramite le lunghezze perpendicolari alla linea di vista. Se N è la densità di sorgenti all epoca attuale ed il loro numero si conserva durante l espansione dell universo possiamo scrivere dn Npzqdz N 4 D 2 dr (4.52) questa relazione permette di ottenere Npzq, numero di oggetti tra z e z ` dz, assumendo che resti costante e che quindi la densità comovente N resti invariata durante l espansione dell universo. Se ci fosse una variazione, potremmo considerare la funzione f pzq tale che la densità comovente sia fpzqn epertanto dn Npzqdz N fpzq4 D 2 dr (4.53)

54 4.6 L età dell universo Come abbiamo visto precedentemente, dalla metrica di RW con ds 2, d d (propagazione radiale dei fotoni) abbiamo ovvero possiamo ottenere l età attuale dell universo T dt aptq dr (4.54) c ª t dt ª rmax aptqdr c (4.55) dove r max è l a c o o r d i n a t a r a d i a l e c o m o v e n t e c h e c o r r i s p o n d e a apq, ovvero a z Riassunto Quanto visto fino ad ora può essere utilizzato per collegare le osservazioni alle proprietà intrinseche degli oggetti. In sintesi si deve: 1. ricavare da un modello cosmologico aptq elacurvaturaall epocaattualek R 2 ; nota aptq possiamo anche ottenere la relazione t tpzq ovvero la relazione tra redshift e tempo cosmico; generalizzando la (4.55) siottiene tpzq ª t dt 1 ª r apt 1 qdr c con r distanza comovente della galassia osservata al tempo t. 2. ricavare la coordinata radiale comovente dalla relazione rpzq ª t t 1 cdt aptq (4.56) equestasignificachedl cdt, la distanza propria all epoca t, è trasformata di un fattore aptq all epoca presente; questa relazione fornisce r rpzq; 3. ricavare la misura di distanza dalla relazione ˆrpzq Dpzq R sin R 4. ricavare la distanza angolare e la distanza di luminosità D A Dpzq 1 ` z D L Dpzqp1 ` zq 5. ricavare il numero di oggetti dn osservati tra z, z ` dz nell angolo solido d dn N D 2 dr (4.57) con N densità comovente nell ipotesi che sia costante col redshift, altrimenti si introduce il fattore correttivo f pzq.

55 Capitolo 5 Le Basi Fisiche della Relatività Generale e la derivazione delle Equazioni di Friedmann Fino ad ora ci siamo occupati di caratterizzare la geometria di un universo omogeneo ed isotropo in espansione uniforme ottenendo la metrica di Robertson e Walker ds 2 dt 2 aptq2 r 2 ı dr 2 ` R 2 sin `d 2 2 ` sin 2 d c 2 R Adesso dobbiamo metterci la fisica ed è chiaro che, poichè il nostro universo in generale è curvo, dovremo utilizzare le equazioni della Relatività Generale. La Relatività Generale è presentata in altri corsi mentre qui ci limiteremo ad una rapida panoramica per poter giungere al risultato che ci interessa, ovvero l utilizzo della metrica RW con le equazioni di campo di Einstein per ottenere le equazioni che regolano aptq. Il concetto di Relatività riguarda le trasformazioni subite dalle leggi della Fisica a seguito di trasformazioni dinamiche, ovvero che coinvolgono il tempo, come ad esempio le trasformazioni tra sistemi di riferimento in moto l uno rispetto all altro. Particolare importanza è rivestita dal fatto che le leggi della Fisica non debbano dipendere dal sistema di riferimento: in sostanza, non si dovrebbero avere sistemi di riferimento assoluti ed il Principio Cosmologico non esprime altro che questo stesso concetto. La Relatività Galileiana stabilisce l invarianza formale o covarianza delle equazioni della Meccanica Classica per trasformazioni di Galileo ovvero per trasformazioni tra sistemi di riferimento in moto rettilineo uniforme l uno rispetto all altro; questi sistemi di riferimento sono detti inerziali. Questa covarianza implica che con le leggi della Meccanica Classica non è possibile definire un sistema di riferimento assoluto. La covarianza per trasformazioni di Galileo non si applica alle equazioni di Maxwell per le quali potrebbe quindi esistere un sistema di riferimento assoluto, l etere. L esperimento di Michelson e Morley aveva proprio lo scopo di misurare la velocità della luce rispetto all etere. La Relatività Speciale di Einstein invece stabilisce che le trasformazioni appropriate per i sistemi inerziali sono quelle di Lorentz. Le equazioni di Maxwell sono covarianti per trasformazioni di Lorentz e quindi non è più possibile definire un riferimento assoluto (l etere). Anche le equazioni della Meccanica Classica possono essere scritte in forma covariante per trasformazioni di Lorentz. Nel limite in cui v{c! 1, le trasformazioni di Lorentz si riducono alle trasformazioni di Galileo e le equazioni della Meccanica Classica ritornano alla forma covariante per trasformazioni Galileiane. Con la Relatività Speciale

56 56 Le Basi Fisiche della Relatività Generale e la derivazione delle Equazioni di Friedmann si arriva all introduzione di un continuo quadridimensionale spazio-tempo caratterizzato da una geometria non-euclidea con metrica ds 2 dt 2 dl2 c 2 (5.1) detta metrica di Minkowski. Le trasformazioni di Lorentz, la metrica di Minkowski e la Relatività Speciale in genere riguardano i sistemi di riferimento inerziali così come accadeva per la relatività Galileiana. Come è possibile trattare i riferimenti inerziali espandendo la teoria della relatività speciale? Come tener conto delle forze apparenti che potrebbero comparire come avviene per la trattazione classica della meccanica in un sistema di riferimento inerziale? Il punto di partenza di Einstein fu l equivalenza tra la massa inerziale e la massa gravitazionale, come suggerito dall esperimento di Eötvös. In pratica Einstein partì dalla semplice considerazione che una persona in caduta libera non percepisce il proprio peso. Infatti il secondo principio della dinamica a erma che ~F i m i ~a (5.2) con m i massa inerziale, ovvero la resistenza di un corpo ad essere accelerato da una forza. La legge di gravitazione universale di Newton, applicata in un campo gravitazionale costante come quello sulla superficie della Terra, a erma invece per cui applicando il II principio si ha ~F g m g ~g (5.3) m g ~g m i ~a (5.4) Ponendosi in un riferimento in caduta libera ovvero con accelerazione ~a (quindi non inerziale) si ha che l accelerazione è nulla ma la forza totale contiene un contributo dovuto alle forze apparenti per cui si può scrivere m g ~g m i ~a (5.5) il primo membro rappresenta la forza, il secondo membro il prodotto di massa ed accelerazione nel riferimento accelerato. Se m i m g allora ~a ~g elaforzapercepitanel riferimento in caduta libera è ~F m g ~g m i ~a (5.6) ovvero non si sente il proprio peso! Più in generale possiamo eliminare la forza di gravità passando ad un sistema di riferimento non inerziale in caduta libera in un campo gravitazionale da cui si deduce che le forze apparenti dei sistemi non inerziali e le forze gravitazionali devono avere la stessa origine. E importante notare come la gravità possa essere eliminata solo localmente ovvero nelle regioni dello spazio dove si può considerare costante. Quindi in un opportuna regione di un qualsiasi campo gravitazionale è possibile e ettuare una trasformazione di coordinate che riduca le equazioni alla forma tipica di un sistema inerziale, ovvero alle equazioni della Relatività Speciale. Dopo questa breve introduzione, possiamo passare a vedere quelle che sono le basi fisiche utilizzate da Einstein per la teoria della Relatività Generale.

57 5.1 Esempio 1: il redshift gravitazionale Il Principio di Relatività: le leggi della fisica sono covarianti per trasformazioni di coordinate (ovvero mantengono la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento). 2. Il Principio di Equivalenza: massa inerziale e gravitazionale sono uguali, m i m g, per cui in ogni punto dello spazio-tempo ed in un qualsiasi campo gravitazionale è possibile scegliere un sistema di riferimento inerziale locale tale che, in un regione piccola dello spazio, le leggi della fisica abbiano la stessa forma che in un sistema cartesiano non accelerato in assenza di gravità (ovvero la stessa forma nel caso della Relatività Speciale). 3. Il Principio di Mach: le proprietà inerziali locali sono determinate dalla distribuzione di materia ed energia. Mettendo insieme (1) e (2) è chiaro che posso ottenere le leggi della fisica a partire da quelle scritte nell ambito della Relatività Speciale e che devo soltanto trovare il modo di scriverle in forma covariante ovvero invariante per trasformazione di coordinate nello spazio tempo considerato che sarà caratterizzato da una metrica ds 2 g µ x µ x (5.7) e che sarà in generale uno spazio-tempo descritto da una geometria Riemanniana. La (3) ci permette di collegare g µ alla distribuzione di materia ed energia nello spazio tempo e quindi di conoscere g µ ovvero la geometria dello spazio. Si noti come la Relatività Generale sia una teoria intrinsecamente non-lineare: infatti un campo gravitazionale dovuto ad una distribuzione di massa genera una certa densità di energia locale in ogni punto dello spazio; dato che E mc 2, questo significa che c è una certa densità di massa inerziale associata al campo gravitazionale che è a sua volta sorgente di campo gravitazionale. Questo caso del campo gravitazionale è diverso dal campo elettrico: quest ultimo genera una certa densità di energia in ogni punto dello spazio e quindi una corrispondente densità di massa. Ma la massa non genera un ulteriore carica elettrica e quindi non genera ulteriore campo elettrico. Quando Einstein ricercò la forma più generale di trasformazione tra sistemi di riferimento per metriche della forma ds 2 g µ x µ x (5.8) scoprì, grazie al suo amico matematico Marcel Grossman, che queste erano date dalle geometrie Riemanniane il cui difetto era quello di essere non lineari. In realtà Einstein si rese subito conto che la non linearità era un vantaggio delle geometrie Riemanniane perché la teoria della gravità, come abbiamo appena visto, deve essere intrinsecamente non lineare. Vediamo adesso due esempi elementari che però ci aiutano a capire come il principio di equivalenza abbia conseguenze profonde per la nostra comprensione della natura dello spazio tempo in un campo gravitazionale. 5.1 Esempio 1: il redshift gravitazionale Consideriamo un riferimento stazionario posto in un campo gravitazionale uniforme ~g. In base al principio di Equivalenza, questo riferimento è equivalente ad un riferimento non inerziale uniformemente accelerato con ~a ~g (figura 5.1). Ovvero, un osservatore posto all interno dell ascensore non è in grado di distinguere tramite qualsiasi tipo di misura

58 58 Le Basi Fisiche della Relatività Generale e la derivazione delle Equazioni di Friedmann se si trova in un sistema inerziale posto in un campo gravitazionale o se si trova in un sistema non inerziale uniformemente accelerato. a = g h g v = at Figura 5.1: Ascensore stazionario in un campo gravitazionale uniforme ~g (sinistra) e ascensore soggetto ad accelerazione uniforme ~a ~g (destra). In base al principio di equivalenza di Einstein, un osservatore posto dentro l ascensore non è in grado di capire in quale dei due casi si trovi. Consideriamo un onda elettromagnetica di frequenza che si propaga dal so tto al pavimento dell ascensore e supponiamo che ~a sia piccola. Se h è l altezza dell ascensore, l onda e.m. impiega un tempo t h{c per giungere dal so tto al pavimento dell ascensore. In base al principio di equivalenza i due ascensori in figura 5.1 sono perfettamente equivalenti come sistemi di riferimento. Pertanto possiamo considerare la propagazione del fotone nel caso del riferimento accelerato. Al tempo t in cui i fotoni raggiungono il pavimento, questo sarà stato accelerato a velocità quindi, poiché t h{c u at ~g t (5.9) u ~g h (5.1) c Per e etto Doppler l onda è osservata dal pavimento a frequenza maggiore di quella a cui è s t a t a e m e s s a d a l s o tto e, al primo ordine in u{c, si ha 1 1 ` u c ˆ 1 ` ~g h c 2 (5.11) Dal momento che ~g è c o s t a n t e e ~g ~r, con ~g h potenziale gravitazionale, si può scrivere (5.12)

59 5.1 Esempio 1: il redshift gravitazionale 59 quindi ovvero 1 1 ˆ 1 Sh ˆ 1 c2 Sh c 2 (5.13) (5.14) Questa è la formula del redshift gravitazionale z g nel limite Newtoniano. Ricordando che z g o e 1 (5.15) e si ottiene infime z g c 2 (5.16) Poichè nel nostro caso il fotone passa da so tto a pavimento, cheimplicaz g, ovvero un blueshift. Se la luce si fosse propagata dal pavimento al so tto avremmo ottenuto l e etto opposto ovvero un redshift. Quindi la frequenza delle onde elettromagnetiche dipende dal campo gravitazionale in cui si propagano. Un test di z g fu proposto da Eddington nel 1924: il valore di z g per le righe nello spettro di una nana bianca, Sirio B, doveva essere pari a cz g 2 km s 1. Nel 1925 Adams misurò un valore di 19 km s 1. Consideriamo adesso l espressione trovata in precedenza ˆ 1 1 c2 (5.17) ed esprimiamola in funzione dei periodi ricordando che {c 2! ˆ 1 T 1 T c2 ovvero T 1 T `1 c2» T ˆ 1 ` c2 (5.18) (5.19) L espressione T 1 T ˆ 1 ` c2 (5.2) è la stessa della dilatazione dei tempi tra sistemi di riferimento inerziali in relatività speciale. Questa espressione deve valere esattamente per ogni intervallo temporale per cui, in generale, si deve avere ˆ dt 1 dt 1 ` (5.21) c2 Assumiamo adesso che p8q eteniamocontodelfattoche prq p8q allora ˆ dt 1 2 dt 2 1 ` prq 2 c 2 (5.22) e, poichè prq{c 2! 1sihainfine ˆ dt 1 2 dt 2 1 ` 2 prq c 2 (5.23)

60 6 Le Basi Fisiche della Relatività Generale e la derivazione delle Equazioni di Friedmann Se consideriamo l espressione Newtoniana per generato da una massa puntiforme M prq GM r (5.24) si ottiene ˆ dt 1 2 dt GM rc 2 (5.25) e quindi, data la metrica di Minkowski ds 2 dt 1 2 1{c 2 dl 2, possiamo scrivere ˆ ds 2 dt 2 1 2GM 1 rc 2 c 2 dl2 (5.26) Icoe cienti della metrica diventano ben più complessi di quelli dello spazio tempo di Minkowski quando si tenta di considerare l e etto della gravità! Si noti come dt 1, dl sono il tempo e lo spazio misurati da un osservatore in un punto del campo gravitazionale, mentre dt è l intervallo di tempo misurato dall osservatore all infinito. 5.2 Esempio 2: la curvatura dei raggi di luce Abbiamo appena visto come il principio di equivalenza porti al cambiamento di dt nella metrica. Vediamo adesso come anche dl debba cambiare. Utilizziamo nuovamente il principio di equivalenza e sostituiamo un ascensore stazionario nel campo ~g con uno in un campo gravitazionale nullo ma uniformemente accelerato con ~a ~g. Consideriamo un raggio di luce che si propaga orizzontalmente una parte all altra dell ascensore. a = g 1 2 gt2 l g Figura 5.2: Ascensore stazionario in un campo gravitazionale uniforme ~g (sinistra) e ascensore soggetto ad accelerazione uniforme ~a ~g (destra). In base al principio di equivalenza di Einstein, un osservatore posto dentro l ascensore non è in grado di capire in quale dei due casi si trovi.

61 5.2 Esempio 2: la curvatura dei raggi di luce 61 Nel tempo t in cui il raggio percorre la distanza l per andare da un lato all altro, l ascensore si muove diverso l alto di un tratto l 1 2 gt2 (5.27) pertanto, nel riferimento dell ascensore il raggio di luce compie un percorso parabolico. Supponiamo di poter approssimare il percorso parabolico con un arco di circonferenza di a = g 1 2 gt2 d l 1 2 gt2 1 2 gt2 2 Figura 5.3: accelerato. Geometria della propagazione della luce nell ascensore uniformemente raggio R (figura 5.3). Allora risulta d sin 1 2 ~g t2 poichè! 1, sin «equindidall equazioneprecedentesiottiene ~g t2 2d (5.28) Confondendo l arco con la corda, il raggio di curvatura della traiettoria R è d a t o d a Si può anche scrivere che poichè cos «1. Infine si ottiene R 2» d2 4 2 d2 4 ~g 2 t 4 4d2 d4 ~g 2 t 4 (5.29) d cos l Ñ d «l ct (5.3) R 2 c4 St 4 ~g 2 St 4 (5.31)

62 62 Le Basi Fisiche della Relatività Generale e la derivazione delle Equazioni di Friedmann ovvero R c2 ~g (5.32) con R raggio di curvatura del raggio di luce. Quanto trovato per il riferimento uniformemente accelerato è perfettamente equivalente a quello che succede nel riferimento nel campo gravitazionale uniforme. Se ne conclude che il cammino della luce dipende dall accelerazione gravitazionale locale ~g. Poichè questa dipende dal gradiente del potenziale gravitazionale ne consegue che il cammino dei raggi di luce dipende, a sua volta, dalla distribuzione di massa. 5.3 Alcuni concetti utili Prima di procedere oltre ed arrivare a scrivere le equazioni di Einstein che legano la metrica dello spazio tempo alla distribuzione di massa-energia, dobbiamo richiamare alcuni concetti matematico-geometrici. Se ~ A è un vettore nello spazio tridimensionale, posso definire il quadrivettore nello spazio tempo A µ pa, ~ Aq pa,a 1,A 2,A 3 q (5.33) con A componente temporale e A 1,A 2,A 3 componenti spaziali del vettore ~ A.Quandoil quadrivettore è indicato con A µ (indice in alto) si intende rappresentato in componenti controvarianti, ovvero quelle componenti che si trasformano come il vettore spostamento di erenziale per un cambio di coordinate. Se g µ è i l t e n s o r e m e t r i c o s i h a ds 2 g µ dx µ dx (5.34) dove si è usata la convenzione di Einstein, in base alla quale gli indici ripetuti rappresentano una somma: nel caso di ds 2 l espressione è equivalente a ds 2 4ÿ µ 4ÿ g µ dx µ dx (5.35) dx µ è i l q u a d r i v e t t o r e s p o s t a m e n t o i n fi n i t e s i m o. Il tensore metrico determina il modo di calcolare il prodotto scalare tra due (quadri)vettori che è quindi legato alla metrica: A B g µ A µ B (5.36) Il tensore metrico permette anche di ottenere le componenti covarianti di un vettore ovvero quelle che si trasformano come l operatore gradiente di funzione per un cambio di coordinate: A µ g µ A (5.37) quindi il tensore metrico g µ serve anche ad abbassare gli indici. Esistono anche le componenti controvarianti del tensore metrico tali che A µ g µ A (5.38) eovviamentedeverisultare g µ g µ (5.39)

63 5.4 Le equazioni di campo di Einstein 63 con µ delta di Kronecker ( µ 1seµ, µ seµ ). In sostanza, le componenti controvarianti e covarianti del tensore metrico sono l una l inversa dell altra. Consideriamo adesso una trasformazione di coordinate x Ñ x 1 e calcoliamo lo Jacobiano non singolare della trasformazione Con una notazione più compatta si può scrivere µ1 µ Bxµ1 Bx µ (5.4) µ1 µ B µ x µ1 (5.41) el operatoregradiente B µ B Bx µ (5.42) è dato in componenti covarianti. Data questa definizione di Jaocobiano di una trasformazione di coordinate si può quindi dire che A µ è u n q u a d r i v e t t o r e s e e s o l o s e s i t r a s f o r m a c o m e A µ1 µ1 µa µ (5.43) Un tensore è un oggetto a più indici che si trasforma con una combinazione di Jacobiani in modo da trasformare ogni indice come per un quadrivettore. Pertanto un tensore è caratterizzato da M µ1 1 µ1 µ 1M µ (5.44) Come già detto g µ è u n t e n s o r e q u i n d i, d a t e l e p r o p r i e t à d e i t e n s o r i, è f a c i l e v e r i fi c a r e che ds 2 g µ dx µ dx (5.45) è un invariante scalare. 5.4 Le equazioni di campo di Einstein Ricordiamo adesso le basi su cui Einstein ha fondato la Relatività Generale: 1. il Principio di Relatività (covarianza delle leggi della natura per trasformazione di coordinate) 2. il Principio di Equivalenza (cancellazione locale della gravità in un sistema non inerziale) 3. il Principio di Mach (g µ dipende dalla distribuzione di massa-energia). Consideriamo una particella che si muove liberamente sotto l azione delle sole forze gravitazionali; per il principio di equivalenza deve esistere un sistema di riferimento di coordinate localmente inerziali per le quali valga d 2 d 2 (5.46) con tempo proprio e d 2 {d 2 quadriaccelerazione, che è ovviamente nulla per come abbiamo scelto il riferimento.

64 64 Le Basi Fisiche della Relatività Generale e la derivazione delle Equazioni di Friedmann In un qualsiasi riferimento x µ il moto dovuto alle sole forze gravitazionali risulta essere d 2 x µ d ` dx µ dx 2 µ d d (5.47) dove d 2 x µ {d 2 è l a q u a d r i a c c e l e r a z i o n e e i l s e c o n d o t e r m i n e, c h e s v o l g e i l r u o l o d i f o r z a gravitazionale, deriva dal cambiamento di coordinate Ñ x µ esprimibile come µ x µ B Bx µ xµ (5.48) La soluzione dell equazione 5.47 fornisce l equazione della geodetica nel riferimento x µ. µ prende il nome di connessione a ne ed è data da µ Bx B 2 (5.49) B Bx µ Bx è il tensore metrico di Minkowski nel sistema di riferimento, in cui vale la Relatività Speciale per la totale assenza di forze per cui il tensore metrico g µ nello spazio di coordinate x µ è d a t o d a l l a t r a s f o r m a z i o n e g µ B B (5.5) Bx µ Bx questa espressione permette di ottenere g µ apartireda edallatrasformazionedi coordinate. Si può infine dimostrare che la connessione a ne µ è esprimibile con i Simboli di Christo el µ 1 2 g pb µg `B g µ B g µ q (5.51) Adesso dobbiamo cercare una relazione tensoriale che leghi la metrica, ovvero il tensore metrico g µ elesuederivate,alladistribuzionedimateriaedenergiacheposso rappresentare con il tensore energia-impulso. Si può dimostrare che, a partire dal tensore metrico g µ edallesuederivateprimee seconde può essere costruito un solo tensore, detto Tensore di curvatura di Riemann R µ B µ B µ ` µ µ (5.52) A partire dal tensore di curvatura di Riemann si possono poi ritrovare per contrazione il Tensore di Ricci: R µ R µ (5.53) elacurvaturascalare R R µ µ g µ R µ (5.54) Il tensore che descrive la geometria dello spazio tempo è quindi il Tensore di Einstein G µ R µ 1 2 g µ R (5.55) Adesso dobbiamo ottenere la distribuzione di massa-energia che è esprimibile tensorialmente col Tensore Energia-Impulso. Se si considera un fluido con densità e pressione p (entrambe grandezze comoventi) si ha T µ p c 2 ` pq u µ u pg µ (5.56)

65 5.4 Le equazioni di campo di Einstein 65 con u µ quadrivelocità. Le equazioni di Einstein sono finalmente G µ 8 G c 2 T µ (5.57) ovvero R µ 1 2 g µ R 8 G T c 2 µ (5.58) Dopo aver formulato queste equazioni Einstein si rese conto che era possibile aggiungere un termine costante che avrebbe poi potuto permettere l esistenza di un universo stazionario: R µ 1 2 g µ R 8 G T c 2 µ ` g µ (5.59) Si noti come in questa equazione tensoriale ci sono solo 6 equazioni indipendenti sulle 16 equazioni totali. Da 16 si passa a 1 perché i tensori metrici (e quindi tutti i derivati) sono simmetrici; inoltre 4 sono ridondanti per le proprietà di R µ. Il tensore metrico ha però 1 componenti indipendenti incognite, pertanto abbiamo a disposizione solo 6 equazioni per 1 incognite. La presenza di 4 gradi di libertà incogniti porta ad una invarianza di gauge per la scelta del riferimento. Vediamo adesso di intuire come mai le equazioni hanno quella forma. E chiaro che le equazioni di Einstein nel limite Newtoniano devono fornire, tra le altre, l equazione di Poisson. Quando abbiamo ottenuto l espressione per il redshift gravitazionale nel limite Newtoniano avevamo trovato ˆ ds 2 dt 2 1 ` 2 dl2 (5.6) c 2 c 2 per cui g ˆ 1 ` 2 c 2 (5.61) 1 2 pg 1q c 2 (5.62) L equazione di Poisson è ovvero r 2 4 G (5.63) r c2 r 2 g (5.64) Il tensore energia impulso di un fluido comovente (cioè che non ha velocità propria rispetto all espansione dell universo) ha solo il termine T e,nelcasodip, si ha T p c 2 ` pq 2 pg (5.65) ovvero sostituendo otteniamo T 2 c» T per v 2 c 2 c! 1 (5.66) 1 2 c2 r 2 g 4 G T c 2 (5.67)

66 66 Le Basi Fisiche della Relatività Generale e la derivazione delle Equazioni di Friedmann ovvero r 2 g 8 G c T (5.68) 4 che ricorda la componente delle equazioni di Einstein. In conclusione, le equazioni di campo di Einstein R µ 1 2 g µ R 8 G c 2 T µ ` g µ (5.69) sono 6 equazioni non lineari indipendenti. Il procedimento da seguire per arrivare alla loro soluzione è il seguente: 1. si sceglie una forma del tensore metrico che contenga in sé le eventuali simmetrie del sistema (si ricorda che non è possibile risolvere il problema se tutte le 1 componenti del tensore simmetrico g µ sono incognite); 2. si determina la forma del tensore energia-impulso che descrive le sorgenti del campo proprie del problema; 3. si scrivono le equazioni di Campo di Einstein ottenendo un sistema di equazioni di erenziali nelle funzioni incognite presenti in g µ ; 4. la loro soluzione permette di determinare g µ da cui si ottiene la geometria dello spazio e le equazioni geodetiche che determinano il moto. 5.5 Derivazione delle equazioni di Friedmann Prima di procedere è opportuno vedere quali siano le convenzioni relative ai segni. La metrica di Minkowski è µ rs1sˆdiagr 1, 1, 1, 1s (5.7) con rs1s segnatura della metrica di Minkowksi che può essere pari a `1o 1. diagr 1, 1, 1, 1s indica la matrice con i valori p 1, 1, 1, 1q sulla diagonale. Il tensore di curvatura di Riemann ha segnatura rs2s tale che rs2sˆ`b µ B µ ` µ (5.71) Il tensore di Ricci è R µ per cui le equazioni di Einstein sono µ R µ rs2sˆrs3sˆr µ (5.72) G µ R µ 1 2 g µ R rs3sˆ Fino ad ora abbiamo usato la convenzione rs1s 1 rs2s `1 rs3s `1 che porta alle equazioni di Einstein nella forma ˆ8 G T c 2 µ ` g µ (5.73) R µ 1 2 g µ R 8 G c 2 T µ ` g µ (5.74)

67 5.5 Derivazione delle equazioni di Friedmann 67 Cominciamo adesso a esplicitare queste equazioni. Abbiamo visto come per uno spazio omogeneo ed isotropo in espansione uniforme la metrica più generale è quella di Robertson ewalker ds 2 dt 2 aptq2 r 2 ı dr 2 ` R 2 sin `d 2 2 ` sin 2 d c 2 R Il tensore metrico, scritto in forma di matrice è pertanto g µ 1 a2 ptq c 2 a2 ptq r R 2 sin 2 c 2 R a2 ptq r R 2 sin 2 c 2 R sin 2 Per ottenere le componenti controvarianti si può facilmente calcolare l inverso del tensore in componenti covarianti g µ pg q 1 µ 1 c2 a 2 ptq c2 R 2 a 2 ptq csc2 r R c2 R 2 a 2 ptq csc2 r R csc 2 A questo punto, per prima cosa, si calcolano i Simboli di Christo el a partire da g µ eperrappresentareilrisultatosiutilizzalaconvenzioneche 1 23 corrisponde a µ con µ 1, 2, 3(gliindiciassumonoivalori,1,2,3). IsimbolidiChristo el non nulli sono soltanto 11 aptq9aptq c 2 22 R2 aptq sin 2 ` r R 9aptq c 2 33 R2 aptq sin 2 ` r R sin 2 9aptq c aptq aptq R sin R sin ˆ2r R ˆ2r sin 2 R

68 68 Le Basi Fisiche della Relatività Generale e la derivazione delle Equazioni di Friedmann 2 2 9aptq aptq 2 21 cot ` r R R 2 33 cos sin 3 3 9aptq aptq 3 31 cot ` r R R 3 32 cot Si calcola quindi il tensore di Riemann e si riportano i risultati tenendo conto della stessa convenzione utilizzate per i. Considerando R è p o s s i b i l e o t t e n e r e R usando l antisimmetria per lo scambio degli ultimi due indici anche se questa cosa non è evidente perché riportiamo le R µ invece delle R µ ; gli elementi del tensore da cui si ottengono tutti gli elementi non nulli sono soltanto: R 11 R 22 R 33 R 1 1 R R aptq:aptq c 2 R2 sin 2 ` r R aptq:aptq c 2 R2 sin 2 ` r R sin 2 aptq:aptq c 2 :aptq aptq sin2 ` r R pc2 ` R 2 9a 2 ptqq c 2 sin2 ` r R sin 2 pc 2 ` R 2 9a 2 ptqq c 2 (5.75)

69 5.5 Derivazione delle equazioni di Friedmann 69 R 2 2 R R R 3 3 R :aptq aptq 1 R 2 ` 9a2 ptq c 2 sin2 ` r R sin 2 pc 2 ` R 2 9a 2 ptqq c 2 :aptq aptq 1 R 2 ` 9a2 ptq c 2 ` R sin2 r R pc2 ` R 2 9a 2 ptqq c 2 Si calcolano quindi tensore e scalare di Ricci dalle contrazioni successive del tensore di Curvatura di Riemann. Le forme non nulle del tensore di Ricci sono quelle diagonali: R R 11 R 22 R 33 3:aptq aptq 2 R 2 ` 29a2 ptq c 2 ` aptq:aptq c 2 sin2 ` r R p2c2 ` 2R 2 9a 2 ptq`r 2 aptq:aptqq c 2 sin2 ` r R sin 2 p2c 2 ` 2R 2 9a 2 ptq`r 2 aptq:aptqq c 2 mentre per lo scalare di Ricci abbiamo R 6 pc2 ` R 2 9a 2 ptq`r 2 aptq:aptqq R 2 a 2 ptq Questo ci permette di ottenere il tensore di Einstein G µ ovvero il primo membro delle equazioni di Einstein. G 3 pc2 ` R 2 9a 2 ptqq R 2 a 2 ptq G 11 1 R 9a2 ptq 2aptq:aptq 2 c 2 c 2 G 22 G 33 sin2 ` r R pc2 ` R 2 9a 2 ptq`2r 2 aptq:aptqq c 2 sin2 ` r R sin 2 pc 2 ` R 2 9a 2 ptq`2r 2 aptq:aptqq c 2

70 7 Le Basi Fisiche della Relatività Generale e la derivazione delle Equazioni di Friedmann Andiamo adesso a determinare il secondo membro delle equazioni di Einstein. Il tensore energia-impulso è T µ p c 2 ` pqu µ u pg µ (5.76) La quadrivelocità è data da u p1,u x,u y,u z q u i v i c e, se prendiamo un fluido comovente (stazionario), avremo u x u y u z 1 u p1,,, q ovvero utilizzando l espressione per g µ trovata prima, si ottiene in componenti controvarianti» fi 1 T µ p c 2 ` pq fl pgµ (5.77) ovvero c 2 c 2 p a 2 ptq T µ c 2 p csc ` 2 r R R 2 a 2 ptq c 2 p csc ` 2 r R csc 2 R 2 a 2 ptq Si noti come il secondo membro delle equazioni di Einstein in coordinate controvarianti diventi 1 8 G c T µ ` g µ 8 G 2 c 2 p c2 ` pq 8 G c 2 pgµ ` g µ ovvero appare come un contributo di pressione negativa. Si passa quindi a componenti covarianti del tensore Energia-Impulso T µ g µ g T (5.78) ottenendo c 2 pa 2 ptq c 2 T µ pr 2 a 2 ptq sin ` 2 r R c 2 pr 2 a 2 ptq sin ` 2 r R sin 2 Ovviamente, le componenti covarianti e controvarianti della matrice unitaria sono uguali. c 2

71 Come si può facilmente notare scrivendo le Equazioni di Einstein G µ 8 G c 2 T µ ` g µ (5.79) solo i termini diagonali sono non nulli ovvero abbiamo ottenuto quattro equazioni per aptq: ˆ 3 c2 a 2 ptq R ` 2 9a2 ptq p `8 G q 1 R 9a2 ptq 2aptq:aptq ` 1 ` 8 Gp ` c 2 a 2 ptq 2 ` c 2 c 2 c 4 sin2 r R c4 ` c 2 R 2 9a 2 ptq`2c 2 R 2 aptq:aptq`r 2 p8 Gp c 2 qa 2 ptq c 4 ` sin2 r R sin 2 c 4 ` c 2 R 2 9a 2 ptq`2c 2 R 2 aptq:aptq`r 2 p8 Gp c 2 qa 2 ptq c 4 (5.8) Dove le parentesi con G e sono chiaramente il contributo del secondo membro delle Equazioni di einstein (tensore energia impulso e costante cosmologica). Le ultime due equazioni sono chiaramente equivalenti. Dalla prima si ottiene sostituendo 9aptq 2 nella seconda si ottiene invece 9a 2 ptq 8 G a 2 ptq c2 3 R ` a2 ptq (5.81) ovvero, raccogliendo, 1 R 8 G 2 3c 2 aptq:aptq 2 c 2 :aptq 4 G 3 1 aa2 ptq` R c 2 aa2 ptq 8 Gp a ptq` a c 4 A2 A2 ptq (5.82) c 2 ˆ ` 3p aptq`1 aptq (5.83) c 2 3 Si può verificare che sostituendo 9a 2 ptq dalla prima equazione nella terza si ritrova la seconda equazione. In conclusione abbiamo trovato solo due equazioni indipendenti: 9a 2 ptq 8 G a 2 ptq c2 3 :aptq 4 G 3 ˆ ` 3p c 2 R ` a2 ptq aptq`1 aptq (5.84) 3 che sono finalmente le equazioni che volevamo ottenere e che prendono il nome di Equazioni di Friedmann.

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73 Capitolo 6 I Modelli Cosmologici di Friedmann Nella parte precedente abbiamo inserito la metrica di Robertson e Walker nelle equazioni di Campo di Einstein ed abbiamo trovato due equazioni indipendenti per il fattore di scala aptq che, come già detto, è quello che racchiude la fisica dell espansione dell universo. :aptq 4 G 3 aptq ˆ ` 3p c 2 ` 1 aptq (6.1) 3 9a 2 ptq 8 G a 2 ptq c2 3 R ` a2 ptq (6.2) ricordiamo che, per come abbiamo definito il fattore di scala aptq, apt q 1. In quelle equazioni, rappresenta la densità di massa inerziale totale che, per l equivalenza tra massa ed energia, tien conto del contributo di tutte le forme di materia e radiazione; p è la pressione associata; R è il raggio di curvatura della geometria dello spazio all epoca attuale (t t ); c 2 {R 2 è u n a c o s t a n t e d i i n t e g r a z i o n e. 6.1 La conservazione dell energia Vediamo adesso come le equazioni 6.1 e 6.2 siano indipendenti ed incorporino il Primo Principio della Termodinamica (ovvero la conservazione dell energia) nella sua forma relativistica. Consideriamo una trasformazione adiabatica di un fluido du pdv (6.3) dobbiamo applicare questa relazione sia al caso relativistico che non e quindi U deve essere l energia totale del fluido in senso relativistico: U deve includere il contributo dell energia della massa a riposo, dell energia cinetica, dell energia termica e così via. Se ciascun contributo fornisce una densità di energia " i, allora la densità di energia totale è pertanto " tot ÿ i " i (6.4) U V " tot (6.5) Derivando la 6.3 rispetto ad aptq esostituendol espressioneappenatrovatasiottiene du da pdv da (6.6)

74 74 I Modelli Cosmologici di Friedmann d da pv " totq p dv (6.7) da Ma il volume è V l 3 r 3 a 3 con l lunghezza propria e r lunghezza comovente, per cui ovvero d `a3 d `a3 " tot p da da (6.8) 3a 2 " tot ` a A3 d" tot da 3pa2 (6.9) d" tot da ` 3" tot ` p (6.1) a Se è la densità di massa inerziale associata all energia ", ovvero proprio quella che deve comparire nelle equazioni di Friedmann, si ha " tot c 2,quindi d ` p{c2 ` 3 da a (6.11) questa equazione non esprime altro che il primo principio della termodinamica per una trasformazione adiabatica, scritto in forma relativistica ovvero du pdv. Vediamo quali conseguenze possiamo ottenere da questa espressione della conservazione dell energia. Supponiamo che il fluido cosmologico sia non relativistico, ovvero p! c 2 (6.12) con che stavolta indica la densità associata alla sola massa a riposo. Pertanto possiamo considerare che p». Indichiamo con N la densità numerica delle particelle, la cui massa media è m. Pertanto ponendo Nm si ottiene questa equazione è risolvibile per separazione delle variabili dn da ` 3N a (6.13) dn N 3da a eintegrandotrat e t (adesso) si ottiene infine ˆNpt q ln 3ln Nptq da cui ˆapt q aptq (6.14) (6.15) Nptq N aptq 3 (6.16) questa relazione rappresenta la conservazione della massa per un gas di particelle non relativistiche che si può esprimere anche come aptq 3. In realtà questa equazione rappresenta anche la conservazione del numero di particelle a seguito dell espansione e si può applicare a qualsiasi tipo di componente per il quale si conservi il numero di elementi costituenti (es. particelle di un gas relativistico e non, fotoni, ecc.). Adesso, torniamo alla relazione d" tot da ` 3" tot ` p a (6.17)

75 6.1 La conservazione dell energia 75 econsideriamoilcontributodellapressionetermicaperungasnonrelativistico. Disolito in ambito cosmologico si considera sempre del gas monoatomico per cui elapressione " th 3 NkT (6.18) 2 p NkT (6.19) La densità di energia totale è pertanto data dalla massa a riposo e dall energia termica Sostituendo nella 6.1 d da riordinando i vari termini ˆ3 NkT ` Nmc2 2 " tot 3 2 NkT ` Nmc2 (6.2) mc 2 dn da ` 3N a ` 3 ˆ3 aptq 2 NkT ` Nmc2 ` NkT (6.21) ` 3 d 2 da pnktq`5nkt (6.22) a il primo termine è nullo perché corrisponde al primo membro dell equazione 6.13 da cui abbiamo ricavato la legge di conservazione del numero di particelle Nptq N aptq 3 durante l espansione dell universo. Il secondo membro fornisce un equazione di erenziale per la funzione NkT la cui soluzione, analogamente a quanto trovato per la 6.13, è sostituendo Nptq N aptq 3, si ottiene infine NkT N kt aptq 5 (6.23) T T aptq 2 (6.24) questa rappresenta la conservazione dell energia durante l espansione adiabatica di un gas perfetto monoatomico per il quale c p c V 5 3 (6.25) In generale, se il calore specifico del gas è, e, ripetendo il procedimento di prima, si ottiene " tot NkT 1 ` Nmc2 (6.26) T T aptq 3p 1q (6.27) Possiamo ricavare un altro risultato importante per un gas monoatomico per il quale T T a 2 se andiamo a considerare il legame tra energia termica ed energia cinetica delle particelle " th 1 2 Nmxv2 y 3 NkT (6.28) 2

76 76 I Modelli Cosmologici di Friedmann da cui xv 2 y 3 k m T a 2 Ñ xv 2 y xv 2 y a 2 (6.29) ovvero v 9 a 1. Questo risultato si applica non solo alle velocità delle particelle di un gas ma anche alle velocità dei moti caotici delle galassie rispetto al flusso di Hubble che sono noti con il nome di velocità peculiari e che vedremo meglio più avanti. Nel caso di un gas di particelle ultrarelativistiche o di fotoni, " tot " rad evale per cui da si ottiene la cui soluzione è Ormai dovrebbe essere chiaro che df pxq dx d" rad da d" rad da p 1 3 " rad (6.3) ` 3" rad ` p a (6.31) ` 4" rad a (6.32) " rad " rad, aptq 4 (6.33) ˆ x ` fpxq x ha soluzione fpxq fpx q Consideriamo un gas di fotoni di frequenza edensitànumerican x " rad Nh (6.34) il numero di fotoni, come quello delle particelle, scala come N 9 a 3 pertanto combinando l espressione appena scritta con la 6.33 deve risultare che 9 a 1 ovvero da cui si ricava infine em a 1 (6.35) z em 1 1 a 1 (6.36) a 1 (6.37) 1 ` z ritrovando la relazione tra fattore di scala e redshift come conseguenza della conservazione dell energia! Adesso andiamo a cercare la relazione tra le due equazioni di Friedmann :aptq 4 G ˆ 3 aptq ` 3p ` 1 c 2 3 aptq 9a 2 ptq 8 G a 2 ptq c2 3 R ` a2 ptq deriviamo la seconda rispetto al tempo e dividiamo per 2 membro a membro 2 9aptq:aptq 8 G 3 2aptq 9aptq ` 4 8 G 3 a2 ptq d da 9aptq `1 3 2aptq 9aptq

77 6.1 La conservazione dell energia 77 ovvero :aptq 4 Ga2 ptq d 3 da Ma da du pdv avevamo trovato che e sostituendo nella 6.38 si ottiene ovvero ` 8 G aptq 3 d ` p{c2 ` 3 da a :aptq 4 Ga A 2 3 ` p{c2 ` 8 G a 3 Za 3 :aptq 4 Ga 3 ` 3 p 2 3 c 2 ` 1 aptq (6.38) 3 (6.39) ` 1 aptq (6.4) 3 ` 1 aptq (6.41) 3 da cui si ritrova infine :aptq 4 Ga ˆ ` 3p ` 1 3 c 2 3 a cioè la 6.1, la prima delle equazioni di Friedmann. In sostanza, le due equazioni di Friedmann includono la legge di conservazione dell energia per i gas relativistici e non in espansione adiabatica. Non dovrebbe sorprendere che l equazione dell energia indichi un espansione apparentemente adiabatica del gas. Ricordiamo infatti che siamo partiti dall assunzione di omogeneità ed isotropia: se un qualsiasi volumetto di universo non avesse un espansione adiabatica ma avesse un flusso netto, entrante o uscente, di energia si creerebbero zone a densità di energia più alta e zone a densità di energia più bassa, violando l omogeneità e isotropia dell universo che avevamo codificato nella metrica. In sostanza, partendo da un universo omogeneo ed isotropo l espansione deve avvenire in modo tale che non ci siamo trasferimenti netti di energia da una parte all altra dell universo. Se lo scambio netto di calore è nullo, allora il primo principio della termodinamica è equivalente a quello di una trasformazione adiabatica in cui lo scambio di calore è nullo perché il sistema è isolato. Tornando alle Equazioni di Friedmann :aptq 4 G 3 aptq ˆ ` 3p ` 1 c 2 3 aptq 9a 2 ptq 8 G a 2 ptq c2 3 R ` a2 ptq possiamo notare come la prima abbia la forma di un equazione delle forze ottenibile anche con considerazioni Newtoniane ma con 3p{c 2 correzione relativistica alla densità di massa inerziale per cui ` 3p{c 2 si può considerare come una densità di massa gravitazionale e cace. Come già accennato e come vedremo meglio più avanti, la costante cosmologica fu introdotta da Einstein nel 1917 in quanto era l unico modo per creare un universo statico con una geometria chiusa. Ricordiamo che Einstein introdusse prima della scoperta dell espansione dell universo da parte di Hubble. La seconda equazione, la vera Equazione di Friedmann, ha la forma di una equazione dell energia: 9a 2 ptq corrisponde all energia cinetica associata all espansione, 8{3 G a 2 ptq corrisponde all energia gravitazionale. Contrariamente al caso Newtoniano, con la relatività generale è possibile ottenere il valore della costante di integrazione c 2 {R 2 ed il contributo all energia da parte della costante cosmologica. Le soluzioni aptq di queste due equazioni furono scoperte da Friedmann nel nel caso, per cui di parla dei Modelli Cosmologici di Friedmann.

78 78 I Modelli Cosmologici di Friedmann 6.2 I Modelli Cosmologici di Friedmann con Prima di tutto esploriamo le soluzioni per perché sono spesso analitiche e l e etto di è apprezzabile solo a grandi t, per cui nell universo primordiale si può considerare il caso. Consideriamo adesso il caso della polvere cosmologica (dust) ovveroquellodiunfluido senza pressione p. Inoltre ci riferiamo al tempo attuale e, per quanto visto nella sezione precedente, possiamo scrivere ptq aptq 3 (6.42) con densità attuale. Le equazioni di Friedmann diventano ovvero :aptq 4 G 3 3 a a * 2 9a 2 ptq 8 G 3 a2 3 a * 1 c2 R 2 :aptq 4 G 3a 2 (6.43) 9a 2 ptq 8 G 3a c2 R 2 (6.44) è possibile mostrare che queste due equazioni si possono ricavare con la meccanica Newtoniana non relativistica. Consideriamo una galassia G di massa m posta a distanza x dalla Terra, ovvero dall osservatore in O. La galassia G è soggetta all attrazione gravitazionale della massa nella sfera di raggio x e questa è come se fosse concentrata in O: infatti, per l omogeneità e l isotropia dell universo abbiamo una distribuzione di massa a simmetria sferica centrata in O epossiamoquindiapplicareiteoremidigauss. Quindipossiamoscrivereilsecondo principio della dinamica nella sua componente radiale per G: Sempre per l omogeneità dell universo possiamo scrivere m :x GMpxqm x 2 (6.45) Mpxq 4 3 x3 (6.46) ovvero 4 :x G x 2 3 xa3 (6.47) come noto m è s c o m p a r s a e :x si riferisce a tutti i punti sulla sfera di raggio x indipendentemente dalla galassia G. Sostituiamo adesso x con la coordinata radiale comovente r ed esprimiamo ottenendo x aptq r (6.48) ptq aptq 3 (6.49) r :aptq 4 3 Gr aptq 3 aptq * 2 (6.5)

79 6.2 I Modelli Cosmologici di Friedmann con 79 ovvero :aptq 4 G (6.51) 3a 2 cioè la 6.43, la prima delle equazioni di Friedmann nel caso p,. Moltiplicando per 29aptq ed integrando ottengo 29aptq:aptq 8 G 3 9aptq a 2 ptq (6.52) 9a 2 ptq 8 G ` cost. (6.53) 3a identica alla 6.44, la seconda delle equazioni di Friedmann, nel caso in cui p, e la costante è cost. c2 (6.54) R 2 9a 2 ptq è l e n e r g i a c i n e t i c a d e l l e s p a n s i o n e ( p e r u n i t à d i m a s s a ), 8 G {3a è l a s u a e n e r g i a gravitazionale (sempre per unità di massa). C è un errore importante nella derivazione Newtoniana: abbiamo applicato il Teorema di Gauss ad una distribuzione di massa infinita ed ignorato le condizioni al contorno all infinito. Tuttavia, questo funziona per l assunzione di omogeneità ed isotropia nell universo infinito per cui la fisica locale (della galassia G) èugualeallafisicaglobale(chepotrebbe essere solo descritta con la Relatività Generale). In sostanza, la stessa fisica sulle piccole scale vale sulle grandi scale: per esempio la curvatura k dell universo è la stessa su scale di 1 metro come di tutto l universo. Dal calcolo che abbiamo fatto sembra che O sia in una posizione privilegiata ma si otterrebbe lo stesso per qualsiasi altro osservatore; infatti in base al Principio Cosmologico tutti gli osservatori osservano le stesse cose. L argomento che abbiamo appena esposto non ci dice le scale su cui è valido: se l universo è omogeneo ed isotropo allora deve valere su scale uguali all orizzonte ovvero su scale r ct perché la fisica locale è uguale alla fisica globale. Se l universo è omogeneo ed isotropo su scale più grandi dell orizzonte di ciascun punto allora la dinamica su quelle scale sarebbe la stessa della dinamica locale Densità critica e parametro di densità Ricordiamo che Hptq 9aptq aptq echequindih 9apt q. Definiamo la densità critica come (6.55) c 3H2 8 G 1.88 ˆ 1 29 h 2 gcm ˆ 1 3 gcm 3 (6.56) dove abbiamo usato H 1 h km s 1 Mpc 1 ed il secondo valore è stato calcolato per h.7. La densità del modello all epoca attuale t t può essere riferita alla densità critica tramite il parametro di densità c (6.57) viene riferito a t t proprio perché cambia con t. Nel seguito, ci riferiremo spesso a parti di come

80 8 I Modelli Cosmologici di Friedmann b, parametro di densità dei barioni; VIS, parametro di densità della materia visibile; DM, parametro di densità della materia oscura. Le equazioni nel caso sono con p, a 3, erano diventate :aptq 4 G ˆ 3 aptq ` 3p c 2 9a 2 ptq 8 G a 2 ptq c2 3 R 2 Con le definizioni appena introdotte :aptq 4 G 3a 2 (6.58) 9a 2 ptq 8 G 3a c2 R 2 (6.59) possiamo scrivere esostituendonelleequazionisiottiene c 3H2 8 G ; c (6.6) 8 G 3H2 c ; c (6.61) :aptq H 2 2 a 2 (6.62) 9a 2 ptq H 2 a c2 R 2 (6.63) Prendiamo adesso la seconda di queste equazioni e valutiamola per t t ; ricordando che 9a H, a 1 da cui H 2 H 2 c2 R 2 (6.64) R c{h p 1q 1{2 (6.65) e k 1 R 2 1 pc{h q 2 (6.66) ovvero esiste una relazione biunivoca tra e R e k, uno dei più bei risultati dei modelli di Friedmann con.

81 6.2 I Modelli Cosmologici di Friedmann con La dinamica dei modelli di Friedmann con Adesso sostituiamo in ottenendo 9a 2 H 2 c 2 R 2 H2 p 1q (6.67) 9a 2 H 2 a c2 R 2 (6.68) ˆ1 a 1 ` 1 nel limite di grossi valori di a in futuro si ottiene per cui si possono fare le seguenti considerazioni: (6.69) 9a 2» H 2 p1 q per a " 1 (6.7) i modelli con 1hannok percuisitrattadigeometrieiperbolicheaperte esiespandonofinoaa Ñ8con velocità terminale data dalla 6.7. Imodellicon 1hannok ovverogeometriesferichechiuseedevonosmettere di espandersi una volta raggiunto un valore a a max non arrivando mai a a " 1; quando a! 1sihaun espansionedell universocon 9a 2» H 2 a ` 1 (6.71) successivamente l espansione si arresta per 9a ovveroquando ˆ 1 1 ` 1 (6.72) a max da cui a max (6.73) 1 si può dimostrare che questo valore massimo del fattore di scala si ottiene per t max 2H p 1q 3{2 (6.74) mentre il collasso a densità infinita avviene per t 2t max (big crunch). Imodellicon 1separanoimodelliapertiedimodellichiusi,ovveroimodelli che si espandono per sempre da quelli che collassano. Il modello per 1è detto Modello di Einstein-de Sitter o modello critico.in questo modello la velocità di espansione tende a all infinito e la soluzione aptq è s e m p l i c e d a o t t e n e r e 9a 2 H2 a 9a H a 1{2 a 1{2 da H dt t 2 H pt tq 3 a3{2 t a3{2 H pt tq (6.75)

82 82 I Modelli Cosmologici di Friedmann = = Figura 6.1: Modelli di Friedmann per. Il tempo cosmico è in unità di H 1. L intersezione tra la retta a 1 e le curve determina l età attuale dell universo in quello specifico modello. 1 rappresenta il modello di Einstein-de Sitter. per t, a ovvero2{3 H t da cui t 2 3H (6.76) questa t è l età del modello di universo di polvere (p ) con e 1. La soluzione del modello di Einstein-de Sitter è pertanto Alcune soluzioni di ˆ3H t aptq 2 9a 2 H 2 2{3 ˆ 2{3 t (6.77) t ˆ1 a 1 ` 1 (6.78) sono mostrate in figura 6.1 che mostra la ben nota relazione tra dinamica e geometria per i modelli di Friedmann con. Le unità di t sono H 1 così che la pendenza per a 1 (epoca attuale) è sempre 1 (in quanto 9apt q 1). L età dell universo per un dato modello è d a t a d a l l i n t e r s e z i o n e c o n l a r e t t a a 1. La soluzione aptq per il modello vuoto (, ), detto Modello di Milne, è aptq H t (6.79)

83 6.3 I Modelli Cosmologici di Friedmann con 83 con k 2 ˆH c (6.8) da cui si vede come la geometria sia in questo caso iperbolica. Le galassie non sono né accelerate né decelerate ed hanno sempre la stessa velocità relativamente ad un qualsiasi osservatore fondamentale. Questo modello in cui non c è gravità può essere collegato direttamente alla relatività speciale con cui si può ottenere la metrica di RW nel caso di universo vuoto (vedi appendice del capitolo 7 del libro). Le soluzioni generali di ˆ1 9a 2 H 2 a 1 ` 1 (6.81) possono essere scritte in forma parametrica nel caso 1siha a t p1 cos q 2p 1q p sin q (6.82) 2H p 1q3{2 nel caso 1siha a t 2p1 q pcosh 1q psinh q (6.83) 2H p1 q3{2 Tutti i modelli tendono al modello critico 1altempoinizialemaconconstante moltiplicativa diversa. Infatti, se consideriamo t ovvero a! 1 nella 6.81 otteniamo 9a 2» H 2 a (6.84) la cui soluzione è analoga a quella della 6.75; partendo da a p3h t{2q 2{3 esostituendo H 2 con H 2 si ottiene 2{3 ˆ3H aptq 1{3 t (6.85) 2 ovvero la stessa soluzione del modello di Einstein-de Sitter a parte la costante moltiplicativa 1{3. Possiamo concludere notando come, una qualsiasi soluzione dei modelli di Friedmann con prevedeunaespansioneounacontrazionedell universosenzachesiapossibile avere un universo stazionario in cui aptq»cost. 6.3 I Modelli Cosmologici di Friedmann con Nel 1919, Einstein introdusse il termine con nelle sue equazioni di Campo per avere una soluzione stazionaria anche se si rendeva perfettamente conto che tale termine

84 84 I Modelli Cosmologici di Friedmann doveva/poteva comparire indipendentemente dal suo significato cosmologico. Nel 1933 Lemaitre suggerì che tale termine potesse avere il significato di energia del vuoto. In e etti, nell interpretazione attuale, è a s s o c i a t a a d a r k e n e r g y l a c u i n a t u r a è p e r ò, almeno per il momento, totalmente ignota. Consideriamo le Equazioni di Friedmann nella loro forma più generale: :aptq 4 G ˆ 3 aptq ` 3p ` 1 aptq (6.86) c 2 3 9a 2 ptq 8 G a 2 ptq c2 3 R ` a2 ptq (6.87) Come prima, consideriamo il caso della sola polvere cosmologica, 3p{c 2 sostituzione a 3,la6.86 diventa,» ; con la :a 4 Ga ` a 4 G ` 1 a (6.88) 3a 2 3 si vede immediatamente che anche con, :a 1{3 a, ovvero il termine di forza non è nullo e se corrisponde ad una forza repulsiva (il segno è opposto al termine gravitazionale). Non c è nessuna interpretazione classica di in termini classici ma la teoria quantistica dei campi prevede l esistenza di fluttuazioni nel vuoto associate ai campi quantistici come, ad esempio, il campo di Higgs. Come mostrato da Carroll, Press e Turner (Annual Review of Astronomy and Astrophysics, 1992, Vol. 3: ) il valore teorico di può essere stimato utilizzando semplici concetti della teoria dei campi. Quegli autori compiono un analisi standard per stimare la densità di energia dei campi del vuoto integrando fino ad un numero d onda massimo k max oltre il quale la teoria non è più valida. Trovano che E vac lim LÑ8 L 3 hk4 max (6.89) 16 2 Gli autori considerano che la teoria non sia più valida a causa degli e etti di gravità quantistica che intervengono alle scale dell energia di Planck c hc 5 E P G «1.22 ˆ 119 GeV (6.9) per cui se k max E P { h si ottiene infine vac «1 92 gm 3. Analogamente come mostrato da Peacock (Cosmological Physics, 2) in base al principio di indeterminazione di Heisemberg, una coppia di particelle virtuali di massa m può esistere per un tempo t h (6.91) mc 2 con una separazione massima x h mc dove mc è la quantità di moto. La densità tipica dei campi del vuoto è pertanto vac m x 3 «c3 m 4 (6.92) h 3 (6.93)

85 6.3 I Modelli Cosmologici di Friedmann con 85 e questa densità del vuoto non cambia nel tempo; analogamente a prima, se adottiamo per m la massa di Planck otteniamo m m P E P c 2 Dalle osservazioni abbiamo evidenza che corrisponde a 1{2 ˆ hc 1.22 ˆ 1 19 GeV 2.2 ˆ 1 5 g (6.94) G vac «5 ˆ 1 93 gm 3 (6.95) vac «6 ˆ 1 27 gm 3 (6.96) ovvero circa 1 12 volte meno di quanto ci aspettiamo! Questa è una discrepanza molto seria. Come vedremo più avanti, il modello inflazionario spiega l omogeneità e l isotropia dell universo che, attualmente, non è causalmente connesso. Se questo modello è vero, allora c è bisogno proprio di una densità di energia dell ordine di vac 1 95 kg m 3 per guidare l espansione rapida (inflazione) nei primi istanti di vita dell universo. La domanda che però sorge spontanea, è legata al perché, da allora, la densità di energia del vuoto è diminuita di un fattore E conveniente e naturale associare una densità V alla densità di energia del vuoto (o dark energy) all epoca attuale. Pertanto consideriamo :a 4 Ga 3 ˆ ` 3p c 2 ` 1 a (6.97) 3 esepariamoivaricontributialladensitàdienergiascrivendolanellaforma :a 4 Ga ˆ m ` V ` 3p V 3 c 2 (6.98) dove m rappresenta la dust e V la dark energy. Abbiamo associato al campo del vuoto anche una pressione p V ; questa è legata a V da una equazione di stato che, come vedremo tra poco, deve essere del tipo p V V c 2 (6.99) il segno serve a dare la forza repulsiva. Quindi l equazione per a diventa :a 4 Ga 3 p m 2 V q (6.1) Nell espansione a 3, V cost. (perché si tratta di energia del vuoto), ovvero che ha la stessa forma della 6.88 :a 4 G 3a 2 ` 8 G V 3 a (6.11) :a 4 G ` 1 a (6.12) 3a 2 3

86 86 I Modelli Cosmologici di Friedmann Quindi possiamo identificare con V attraverso V 8 G (6.13) All epoca presente, t t, apt q 1, otteniamo dalla 6.11 :apt q 4 G 3 ` 8 G V 3 equindipossiamointrodurreunparametrodidensitàcome per la polvere: (6.14) V c 8 G V 3H 2 (6.15) ricordando che la densità critica è c 3H 2 {8 G. Per cui si ottiene 3H 2 (6.16) Le equazioni di Friedmann sono quindi :a H 2 2a 2 ` H 2 a (6.17) 9a 2 H 2 a sostituendo i valori per t t, apt q 1, 9apt q H otteniamo c2 R 2 ` H 2 a 2 (6.18) c 2 R 2 H2 rp ` q 1s (6.19) k 1 R 2 p ` q 1 c 2 {H 2 (6.11) La condizione per avere lo spazio piatto (Euclideo) è k ovvero ` 1 (6.111) Poichè il raggio di curvatura scala con Rptq ar, se il raggio di curvatura è nullo adesso lo era necessariamente anche in passato L equazione di stato Una generalizzazione del formalismo fin qui visto è supporre che la componente i-esima abbia un equazione di stato della forma generica p i w i i c 2 (6.112) Adesso possiamo utilizzare l equazione relativistica di conservazione dell energia per trovare la variazione della densità con a d da ` 3 ` p{c2 a (6.113)

87 6.3 I Modelli Cosmologici di Friedmann con 87 se non c è scambio di energia tra le componenti, questa equazione si applica a ciascuna componente e sostituendo p i w i i c 2 si ha d i da ` 3 i ` w i i a (6.114) d i da 3p1`w iq i (6.115) a abbiamo già trovato questa equazione che sappiamo risolvere per separazione delle variabili elacuisoluzionegeneraleè Vediamo adesso i vari casi rilevanti: i ptq a 3p1`w iq (6.116) se abbiamo materia fredda, ovvero la polvere cosmologica, l equazione di stato è p i Ñ w i (6.117) pertanto la densità varia come come avevamo già trovato. i a 3 (6.118) se abbiamo radiazione o materia ultrarelativistica p i 1 3 " i 1 3 ic 2 Ñ w i 1 3 (6.119) pertanto la densità varia come i a 4 (6.12) infine, nel caso della dark energy intesa come energia del vuoto, dobbiamo avere i cost. (6.121) ovvero w i 1 (6.122) E immediato ripetere l analisi già fatta prima con questo formalismo ottenendo l equazione di :a considerando il contributo della componente i-esima in aggiunta alla polvere cosmologica :a H 2 p1`3w 2a 2 i q i,h 2 2a 2`3w i dove il parametro di densità della specie i-esima è (6.123) i, 8 G i, 3H 2 (6.124) L equazione per 9a diventa 9a 2 H 2 a ` i,h 2 a 1`3w i c2 R 2 (6.125)

88 88 I Modelli Cosmologici di Friedmann valutandola per t t, apt q 1e9apt q H si ottiene ovvero c 2 R 2 H2 rp ` i, q 1s (6.126) k 1 R 2 p ` i, q 1 c 2 {H 2 (6.127) il motivo alla base di questa estensione del formalismo standard è la possibilità di utilizzare questi risultati per stimare w i dalle osservazioni. Se ci sono più specie, si possono generalizzare questi risultati appena ottenuti con la sostituzione i, Ñ ÿ i, (6.128) i quindi è facile vedere che la condizione per una geometria spaziale piatta è pertanto ` ÿ i, 1 (6.129) La dinamica dei modelli di Friedmann con i Prima di tutto, i modelli con nonsonointeressanti. L unicadi erenza con i modelli con è che, come si vede in questa equazione, 9a 2 8 G 3a c2 R 2 ` 1 3 a2 (6.13) per piccoli che siano e il secondo membro si inverte eventualmente di segno perché ha un andamento come 8 G p3aq 1 a 2 {3, ovvero si torna eventualmente al big crunch. Consideriamo quindi i modelli con ovvero. corrispondead una forza repulsiva che si oppone alla gravità, pertanto in tutti questi modelli c è un tasso minimo di espansione 9a min ottenibile imponendo :a. Esprimendo la costante cosmologica con il formalismo dell equazione di stato (p V w v c 2, w 1) si ha :a H 2 2a 2 9a 2 H 2 a ` H 2 a c2 R ` H 2 a 2 (6.131) quindi, imponendo :a siottieneilfattorediscalaa min per cui si raggiunge il valore minimo della sua derivata 9a min epertanto 9a 2 min > 1{3 2{3 H 2 1{3 a min ˆ 2 p2 q 1{3 c2 R ` 2 1{3 (6.132) 1{3 1 H {3 9a 2 min 3 2 H2 p2 2 q 1{3 c2 R 2 (6.133)

89 6.3 I Modelli Cosmologici di Friedmann con 89 Figura 6.2: Modelli di Friedmann per. Il tempo cosmico = è in unità di H 1. L intersezione tra la retta a 1 e le curve determina l età attuale dell universo in quello specifico modello. (a) Caso in cui 9a 2 min per valori rappresentativi.3,.7. (b) Caso in cui 9a 2 min per.5, 2.. Lo zero del tempo cosmico è stato posto quando 9a. (c) Caso in cui 9a 2 min À ovvero di un modello molto vicino a Eddington-Lemaitre; come in (b), in cui 9a 2 min, si hanno due possibili soluzioni A e B. C, asintoto di A, corrisponde al modello di Eddington-Lemaitre (9a 2 min ), ovvero un universo stazionario per z c 3, corrispondente ad un fattore di scala a.5. (d) Caso in cui 9a 2 min Á. In questo modello.1 e.99 danno 9a min», pur con 9a 2 min positivo, e l età dell universo può superare di molto il valore H 1.

90 9 I Modelli Cosmologici di Friedmann poichè c 2 {R 2 Hp 2 ` 1q si hanno vari casi a seconda del segno di 3 9a 2 min H 2 2 p2 2 q 1{3 p ` 1q (6.134) Se 9a 2 min siritrovailcomportamentorappresentatoinfigura6.2(a). Inizialmente, quando :a dominalagravitàe,apartiredalflesso(:a, 9a 9a min )cominciaa dominare l e etto repulsivo della costante cosmologica per cui :a. Per grossi valori di a»» 9a 2 H 2 c 2 ` H 2 a R a 2 9a 2 Ha 2 2 (6.135) la cui soluzione si trova per separazione delle variabili 9a ah 1{2 ª t t ª da t a t H 1{2 dt aptq e H 1{2 pt t q (6.136) ovvero aptq ha lo stesso andamento del modello di de Sitter che vedremo tra poco e caratterizzato da e. Viceversa, se 9a 2 min ilsecondomembrodell espressione 3 9a 2 min H 2 2 p2 2 q 1{3 p ` 1q è n e g a t i v o, e d e s i s t e u n i n t e r v a l l o d i v a l o r i d i aptq per cui non ci sono soluzioni e si hanno due rami come in figura 6.2(b). Nel ramo B l universo non si espande mai in modo tale da raggiungere il regime in cui è importante. Nel ramo A l espansione è dominata dal termine in el universononarrivamaiacontrarsiinmodotalechelagravitàdomini: questo significa che non c è mai stata la singolarità iniziale e l universo è rimbalzato dopo un valore minimo di a per e etto del termine in. Nel caso limite in cui, ovvero quello del modello di de Sitter, si ha la cui soluzione è 9a 2 c2 R ` Ha 2 2 9a 2 Hp 2 1q` Ha 2 2 9a 2 H 2 r 2 a 2 p 1qs 1{2 ˆ 1 aptq cosh 1{2 H (6.137) con t t min e t min è i l t e m p o d i r i m b a l z o o v v e r o q u e l l o p e r c u i apt min q a min. In questi casi la variazione di aptq è s i m m e t r i c a r i s p e t t o a d a min. Le soluzioni asintotiche corrispondono alle soluzioni esponenzialmente espandenti e collassanti di de Sitter 1{2 ˆ 1 aptq e 1{2 H (6.138)

91 6.3 I Modelli Cosmologici di Friedmann con 91 Nell universo rimbalzante, a min corrisponde al massimo redshift che gli oggetti possono avere a min p1 ` z max q 1. Il modello stazionario si ottiene imponendo che valga sempre ovvero :a H 2 2a 2 ` H 2 a 9a 2 H 2 a Come abbiamo già visto, dalla prima equazione si ricava :a 9a (6.139) ` H 2 a 2 H 2 p ` 1q (6.14) a min ˆ 2 1{3 (6.141) mentre dalla seconda equazione, ponendo a a min si ha la condizione 3 9a 2 min H 2 2 p2 2 q 1{3 p ` 1q ovvero, il modello stazionario corrisponde al caso in cui 9a min ecomportal esistenza di uno stato in cui l universo si mantiene stazionario con aptq cost. a min. I modelli stazionari corrispondenti alla combinazione di e per cui 9a 2 min prendonoilnome di modelli di Eddington-Lemaitre e sono quindi quelli di separazione tra le due famiglie di modelli viste prima in cui 9a 2 min e9a 2 min. E possibile mostrare che i modelli stazionari sono inconsistenti con le osservazioni. Infatti, ponendo a min p1 ` z c q 1, con z c redshift dello stato stazionario, si ottiene e, sostituendo la nella condizione 9a 2 min 2 p1 ` z cq 3 (6.142) H 2 a H 2 rp ` q 1s` H 2 a 2 si ottiene la relazione tra e z c 2 p1 ` z c q 2 3 3p1`zcq 2 zc 2 pz c ` 3q (6.143) Se adesso fossimo in uno stato stazionario, potremmo vincolare il valore di. Infatti osservando oggetti a redshift z 6, si ha che z c 6ovvero.1 che è almeno un fattore 1 inferiore al contributo della dark matter (ed un fattore 4 inferiore al contributo dei soli barioni). E anche chiaro che gli stati stazionari appena visti sono instabili e richiedono fine tuning: piccole variazioni di e portano subito o alla famiglia di soluzioni 9a 2 min oppure 9a 2 min che,comesièvisto,hannoandamentidiversi. Un caso interessante si ha per 9a 2 min À che, insieme al modello di Eddington-Lemaitre è r a p p r e s e n t a t o i n fi g u r a 6.2(c). Come nel caso visto prima (9a 2 min ) abbiamo due rami

92 92 I Modelli Cosmologici di Friedmann = Figura 6.3: Classificazione dei modelli di Friedmann con in un diagramma di in funzione di totale `. I modelli di Eddington-Lemaitre si trovano sulla linea indicata da Loitering Models. Il caso No Big Bang corrisponde ai modelli per cui 9a 2 min. distinti: nel ramo A l universo si espande a partire da un origine (big bang) nel passato e raggiungerà (eventualmente) uno stato stazionario nel futuro infinito. Nel ramo B l universo si espande a partire da un valore definito di a nel passato infinito. Lo stato stazionario del modello di Eddington-Lemaitre è indicato da C ed è instabile perché l universo, se perturbato, si muove sul ramo B o A. Un modello quasi stazionario può essere quello in cui siamo nella fase asintotica aptq costante e quindi siamo partiti da un big bang ad un tempo infinito nel passato, ovvero il ramo A di figura 6.2(c) con t Ñ8. Le proprietà dei modelli con costante cosmologica possonoessereriassuntiin un diagramma in cui si riporta vs +, come quello rappresentato in figura 8.6. In questa figura i modelli con giaccionosuunarettaa45. Poichè k 1 R 2 ` 1 c 2 {H 2 (6.144) la geometria dipende da ` 1. I modelli stazionari di Eddington-Lemaitre (separazione tra 9a 2 min e9a 2 min, quest ultimo indicato da No Big Bang ) sono caratterizzati da 3 9a 2 min H 2 2 p2 2 q 1{3 p ` 1q

93 Figura 6.4: La dinamica del modelli piatti, ` + 1, per= diverse combinazioni di e. Il tempo cosmico è in unità di H 1. Questi modelli possono essere confrontati con quelli in figura 6.1 in cui. che corrisponde anche a {2p1 ` z c q 3 esonochiamati LoiteringModels infigura. Infine il diagramma mostra anche la divisione tra i modelli che collasseranno ad un big crunch e quelli che si espanderanno per sempre. Si noti come la curva nera che separa le soluzioni ricollassanti da quelle espandenti all infinito si discosti dalla curva ` 1per Á 1.5; infatti è possibile avere un modello ricollassante anche per. Ciò è p o s s i b i l e q u a n d o 1, Á etalichel universoricollassialbigcrunchprimache la Costante Cosmologica diventi dominante e porti alla riaccelerazione dell universo. Imodellicon possonoavereetàdell universot H 1. Nel caso limite dei modelli di Eddington-Lemaitre con 9a min, a a min, l universo è infinitamente vecchio. Un tipo di modelli con età t H 1 sono i modelli di Lemaitre con valore tale che 9a min Á cioè appena maggiore di zero (figura 6.2d). Come mostreremo più avanti, abbiamo l evidenza molto forte che la geometria dell universo è piatta per cui `» 1 (6.145) La dinamica di questi modelli è mostrata in figura 6.4; se è s u l età dell universo può essere H 1. cientemente grande,

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95 Capitolo 7 Osservazioni in Cosmologia - 2 a parte Riprendiamo adesso la parte sulle osservazioni cosmologiche dopo che abbiamo risolto le equazioni di Friedmann e determinato aptq. La costante di Hubble H misura il tasso di espansione dell universo per t t. E possibile definire un parametro legato all accelerazione / decelerazione dell universo: che, per t t,è ˆa:a q 9a 2 q è n o t o c o m e p a r a m e t r o d i d e c e l e r a z i o n e. S e c o n s i d e r i a m o (7.1) ˆa:a q (7.2) 9a 2 t t e poniamo t t, apt q 1, 9apt q H, allora si ha :a H 2 2a 2 ` H 2 a (7.3) :a H 2 2 ` H 2 (7.4) per cui ovvero q :a H 2 2 (7.5) q 2 (7.6) cioè q, parametro di decelerazione, rappresenta la competizione tra l e etto della decelerazione gravitazionale e l e etto dell accelerazione dovuto alla dark energy. Per.3,.7 valoriattualmentestimati,siha q.55 (7.7) questo indica che al momento l universo sta accelerando per e etto della dark energy.

96 96 Osservazioni in Cosmologia - 2 a parte 7.1 Relazione z t L altra equazione è con diventa 9a 2 H 2 9a 2 H 2 a del resto, a p1 ` zq 1 per cui si ottiene ovvero ma, poichè a p1 ` zq 1 si ha anche c2 R 2 ` H 2 a 2 (7.8) c 2 R 2 H2 rp ` q 1s (7.9) ˆ1 a 1 ` `a2 1 ` 1 (7.1) z 2 1{2 ` 2z 9a H z p1 ` zq ` 1 (7.11) 2 9a H p z ` 1qp1 ` zq 2 zpz ` 2q 1{2 1 ` z (7.12) 1 dz 9a p1 ` zq 2 dt (7.13) che, unita alla precedente fornisce dz dt H p1 ` zq p z ` 1qp1 ` zq 2 zpz ` 2q 1{2 (7.14) relazione che permette di collegare il tempo cosmico con z, infatti, integrando dopo la separazione delle variabili si ottiene ovvero ª t dt 1 ª z dz (7.15) H 8 p1 ` zqrp z ` 1qp1 ` zq 2 zpz ` 2qs 1{2 t 1 H ª `8 z dz p1 ` zqrp z ` 1qp1 ` zq 2 zpz ` 2qs 1{2 (7.16) Questo integrale ha soluzioni analitiche in alcuni casi, ad esempio per (vedilibro). A noi interessa il modello cosmologico indicato dalle osservazioni per il quale e ` 1 (7.17) In questo caso si può riscrivere l espressione 7.16 sfruttando proprio la relazione Consideriamo il denominatore della 7.16 erielaboriamoloponendo 1 rp z ` 1qp1 ` zq 2 zpz ` 2qs rp z ` 1qp1 ` zq 2 p1 qzpz ` 2qs p1 ` zq 3 ` 1 p1 ` zq 3 ` (7.18)

97 7.2 Relazione tra z, coordinata comovente e misura di distanza 97 e nell ultima espressione abbiamo risostituito a1. Quindi la relazione tra tempo cosmico e redshift diventa per ` 1 Definendo si ottiene infine t 1 H ª `8 z tan t dz p1 ` zqr p1 ` zq 3 ` s 1{2 (7.19) 2 ˆ 3H 1{2 1{2 p1 ` zq 3{2 (7.2) ˆ1 ` cos ln sin (7.21) L età dell universo attuale si ha ponendo z ovverotan p { q 1{2 da cui «2 1 ` 1{2 t ln (7.22) 3H 1{2 p1 q 1{2 ovvero, è possibile trovare un modello di Friedmann per cui t H 1 con una geometria piatta. Per.3 e.7 sihainfine rimarchevolmente simile a H 1. t.964 H 1 (7.23) 7.2 Relazione tra z, coordinata comovente e misura di distanza Avevamo trovato l incremento della coordinata radiale comovente imponendo la condizione ds 2 perlapropagazionedellaluce: Abbiamo appena trovato che dr cdt aptq cdtp1 ` zq (7.24) dz dt H p1 ` zq p z ` 1qp1 ` zq 2 zpz ` 2q 1{2 per cui, ricavando dt esostituendonell espressioneperdr si ottiene (7.25) dr c H dz rp1 ` zq 2 p z ` 1q zpz ` 2qs 1{2 (7.26) quindi, integrando tra e z, si ottiene la relazione tra la coordinata radiale comovente r ed il redshift r c ª z dz (7.27) H rp1 ` zq 2 p z ` 1q zpz ` 2qs 1{2 Ricordiamo che la misura di distanza D è D R sin r R (7.28)

98 98 Osservazioni in Cosmologia - 2 a parte Figura 7.1: Variazione col redshift della distanza radiale comovente per modelli con ` 1. Poichè la geometria è piatta, la distanza radiale comovente è anche pari alla misura di distanza Dprq R sinpr{rq r. r è in unità di c{h. con R dato dalla relazione c 2 R 2 H rp ` q 1s (7.29) Nel caso che più ci interessa, ovvero quello di universo piatto ( ` 1), è possibile trovare delle soluzioni numeriche per l integrale 7.27 che sono riportate in figura 7.1 e dove si considerano vari casi, per vari valori di. Ricordiamo che, poichè ` 1, R Ñ8e D r: D H 1{2 rp ` q 1s c 1{2 sin e, per ` Ñ 1, sviluppando al primo ordine il seno # + r H1{2 rp ` q 1s 1{2 c (7.3) D» 1{2 c H 1{2 (((((((((( rp ` q 1s r H 1{2 c (((((((((( rp ` q 1s 1{2 r (7.31) Come si vede dalla figura, per un dato z, la misura di distanza e la coordinata comovente crescono al decrescere di. Questo risultato lo possiamo interpretare in termini di light travel time necessario a raggiungere la Terra lungo la geodetica radiale: minore la decelerazione dell espansione (ovvero minore ), maggiore è la distanza che la luce deve percorrere per raggiungere la Terra.

99 7.3 Relazione tra z e distanza angolare 99 Figura 7.2: Variazione col redshift del diametro angolare di un righello di lunghezza propria unitaria nel caso in cui ` 1. In questo diagramma c{h è stato posto pari ad Relazione tra z e distanza angolare Ricordiamo che la distanza angolare D A è q u e l l a d i s t a n z a p e r c u i l a d i m e n s i o n e a n g o l a r e apparente di un oggetto è d (7.32) D A con D A D (7.33) 1 ` z e D misura di distanza. In figura 7.2 si riporta la variazione col redshift del diametro angolare di un righello di lunghezza propria unitaria nel caso in cui ` 1. In tutti i casi c è una dimensione angolare minima che viene raggiunta ad un certo redshift (z 1 1), poi all aumentare del redshift la dimensione angolare aumenta nuovamente. Il minimo è dovuto alla combinazione di due e etti: il primo è dovuto alla geometria curva del modello mentre il secondo è dovuto al fatto che il righello ha una dimensione che aumenta come p1 ` zq ad alti z. 7.4 Relazione tra z e densità di flusso Avevamo trovato che con S bol L bol 4 D 2 L (7.34) D L Dp1 ` zq (7.35)

100 1 Osservazioni in Cosmologia - 2 a parte Figura 7.3: Variazione col redshift della densità di flusso di una sorgente di luminosità unitaria con uno spettro a legge di potenza (L 9 1 ) nel caso in cui ` 1. In questo diagramma c{h è stato posto pari ad 1. Visto che lo spettro ha pendenza unitaria, queste relazioni sono le stesse delle relazioni che descrivono le variazioni col redshift delle densità di flusso bolometriche con le luminosità. La curva rossa rappresenta l andamento classico S L{4 r 2. Inoltre avevamo anche trovato che S L 4 D 2 p1 ` zq 1` (7.36) per L 9 (7.37) La variazione col redshift della densità di flusso S è r i p o r t a t a i n fi g u r a 7.3 per il caso in cui ` 1. Poichè lo spettro della sorgente considerata è una legge di potenza con pendenza unitaria (L 9 ), questo equivale anche alla variazione col redshift della densità di flusso biolometrica. La figura mostra come, ad alto redshift, le di erenze di S dovute a per un dato L sono relativamente piccole, per cui per poter stimare da relazioni magnitudine-redshift occorrono delle candele standard molto precise. Per fortuna, le supernova di tipo Ia lo sono. 7.5 Relazione tra z e volume comovente Avevamo trovato che r dv 4 R 2 sin 2 dr 4 D 2 dr (7.38) R

101 7.6 Il problema della piattezza 11 Figura 7.4: Variazione col redshift del volume comovente nel caso in cui ` 1. equestarelazioneciserveperstimareledensitàdeglioggetticosmiciinundatointervallo di redshift a partire dai conteggi ottenuti con le survey. In questo caso c è solo da fare un integrazione numerica. Imodellicon maggiore hanno un maggior volume comovente a causa dell allungamento della scala del tempo cosmologico. 7.6 Il problema della piattezza Quando abbiamo introdotto la costante di Hubble abbiamo enfatizzato come cambi con il tempo cosmico Hptq 9aptq (7.39) aptq Dall equazione di Friedmann per 9a avevamo trovato che ovvero, posto a p1 ` zq 1, si ottiene 1{2 ˆ1 9a H a 1 ` `a2 1 ` 1 (7.4) Hpzq 9a a H 1 z 2 1{2 2z 1 p1 ` zq pz ` 1 1q` ` 1 (7.41) p1 ` zq 2 da cui Hpzq H p1 ` zq 2 p z ` 1q zpz ` 2q 1{2 (7.42)

102 12 Osservazioni in Cosmologia - 2 a parte Le costanti cosmologiche e sono state definite per il tempo t t ovvero 8 G 3H 2 3H 2 (7.43) per cui è chiaro che al tempo t le stesse costanti sono esprimibili come m pzq 8 G 3Hpzq 2 pzq 3Hpzq 2 (7.44) Hpzq è d a t o d a l l a 7.42, mentre la densità di materia (polvere) scala come a 3 p1 ` zq 3. Utilizzando i valori per aredshift,l espressioneperladensitàeperhpzq è possibile scrivere ˆ 2 H m pzq Hpzq pzq 3Hpzq 2 p1 ` zq 3 rp1 ` zq 2 p z ` 1q zpz ` 2qs ˆ 2 H 1 Hpzq rp1 ` zq 2 p z ` 1q zpz ` 2qs Quindi il contributo totale al parametro di densità a redshift z è pzq m pzq` pzq p1 ` zq 3 ` rp1 ` zq 2 p z ` 1q zpz ` 2qs (7.45) che è esprimibile anche come pzq z ` 1 1 ` z ` p1 ` zq ` z 1 (7.46) p1 ` zq 3 se si ha z " 1e z " 1allora pzq» z z > ` p1 ` zq» ` z > fi 1 p1 ` zq 3 fl (7.47) ovvero pzq» 1 ` z» 1 (7.48) quindi, indipendentemente dal valore di, si ha che per z " 1, z " 1, pzq Ñ1. Non è sorprendente che la dark energy non sia importante dinamicamente ad alto z; questa è

103 7.7 Geometria aperte, chiuse e metrica di Robertson e Walker 13 la conseguenza delle diverse dipendenze da z della densità di materia e della densità di energia oscura. Quindi, torniamo alla 7.46 eponiamo =, tanto sappiamo che la dark energy non è importante ad altro z; otteniamo pzq p1 ` zq z ` 1 (7.49) rielaborando possiamo scrivere 1 pzq z 1 ` z ` 1 pzq pzq ` z 1 p1 ` zq 1 ` z ` 1 p1 ` zq ˆ 1 1 (7.5) ed infine 1 1 pzq 1 ˆ ` z (7.51) Ci sono due modi per vedere questo risultato: da un lato ria erma quanto avevamo trovato, ovvero che tutti i modelli per tempi piccoli tendono al modello critico con 1. Dall altro, però, è rimarchevole che l universo sia così vicino a 1oggi(figura7.5): se fosse stato molto diverso da 1 in passato, allora sarebbe molto diverso da 1 adesso (fattore p1 ` zq 1!). Nel modello standard non c è nulla che richieda che» 1, questo è semplicemente un parametro fissato con le condizioni iniziali del nostro universo. Le osservazioni, come vedremo più avanti, suggeriscono che».3, il che significa che la curvatura k è prossima a all epoca attuale. In e etti, come vedremo più avanti, la curvatura misurata da WMAP e Planck è rimarchevolmente vicina a. Questa è l origine del cosiddetto problema della piattezza, ovvero l universo deve essere stato molto finely tuned al valore» 1inpassatoperpoteravere» 1adesso. Quello che abbiamo appena trovato è uno dei pezzi chiave dell evidenza sperimentale per il modello inflazionario nell universo primordiale. 7.7 Geometria aperte, chiuse e metrica di Robertson ewalker Abbiamo analizzato in dettaglio le proprietà della metrica RW e abbiamo determinato aptq dalla Relatività Generale; abbiamo poi visto come la geometria dell universo, descritta dalla curvatura k, dipenda dal segno di ` 1. Adesso dobbiamo far notare una cosa che fino ad ora è stata data per scontata. La metrica di RW è ds 2 dt 2 aptq2 r 2 ı dr 2 ` R 2 sin `d 2 2 ` sin 2 d c 2 R e la curvatura dello spazio per t t è k 1 R 2

104 z= (z) Figura 7.5: Relazione tra e pzq per z 1. La fascia rossa rappresenta i vincoli osservativi per : questi comportano che pzq»1. La misura delle distanze angolari e di luminosità sono legata alla misura di distanza r D R sin R Utilizzando la Relatività generale, abbiamo trovato i modelli di Friedmann la cui caratteristica è il legame tra geometria dello spazio e parametri di densità k 1 R 2 H2 c 2 p ` 1q ovvero k, curvatura, può essere positiva, nulla o negativa. Ma cosa succede quando k è n e g a t i v a, d a t o c h e R k 1{2? Poniamo k K (K ) e R K 1{2, allora si ha R 1 k 1 i ir 1{2 ik1{2 K1{2 dove si è sfruttato il fatto che 1{i i. La misura di distanza è r ˆ r D R sin ir sin ir sin i r R ir R ma sinhpxq i sinpixq per cui si ottiene infine che, nel caso di curvatura negativa, si ha r D R sinh R ds 2 dt 2 aptq2 r 2 ı dr 2 ` R 2 sinh `d 2 2 ` sin 2 d c 2 R dove la curvatura è k K eilraggiodicurvaturar ir.

105 Capitolo 8 Determinazione dei Parametri Cosmologici In questa parte ci occuperemo delle misure dei parametri cosmologici e di come queste abbiano portato ad una cosmologia di precisione con la determinazione del cosiddetto concordance model. I parametri cosmologici che caratterizzano i cosiddetti modelli uniformi, ovvero quelli con universo omogeneo ed isotropo, sono la costante di Hubble, H ˆ 9a 9apt q (8.1) a t il parametro di decelerazione ˆ:aa q :apt q 9a 2 t H 2 (8.2) il parametro di densità c 8 G 3H 2 (8.3) in cui spesso si separa la materia barionica dalla materia oscura (dark matter) che, come vedremo, deve avere una composizione fisica diversa il parametro di densità del vuoto b ` DM (8.4) V c 3H 2 (8.5) la curvatura dello spazio k c2 R 2 (8.6) con R raggio di curvatura all epoca attuale (t t ); l età dell universo t t ª 1 da 9a (8.7)

106 16 Determinazione dei Parametri Cosmologici Nei modelli di Friedmann non tutti questi parametri sono indipendenti tra loro e risulta ˆ 2 c k p ` q 1 H q 2 Altri parametri verranno introdotti in futuro per descrivere la formazione delle strutture. Il punto cruciale è che la relazione tra le misure di distanza ed il redshift rpzq, Dpzq, D A pzq, ed L pzq è d e t e r m i n a t a d a i p a r a m e t r i c o s m o l o g i c i. Q u i n d i, m i s u r e i n d i p e n d e n t i d i due tra r, D, D A e D L, permettono di determinare i parametri cosmologici. Per poter far questo è però necessario avere a disposizione delle standard candles e/o dei rigid rods ovvero sorgenti con luminosità e/o dimensioni intrinseche note: queste permettono di ricavare le relazioni S z (flusso-redshift) o m z (magnitudine-redshift) e D A z per una o più classi di sorgenti che consentono quindi di determinare i parametri cosmologici. 8.1 Test dei modelli di Friedmann Ricordiamo ancora una volta l equazione della forza e l equazione dell energia :a H 2 2a 2 ` H 2 a (8.8) 9a 2 H 2 a ` H 2 a 2 c2 R 2 (8.9) La prima equazione dice che accelerazione = forza gravitazionale (decelerazione) + forza repulsiva della dark energy (accelerazione) edaessaricaviamocheq {2. La seconda invece mostra come energia cinetica = energia gravitazionale + dark energy - curvatura dello spazio ed in pratica determina il modo in cui la curvatura dello spazio dipende dall energia al tempo t kptq c2 R c ptq c 2 (8.1) 2 R 2 aptq 2 ovvero kptq9aptq 2, ed inoltre impone la relazione tra curvatura attuale e parametri di densità c 2 R 2 H2 rp ` q 1s (8.11) Come vedremo a breve, q e possono essere misurati separatamente a partire dalla relazione r c ª z dz (8.12) H rp1 ` zq 2 p z ` 1q zpz ` 2qs 1{2 Adesso ricaviamo Dpzq dalla cinematica ovvero sviluppiamo aptq in serie di Taylor attorno all epoca attuale t t a apt q`9apt q t ` 1 2 :apt q t 2 `... (8.13)

107 8.1 Test dei modelli di Friedmann 17 con t t t ; possiamo definire il lookback time t t t escrivere ponendo x H otteniamo ovvero aptq 1 H 1 2 q H 2 2 `... (8.14) apxq 1 x 1 2 q x 2 ` ` z 1 x 1 2 q x 2... ˆ 1 z 1 x 1{2 q x 1 «1 ` x ` 1 ˆ 2 2 q x 2 ` x ` q x 2 1 z x ` 1 ` q x 2 `... (8.15) 2 Ricordando che x H, t t elarelazionetrar ed il fattore di scala, possiamo scrivere ª ª cd r a cp1 ` zqd (8.16) Utilizzando la relazione appena trovata tra z e x (8.15) possiamoscrivere r ª x c 1 ` x ` H 1 ` q 2 x 2 ı dx (8.17) e, calcolando l integrale, otteniamo r c H «x ` x2 2 ` 1 ` q 2 x3 3 `... (8.18) Abbiamo pertanto ottenuto, al secondo ordine in x, z x ` 1 ` q 2 x 2 `... r c H x ` x2 2 `... (8.19) Dalla prima possiamo ricavare che, sempre al secondo ordine, z 2 x 2 z x ` x2 2 ` 1 2 x2 p1 ` q q x ` x2 2 z 1 2 x2 p1 ` q q x ` x2 2 z 1 2 p1 ` q qz 2 r c H z 1 2 p1 ` q qz 2 `... (8.2)

108 18 Determinazione dei Parametri Cosmologici Del resto la relazione tra misura di distanza e distanza radiale comovente è r D R sin R per cui, nel limite r{r! 1possiamoscrivere r D» R R 1 6 D» r 1 1 r 6 R esostituendolarelazionetrovatatrar e z D» c z 1» H 2 p1 ` q qz 2 1 r 3 `... R 2 `... fi : 1 c 2 z2 z 1 p1 ` q 2 qz H 2 fl R (8.21) (8.22) ovvero abbiamo ottenuto dall espansione di aptq il risultato cinematico al secondo ordine in z D c z z2 H 2 p1 ` q q (8.23) Adesso ricaviamo Dpzq dinamicamente ovvero sviluppiamo r e D fino al terzo ordine in z dalla relazione r rpzq ovvero da r c H ª z dz rp1 ` zq 2 p z ` 1q zpz ` 2qs 1{2 (8.24) Esplicitiamo q in questa relazione rielaborando il denominatore ovvero r p1 ` zq 2 p z ` 1q zpz ` 2q 1 `p2 ` 2 qz `p1 ` 2 qz 2 ` z 3 1 ` 2p1 ` q qz `p1 ` q ` 3{2 qz 2 ` z 3 c H ª z dz r1 ` 2p1 ` q qz `p1 ` q ` 3{2 qz 2 ` z 3 s 1{2 (8.25) Adesso otteniamo r sviluppando al terzo ordine in z; per far questo è su ciente sviluppare al secondo ordine l argomento dell integrale r» c ª z 1 p1 ` q q z 1 ˆ 1 ` 3 H 2 2 ` q z 2 ` 3 `1 ` 2q ` q 2 z2 `... dz 2 r» c ª z ˆ 1 p1`q qz ` 2 3 H 2 ` 5q ` 3q 2 z2 2 `... dz r c ˆ z p1`q q z2 H 2 ` ` 5q ` 3q 2 z3 6 `... ma, sviluppando al secondo ordine r D R sin» r R 1 1 r 2 6 R (8.26)

109 8.2 La misura di H 19 Figura 8.1: Dipendenza di D e r da z per modelli piatti ( ` 1) al variare di. esostituendol espressioneappenatrovataperr si ottiene infine D c z z2 p1 ` qq`z3 H 2 6 p3 ` 6q ` 3q 2 3 q`... Confrontandolo col risultato cinematico D c z z2 H 2 p1 ` q q`... (8.27) (8.28) in cui compaiono solo i parametri cinematici H e q, si nota come fino al secondo ordine le due espressioni siano uguali. La dipendenza da compare solo al terzo ordine in z. Ovvero, la conclusione è che D dipende solo da H e q abassoz ma, anche al terzo ordine, la dipendenza da è debole. Pertanto per piccoli z (es. z.3) si può determinare q apartiredallerelazionitrad, D A e D L con z; andando a redshift più alti posso anche determinare che, combinato con q, mi permette di trovare. In figura 8.1 si riporta la relazione tra D, r e z già vista nel capitolo precedente. Come si vede, le di erenze significative per si hanno a redshift z Á 1. E importate notare che lo studio delle relazioni D z costruisce un test della Relatività Generale e delle leggi della fisica su grande scala. 8.2 La misura di H H compare nelle misure di distanza, per esempio in D» c z z2 H 2 p1 ` q q (8.29)

110 11 Determinazione dei Parametri Cosmologici Figura 8.2: La scala delle distanze cosmologiche (Rowan-Robinson 1988). per z! 1alprimoordinesihaD» r ovvero D» c H z» r (8.3) che è la legge di Hubble. Per ottenere una stima di H è quindi necessario determinare le distanze di sorgenti con luminosità nota. Per fare questo si utilizza la scala delle distanze cosmologiche (figura 8.2) icui gradini piùimportantisonoleseguenti 1. parallassi: sono le uniche distanze dirette insieme ai moti propri ma sono limitate a À 1 kpc anche con le misure del satellite Hipparcos; 2. moti propri: con lo studio delle stelle binarie o dei moti delle stelle nel centro galattico si arriva fino a 1 kpc; 3. stelle variabili (Cefeidi, RR Lyrae): sono caratterizzate da relazioni Periodo-Luminosità ben definite calibrate utilizzando le misure dirette di distanza (1) e (2); 4. relazione Tully-Fisher: ovvero la relazione L v nelle galassie a spirale ( v è la larghezza della riga HI a 21 cm); 5. piano fondamentale: la relazione R e Ie per i bulge e le galassie ellittiche con R e raggio e cace (LpR e q 1{2L), I e brillanza media entro il raggio e cace e e velocità di dispersione media entro il raggio e cace.

111 8.3 Età dell universo 111 Utilizzando queste misure di distanze, intercalibrate tra loro si ottenevano per lungo tempo valori H» 5 1 km s 1 Mpc 1 Alla fine degli anni 9 grazie ad un Key Project di HST guidato da Wendy Freedman dedicato allo studio di Cefeidi nell ammasso della Vergine, combinato con le misure delle parallassi per Cefeidi nella nostra galassia (che hanno fornito una relazione accurata P L) si è ottenuto H 72 8kms 1 Mpc 1 p1 q Altre stime indipendenti ottenute dalla variabilità delle lenti gravitazionali (immagini diverse dello stesso oggetto hanno cammini ottici diversi; combinando la variabilità della sorgente con i ritardi le variabilità osservate delle varie immagini si misura H )hanno portato a valori del tipo H km s 1 Mpc 1 H 68 6 pstatq 8 psystq km s 1 Mpc 1 tutti questi valori sono consistenti con le misure ottenute con le Cefeidi durante il key project di HST. Una misura recente di H che combina Cefeidi e Supernovae di tipo Ia con la distanza geometrica di NGC 4258 (dall accelerazione dei maser H 2 Oosservatinellaregionenucleare della galassie) fornisce 8.3 Età dell universo H kms 1 Mpc 1 Riess et al. 211 Dalla determinazione del Turn-o della Main Sequence di un ammasso globulare è possibile determinare l età dell ammasso e quindi porre un limite inferiore all età dell universo (figura 8.3). Nel caso dell ammasso 47 Tucanae di otteneva t p12 14qˆ1 9 yr altre stime da ammassi globulari più vecchi fornivano t pstatq `4 1 psystq queste stime erano in (parziale) contrasto con le stime di età dell universo ottenute con i modelli cosmologici per i quali t H Gyr. Nel 1997 le osservazioni del satellite Hypparcos hanno portato all aumento della scala delle distanze di 1%, pertanto le stelle nei globulari erano più luminose e quindi il turn-o era più giovane; adesso si ha t p q Gyr in ottimo accordo con t H Gyr. 8.4 Il parametro di decelerazione q Le speranze dei primi cosmologi erano quelle di poter determinare q da una relazione del tipo magnitudine apparente redshift; ma questo è risultato estremamente di cile perché le proprietà delle sorgenti variano nel tempo.

112 112 Determinazione dei Parametri Cosmologici Helium Flash Turn off point white dwarfs gap Horizont al branch Red Giant Branch Main Sequence Ammasso globulare Messier 5 (M5) Ammasso globulare 47 Tucanae Figura 8.3: Diagrammi HR di due ammassi globulari con identificazione delle varie fasi evolutive (sinistra) e la determinazione dell età con le isocrone di una popolazione stellare (sinistra) Relazione m z per le brightest cluster galaxies Questa è una relazione ben definita da cui si può ricavare H (figura 2.13); questa relazione è b e n d e fi n i t a s o l o p e r z.5 earedshiftsuperioricisonoproblemidovutiaiprocessi evolutivi delle galassie, poichè si va indietro a lookback times maggiori dei tempi scala evolutivi delle galassie Relazione m z per le radio-galassie Le radiogalassie sono oggetti identificabili facilmente a tutti i redshift con le survey radio; le galassie ospiti ad esse associate sono tra le più luminose note per cui c è stato un tentativo di utilizzarle come candele standard. In figura 8.4 si riporta la relazione m z per narrow line radio gaalxies estratte dal catalogo 3CR con magnitudini osservate in banda K a2.2µm. In questa figura si cerca di tener conto dell evoluzione in L delle galassie esitrovanovaloriq» 1con 1. Ma questo risultato è una vera e propria cosmic conspiracy dovuta al fatto che le galassie a z alti (.5 1) sono intrinsecamente più luminose delle controparti locali. L utilizzo delle proprietà delle galassie ad alto z per la cosmologia è rischioso: infatti si impara di più sull astrofisica delle sorgenti che non sui parametri cosmologici Relazione m z per le Supernovae Ia Le supernovae di tipo Ia hanno solo una piccola dispersione nella luminosità al picco della loro curva di luce. Questa dispersione si riduce ulteriormente se si tiene conto della

113 8.4 Il parametro di decelerazione q 113 Figura 8.4: Relazione m z per le radiogalassie. Figura 8.5: Relazione m z per le supernovae Ia ottenute dai due gruppi che hanno vinto il premio Nobel nel 211. correlazione tra la luminosità del massimo e la durata dell outburst iniziale (luminositywidth relation): le supernovae con declino della curva di luce più lento sono le più luminose. La dispersione residua della luminosità al picco è di sole.21 magnitudini (figura 4.1). C è un motivo fisico per cui possono essere considerate candele standard: sono dovute allo stesso fenomeno fisico indipendentemente da z e dall evoluzione dei sistemi. Questo è

114 114 Determinazione dei Parametri Cosmologici Figura 8.6: Livelli di confidenza per e dal Supernova Cosmology Project (sinistra) e da ESSENCE e Supernova Legacy Survey (destra). l innesco delle reazioni di bruciamento nucleare del Carbonio nel nucleo di una nana bianca in un sistema binario che supera il limite di Chandrasekar a seguito dell accrescimento di materia dalla compagna; questo determina una reazione a catena che porta all esplosione della stella perché si ha l innesco delle reazioni nucleari in un ambiente in cui la pressione non dipende dalla temperatura. In figura 8.5 ci sono le relazioni m z ottenute con le survey eseguite dai due gruppi che hanno vinto il premio Nobel nel 211: le survey ESSENCE e Supernova Legacy Survey eseguite da uno dei due gruppi e la survey Supernova Cosmology Project eseguita dall altro. Queste relazioni sono anche confrontate con le relazioni teoriche attese per vari valori di e. Come vedremo, dall analisi delle fluttuazioni della radiazione di fondo cosmica, si ottiene che l universo deve essere piatto: `» 1. Tenendo conto di questo risultato, il best fit delle relazioni m z osservate si ha per.23 e.73 (figura 8.6): per la prima volta si è trovato che. Tenendo conto delle incertezze sui valori congiunti di e, al95%diconfidenza. Il valore».25.3chesiottieneèconsistenteconleanalisideidatidegliammassi di galassie e delle velocità peculiari delle galassie locali Conteggi di galassie Come abbiamo visto i conteggi di galassie in funzione del redshift sono dati dalla relazione Npzqdz N fpzq 4 D 2 dr (8.31)

115 8.5 Test della relazione D A z 115 = Figura 8.7: Conteggi di galassie in banda H fino a m 28 mag. Diversi modelli di evoluzione delle galassie (ovvero diversi fpzq) danno un buon fit dei dati con diversi valori di q. con D che dipende da H,,. Per bassi redshift (z 1), D dipende principalmente da q epocoda. Il problema è che non si conosce fpzq ovvero l evoluzione della popolazione: le popolazioni delle sorgenti non hanno densità costanti ma evolvono in z. Pertanto, come già visto prima, si impara di più sull astrofisica delle sorgenti che sui parametri cosmologici (figura 8.7). 8.5 Test della relazione D A z La relazione D A z ha la caratteristica particolare del minimo per z 1 1 (figura 7.2). Per poter verificare questa relazione occorre trovare un tipo di sorgenti che forniscano un rigid rod. Test fatti in passato hanno utilizzato come rigid rod la distanza tra i due lobi di radiogalassie (figura 8.8). Il problema è che, in media, questa distanza non è costante col redshift ed è quindi necessario assumere una dipendenza col redshift. Anche in questo caso si può concludere che si impara di più sulle fisica delle sorgenti che sui parametri cosmologici.

116 116 Determinazione dei Parametri Cosmologici Figura 8.8: Relazione D A z per le distanze tra i lobi radio di due campioni distinti di Radio Galassie. 8.6 e la statistica delle lenti gravitazionali Il volume comovente corrispondente a z, z ` dz aumenta all aumentare di (figura 7.4). Uno degli e etti che dipende dal volume (per numero degli oggetti fissati) è la probabilità di osservare una lente gravitazionale. Quindi si eseguono survey di lenti gravitazionali, si determina z dell oggetto lensato e si stima la probabilità di lensing. Un esempio è la survey CLASS (Cosmic Lens All Sky Survey) che consisteva in un campione di radio sorgenti osservato con VLA e MERLIN per la ricerca di sorgenti doppie (lensate): su 8958 radio sorgenti osservate sono state torvate 13 sorgenti multiple (lensate). Questo comporta un point source lensing rate di 1 per sorgenti osservate che, combinato con `» 1, comporta.31` p68%q `.12.1 psystq. Questa survey permette anche di ottenere dei limiti sull equazione di stato della costante cosmologica w.55` p68%q. La missione EUCLID dell ESA utilizzerà il lensing gravitazionale per determinare un valore accurato di w. 8.7 Misura del parametro di densità Combinando la stima della massa stellare delle galassie con le funzioni di luminosità delle galassie stesse è possibile ottenere la densità di massa in stelle nell universo. In modo analogo si può stimare la densità di materia oscura nelle galassie combinando la frazione di DM per tipo di galassie con la funzione di luminosità delle galassie. In questo modo si ottiene la densità di massa totale (barionica+oscura) da cui. In modo analogo, si può stimare anche dagli ammassi di galassie utilizzando il teorema del viriale e il lensing gravitazionale. Tutte queste analisi indicano che «.2.3. Su scale più grandi degli ammassi si possono confrontare le velocità delle galassie con le velocità del flusso di Hubble; le velocità peculiari u sono dovute a fluttuazioni di densità

117 8.8 Valori dei parametri cosmologici 117 rispetto alla media. Come vedremo più avanti, si può dimostrare che al primo ordine ˆ u 9 H r.6 (8.32) usando un gran numero di misure di redshift di galassie si può quindi ottenere una stima di. Da questo tipo di stime si ottiene che sicuramente.1 eche».2.3, consistentemente con la maggior parte dei dati. Se si mettono insieme gli studi su con i risultati dell analisi della CMB si ottiene alla fine che» Una conseguenza importante di questo risultato è che la maggior parte della materia dell universo non può essere barionica. La materia barionica è sintetizzata durante il big bang; in pratica baryons dipende dalle abbondanze degli elementi leggeri sintetizzati durante il big bang; come vedremo più avanti si ottiene che b p.223.2qh 2. Con h.7 siha b.455 ovvero non ci sono abbastanza barioni per spiegare. 8.8 Valori dei parametri cosmologici Riassumendo, si hanno i seguenti vincoli sui parametri cosmologici: `» 1, dalle fluttuazioni della CMB;».25.3 daimotidellegalassieedallensing; b».4 dalla nucleosintesi primordiale;».7 dallesupernovaese ` 1; t Á 12 Gyr dagli ammassi globulari più vecchi; H» 74 km s 1 Mpc 1 dalle Cefeidi e dalle Supernovae In tabella 8.1 si riportano i parametri cosmologici determinati con l analisi congiunta dei dati dell ottavo anno di WMAP (fluttuazioni della CMB), dalla struttura a grande scala delle galassie (BAO, Baryon Acoustic Oscillations) e dalle misure della costante di Hubble. Alcuni di questi parametri sono relativi alla formazione delle strutture e saranno visti più avanti. 8.9 Il Test di Sandage: la misura diretta dell accelerazione dell universo Utilizzando la metrica RW abbiamo trovato che aptq 1 1 ` z con t tempo di emissione del fotone e z redshift misurato a t. La relazione tra a e z era stata ricavata da apt q e apt e q (8.33)

118 118 Determinazione dei Parametri Cosmologici The Astrophysical Journal Supplement Series, 192:18(47pp),211February Komatsu et al. Table 1 Summary of the Cosmological Parameters of ΛCDM Model a Class Parameter WMAP Seven-year ML b WMAP+BAO+H ML WMAP Seven-year Mean c WMAP+BAO+H Mean Primary 1Ωbh ±.54 Ωch ± ±.36 ΩΛ ±.16 ns ± ±.12 τ ± ±.14 2 R (k ) d (2.43 ±.11) 1 9 (2.43 ±.91) 1 9 Derived σ ±.24 H 7.3kms 1 Mpc 1 7.4kms 1 Mpc ± 2.5kms 1 Mpc ± 1.4kms 1 Mpc 1 Ωb ± ±.16 Ωc ± ±.15 Ωmh ±.36 zreion e ± ± 1.2 t f Gyr Gyr ±.13 Gyr ±.11 Gyr Notes. a The parameters listed here are derived using the RECFAST 1.5 and version 4.1 of the WMAP likelihood code. All the other parameters in the other tables are derived using the RECFAST and version 4. of the WMAP likelihood code, unless stated otherwise. The difference is small. See Appendix A for comparison. b Larson et al. (211). ML refers to the maximum likelihood parameters. c Larson et al. (211). Mean refers to the mean of the posterior distribution of each parameter. The quoted errors show the 68% confidence levels (CLs). d 2 R (k) = k 3 PR(k)/(2π 2 )andk =.2 Mpc 1. e Redshift of reionization, if the universe was reionized instantaneously from the neutral state to the fully ionized state at z reion. Notethatthesevaluesare somewhat different from those in Table 1 of Komatsu et al. (29a), largely because of the changes in the treatment of reionization history in the Boltzmann code CAMB (Lewis 28). f The present-day age of the universe. Table 2 Tabella 8.1: Parametri cosmologici determinati dall analisi congiunta dei dati dell ottavo anno di WMAP (fluttuazioni della CMB), dalla struttura a grande scala delle galassie (BAO, Baryon Acoustic Oscillations) e dalle misure della costante di Hubble. Si vede in particolare l ultima colonna a destra.

119 8.9 Il Test di Sandage: la misura diretta dell accelerazione dell universo 119 dove avevamo anche posto apt q 1. Però adesso identifichiamo bene t e, tempo a cui vengono emessi i fotoni e t, tempo a cui facciamo l osservazione, e lasciamo apt q inespresso apt e q apt q 1 ` zpt q zpt q apt q apt e q 1 (8.34) Facciamo adesso una seconda osservazione a t ` t ; questo vuol dire osservare i fotoni partiti a t e ` t e con t e r1 ` zpt qs t (8.35) vediamo adesso la variazione del redshift misurato z zpt ` t q zpt q 9zpt q t (8.36) con 9zpt q dz (8.37) dt derivata rispetto a t, tempo di osservazione. Con alcuni semplici calcoli ˆ dz 1 d rapt qs apt q dt t apt e q dt apt e q 2 d rapt qs 9apt q H dt 1 apt e q 1 ` zpt q 1 ` z apt q dt dt e p1 ` zq d 1 d rapt e qs 1 dt 1 ` z dt e 1 ` z apt eqhpt e q 9zpt q H p1 ` zq 1 apt e q apt e qa 2 1 ` z Hpt eq ed infine quest ultima espressione diventa semplicemente d dt rapt e qs (8.38) 9zpt q H p1 ` zq Hpt e q (8.39) la misura di 9zpt q permette un test diretto dell accelerazione o della decelerazione dell Universo e prende il nome di Test di Sandage (da Alan Sandage). Avevamo trovato l equazione di Friedmann per 9a da cui Hpt e q 9a 2 H 2 a ` H 2 a 2 H 2 rp ` q 1s ˆ 1{2 9a H a a ` 3 1 1{2 a rp 2 ` q 1s Hpt e q H p1 ` zq 3 ` p1 ` zq 2 rp ` q 1s 1{2 (8.4)

120 Ricordiamo anche il caso di componenti i-esime alla densità di energia totale esprimibili tramite l equazione di stato p i w i i c 2 edefinendo abbiamo 9a 2 H 2 a ` ÿ i i, 8 G i, 3H 2 H 2 i, a 1`3w i H 2 «` ÿ i, 1 einserendoanchelapolveretralecomponentii # «9a 2 ÿ a i, 2 H2 a 1 3p1`w iq a 2 ` ÿ i, 1 i i ovvero Hpt e q H «ÿ i i, p1 ` zq 3p1`w iq ` 1 ÿ i i i, + p1 ` zq 2 1{2 (8.41) che, combinato con la 8.39, indica che il redshift di un oggetto varia nel tempo in cui si misura. Ovvero, misurando il redshift di un oggetto a due tempi diversi t e t ` t, si ottiene z zpt ` t q zpt q 9zpt q t rh p1 ` zq Hpt e qs t (8.42) cioè è possibile misurare 9zpt q equindil accelerazionedell universo(z è l e g a t o a 9a). La misura di 9zpt q permette quindi un test diretto dell accelerazione o della decelerazione dell Universo e prende il nome di Test di Sandage (da Alan Sandage). In figura 8.9 riportiamo il redshift drift, c 9zpt q c z{ t, al variare di e per una dark energy identificata come costante del vuoto (w 1). Viene anche riportato il caso di una dark energy diversa (w 2{3). Per poter distinguere i casi w 1e w 2{3 ènecessariomisurareredshiftdriftsdell ordinedi c ˆdz» dv dt dt».1 h 7 cm s 1 yr 1 ovvero valori enormemente piccoli! Ma è possibile migliorare l accuratezza delle misure con i seguenti accorgimenti. Innanzitutto si scelgono sorgenti su cientemente distanti e luminose come i quasar e si determina il redshift dalle righe di assorbimento dovute al mezzo intergalattico tra il quasar e noi (Lyman forest). Inoltre la Lyman forest presenta molte righe ( decine centinaia) ciascuna delle quali può essere utilizzata per ottenere una misura di redshift indipendente; questo permette di aumentare il segnale/rumore (figura 8.1); si possono utilizzare i futuri telescopi della classe 4-metri come E-ELT (European Extremely Large Telescope) per aumentare il S/N degli spettri; si possono utilizzare tempi scala dell ordine di t» 2 yr.

121 over a wide redshift range, they are the brightest objects at any redshift, and each QSO spectrum displays hundreds of lines. These are all very desirable features. t int = 2 h. Note that t int de total integration time, summe epochs. w = 2 /3 M.5 =., =1 1. 3, M dz /dt (1 1 h 7 yr 1) DE =. 3, z 4 dv/dt (h 7 cm/s yr 1) M ture of the equaervations of the epochs (albeit ears or decal observations, weak lensing rent epochs but ach epoch. In vations seek to he expansion by -day past lightshift drift directly y comparing our nt times. In this ethod is qualitaher cosmological ruly independent he exploration of the Universe. Figure 1. The solid line show the redshift drift of redshift for standar mology and various c 7 M and 7, as indicate lines and right axis sh velocity units. The das for the case of an alte energy model with a d of state parameter w D.3,.7). 9 q, al variare dei parametri cosmologici e ed al Figura 8.9: Redshift drift, zpt variare di w, equazione di stato della dark energy. The Messenger 133 September 2 Quest ultima condizione richiede che la calibrazione assoluta in lunghezza d onda degli spettri sia molto accurata e soprattutto stabile su scale di tempo superiori ai 2 anni. Questa possibilita e adesso o erta dai Laser Combs che sono in fase di sviluppo per un utilizzo astronomico. La figura 8.11 mostra le simulazioni di osservazioni su 3 campioni di oggetti diversi (in pratica le Ly forests di 1 2 quasar brillanti ciascuno) ottenute con un telescopio di 4 metri di diametro (E-ELT), con un efficienza totale di sistema del 25% ed un tempo di integrazione totale di t 4 h distribuito su un arco di tempo di 2-3 anni. L area grigia rappresenta l e etto sui modelli di una variazione di H pari a 8 km s 1 Mpc 1. Si vede chiaramente come queste misure permettano una determinazione accurata ed indipendente di e, in particolare permettono una misura diretta della ri-accelerazione dell universo.

122 Figura 8.1: Esempio di Ly forest nello spettro di un quasar a redshift z noto: ciascuna riga di assorbimento rappresenta la riga Ly di una nube di gas collocata tra noi ed il quasar e quindi a redshift intermedio tra e z.

123 within reach of or so objects iment. However, for a 3-m teleme consuming uracy better [D/(42 m)] /.25 tint /(2 h) can be achieved.5 =.3,.7 e different sidrift experiment. esults that can ring the 2 best od, investingcodex Phase A Science Case: E-TRE-IOA Issue 1.5 ving time. By = represent the.3,. nt of z that is 1 QSOs and the nce many of ar the redshift nt does not z e detection of etect the effect region where z >. Ideally, this would be significance we achieved by obtaining a z measurement t set of QSOs. at z.7 were it not for the atmosphere the result of that restricts observations of the Lyman-A Os according to forest to z > 1.7. The best thing to do is to combine a measurement at the lowest datasets is par- possible redshift with a second measurement at the highest possible redshift, ving the existthereby gaining the best possible connsion, i.e. of a (h 7 cm/s yr 1) M M 5 Figure 4. The three s points show simulat ent implementations drift experiment. In e have assumed D = 4 t int = 4 h and a to duration of 2 years 16 overall SU, NQSO = 2 four redshift bins). Y most significant reds tion, NQSO = 1 (in tw Brown triangles: bes 7,, NQSO = 2. The so expected redshift dr parameters as indica shaded areas result ± 8 km/s Mpc 1. straint on the slope of z (z). T angles in Figure 4 show the simulation using appropriat QSOs: clearly, given these confidently conclude that z positive at z 2 for any reas behaved functional form of gardless of the cosmologic we find that a redshift drift 33 September 28 Figure 7: Expected constraints in the - M plane from two measurements of the redshift drift at two different Figura 8.11: Alto: delle misure di redshift con tre campioni redshifts as indicated for asimulazione duration of the redshift-drift experiment of tdrift = 3 ottenute yr and a total integration time of h. Theatwo measurements to the brown triangles 6. The L area red and blue solidrappresenta lines and the di4 quasar redshift tra 2 correspond e 5 (colori marrone, blue ine Fig. giallo). grigia grey shaded show the constraints di provided by each the two assuming h7 =per 1. l e etto suibands modelli di individual una variazione H pari a of8 km s 1objects Mpc 1. Vedia fixed il testo The coloured ellipses show the joint 68 and 9 per cent confidence regions that result from combining the two maggiori dettagli sulla figura. measurements, marginalising over H using an external prior of H = (7 ± 8) km s 1 Mpc 1. The hashed region indicates the 95 per cent lower limit on. Flat cosmologies and the boundary between current deceleration and acceleration are marked by solid black curves. The dark shaded region in the upper left corner designates the regime of bouncing universe cosmologies which have no big bang in the past.

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125 Capitolo 9 La storia termica dell universo Fino ad ora abbiamo considerato l universo omogeneo ed isotropo però sappiamo che questa approssimazione è valida solo su grande scala. Su scale più piccole l universo è disomogeneo ed è caratterizzato da strutture formatesi in seguito alla crescita di perturbazioni di densità. Il passo successivo è quindi quello di a rontare il problema della crescita delle perturbazioni e per poterlo fare è prima necessario studiare la storia termica di materia e radiazione. 9.1 Gli universi dominati dalla radiazione Per un gas di fotoni, particelle senza massa o ultrarelativistiche (E " mc 2 )l equazionedi stato è p 1 3 " 1 3 c2 r (9.1) con r densità di massa equivalente. Se N è l a d e n s i t à n u m e r i c a d i f o t o n i p e r u n i t à d i banda, la densità di energia è " ÿ h N (9.2) e, poichè il numero di fotoni si conserva abbiamo N pzq N, a 3 N, p1 ` zq 3 (9.3) Il redshift cosmologico comporta che h h p1 ` zq pertanto " ÿ h N ÿ h p1 ` zqˆn, p1 ` zq 3 " p1 ` zq 4 (9.4) ovvero " " a 4 (9.5) relazione già trovata dal punto di vista termodinamico. Consideriamo adesso la radiazione di corpo nero per la quale l intensità specifica è data dalla formula di Planck B pt q 2h 3 c 2 1 e h {kt 1 (9.6)

126 126 La storia termica dell universo Il flusso totale uscente dalla superficie del corpo nero è F ª `8 La densità di energia per unità di banda è B d T 4 (9.7) per cui cioè " " 4 c B 8 h 3 c 3 1 e h {kt 1 ª `8 " d 4 c ª `8 B d 4 c T 4 (9.8) (9.9) " 4 c T 4 (9.1) Sfruttando la relazione appena trovata per la variazione di " con il redshift si può scrivere da cui si ricava infine 4 c T 4 " " p1 ` zq 4 4 c T 4 p1 ` zq 4 (9.11) T T p1 ` zq (9.12) ovvero la temperatura della radiazione di corpo nero decresce al diminuire del redshift. Elospettrodicorponero? Possiamosfruttareilfattoche" d evolverà con il redshift come ", pertanto tenendo conto che p1 ` zq e T T p1 ` zq si ottiene " d 8 h 3 c 3 1 e h {kt 1 d 8 h 3 p1 ` zq 3 1 c 3 e h p1`zq{kt p1`zq 1 p1 ` zqd p1 ` zq 4 ", d (9.13) ovvero, il corpo nero conserva la forma dello spettro, varia solo la sua energia totale. La relazione T T p1 ` zq è una relazione che può essere verificata per la CMB. Esiste una transizione di struttura fine nel livello fondamentale di CI il cui livello superiore è eccitato dall assorbimento di fotoni della CMB; questo permette di osservare righe di assorbimento del mezzo interstellare/intergalattico negli spettri dei quasar che a loro volta permettono di stimare T al redshift in cui avviene l assorbimento. I risultati ottenuti a vari redshift sono z 1.8, T rad 7.4.8K, atteso: 7.58 K; z 1.97, T rad K, atteso: 8.1K; z 4.2, T rad» 14 K, atteso: 14.2K; queste misure costituiscono l evidenza osservativa che la temperatura della CMB segue la legge T T p1 ` zq. Vediamo adesso come trattare la radiazione (o le particelle ultrarelativistiche) nell ambito del modello cosmologico. Ricordiamo che col formalismo dell equazione di stato si ha per la i esima componente p i w i i c 2 (9.14)

127 9.1 Gli universi dominati dalla radiazione 127 eleequazionidifriedmannsono con Si ha w i peribarioni; :a ÿ p1 ` 3w i q i,h 2 9a 2 ÿ i w i 1perladarkenergy; w i 1 3 i i, H 2 a 1`3w i 2a 2`3w i «ÿ H 2 i, 1 (9.15) i, 8 G i, 3H 2 per i fotoni e le particelle ultra-relativistiche. i (9.16) Considerando radiazione, polvere ed energia oscura le equazioni di Friedmann sono pertanto :a H 2 rh 2 2a 2 a 3 9a 2 H 2 a Mettiamoci per a! 1ottenendo ` H 2 a ` rh 2 a 2 ` H 2 a 2 H p ` r ` 1q (9.17) :a rh 2 a 3 9a 2 rh 2 a 2 (9.18) queste due equazioni sono equivalenti perché derivando la seconda si ritrova la prima. Il regime in cui a! 1èquelloincuiilbilancioenergeticodell universoèdominato dalla radiazione, si parla pertanto di Epoca della Radiazione. Il parametro di densità è ma " c 2 r, per cui r 8 G r, 3H 2 (9.19) r 8 G 3H 2 c 2 " (9.2) Integrando l equazione per 9a nel regime dominato dalla radiazione (a! 1) si ottiene: 1{2 ˆ8 G" 1 9a 3c 2 a 1{2 ˆ8 G" ada dt 3c 2 ª t 1{2 ˆ8 G" ada t 3c 2 1{2 1 ˆ8 G" 2 a2 t (9.21) 3c 2

128 128 La storia termica dell universo Cosmic Microwave Background Brillanza νiν [nw m -2 sr -1 ] Universo Primordiale (Cosmologia) Cosmic Infra-Red Background Galassie Cosmic Optical Background Cosmic X-ray Background Nuclei Galattici Attivi Frequenza [Hz] Figura 9.1: Spettro della radiazione cosmica di fondo. ovvero oppure, 1{4 ˆ32 G" aptq t 1{2 `4H 2 3c 2 r 1{4 t 1{2 "ptq " a 4 (9.22) 3c2 32 G " t 2 " (9.23) In conclusione, la dinamica dei modelli dominati dalla radiazione (tutti quelli per cui a! 1) varia con aptq9t 1{2 (9.24) edipendesolodalladensitàtotaledimassainerzialedelleparticelleultrarelativisticheo di massa nulla Il contenuto in materia e radiazione dell universo In figura 9.1 viene mostrato lo spettro della radiazione cosmica di fondo rappresentato da I in funzione di ; poichè siamo in scala logaritmica l area sotto la curva è direttamente proporzionale all energia. Le componenti che si possono facilmente individuare sono: CMB: cosmic microwave background ormai ben noto; CIB: cosmic infrared background (dovuto all emissione delle galassie);

129 9.1 Gli universi dominati dalla radiazione 129 Waveband Energy density Number density of radiation (ev m 3 ) of photons (m 3 ) Radio (3 MHz) Cosmic Microwave Background Infrared (14 1 µm) UV-optical-near IR ( µm) X-ray ( 1 kev) γ -ray ( 1MeV) γ -ray ( 1 MeV) Tabella 9.1: Proprietà della radiazione cosmica di fondo. CUVOB: cosmic uv-optical background (anche questo dovuto all emissione delle galassie); CXB: cosmic X-ray background (dovuto all emissione degli AGN); CGB: cosmic gamma-ray background (anche questo probabilmente dovuto all emissione degli AGN). Tutte le componenti, tranne la CMB, sono la somma dei contributi di sorgenti puntiformi; la CMB è invece emissione di usa. In tabella 9.1 è riportato il contributo delle singole componenti al fondo cosmico (CB, Cosmic Background) stimato a partire da I : la CMB domina nettamente la densità di energia del CB. Ricordiamo che si tratta di radiazione di corpo nero con T K " 4 c T ˆ 1 13 erg cm 3.26 ev cm 3 (9.25) Adesso paragoniamo la densità di energia della radiazione con la densità di materia ad un qualsiasi redshift z. Consideriamo che per cui si ha ovvero sostituendo c 3H 2 {8 G r pzq "pzq " p1 ` zq 4 c 2 c 2 m pzq a 3 c p1 ` zq 3 r pzq m pzq r pzq m pzq 32 G T 4 3c 3 H 2 p1 ` zq 4 c 3 T 4 p1 ` zq 4 c p1 ` zq 3 (9.26) con h 7 costante di Hubble in unità di 7 km s 1 Mpc 1. Ovvero per 5.1 ˆ 1 5 p1 ` zq (9.27) h 2 7 z 1.97 ˆ 1 4 h 2 7 (9.28)

130 13 La storia termica dell universo l universo era sicuramente dominato dalla radiazione ( r { m 1) anche senza considerare il contributo di altre particelle ultrarelativisitiche a " come i neutrini. Se consideriamo i valori di H e che si ottengono dalle osservazioni si ottiene che z rad, ovvero il redshift acuil universocominciaadesseredominatodallaradiazione(radiationdominated),è h 7 1,.3 Ñ z rad «6 (9.29) In questa fase dominata dalla radiazione (z 6) si ha quindi a 9 t 1{2 (9.3) nella fase successiva, z 6, l universo è dominato dalla materia (matter dominated) e, fin quando z " 1, si ha a 9 t 2{3 (9.31) come abbiamo visto studiando le soluzioni dei modelli di Friedmann Il rapporto tra barioni e fotoni Un altro parametro fondamentale per capire l interazione tra materia e radiazione a livello cosmologico è il rapporto tra il numero di fotoni e barioni. Cominciamo col determinare la densità numerica dei fotoni per la radiazione di corpo nero: per cui la densità numerica totale è B 2h 3 1 c 2 e h {kt 1 u 4 c B 8 h 3 1 c 3 e h {kt 1 n u h c 3 e h {kt 1 (9.32) N ª `8 con la trasformazione di variabili N 8 c 3 e2 p3q»2.44 per cui si ha ˆkT h n d ª `8 x h kt,d kt h 3 ª ` d (9.33) c 3 e h {kt 1 dx (9.34) x ˆkT dx ˆ 2 p3q (9.35) e x 1 c 3 h N» ˆ2 kt hc 3 3 ˆ 3 ˆ2 kt T cm 3 hc K (9.36) Vediamo adesso la densità numerica dei barioni N b b c m 3H2 b 8 G m 3.15 ˆ 1 6 cm 3 b h 2 7 (9.37)

131 9.1 Gli universi dominati dalla radiazione 131 Figura 9.2: Storia termica dell universo. dove si è usato b ovvero il parametro di densità dei soli barioni e la massa media m è, con H ed il 25% di He in massa, m.75 ˆ m p `.25 ˆ 4m p.75 ` m p (9.38) Il rapporto fotoni/barioni è pertanto N N b 412 cm ˆ 1 6 cm 3 b h ˆ 18 b h 2 7 (9.39) ovvero b.4, h 7 1 Ñ N N b 3.3 ˆ 1 9 (9.4) all epoca attuale, il numero dei fotoni è estremamente più grande del numero dei barioni. Se i fotoni ed i barioni non sono né creati né distrutti durante l evoluzione cosmica, questo rapporto è invariante.

132 132 La storia termica dell universo 9.2 L epoca della ricombinazione La storia termica dell universo, determinata dall evoluzione di materia e radiazione è riassunta in figura 9.2. Adesso vedremo in dettaglio alcune epoche particolarmente rilevanti per la formazione delle strutture cosmiche. L evoluzione della temperatura della radiazione di fondo cosmica è T T p1 ` zq K p1 ` zq (9.41) eperz «15 si ha T «4 K. Come vedremo, questo significa che c era un numero su ciente di fotoni con h 13.6 ev per ionizzare tutto l idrogeno intergalattico. La regione dello spettro di corpo nero per cui h {kt " 1 è la regione di Wien, ma h kt 13.6eV per T «15, K quindi com è possibile che H sia stato tutto ionizzato per appena T «4 K? Questo è possibile perché il numero di fotoni è molto maggiore del numero di barioni nel mezzo intergalattico ed il corpo nero ha fotoni su un grosso intervallo di h. Calcoliamo la frazione dei fotoni con h E nel limite h {kt " 1. La densità numerica dei fotoni con energia superiore a E è Np Eq ª `8 E{h con la trasformazione di variabili ovvero Np Eq ª `8 E{kT 8 c 3 ˆkT h Np Eq 1 2 ˆ2 kt hc 8 2 c 3 1 e h {kt 1 d «x h kt,d kt h ª `8 E{h 8 2 c 3 e h {kt d (9.42) dx (9.43) 3 x 2 e x dx 1 3 ª ˆ2 kt `8 x 2 e x dx (9.44) 2 hc E{kT 3 «ˆ 2 ˆ e E{kT E E ` 2 ` 2 (9.45) kt kt Prima abbiamo trovato che il numero totale di fotoni per unità di volume del corpo nero è 3 ˆ2 kt N.244 (9.46) hc per cui la frazione di fotoni con energia E è Np Eq N «ˆ 2 ˆ e E{kT E E ` 2 ` 2 kt kt (9.47) Supponiamo adesso che il rapporto fotoni/barioni sia N {N b «1 9, allora per ionizzare tutti i barioni basta che ci sia 1 fotone ionizzante su 1 9 ovvero Np Eq N 1 «1 con E 13.6eV N {N b 1 9 posto x E{kT dobbiamo allora risolvere l equazione e x px 2 ` 2x ` 2q (9.48)

133 9.2 L epoca della ricombinazione 133 la cui soluzione è x E kt «26.5 (9.49) ovvero esistono così tanti fotoni per barione che è su kt «E 26.5 ciente avere (9.5) ovvero, dato che E 13.6eV corrisponde a T «15, K, la temperatura del corpo nero al disopra della quale si ha almeno 1 fotone ionizzante per ogni 1 9 fotoni è T «15, 26.5 K 56 K (9.51) pertanto bastano poche migliaia di Kelvin a fronte di un energia di ionizzazione corrispondente a oltre 1, K! Siccome T K, T T p1`zq «T z per z " 1, la ionizzazione di tutti i barioni si ha per z «56 K «2 (9.52) K che corrisponde a a 1 1 ` z «1 z 5 ˆ 1 4 (9.53) In astrofisica, questo tipo di calcolo appare in vari modi: H ionizzato a T «1, K nelle stelle A, i nuclei leggeri che vengono distrutti nell universo primordiale a T basse (molto più piccole delle energie di legame nucleari), ecc. Calcoli più dettagliati indicano che a z r» 15 circa il 5% del gas intergalattico (H) è i o n i z z a t o m e n t r e a z r» 6 circa il 5% di He è ionizzato. Una proprietà fondamentale per capire quanto vedremo più avanti è che per z 1 l universo è otticamente spesso per scattering Thomson (fotoni di usi senza trasferimento di energia, cosa che avviene invece nello scattering Compton). La profondità ottica per scattering Thomson ( T ˆ 1 25 cm 2 )èdatada d T T N e pzqdr con dr incremento in distanza propria a redshift z che pertanto è dato da dr c dt e c dt si noti che è necessario usare la distanza propria (non comovente) ed il tempo proprio a z poiché sono quelli dei fotoni che subiscono lo scattering Thomson. Si ottiene quindi Nelle lezioni precedenti avevamo trovato che per z " 1e z " 1diventa d T T N e pzq c dt T N e pzq c dt dz dz dz dt H p1 ` zq p1 ` zq 2 p z ` 1q zpz ` 2q 1{2 dz dt «H 1{2 z 5{2

134 134 La storia termica dell universo Adesso consideriamo separatamente i barioni (che fanno scattering Thomson) dal resto della materia oscura 3H 2 b b c b 8 G se il 25% della massa barionica primordiale è in He ed il restante in H (vedi la prossima lezione) allora per cui eperz, N H 3 4 b m p b 4m pn H 3 Se xpzq è l a f r a z i o n e d i i o n i z z a z i o n e d i H per cui b 32 Gm pn H, 9H 2 N e «xpzqn H pzq xpzqp1 ` zq 3 N H, «xpzqz 3 N H, d T T cn e pzq dt dz dz «T cxpzqz 3 dt N H, dz dz ma la densità numerica di atomi di H a z sipuòottenereapartiredalla9.54 (9.54) ovvero per cui T 9 T H c 32 Gm p N H, 9H2 b 32 Gm p d T «T cxpzqz 3 9H A 2 b 32 Gm p b ª z2 1{2 z 1 z 3 xpzq z 5{2 1 H 1{2 z 5{2 dz dz.363 ª z2 b xpzqz 1{2 dz (9.55) 1{2 z 1 edaquestaespressionesivedeche,dalmomentoincuihètotalmenteionizzato, T diventa rapidamente molto grande. Infatti, supponiamo che xpzq «1perz 1, allora la profondità ottica dopo z 1 è T.363 b 1{2 ª z 1 esecalcoliamo T per z 15, si ha T p1 15q.363 b 1{2 z 1{2 dz.363 b 2 `z3{2 1 3{2 1{ {2 `15 1 3{2 «47 3 (9.56) cioè dopo z 1 (assunto come istante in cui l universo comincia ad essere totalmente ionizzato - o termina di, a seconda del punto di vista) l universo diventa rapidamente otticamente spesso. Calcoli dettagliati mostrano che T» 1perz» 15. In conclusione, l universo non è osservabile per z 15.

135 9.3 L accoppiamento tra materia e radiazione 135 Ogni fotone che viene emesso per z 15 viene di uso molte volte prima di giungere a Terra e quindi perde rapidamente l informazione sulle sue origini; quella che vediamo è quindi una superficie di ultimo scattering ovvero la superficie molto sottile (spessore tale che t» 1) dove il fotone ha avuto il suo ultimo scattering prima di essere osservato. Questo è lo stesso identico processo che ci impedisce di vedere all interno del Sole. Esiste una photon barrier a z» 15 che ci impedisce le osservazioni con i fotoni a z superiori. Se il fotone per z 15 non subisce ulteriori scattering, la superficie a z 15 è la superficie di ultimo scattering (last scattering surface) e quindi le fluttuazioni nella radiazione cosmica di fondo esistenti a z «15 sono quelle che vediamo adesso nell emissione di fondo cosmico. 9.3 L accoppiamento tra materia e radiazione Abbiamo visto che l universo è radiation dominated per z 6. Tuttavia, se materia e radiazione non fossero accoppiate, si ra redderebbero indipendentemente a seguito dell espansione dell universo. Infatti, per un gas di barioni abbiamo trovato che mentre per un gas di fotoni T b 9 a 2 T r 9 a 1 quindi la materia si ra redderebbe più rapidamente delle radiazione; in realtà questo avviene solo dopo la ricombinazione quando non c è più l accoppiamento tra le due componenti. Prima della ricombinazione materia e radiazione sono fortemente accoppiate dallo scattering Compton pertanto sono in equilibrio termodinamico e vengono mantenute alla stessa temperatura. Infatti, la profondità ottica per scattering Thomson è così grande e quindi il numero di interazioni è così grande che non possiamo ignorare i seppur piccoli scambi di energia tra i fotoni e gli elettroni che avvengono nel regime di scattering Thomson. Questi scambi di energia sono su cienti a mantenere T r T b Lo scambio di energia per unità di tempo tra campo di radiazione termico a T r eplasma con elettroni a T e che interagiscono solo per scattering Compton è regolato dalla seguente equazione d" r d" m dt dt ˆkTe kt r 4N e T c " r m e c 2 (9.57) con " r e " m densità di energia rispettivamente di radiazione e materia. Derivare questa equazione sarebbe troppo complesso per gli scopi di questo corso ma possiamo farlo nel caso in cui T e T r. Consideriamo la potenza persa da un elettrone per scattering Compton in un campo di radiazione isotropo. Considerando l energia scambiata nei singoli scattering e mediando sugli angoli si dimostra che, per il singolo elettrone, la potenza persa per Compton Inverso è P c 4 3 c T 2 2 " r «4 3 c v 2 T c " 2 r (9.58) quest ultima nel limite v{c! 1. Ma dal modello cinetico dei gas perfetti 1 2 m ev kt e (9.59)

136 136 La storia termica dell universo per cui Se la densità numerica di elettroni è N e allora si ha d" m dt P c 4 3 A c T 1 ca 2 A3kT e m e " r (9.6) ˆ kte N e P c 4 T cn e " r m e c 2 (9.61) che è il primo pezzo dell equazione 9.57; quell equazionea erma semplicemente che per T e T r la radiazione è riscaldata dalla materia mentre per T r T e la materia è riscaldata dalla radiazione. La di erenza tra questi due casi è determinata dal fatto che, come appena visto, N «1 9 N e Vediamo infatti cosa succede dal punto di vista della profondità ottica. La profondità ottica per interazione di un elettrone con i fotoni è e T cn t (9.62) in quanto il numero di fotoni che può interagire con l elettrone nel tempo t è N V N T ct con V volume. Analogamente la profondità ottica per interazione di un fotone con gli elettroni è T cn e t (9.63) si noti che t è sempre da considerare come l età dell universo al momento dell interazione. Siccome N " N e ne consegue quindi che e " ovvero e «1 9.Quindièmoltodi - cile variare lo spettro della radiazione rispetto alla distribuzione di energia degli elettroni: sono gli elettroni ad essere agganciati alla radiazione che ha quindi un enorme capacità termica. Itempi scalaper lecollisioni trae, p, atomi, sono! t, età dell universo per cui l energia del campo di radiazione è distribuita a tutta la materia e, grazie a questo, materia e radiazione sono mantenute alla stessa T nell universo primordiale. Consideriamo adesso il caso del plasma riscaldato dal campo di radiazione: d" m dt d dt ˆ A2 ˆ 3 A2 kt en e 3kN e dt e dt (9.64) il 2ˆ è per tener conto del fatto che ci sono anche i protoni che contribuiscono all energia termica; con la 9.57 possiamo scrivere dt e ˆkTe 3kZN Ze dt 4 kt r T czn Ze " r m e c 2 ovvero dt e dt 4 3 T " r ˆTr T e m e c (9.65) grazie all enorme capacità termica della radiazione, T r» costante per cui la relazione appena scritta definisce il tempo scala caratteristico per lo scambio di energia tra radiazione eplasma.

137 9.3 L accoppiamento tra materia e radiazione 137 Supposto z " 1, e definita T e T e T r, discrepanza tra la temperatura degli elettroni e della radiazione, il tempo scala caratteristico in cui questa discrepanza è riassorbita dal campo di radiazione è ex T e dt e {dt 3m ec T e 3m ec 4 T " r T e 4 T " r (9.66) ma, tenuto conto dell evoluzione con z, " r 4 T 4 {cp1 ` zq 4 per cui ex 3m ec 4 T " r 3m e c 2 16 T T 4 p1 ` zq «3m ec 2 z ˆ 1 19 z 4 s (9.67) 4 16 T T 4 quando il plasma era totalmente ionizzato a z «15 z 4 ex».46 yr (9.68) 15 Per confronto, troviamo adesso l età dell universo ai redshift in esame. Quando siamo nella fase dominata dalla materia e z " 1 ovvero da cui dt dz t» z 5{2 H 1{2 1 H 1{2 dz dt «H 1{2 z 5{2 (9.69) ñ t z 2 z 3{ ˆ 1 17 s h 1 7 z 2.9 ˆ 1 5 yr 15 ª z `8 z 5{2 H 1{2 2 3H 1{2 `8 ˆ.5 z 3{2 z 3{2 dz (9.7).3 3{2 (9.71) Quindi il rapporto tra il tempo scala caratteristico in cui la discrepanza dal campo di radiazione e l età dell universo è ex t T e è r i a s s o r b i t a z 5{2» 1.6 ˆ 1 6 (9.72) 15 il tempo scala in cui si raggiunge l equilibrio termodinamico è ex! tpzq ovvero molto minore dell età dell universo ai redshift considerati: ai redshift in cui l universo è completamente ionizzato ogni discrepanza di temperatura tra materia e radiazione era rapidamente compensata e si giungeva rapidamente a T m» T r. Quando la temperatura diventa T 4 K si ha la ricombinazione e e ` p Ñ H; tuttavia resta ancora una piccola frazione di gas ionizzato che vale x «2.5 ˆ 1 5 per z 7 echepermetteunoscambiodienergiatramateriaeradiazioneanchedopolaricombinazione.

138 138 La storia termica dell universo Se adesso " m è a s s o c i a t a a l l e n e r g i a t e r m i c a d i H e l a d e n s i t à d i e l e t t r o n i è xn H possiamo scrivere, in modo analogo a prima d" m d ˆ3 dt dt 2 kt HN H 3 2 kn dt H ˆTr T H H 4xN H T c" r k (9.73) dt m e c ovvero dt H dt 8 3 T " r xpzq ˆTr T H m e c (9.74) Gli elettroni sono in equilibrio termico con la radiazione (tramite scattering Thomson) e al tempo stesso con gli atomi di H (tramite le collisioni). Si è supposto che il tempo di termalizzazione tra elettroni e atomi di H sia trascurabile. da cui ex T H dt {dt 3m e c 2 32 T xpzq T 4 r che con x 2.5 ˆ 1 5 vale infine, considerando che la 9.71 implica 3m e c 2 p1 ` zq 4 «3.67 ˆ 1 19 xpzq 1 z 4 s (9.75) 32 T xpzq T 4 z 4 ex» 466 yr (9.76) 1 t 5.3 ˆ 1 5 yr z 3{2 1 se ne conclude che il rapporto tra il tempo scala per lo scambio di energia tra materia e radiazione e l età dell universo è ex t ovvero ex! t fino a z in cui ex» t che avviene per ˆ.5 z 5{2.9 h 7 (9.77).3 1 z 1 «p.9q2{5.382 (9.78) ovvero la materia continua ad essere accoppiata alla radiazione fino a z» 4 e al disotto ra reddano indipendentemente. Calcoli più dettagliati mostrano che l accoppiamento tra materia e radiazione prosegue fino a z» Le epoche precedenti alla ricombinazione Torniamo alla figura 9.2 e riprendiamo l analisi della storia termica dell universo al crescere di z, ovvero andando indietro nel tempo. Come abbiamo visto per z «15 la radiazione di fondo cosmica diventa su - cientemente calda da ionizzare tutto l idrogeno nell universo. Questo significa che passando da z 15 a z 15 protoni ed elettroni ricombinano a formare atomi di idrogeno; quindi dopo l epoca della ricombinazione (z «15) l universo è quasi del tutto neutro. Poi abbiamo visto che l epoca precedente più rilevante si ha per z «6 quando, all aumentare del redshift, l universo è dominato dalla radiazione ovvero si ha r { m 1perz Á 6.

139 9.4 Le epoche precedenti alla ricombinazione 139 Continuando nella nostra estrapolazione al crescere di z etenendocontochet r T p1 ` zq»t z, si arriva a z «3 ˆ 1 8 quando T r» 1 9 K(kT».9 MeV). Abbiamo già trovato che la condizione per avere almeno un fotone per barione con energia E è Np Eq N 1 9 per kt E 26.5 ciò significa che per T r» 1 9 Kc èalmenounfotoneperbarioneconenergiae 2.4MeVovverocisonoabbastanzafotoniperdissociareinucleidiDeuterio(energia di legame 2.23 MeV) e He (28.3 MeV; ricordiamo ina ti che se Y è l abbondanza in massa di He, Y.25, si ha N He {N H Y {p4 4Y q.8, per cui il numero di nuclei di He è circa 8% di quello dei protoni); pertanto nelle epoche precedenti a z «3 ˆ 1 8 devono esistere solo protoni e neutroni. Considerando lo scorrere del tempo cosmico è chiaro che per z «3 ˆ 1 8 si ha la nucleosintesi, ovvero la formazione di nuclei di D e He apartiredaprotonieneutroni. L epoca più rilevante prima della nucleosintesi si ha per z «2 ˆ 1 9 quando la temperatura è T r 6 ˆ 1 9 K(kT».5MeV» m e c 2 )edifotonisonosu cientemente energetici da dar luogo alla produzione di coppie e, e` per ogni scattering fotonefotone; si deve pertanto avere una situazione di equilibrio in cui c è una coppia elettrone-positrone per ogni coppia di fotoni tali che la loro energia totale sia pari a circa 1 MeV, ovvero la massa totale delle due particelle. Considerando lo scorrere del tempo è chiaro che per z «2 ˆ 1 9 si ha l annichilazione elettroni-positroni e` ` e Ñ ` con trasferimento di energia alla radiazione. Questo è il motivo per cui si ha una piccola discontinuità nella derivata di T pzq: l energia ceduta alla radiazione dall annichilazione delle coppie elettrone-positrone compensa l espansione dell universo e permette di mantenere la temperatura costante come in una transizione di fase. Nelle epoche precedenti l annichilazione delle coppie e, e` l opacità dell universo per le interazioni deboli (per esempio scattering con i neutrini ) diventa» 1 in modo analogo all epoca della ricombinazione quando si raggiunge T» 1: si ha pertanto una barriera dei neutrini in modo analogo alla barriera dei fotoni alla ricombinazione. Andando ancora indietro nel tempo, quando si raggiunge z» 4 ˆ 1 12 la temperatura è T r 1.2 ˆ 1 13 K(kT r» 1GeV» m p c 2 )edèsu cientemente alta da dar luogo alla produzione di coppie barione antibarione per scattering di coppie di fotoni con su ciente energia: questo produce una piccola discontinuità della derivata di T r pzq in modo analogo a quanto era accaduto al momento della produzione delle coppie e, e`. Seguendo lo scorrere del tempo cosmico si deduce che per z» 4 ˆ 1 12 si ha l annichilazione di materia e antimateria che però deve avvenire in modo tale da lasciare la materia barionica che vediamo adesso. Questo fatto è uno dei più grandi problemi della cosmologia e prende il nome di problema dell asimmetria dei barioni: per avere l universo dominato dalla materia come abbiamo oggi doveva esistere una piccola asimmetria tra materia e antimateria ovvero dovevano esistere 1 9 ` 1barioniperogni1 9 antibarioni. In questo modo dopo l annichilazione restava circa 1 barione per ogni 1 9 fotoni. Se l universo fosse stato perfettamente simmetrico in materia e antimateria avremmo avuto 1 9 meno barioni di adesso e uguali quantità di materia e antimateria. L asimmetria dei

140 barioni deve aver avuto origine nell universo primordiale: sappiamo che esiste una lieve asimmetria tra materia e antimateria per la violazione di CP che è osservata nel decadimento dei mesoni K. E possibile estrapolare indietro nel tempo ad libitum ed i teorici più ambizioni arrivano fino all era di Planck 1{2 ˆGh t P 1.3 ˆ 1 43 s c 5 ma la fisica è molto diversa da quella ordinaria che abbiamo visto fino ad ora e soprattutto quelle fasi non sono osservabili direttamente (a causa delle barriere di fotoni e neutrini).

141 Capitolo 1 La nucleosintesi nell universo primordiale Uno dei motivi per cui il modello del Big Bang è così universalmente accettato è la sua capacità di spiegare le abbondanze degli elementi leggeri con la nucleosintesi primordiale, ponendo dei vincoli importanti al valore di b, parametro di densità dei barioni. Per capire la nucleosintesi e gli altri fenomeni che studieremo più avanti è importante capire l accoppiamento che si determina tra le particelle e il campo di radiazione in presenza di processi di interazione che variano il numero di particelle. Consideriamo ad esempio i processi di interazione debole che legano tra loro protoni, neutroni, elettroni e positroni e` ` n Ñ p ` e e ` n Ñ p ` e n Ñ p ` e ` e (1.1) questi processi variano il numero di protoni, neutroni, elettroni e positroni e, quando giungono all equilibrio, determinano le densità di queste particelle che verrà quindi a dipendere solo dall energia delle particelle stesse. Contemporaneamente i processi di scattering della radiazione da parte di elettroni e positroni e ` Ñ e ` e` ` Ñ e` ` (1.2) determinano l equilibrio termodinamico tra radiazione e elettroni, positroni. Quest ultimi sono a loro volta all equilibrio con protoni e neutroni tramite le reazioni 1.1, per cui tutte le particelle e la radiazione sono caratterizzate dalla stessa temperatura T. In conclusione, i processi 1.1 e 1.2 determinano l equilibrio termodinamico tra materia e radiazione e le densità delle particelle dipendono dalla temperatura T. Possiamo quindi considerare cosa succede nel caso di una particella di massa m all equilibrio con il campo di radiazione, la cui densità è determinata da un processo di interazione, come schematizzato in figura 1.1. Come indicato in figura, il tempo cosmico t scorre verso destra, mentre la temperatura della radiazione kt r kt r1 ` zptqs cresce verso sinistra. Per la particella di massa m il momento rilevante è quando mc 2 kt r. In questo momento avvengono due cose: per kt r mc 2, come visto precedentemente nel caso di elettroni-antielettroni e barioni-antibarioni, lo scattering fotone-fotone è in grado di creare coppie della particella m edellasuaantiparticella. Quindi,seguendoloscorrere

142 142 La nucleosintesi nell universo primordiale Particelle all equilibrio termodinamico con la radiazione; N varia a seguito di un processo di interazione kt > mc2 m c2 particella e antiparticella relativistiche N = N Tr3 kt < mc2 N ktr t particella non-relativistica 2 3/2 mc /kt = N Tr e annichilazione particella-antiparticella Particelle all equilibrio termodinamico con la radiazione; il processo di interazione non è più efficace quando!ex > t ex <t ex =t ex t >t densità delle particelle è congelata (varia solo come a-3) al valore non relativistico densità delle particelle è congelata (varia solo come a-3) al valore relativistico ex <t ex =t ex >t t Figura 1.1: Schema relativo alla relazione tra una particella di massa m ed il campo di radiazione di temperatura (di corpo nero) Tr in presenza di un processo di interazione che varia il numero di particelle. del tempo, si ha l annichilazione di particelle m e antiparticelle quando ktr mc2. Inoltre se la particella e in equilibrio termodinamico con la radiazione, m e m sono relativistiche per ktr mc2, mentre al disotto m e non relativistica. Quando la particella e in equilibrio termodinamico con la radiazione e il processo di interazione e all equilibrio, come vedremo piu avanti, la densita delle particelle scala 3{2 come N 9 Tr3 (caso relativistico) e N 9 Tr expp mc2 {ktr q (caso non relativistico). A questo punto e importante capire fino a quando il processo e all equilibrio: sia ex il tempo scala che caratterizza il raggiungimento dell equilibrio di e supponiamo che aumenti al passare del tempo t, a causa dell espansione dell universo. Il processo di interazione e all equilibrio per ex t e la densita della particella varia con Tr ptq come indicato sopra; per ex t il processo non giunge piu all equilibrio, non e piu in grado di variare significativamente la densita della particella che viene quindi congelata al valore di N che si ha per Tr pt ex q; la densita numerica di particelle sara molto diversa a seconda che il distacco dall equilibrio avvenga quando la particella e relativistica o no, come si vede dall espressione per N ptr q. Una volta che il processo non e piu all equilibrio, la densita numerica di particelle evolvera normalmente come aptq 3, come abbiamo gia visto piu volte. Vediamo adesso di trovare la densita numerica delle particelle nel caso (ultra)relativistico.

143 143 Ricordiamo che per il corpo nero la densità di energia è eladensitàdifotoniè " 4 c B 8 h 3 c 3 1 e h {kt 1 N ª `8 8 2 c 3 1 e h {kt 1 d Se considero come variabile di integrazione la quantità di moto del fotone p h c pc h d c h dp econsiderol energiadelfotonee pc posso scrivere la densità di fotoni come N 8 ª `8 h 3 p 2 dp e E{kT 1 4 g ª `8 h 3 p 2 dp e E{kT 1 con g 2, degenerazione del fotone o peso statistico. In generale, per le particelle ultrarelativistiche (kt " mc 2 )all equilibriotermodinamicoinpresenzadiprocessichene variano il numero posso scrivere che le densità della particella N odellasuaantiparticella N sono uguali e pari a N N 4 g ª `8 p 2 dp (1.3) h 3 e E{kT 1 con g peso statistico della particella e segno ` per i fermioni e per i bosoni. Fino a che le interazioni sono in grado di mantenere in equilibrio le varie specie di particelle ultrarelativistiche con loro antiparticelle e con le altre specie su tempi scala! t, molto minori dell età dell universo (ovvero finché ex! t), allora le densità delle varie particelle sono date dall espressione 1.3. Quindi all equilibrio termodinamico tra le varie specie ultrarelativistiche si hanno i seguenti casi. Fotoni: sono bosoni ( ) con massa nulla e g 2; come abbiamo già trovato la densità totale di fotoni di corpo nero (quelli all equilibrio termodinamico) è 3 ˆ2 kt N.244 hc con " 4 c T 4 Nucleoni, elettroni e le loro antiparticelle: sono fermioni (`) con g 2; si può facilmente dimostrare che N b 3 4 N.183 ˆ2 kt hc 3 (1.4) con " b 7 8 " 7 8 4c T 4

144 144 La nucleosintesi nell universo primordiale Neutrini ( e, µ e ): sono fermioni con elicità per cui g 1; analogamente a prima N 1 3 ˆ2 kt 2 N b.91 hc con " 1 2 " b c T 4 Per trovare l energia totale è necessario sommare i contributi delle densità di energia di tutte le specie all equilibrio e si ottiene " tot pt q 4 c T 4 (1.5) Nel caso generale, la distribuzione di particelle con energia E equantitàdimotop è data dalla relazione N 4 g ª `8 p 2 dp h 3 e pe µq{kt 1 con la relazione tra energia e quantità di moto data da E 2 m 2 c 4 ` p 2 c 2. Il segno `{ si riferisce ovviamente al caso fermioni/fotoni e g è sempre il peso statistico della particella. Quando la specie è ultrarelativistica (pc " mc 2 )sihae» pc, µ» esiritrovala1.3. Quando le particelle diventano non relativistiche per kt! E» mc 2 eleloroabbondanze sono mantenute in equilibrio dalle interazioni tra le particelle, le loro densità sono date dal limite non relativistico dell equazione 1.3 ovvero con µ, ˆ mc2 3{2 ˆmkT N g e kt (1.6) h 2 ovvero N decresce esponenzialmente con T e non contribuisce più alla densità di massa inerziale che determina la decelerazione dell universo. In questo caso non ci sono più le antiparticelle perché il campo di radiazione non ha più l energia necessaria a generarle. Consideriamo il caso semplice dell abbondanza di protoni e neutroni. Per z 1 12,dopo l annichilazione di barioni e antibarioni, n e p sono non-relativistici e le loro abbondanze sono mantenute all equilibrio (cioè sono descritte dalla 1.6) dallereazioni: e` ` n Ñ p ` e e ` n Ñ p ` e n Ñ p ` e ` e (1.7) queste mantengono l equilibrio termodinamico di p, n con e, e`, e, e che a loro volta sono in equilibrio termodinamico con la radiazione. g è l o s t e s s o p e r p, n per cui applicando la 1.6 aneutronieprotoni(sonononrelativistici)siha dove n N n e p N p ˆ mc2 kt m è l a d i erenza di massa tra neutrone e protone e m n m p 1 ` m m p» 1 (1.8) Come si vede il rapporto tra la densità di neutroni e di protoni cresce al descrescere della temperatura; questo rapporto si congelerà quando il tempo scala per le reazioni 1.7 diventerà maggiore dell età dell universo, ovvero quando l universo diventa otticamente sottile alle reazioni deboli.

145 1.1 Il disaccoppiamento dei neutrini e la barriera dei neutrini Il disaccoppiamento dei neutrini e la barriera dei neutrini rn{ps si congela e rimane costante quando le interazioni con i neutrini descritte dalle 1.7 non possono più mantenere legate all equilibrio le abbondanze di p e n. Questo avviene quando il tempo scala delle interazioni deboli t weak diventa maggiore dell età dell universo. Nell epoca tra l annichilazione barioni-antibarioni (z «1 12 )elanucleosintesiprimordiale (z «1 8 ), n e p sono non-relativistici e le loro abbondanze decrescono esponenzialmente per cui il loro contributo alla profondità ottica dei neutrini è piccolo. Ma e e e` sono relativistici fino a z «1 9 (kt m e c 2 )elalorodensitàè N e 3 4 N.183 ˆ2 kt hc questo fa si che i neutrini non siano in grado di muoversi liberamente a causa delle reazioni e ` e` Ñ e ` e e ` e Ñ e ` e 3 e ` e Ñ e ` e (1.9) sono queste reazioni (e non quelle con p ed n) chemantengonoineutriniinequilibriotermodinamico con elettroni e antielettroni, che a loro volta sono in equilibrio termodinamico con la radiazione. Il tempo scala per queste interazioni è t weak c 1 c w N e (1.1) con cammino libero medio e w sezione d urto per le interazioni deboli dei neutrini con elettroni e positroni è pari a w ˆ 2 E 3 ˆ 1 44 cm 2 (1.11) m e c 2 con E energia del neutrino. N e è l a d e n s i t à n u m e r i c a t o t a l e d i e escalacomen e 9 a 3 9 T 3 per le particelle relativistiche (vedi la 1.4)perlequalil energiamediaèē 3kT. Questo significa che w 9 T 2 da cui t weak 9p w N q 1 e 9 T 5 ed in particolare da cui t weak 1 c w N e 1 c ˆ pm e c 2 q 2 3 ˆ 1 44 cm 2 p3ktq 2 ˆ ˆ1.1 ˆ 1 1 K t weak T ˆ.183p2 kt{hcq 3 s (1.12) Questo tempo scala è da confrontare con l età dell universo che in questa fase è dominato dalla radiazione per cui si ha 1{4 ˆ32 G"tot, aptq t 1{2 (1.13) 3c 2

146 146 La nucleosintesi nell universo primordiale dove, come indicato, la densità di energia per t t è d a i n t e n d e r s i t o t a l e o v v e r o p e r tutte le specie. Dato che si ha T T p1 ` zq T a (1.14) t 9 a 2 9 T 2 (1.15) Per ottenere i valori corretti l espressione di aptq deve essere modificata per tener conto di tutti i tipi di particelle che contribuiscono alla densità di energia a queste epoche ovvero " pt q 4 c T 4 (1.16) con pt q 1 ` 2 ˆ 7 8 ` 2 ˆ n ˆ 7 16 (fotoni) pe`,e q pn specie neutriniq Per n 3siha 43{8 equindi " pt q 4 ˆ 3c c T 4 " a 4 2 " t 2 Z (1.17) 32 G" Z quindi ricavando T ottengo ˆ 3c 2 1{4 T t 1{ ˆ 1 9 t 1{2 K» 1 1 t 1{2 K (1.18) 32 G 4 {c con t espresso in s; l età dell universo in questa fase è quindi data da ˆ1 1 K t univ T 2 s (1.19) in conclusione t weak {t univ 1sihaper ˆ1.1 ˆ K ˆ1 1 2 K» 1 T T T 1.1 5{3 ˆ 1 1 K 1.2 ˆ 1 1 K che corrisponde a t».7s per la A questa epoca si ha anche kt» 1MeV. Si noti che questo tempo per cui t weak t univ e l energia corrispondente sono determinati dalle costanti della fisica! Abbiamo anche ottenuto l epoca a cui l universo diviene trasparente ai neutrini, ovvero l epoca in cui i neutrini non possono più mantenere neutroni e protoni in equilibrio termodinamico. Così, come c era la barriera di fotoni per z «15 così c è una barriera di neutrini per kt «1 MeV. Quindi ci aspettiamo che i neutrini del background cosmico abbiano avuto il loro ultimo scattering all epoca in cui kt «1MeV ovverocirca«1sdopoilbigbang.

147 1.2 La sintesi degli elementi leggeri La sintesi degli elementi leggeri All epoca in cui i neutrini si disaccoppiano dall equilibrio termodinamico (kt 1MeV), anche protoni e neutroni escono dall equilibrio termodinamico e la frazione di neutroni si congela; partendo dalla 1.8 possiamo scrivere n n ` p e mnc2 {kt e mnc2 {kt ` e mpc2 {kt e mc2 {kt 1 ` e mc2 {kt tenuto conto che m n ˆ 1 24 gem p ˆ 1 24 gsiha ˆ mc 2 kt kt MeV 1 (1.2) ovvero per kt 1MeV risulta n.21 (1.21) n ` p che corrisponde a N n.27n p ovvero 4N n» N p. A quest epoca i protoni erano più abbondanti dei neutroni. Dopo quest epoca rn{n ` ps diminuisce solo lentamente a causa del decadimento dei neutroni con vita media n s. A questo punto i protoni ed i neutroni possono cominciare il processo di formazione degli elementi leggeri con la sequenza delle reazioni p ` n p ` D n ` D p `3H n `3He D ` D Ñ D ` Ñ 3 He ` Ñ 3 H ` Ñ 4 He ` Ñ 4 He ` Ñ 4 He ` che ha come risultato complessivo 3 He `3He Ñ 4 He ` 2 p 8p ` 8n Ñ 4 4 He ` 13 Il risultato netto è che quasi tutti i neutroni si combinano con i protoni per formare nuclei di 4 He: si trova alla fine che per ogni coppia di n che sopravvive, si è formato un nucleo di He. La maggior parte della nucleosintesi non avviene immediatamente dopo il disaccoppiamento dei neutroni per kt» 1MeVovveroperT» 1.1ˆ1 1 Kmaatemperaturepiù

148 148 La nucleosintesi nell universo primordiale 1 1 Minutes: 1/ Mass Fraction n p 7 Li, 7 Be D 4 He 3 H, 3 He 6 Li Temperature (1 9 K) 1 1 Figura 1.2: Frazione di massa di protoni, neutroni e nuclei leggeri in funzione del tempo (alto) e della temperatura (basso). basse per T» 1 9 Ka nchè i Deuteroni formati nella reazione p`n Ñ D` non vengano distrutti dai fotoni della radiazione di fondo. Infatti l energia di legame del Deuterone è E B 2.23 MeV kp2.6 ˆ 1 1 Kq; per ogni barione ci sono circa «1 9 fotoni e la frazione di fotoni con energia E è p a r i a 1 9 per E{kT «26.5. La temperatura a cui ci sono 1 9 fotoni per barione con energia E B è p e r t a n t o d a t a d a E B 26.5kT ovvero k ˆ 2.6 ˆ 1 1 K 26.5 kt (1.22) da cui T «1 9 K. Al disopra di questa temperatura ci sono abbastanza fotoni da distruggere tutti i Deuteroni che si formano. T «1 9 avviene al tempo t dato dalla 1.19 trovata prima, T 1 1t 1{2 K, ovvero per t» 1 s. Il calcolo dettagliato dell evoluzione delle abbondanze degli elementi leggeri è stato fatto agli inizi degli anni 7 ed è riportato in figura 1.2. Come si vede dalla figura la maggior parte della sintesi degli elementi avviene per t «3 s (5 minuti) e fino a questo tempo l abbondanza dei neutroni era rimasta praticamente costante, a parte quei pochi che sono decaduti spontaneamente. Dopo t «3s la frazione di massa dei neutroni è s c e s a a e, c o m e a b b i a m o d e t t o p r i m a, p e r o g n i c o p p i a d i n e u t r o n i r i m a s t i s i è formato un atomo di elio. La frazione di massa dei neutroni è pari a.123 e data da n n ` p ` He ym n xm p ` ym n `py{2qp4m p q y x ` 3y.123

149 1.2 La sintesi degli elementi leggeri 149 mentre la frazione di massa di He è doppia rispetto a quella dei neutroni (1 atomo di He ogni 2 neutroni) He py{2qp4m p q Y p n ` p ` He xm p ` ym n `py{2qp4m p q 2y 2 ˆ (1.23) x ` 3y Si noti che al denominatore resta sempre la massa totale che si conserva (in questo caso espressa come H ` n ` He). In aggiunta a 4 He vengono prodotte tracce di D (deuterio), 3 He (Elio-3), 7 Li (litio-7), 3 H (trizio) ma quest ultimo è instabile e decade con un tempo di dimezzamento di soli 12.3 yr. Non vengono sintetizzati elementi più pesanti a causa dell assenza di isotopi stabili con A 5eA 8. Gli elementi più pesanti del Litio-7 vengono tutti sintetizzati durante l evoluzione stellare a partire dal processo Triplo che porta alla formazione dei nuclei di carbonio (3 4 He Ñ C); ma questo processo è lento perché ha una probabilità molto bassa di avvenire pertanto non c è su ciente tempo durante la nucleosintesi che dura soltanto 15 minuti. Le predizioni della nucleosintesi primordiale sono rimarchevoli per vari motivi: era sempre stato di cile capire perché l abbondanza osservata di elio fosse Y p Á 23%, valore ben al disopra di quanto predetto dalla sola nucleosintesi all interno delle stelle; era di cile capire da dove provenisse il deuterio osservato nello spazio interstellare/intergalattico poichè questo viene distrutto nei nuclei stellari, non creato; le stesse di coltà appena descritte si applicano a 3 He e 7 Li. Ovviamente questi problemi sono risolti dal fatto che tutti questi elementi vengono sintetizzati nei primi stadi del modello del Big Bang. La di erenza tra la nucleosintesi primordiale e quella stellare è che la nucleosintesi nelle stelle avviene su tempi scala lunghi, in un regime di quasi equilibrio termodinamico, mentre la nucleosintesi primordiale avviene in modo esplosivo e termina dopo appena 15 minuti. La fisica che determina l abbondanza di 4 He è d i v e r s a d a q u e l l a d e g l i a l t r i e l e m e n t i : la sintesi di 4 He è e s s e n z i a l m e n t e t e r m o d i n a m i c a e d è d e t e r m i n a t a d a l r a p p o r t o i n i z i a l e rn{pn`pqs che si ha quando i neutrini si disaccoppiano dall equilibrio termico. In sostanza 4 He ha un abbondanza che è misura della temperatura a cui avviene il disaccoppiamento dei neutrini. Le abbondanze di D, 3 He, 7 Li invece sono determinate dalla rapidità delle reazioni a formare i nuclei prima che la temperatura T si abbassi troppo e blocchi le sintesi. Negli universi con b su cientemente alta c è tempo su ciente a convertire quasi tutti i neutroni in D eild in 4 He; pertanto l abbondanza risultante di D è p i c c o l a. D e l r e s t o se b è b a s s a n o n c è t e m p o p e r l e r e a z i o n i i n t e r m e d i e e l e a b b o n d a n z e d i D e 3 He sono maggiori. In conclusione le abbondanze di D e 3 He forniscono una misura diretta di b. In figura 1.3 si riportano le abbondanze degli elementi in funzione del rapporto barioni/fotoni espresso come N b N 274 b h 2

150 15 La nucleosintesi nell universo primordiale Figura 1.3: Abbondanza dei nuclei leggeri in funzione del rapporto barioni su fotoni espresso come N b {N 274 b h 2. Per 4 He si riporta l abbondanza in frazione di massa, mentre per gli altri elementi si riportano le abbondanze come frazioni del numero di nuclei. L abbondanza di He, Y p, è riportata come frazione di massa mentre per gli altri elementi si hanno le abbondanze come frazioni del numero di nuclei. Come si vede dalla figura, Y p è a b b a s t a n z a i n s e n s i b i l e a b al contrario di quanto succede per gli altri elementi. 1.3 Le abbondanze degli elementi leggeri Le abbondanze degli elementi leggeri dipendono da b ma per poter stimare il parametro cosmologico è importante fare delle misure in sistemi che non siano stati contaminati da processi astrofisici nelle stelle o nel mezzo interstellare L abbondanza di 4 He. 4 He è s i n t e t i z z a t o d u r a n t e l e v o l u z i o n e s t e l l a r e p e r t a n t o o c c o r r e c o n s i d e r a r e s i s t e m i p o c o contaminati dagli e etti della nucleosintesi stellare; il procedimento di solito seguito consiste nel misurare Y p in funzione della metallicità (data per esempio dall abbondanza di Ossigeno) e poi e ettuare una estrapolazione a come mostrato in figura 1.4; in questo caso si ottiene Y p

151 1.3 Le abbondanze degli elementi leggeri Helium Mass Fraction Izotov & Thuan fit Izotov & Thuan data Other data times O/H Ratio Figura 1.4: Frazione di massa di He extrapolata per zero metallicità da campioni di regioni HII a bassa metallicità L abbondanza di deuterio L abbondanza di Deuterio è cruciale perché dipende molto da b ; questa viene misurata dalle righe di assorbimento risonanti del gas nel mezzo interstellare delle galassie: quando l assorbitore si trova a z 2.5 la Ly è spostata nell ottico (vedi, per esempio, figura 1.5). Questo tipo di misure presenta vari problemi (ad esempio la confusione tra la riga di deuterio e quella di H per deboli assorbimenti a redshift diversi) come mostrato dalla dispersione dei valori riportati in figura 1.6. Il valor medio ottenuto dai punti in figura è D{H p2.6.4qˆ1 5 p1 q L abbondanza di 3 He Le stime che si possono ottenere dai meteoriti più vecchi riflettono le abbondanze di 5 ˆ 1 9 anni fa. 3 He può anche essere osservato nelle onde radio nella transizione di struttura iperfine equivalente alla riga a 21 cm di HI. Dalle nubi del mezzo interstellare si trova r 3 He{Hs» ˆ He è d i s t r u t t o n e l l e s t e l l e m a è p i ù r o b u s t o d i D però quando brucia D si produce al tempo stesso 3 He equandobrucia 3 He si crea 4 He equindielementipesanti. L abbondanza di 3 He è q u i n d i m e n o a dabile per la misura di b ; pertanto il valore ottenuto r 3 He{Hs p1.1.2qˆ1 5 si può usare come consistency check.

152 152 La nucleosintesi nell universo primordiale Figura 1.5: Spettro di quasar ad alto redshift con indicata la riga Ly in assorbimento a redshift z Come si vede la Ly è saturata mentre sul lato blu si nota la riga Ly del Deuterio, non saturata per la piccola abbondanza del Deuterio L abbondanza di 7 Li 7 Li è fragile è può essere distrutto all interno delle stelle. Inoltre può essere sintetizzato per spallazione dalle collisioni tra i protoni ed i nuclei nei raggi cosmici e il gas freddo nelle nubi dell ISM. L abbondanza di 7 Li dovrebbe raggiungere un valore costante nelle stelle più povere di metalli come mostrato in figura 1.7. Il valore che si ottiene con l estrapolazione a è r 7 Li{Hs 12 ` logpli{hq

153 1.4 Confronto tra teoria e osservazioni 153 Quasar con z > 2.5 (D/H) = (2.6±.4) 1-5 Figura 1.6: Abbondanza di deuterio determinata da righe di assorbimento in quasar ad alto redshift. 1.4 Confronto tra teoria e osservazioni L abbondanza di Deuterio è il barometro più sensibile: a partire da quella si determina b epoisiconfrontanoivaloriattesiperleabbondanzedi 4 He, 3 He, 7 Li con quelli osservati. Dalla figura 1.3, in cui sono riportate le predizioni teoriche in funzione di b, si ottiene per D{H p2.6.4qˆ `.7.5 ovvero b h 2.22`.3.2 in ottimo accordo con la stima indipendente dalle fluttuazioni di temperatura della CMB che, come vedremo più avanti, è p b q CMB h Per quanto riguarda gli altri elementi si ha

154 154 La nucleosintesi nell universo primordiale Produzione per spallazione [7Li/H] = 12+log( 7 Li/H) = 2.3±.3 Distruzione nei nuclei stellari Figura 1.7: Abbondanza di Litio. Si notino i due regimi ad alta e bassa metallicità descritti nel testo. elemento Predetto Misurato p 3 He{Hq p1..1qˆ1 5 p1.1.2qˆ1 5 4 He, Y p r 7 Li{Hs 2.65` L abbondanza di 3 He è i n a c c o r d o c o n l e o s s e r v a z i o n i, m e n t r e q u e l l e d i 4 He e Li lo sono entro 2. Tenendo conto delle incertezze che possono sporcare la misura della abbondanze primordiali, l accordo è eccellente. E possibile modificare le predizioni della nucleosintesi con assunzioni non-standard per esempio variazioni di G col tempo (9a diventa più grande che nel modello standard) opresenzadialtrespeciedineutrini. Inentrambiicasiiltempoadisposizioneper la nucleosintesi diminuisce. Nel caso in cui esistano altre specie di neutrini, diventa maggiore per cui il disaccoppiamento avviene a T maggiore, rn{n ` ps è maggiore ed infine Y p è m a g g i o r e. T u t t a v i a q u e s t o v a n e l l a d i r e z i o n e o p p o s t a d i s p i e g a r e u n Y p atteso maggiore di quello osservato. Se si considera il numero di specie di neutrini N come un parametro libero del fit, si ottiene N 2.3 cheè1.5 dal valore vero di 3. L importanza di questo risultato è che il valore N 2.3 necessarioaspiegareleosservazioniconlanucleosintesiprimordialeè stato ottenuto prima della misura di N ottenuta al CERN col LEP.

155 Altre possibilità che possono cambiare le predizioni della nucleosintesi primordiale sono l asimmetria tra i numeri di e e e ; anche se si considera l asimmetria come un parametro libero, questa risulta 1.5 entro lo (ovvero entro la simmetria completa). In conclusione, le abbondanze primordiali osservate degli elementi leggeri sono in rimarchevole accordo con le predizioni del modello del big bang. Questo confronto fornisce dei limiti stringenti a b che per h.7 risultaessere b.449. Ma avevamo visto che».3: questo significa che non c è abbastanza materia barionica per chiudere l universo e che gran parte della materia (oscura) deve essere non barionica. La materia oscura non può essere sotto forma di materia barionica per cui è dominato da materia oscura non barionica.

156

157 Capitolo 11 L evoluzione delle perturbazioni nel modello standard del Big Bang 11.1 Cosa vogliono fare i cosmologi e perché questo è fattibile? I cosmologi cercano di spiegare l origine delle strutture su grande scala dell universo in espansione, ovvero come {, contrasto di densità, raggiunge valori 1 da condizioni iniziali rimarchevolmente isotrope. Oltre 1 l evoluzione diventa nonlineare e si va verso strutture legate che arrivano infine a formare ammassi e galassie in cui avvengono processi di formazione stellare. Quest ultima parte è fatta dagli astrofisici. Gli obiettivi dei cosmologi sono quindi legati a capire come evolvono le perturbazioni { in un universo in espansione; quali sono e come si sono originate le condizioni iniziali necessarie per la formazione delle strutture. L origine delle fluttuazioni di densità deve essere avvenuta nell universo primordiale in un epoca in cui non abbiamo accesso diretto con le osservazioni, molto prima della nucleosintesi. Pertanto questi studi forniscono la possibilità di esplorare le condizioni fisiche nell universo primordiale, non accessibili in laboratorio o con le osservazioni. Vediamo adesso di capire perché le galassie e gli ammassi di galassie devono essersi formati relativamente tardi nella storia dell universo. Come detto, la densità media dell universo attuale è c con».3. Però le densità medie di sistemi legati come galassie, ammassi e superammassi sono dell ordine di galassie, «1 6 ˆ ; ammassi, «1 3 ˆ ; superammassi, «1 1 ˆ ; ovvero i contrasti di densità per t t sono, rispettivamente, ˆ «1 6, 1, 1 1

158 158 L evoluzione delle perturbazioni nel modello standard del Big Bang Dato che sono sistemi legati gravitazionalmente non partecipano all espansione dell universo, consideriamo «costante ottenendo ˆ p1 ` zq 1 3 p1 ` zq 3 Quindi le galassie avevano 1perz «1 e non erano oggetti definiti e ben separati a redshift più alto altrimenti adesso avrebbero maggiore di quanto osservato. Analogamente gli ammassi avevano 1perz «1 ed i superammassi 1per z «1. In realtà questi sono solo generosi limiti superiori ai redshift di formazione di queste strutture. In ogni caso, le galassie e le altre strutture hanno raggiunto 1az 1 ovvero ben dopo la ricombinazione ed in un universo matter dominated. Ne consegue che le strutture si sono formate, ovvero hanno raggiunto 1, in un passato accessibile alla osservazioni. Le perturbazioni erano certamente in regime lineare ( 1) per z 1 per cui è possibile fare dei calcoli molto precisi. E naturale cominciare con l evoluzione delle piccole perturbazioni in un universo in espansione. L analisi completa è estremamente complessa (occorre un analisi relativistica, con la relatività generale, la teoria dei campi, ecc.) pertanto seguiremo una trattazione necessariamente semplificata La crescita delle piccole perturbazioni in un universo in espansione: il caso non relativistico Consideriamo scale spaziali molto minori della scala dell orizzonte che, per il momento, supponiamo essere l «c ˆ t. Quella che eseguiremo adesso è un analisi classica dell astrofisica teorica, modificata per tener conto dell universo in espansione. Le equazioni della fluidodinamica per un gas autogravitante, ovvero nel campo gravitazionale generato da se stesso sono, nell ordine, l equazione di continuità (della massa), l equazione di Eulero (di moto) e l equazione di Poisson B Bt ` ~r p ~vq (11.1) B~v `p~v rq~v ~rp Bt ~r (11.2) r 2 4 G (11.3) Queste descrivono la dinamica di un fluido di densità epressionep con distribuzione di v velocità ~v. Le derivate descrivono la variazione delle quantità fisiche in un punto fissato dello spazio (sono cioè eseguite a x, y, z costanti) e pertanto quelle equazioni sono scritte nella cosiddetta rappresentazione Euleriana. Se consideriamo una griglia di punti nello spazio, le derivate Euleriane ci dicono come le proprietà del fluido nei punti della griglia cambiano nel tempo. La rappresentazione Lagrangiana invece richiede derivate temporali totali d dt B `p~v rq Bt

159 11.2 Piccole perturbazioni in universo in espansione: caso non relativistico 159 per cui le equazioni fluide diventano d dt ~ r ~v d~v ~rp dt ~r r 2 4 G (11.4) Queste descrivono il comportamento di un elemento di fluido (identificato dalle sue coordinate ad un istante di tempo fissato) seguendolo nella sua evoluzione. E il sistema naturale per esprimere F ~ m~a. Le equazioni Lagrangiane si possono scrivere in forma comovente ovvero seguendo le proprietà di un elemento di fluido che si espande nell universo piuttosto che collocandosi in un punto fissato e vedere l universo espandersi. Il vantaggio della forma comovente si può vedere se si tien conto che in un riferimento non comovente a seguito della sola espansione dell universo si ha ~v H~r con H Hptq costante di Hubble e ~r coordinata comovente ovvero ~r ~v H ~ r ~r 3H tenendo conto del fatto che H varia solo con t enonnellospazio(universoèomogeneoe isotropo). Pertanto l equazione di continuità diventa e, dal momento che si ha da cui d dt 3H H d 3 ˆ 9a a ˆ 9a dt a d 3 d pln aqdt dt ˆ ˆ a ln 3ln a a 3 come avevamo già trovato. Ovvero, in un riferimento non comovente si ha una variazione della densità (e quindi delle altre grandezze) anche in seguito all espansione dell universo. Inoltre, c è un importante distinzione tra i riferimenti Lagrangiani e quello comovente: in un riferimento non comovente i gradienti in e p vengono calcolati rispetto a coordinate spaziali che cambiano con l espansione dell universo, solo nel caso isotropo e uniforme i punti mantengono costanti le loro coordinate. La procedura standard da seguire è quindi quella di cercare la soluzione per un mezzo non perturbato che viene considerato come lo stato uniforme in cui e p sono gli stessi

160 16 L evoluzione delle perturbazioni nel modello standard del Big Bang ovunque e ~v. Questa soluzione in un mezzo stazionario esiste solo per manoi dobbiamo considerare l universo in espansione, ovvero ~v, e questo elimina il problema. Le soluzioni non perturbate per velocità ~v, densità epotenziale soddisfano le equazioni d dt ~ r ~v d~v ~rp dt ~r r 2 4 G si noti che in questo caso indica il mezzo non perturbato non il momento attuale (t t ). Consideriamo le perturbazioni al primo ordine di queste soluzioni ~v ~v ` ~v ` p p ` p ` (11.5) Si noti come ~v costituisca il termine di espansione di Hubble (le particelle del gas sono a riposo, ovvero seguono l espansione di Hubble) mentre ~v altro non è che una velocità peculiare, ovvero la velocità delle particelle di fluido rispetto al substrato in espansione. esostituiamonelleequazionifluide11.4: d dt p ` q p ` q r ~ p~v ` ~vq d dt p~v ` ~vq 1 rpp ` ~ ` pq ~rp ` r 2 p ` q 4 Gp ` q sviluppiamo ed eliminiamo i termini di ordine superiore dalla prima e dalla seconda equazione d dt p ` q r ~ ~v r ~ ~v r ~ ~v ˆ d dt p~v ` ~vq 1 1 ~rpp ` pq ~rp ` r 2 p ` q 4 Gp ` q Consideriamo adesso la prima equazione e sottraiamo membro a membro l equazione imperturbata, ottenendo dp q r dt ~ ~v r ~ ~v Tenendo conto che ˆ d 1 dp q d dt dt 2 dt posso sostituire la derivata del primo addendo del secondo membro con l equazione per appena trovata e la derivata del secondo addendo con l equazione imperturbata ottenendo d dt ˆ ~r ~v (11.6) q q

161 11.2 Piccole perturbazioni in universo in espansione: caso non relativistico 161 Definendo il contrasto di densità si ottiene infine d dt ~r ~v (11.7) questa equazione descrive l evoluzione del contrasto di densità in relazione alla velocità peculiare associata al collasso della perturbazione, ovviamente in fase lineare ovvero tale che! 1. Consideriamo adesso la seconda equazione ed elaboriamo il primo membro tenendo conto che la velocità è ~v ~v ` ~v d dt p~v ` ~vq B Bt p~v ` ~vq`p~v ` ~vq ~rp~v ` ~vq B~v Bt ` B ~v Bt `p~v ~rq~v `p ~v ~rq~v `p~v ~rq ~v però dobbiamo considerare che è possibile sostituire i due termini sottolineati con Si noti anche come dp ~vq dt Bp ~vq Bt `p~v ` ~vq ~r ~v» B~v Bt `p~v ~rq~v Bp ~vq Bt ˆd~v dt `p~v ~rq ~v dove il secondo membro non è la derivata lagrangiana di ~v ma il primo membro dell equazione fluida non perturbata. Quindi possiamo scrivere d ˆd~v dt p~v ` ~vq `p ~v dt ~rq~v ` d ~v dt Ovviamente, per la linearità dell operatore di derivata, i primi due addendi corrispondono ad~v {dt ovvero la derivata lagrangiana di ~v nel caso perturbato. Adesso applichiamo l ipotesi fatta all inizio che lo stato iniziale sia omogeneo e isotropo per cui ~ rp ~ r e sottraiamo l equazione imperturbata; otteniamo infine dp ~vq dt `p ~v ~rq~v 1 ~ r p ~ r (11.8) L equazione di Poisson, sottraendo l equazione imperturbata, diventa semplicemente r 2 4 G (11.9) Queste tre equazioni sono state scritte in coordinate proprie ~x. coordinate comoventi ~r ~x aptq~r per cui in generale la velocità è Introduciamo le ~v ~x t da ~r ` aptqd~r dt dt

162 162 L evoluzione delle perturbazioni nel modello standard del Big Bang Da questa espressione si può facilmente riconoscere che il termine da{dt ~r altro non è che ~v ovvero il termine che descrive l espansione di Hubble ~v da dt ~r pertanto la perturbazione dal flusso di Hubble è data dal secondo termine della derivata ovvero da ~v aptq d~r dt aptq~u con ~u velocità perturbata comovente; si noti come la variazione della coordinata comovente, per definizione, si ha solo in caso di moto proprio, ovvero in presenza di perturbazione dal flusso di Hubble. A questo punto conviene derivare rispetto alle coordinate comoventi ~r piuttosto che rispetto alle ~x, come fatto fino ad ora, per cui d 1 d dx i a dr ˆ i B ~r, Bx 1 1 a In base a questo l equazione 11.7 diventa B Bx 2, L equazione della velocità delle perturbazioni B Bx ˆ 3 B, B, B Br 1 Br 2 Br 3 1 r a ~ c d dt ~r ~v 1 Za ~ r c pza ~uq ~r c ~u (11.1) diventa allora Si può notare che dp ~vq dt `p ~v ~rq~v 1 ~ r p ~ r 9a~u ` a d~u dt `pa~u ~rqp9a~rq 1 ~ r p ~ r (11.11) pa~u ~rqp9a~r q a9ap~u ~rq~r a 9a ~u ˆ B B 9a u 1 r 1,u 2 Br 1 ˆ 1 r a ~ c ~r B r 2,u 3 r 3 Br 2 Br 3 9a~u (11.12) per cui, passando alle derivate comoventi, l equazione diventa ˆ d~u 9a dt ` 2 ~u 1 r a a ~ 2 c p 1 r a ~ 2 c (11.13) Consideriamo una perturbazione adiabatica in cui è possibile definire la velocità del suono ˆdp c 2 s d S

163 11.2 Piccole perturbazioni in universo in espansione: caso non relativistico 163 tale che p c 2 s Adesso combiniamo l equazione per (11.1) eper ~u (11.13): prendiamo la derivata temporale della prima, la divergenza comovente della seconda e utilizziamo p c 2 s ˆ d d d ı ~r c ~u dt dt dt ˆ d~u 9a ~r c dt ` 2 ~u r a ~ c 1 r a ~ 2 c p 1 r a ~ 2 c ottenendo d 2 dt 2 ˆ ~r c 9~u ~r c 9~u ` 2 ˆ 9a ~r c ~u 1 a a 2 r2 cpc 2 s q 1 a 2 r2 c a cui si deve aggiungere l equazione di Poisson perturbata (11.9) che, in coordinate comoventi, è 1 4 G a 2 r2 c Infine, sostituendo r ~ c 9~u dalla prima nella seconda ed usando l equazione di Poisson perturbata in coordinate comoventi, si ottiene l equazione per il contrasto di densità ˆ d 2 9a d dt ` 2 2 a dt c2 s a 2 r2 c ` 4 G (11.14) Questa equazione ricorda molto l equazione delle onde a parte il termine con la derivata prima temporale di. Andiamo a cercare una soluzione tale che la parte spaziale sia esprimibile come onda piana ovvero p~r, tq ptqˆexp i ~ ı k c ~r ~ kc è il vettore d onda in coordinate comoventi la cui relazione col vettore d onda in coordinate proprie è ~ kc 2 ˆk 2 aptq ˆk aptq ~ k c Da questa definizione si nota anche come ~ kc ~r a ~ k ~r ~ k ~x Data la dipendenza spaziale della p~r, tq si può scrivere ovvero c 2 s a 2 r2 c r 2 c k 2 c k2 cc 2 s a 2 k 2 c 2 s sfruttando il fatto che, come appena mostrato, k c aptqk. Si ottiene infine che la parte temporale ptq deve soddisfare l equazione ˆ d 2 9a d dt ` 2 2 a dt `4 G k 2 c 2 s (11.15)

164 164 L evoluzione delle perturbazioni nel modello standard del Big Bang 11.3 L instabilità di Jeans classica Prima di tutto rivediamo il caso classico dell instabilità gravitazionale in un mezzo statico ed omogeneo (Jeans, 192). Poniamo 9a ecerchiamosoluzioniper ptq della forma Questo significa che p~r, tq ptq k ˆ expr i!ts (11.16) k ˆ exp ip ~ ı k ~r!tq (11.17) Questa soluzione prende il nome di modo normale e la soluzione più generale dell equazione è una sovrapposizione di infiniti modi normali k ˆ exp ip ~ ı k ~r!tq p~r, tq ÿ k Come ben noto, l equazione con 9a d 2 dt 2 `4 G k 2 c 2 s ha per soluzione la se è soddisfatta la relazione di dispersione tra! e k! 2 k 2 c 2 s 4 G (11.18) N.B.: da questo punto in poi riprendiamo ad usare la notazione classica per la densità: torna ad essere la densità per t t e la densità del mezzo imperturbato la indicheremo semplicemente con. Questa relazione di dispersione descrive oscillazioni o instabilità nel plasma a seconda del segno del secondo membro: k 2 c 2 s 4 G implica che! 2 pertanto la soluzione descrive onde sonore piane supportate dal gradiente di pressione; con k 2 {, la condizione! 2 comporta che ˆ 1{2 J c s (11.19) G con J lunghezza d onda di Jeans. k 2 c 2 s 4 G implica che! 2 pertantoleoscillazionisonoinstabili;lasoluzione diventa p~r, tq k ˆ exp t ` i ~ ı k ~r (11.2) con # «ˆ 4 G {2 J Nel caso in cui questi sono modi che crescono esponenzialmente fino a diventare non lineari. Per " J, il tempo scala di crescita della perturbazione è 1»p4 G q 1{2 Questo caso rappresenta la classica instabilità di Jeans e è il tempo tipico di collasso di una regione di densità (tempo di free fall).

165 11.4 L instabilità di Jeans in un mezzo in espansione L instabilità di Jeans in un mezzo in espansione Se consideriamo l equazione per ptq per 9a d 2 dt 2 ` 2 ˆ 9a a d dt `4 G k 2 c 2 s è chiaro come anche in questo caso si applichi un criterio analogo a quello di Jeans ma il tasso di crescita della perturbazione è modificato significativamente dalla presenza del termine con d {dt. Mettiamoci nel regime " J ovvero k 2 c 2 s! 4 G : la forza di pressione è trascurabile rispetto alla gravità. L equazione diventa d 2 dt 2 ` 2 ˆ 9a a d dt 4 G che risolveremo in alcuni casi speciali. Consideriamo il caso dell universo di Einstein-de Sitter con =1, = in cui =1 comporta che c equindi da cui ovvero Cerchiamo soluzioni della forma aptq 2{3 ˆ3 2 H t 2 a 3 3H2 ˆ3 8 G 2 H t 4 G 2 3t 2 9a a 2 3t ˆ ˆ d 2 4 d 2 dt ` 2 3t dt 3t 2 t n ottenendo npn 1q t n 2 ` 4 3 n t n t n 2 con soluzioni per n 2{3 en 1. Il caso n 1rappresentaunmodoindecadimento poco interessante mentre il caso n 2{3 èilmodoincrescitachecerchiamo. Sene conclude che ptq9t 2{3 9 a 1 1 ` z ovvero 9 1 (11.21) 1 ` z la crescita di una perturbazione nell universo di Einstein - de Sitter è solo algebrica, e non esponenziale come nel caso dell instabilità di Jeans classica. E questa l origine del

166 166 L evoluzione delle perturbazioni nel modello standard del Big Bang problema della formazione delle galassie con il collasso gravitazionale delle perturbazioni in un universo in espansione. Consideriamo adesso il caso del modello di Milne, o universo vuoto con =, =. Si ha e 9a a 1 t ovvero d ˆ2 2 d dt ` 2 t dt la cui soluzione con t n si ha per n en 1. Quindi esiste un modo smorzato ed un modo con ampiezza costante. Il caso di Einstein-de Sitter ( =1, =) descrive l evoluzione lineare ( {! 1) delle perturbazioni nelle prime fasi dominate dalla materia in cui a 9 t 2{3. Si noti come, anche utilizzando l espressione modificata di aptq rispetto al caso di Einstein-de Sitter (fattore 1{3 ), a 3 e p9a{aq non cambino e quindi il risultato finale per ptq è l o s t e s s o. Il caso di Milne ( =, =) descrive invece i casi in cui a " 1incuileperturbazioni crescono molto lentamente o per niente (nel limite in cui =) Collasso delle perturbazioni come perturbazione delle soluzioni di Friedman Lo sviluppo temporale di una perturbazione sferica in un universo in espansione può essere modellizzato con una regione sferica di densità ` in un mezzo di densità uniforme. La regione ` si comporta dinamicamente come un universo di densità ` rispetto ad uno di densità. Consideriamo una perturbazione corrispondente ad un universo con Á 1inun universo con =1, =. Come abbiamo visto, le soluzioni per 1, = sono " a Ap1 cos q con $ & % t Bp sin q A B 2p 1q 2H p 1q 3{2 Le soluzioni per! 1, ovvero a! 1, z " 1 (queste in generale sono le prime fasi dominate dalla materia anche per ), si possono trovare ponendo cos `... sin 3 6 `... (11.22) da cui 2{3 ˆ3 aptq 1{3 2 H t come avevamo già trovato: la dinamica è quella di un Einstein-de Sitter ma con ampiezza 1{3. Adesso espandiamo al 5 ordine

167 11.4 L instabilità di Jeans in un mezzo in espansione 167 Figura 11.1: Schema della crescita di una perturbazione sferica in un universo in espansione come di erenza tra due modelli di Friedman a diverse densità. cos ` sin 3 6 ` (11.23) da cui si ottiene a p ptq 1{3 ˆ3 2 H t ˆ3 1{3 2 H t 1{3 aptq 2{3 «2{3 « {3 ˆ6t B 1 1{3 1 1{3 aptq 2{3 ˆ3 2 H t (11.24) a p ptq è i l f a t t o r e d i s c a l a d e l l u n i v e r s o p i ù d e n s o c h e r a p p r e s e n t a l a p e r t u r b a z i o n e m e n t r e aptq è il fattore di scala dell universo in cui la perturbazione cresce,ovvero quello di Einstein de Sitter. Per la conservazione della massa, la densità della perturbazione evolve come p pa p q a 3 p, p 1 p, aptq {3 aptq 5 1 p, aptq 3 1 ` 3 1 1{3 aptq 5

168 168 L evoluzione delle perturbazioni nel modello standard del Big Bang con p, densità della perturbazione per t t. Se consideriamo paq aptq 3 c come la densità del mezzo imperturbato che corrisponde all universo di Einstein - de Sitter 1, = ( c densità critica), e poniamo p, c il contrasto di densità cresce come ppa p q paq paq 3 5 ˆ 1 1{3 aptq ovvero cresce linearmente con il fattore di scala come avevamo già trovato dall analisi delle piccole oscillazioni nel caso Einstein - de Sitter. Si noti come questa rappresenti la crescita di una perturbazione nel caso più generale del modello di Einstein - de Sitter in cui, 1e z " 1. La crescita di una perturbazione in un universo in espansione è schematizzata in figura 11.1 epuòesserecompresatornandoall equazione ˆ d 2 9a d dt ` 2 2 a dt 4 G il secondo membro è il termine di forza gravitazionale che guida l instabilità. Nell universo in espansione 9 a 3 eperilmodellocriticoa 9 t 2{3 per cui la forza gravitazionale sulla perturbazione va come G 9 t 2 ; quindi la forza gravitazionale diminuisce con l espansione dell universo per la decrescita di e si ha solo una crescita algebrica di La soluzione generale per ptq Consideriamo nuovamente e poniamo ottenendo sapendo che ˆ d 2 9a d dt ` 2 2 a dt 4 G c a 3 3H2 8 G a 3 ˆ d 2 9a d dt ` 2 2 a dt 3 2 H a 3 2 si può dimostrare che la soluzione generale è 1{2 ˆ1 9a H a 1 ` pa 2 1q`1 paq 5 2 ˆ 9a a ª a da 1 p9a 1 q 3 La costante moltiplicativa è stata scelta in modo da avere 1 3 per a 1 3. Per a 1e 1,, poichè 9 a si ha anche 1pera 1 In figura 11.2 si riporta l evoluzione di da a 1 3 a a 1permodellicon = e =.1,.1,.3, 1. Avevamo trovato che per z " 1siha 9 a come si vede in figura. Ricordiamo che a «1 3 corrisponde all epoca della ricombinazione ovvero alla last scattering surface della CMB. Come si vede, è cresciuta di poco nel periodo che va da t 3, yr fino a t 1 1 yr dopo il big bang: per =1, è c r e s c i u t o d i u n f a t t o r e 1 3 come in 9 a;

169 11.4 L instabilità = di Jeans in un mezzo in espansione 169 = Figura 11.2: Crescita del contrasto di densità da a 1 3 a a 1 per modelli con = e =.1,.1,.3 e 1. per =.1, cresce come 9 a fino a a «1 1 poi rallenta ed in totale cresce solo di un fattore ˆ19; per =.1, Milne ovvero cresce solo di un fattore ˆ24 e per a grandi tende al modello di costante. Adesso vediamo il caso per con, in particolare, ` 1; in figura 11.3 si considera la crescita di da a 1{3 fino a 1conancoralacondizione 1 3 per a 1 3. La crescita delle perturbazioni è molto maggiore che per 1e. Ad esempio, per =.1, cresce di ˆ61 mentre prima cresceva solo di ˆ19. Per capire questi comportamenti consideriamo l equazione di Friedman ed esplicitiamo la curvatura k 9a 2 H 2 a 9a 2 H 2 a ` H 2 a 2 c2 R 2 ` H 2 a 2 kc 2 9a 2 H 2 ` H 2 a a 2 Hp 2 ` 1q nelle prime fasi dominate dalla materia a! 1, z " 1, si ha 9a 2 H 2 a

170 17 L evoluzione delle perturbazioni nel modello standard del Big Bang = + R = + = Figura 11.3: Crescita del contrasto di densità da a 1{3 a a 1 per modelli con + =1 e =.1,.3 e 1. indipendentemente dal fatto che o. Come abbiamo visto più volte, questo non è altro che il modello di Einstein - de Sitter modificato per 1percuile perturbazioni crescono come 9 a finchè z " 1. Se 1e siha 9a 2 H 2 a H 2 p 1q ma, al crescere di a, si raggiungerà il regime in cui H 2 {a! H 2 p 1q equindi 9a 2 H 2 p 1q 9a H p1 q 1{2 analogo al modello vuoto di Milne in cui 9a H ; l andamento di aptq è l o s t e s s o d i p r i m a, amenodiunacostantemoltiplicativa, eleperturbazioni non crescono. In conclusione, nel caso 1, =, le perturbazioni prima crescono come a per a! 1( {a " 1) e poi diventano costanti per a " 1( {a! 1), come si intuisce dalla figura Per ` 1, ilterminecostanteènullo,quindil abbandonodelregime 9 a avverrà per a più grandi rispetto al caso =, come si evince anche dalla figura Quandoa " 1siavrà 9a 2 Ha 2 2 (11.25) ovvero 9a 1{2 H a

171 11.5 L evoluzione delle velocità peculiari 171 La soluzione generale la possiamo scrivere come paq 5 ˆ ª 9a a 2 a da 1 p9a 1 q pa q`5 3 2 ˆ ª 9a a da 1 a a p9a 1 q 3 con a fattore di scala per cui comincia a dominare totalmente l energia oscura ovvero quando vale la Sostituendo la esviluppandoicalcolisiottiene paq pa q`5 a 2 a 2 4 H 2 equindi tende ad essere costante per a " 1, come nel caso precedente. In conclusione, per e ` 1leperturbazionicontinuanoacresceresempregraziea che assicura la geometria euclidea e non quella iperbolica; come conseguenza, la soluzione tende a quella analoga al modello di Milne ( cost.)piùtardieleperturbazionicrescono di più L evoluzione delle velocità peculiari Durante il procedimento per determinare l evoluzione delle perturbazioni trovato l equazione per le velocità peculiari ~u: ˆ d~u 9a dt ` 2 ~u 1 r a a ~ 2 c p 1 r a ~ 2 c avevamo con ~u d~r{dt e ~x aptq~r; ~u è la velocità comovente delle perturbazioni ( velocità peculiare) e r ~ c è i l g r a d i e n t e i n c o o r d i n a t e c o m o v e n t i. Consideriamo il caso in cui possiamo trascurare i gradienti di pressione e in cui le perturbazioni sono guidate solo dal potenziale d~u dt ` 2 ˆ 9a a ~u 1 a 2 ~ r c (11.26) e decomponiamo la velocità ~u rispetto alle direzioni parallele e perpendicolari al gradiente della perturbazione di potenziale ~ r c ~u ~u k ` ~u K ~u k è i l m o t o p o t e n z i a l e p e r c h é è g u i d a t o d a, ~u K è i n v e c e i l m o t o r o t a z i o n a l e Moti rotazionali Per la componente rotazionale l equazione diventa ˆ d~u K 9a dt ` 2 ~u K a la cui soluzione è ~u K 9 a 2.Poichè~u è u n a v e l o c i t à c o m o v e n t e, l a v e l o c i t à p r o p r i a è ovvero ~v K a~u K 9 a 2 ˆ a a 1 ~v K 9 a 1 la velocità rotazione diminuisce con l espansione dell universo come conseguenza della conservazione del momento angolare. Questo risultato mette in evidenze il problema di come spiegare le velocità rotazionali osservate e di quale sia la loro origine.

172 172 L evoluzione delle perturbazioni nel modello standard del Big Bang Moti potenziali Ricordiamo che avevamo trovato anche l equazione 11.7 per Poichè la soluzione è della forma ptq exp d dt ~r ~v ip ~ ı k ~xq ptq exp ip ~ ı k c ~rq si deve anche avere ~v 9 exp ip ~ ı k c ~rq Inoltre, poichè vale l equazione di Poisson se ne deduce anche che 1 a 2 r2 c 4 G 4 G 9 exp ip ~ ı k c ~rq da cui ~v k k r ~ c 9 i ~ k c exp ip ~ ı k c ~rq ovvero ~v k k ~ k c, cioè ~v k deve essere parallelo al vettore d onda della perturbazione per cui ˇˇ ~ ~vkˇˇ kc ~u k c ~u k k c k ˇˇ ~vkˇˇ a ricordando che k k c {a. Quindi, ricordando che ~v a~u e ~v 9 exprip ~ k c ~rqs si ha d dt ~r ~v 1 a ~ r c pa~uq i ~ k c ~u ovvero, dal momento che ~v k è parallelo al vettore d onda della perturbazione, si ottiene infine per l evoluzione della parte temporale ~v k 9 V k ptqˆexp ip ~ ı k c ~r q ˆ ~k c V k ptq a d k c dt 1 d k dt questa espressione è scritta in termini di k c vettore d onda comovente (o k vettore d onda proprio) e quindi descrive come le velocità peculiari associate ad una particolare perturbazione cambiano con l epoca cosmica. Consideriamo il caso 1, : come visto 9 t 2{3, a p3h t{2q 2{3, pertanto ˆ 2{3 2{3 t ˆ3 t 2 H t Utilizzando l equazione appena trovata si ha V k ptq a d k c dt 1 ˆ 1{3 ˆ 2{3 1{3 ˆ 1{3 2 t t 2 ˆ3 k c 3t t t t k c 3 2 H t H t k c t

173 11.5 L evoluzione delle velocità peculiari 173 data l espressione per aptq, p3h t{2q 1{3 a 1{2. Si ottiene quindi V k ptq H k c ˆ ˆ 1{3 t t con pt{t q 1{3 a 1{2 questa è esprimibile anche come V k ptq H k c ˆ a 1{2 in questa espressione la velocità potenziale è espressa tutta in grandezze relative a t t, in particolare è evidenziato il contrasto di densità all epoca attuale. Le velocità peculiari crescono come t 1{3 esonodeterminatesiadall ampiezzadella perturbazione p { q ma anche dalla scala spaziale c 2 {k c delle perturbazioni che le generano. Questa espressione mostra anche che, se p { q fosse la stessa su tutte le scale, allora il contributo maggiore alla velocità peculiare verrebbe dai ˇˇ ~v kˇˇ generati dalle perturbazioni sulle scale c 2 {k c più grandi. Quindi le velocità peculiari locali possono essere indotte da perturbazioni di densità sulle scale più grandi, e questo è importante per capire l origine del moto della nostra galassia nel sistema di riferimento della CMB. Consideriamo adesso il caso per =, =. In questo caso è più semplice partire da d~u k dt ` 2 ˆ 9a ~u k a dove la soluzione è la stessa di quella che avevamo trovato per ~u K, ovvero ~u k 9 a 1 cioè le velocità peculiari decadono col tempo. Consideriamo adesso il caso generale: per ricavare d {dt si può usare l espressione trovata per con paq 5 2 ˆ ª 9a a a da 1 p9a 1 q 3 9a 2 H 2 ` H 2 a a 2 Hp 2 ` 1q E possibile trovare un approssimazione utile scrivendo ptq fptq con contrasto di densità all epoca attuale (t t ). Allora V k ptq a d k c dt a df k c dt a df da k c da dt (11.27) Poichè all epoca attuale t t, a 1, da{dt H, si può scrivere Vk ptq H k c ˆ df da

174 174 L evoluzione delle perturbazioni nel modello standard del Big Bang Figura 11.4: Crescita della velocità peculiari ~v k da a 1 3 fino a a 1 per modelli di universo con = e =1,.3,.1. Nel limite a! 1 le soluzioni in figura sono date dalla con H {k c 1 e ~v k 9pa q 1{2. per =1, =, 9a 2 H 2 {a per cui paq a H a 1{2 ª a a 13{2 HA 32 da H 2 5 a Z5{2 a a 3{2 H 2 ovvero fpaq a ritrovando quanto già visto con la (ricordiamo che l espressione appena trovata implica una normalizzazione particolare per ). Quindi, V k ptq H k c a 1{2 ovvero la velocità peculiare cresce con a 1{2 come nel caso di Einstein - de Sitter. In conclusione, analogamente al caso della crescita di, si ha una prima fase in cui ˇ ~vkˇˇ cresce come nel caso di Einstein - de Sitter (a! 1) e poi una fase finale in cui decresce come nel modello di Milne (a " 1). Si può facilmente dimostrare che al primo ordine df {da.6 ovvero otteniamo Vk ptq H ˆ k.6 questo è il teorema del viriale cosmico, che abbiamo utilizzato per ricavare quando abbiamo parlato della misura dei parametri cosmologici.

175 11.5 L evoluzione delle velocità peculiari 175 Figura 11.5: Crescita della velocità peculiari per modelli di universo con ` 1 e =1,.3,.1. La notazione è come in figura Un approssimazione al secondo ordine per df {da permette di ottenere nel caso =, v 1 v 3 4{7 ˆ ` {21 ˆ 2 che fornisce un espressione più accurata del teorema del viriale cosmico utilizzato per stimare dai moti peculiari su grande scala. Per quanto riguarda la soluzione generale, è immediato integrare numericamente usando le espressioni generali per paq e 9a 2. In figura 11.4 si riporta la crescita delle velocità peculiari per modelli di universo con =. Nel caso in cui z " 1le V k ptq crescono come t 1{3 (ovvero come a 1{2 ), come già visto. Quando z! 1ciavviciniamoalcasolimite e V k ptq decresce come a. Si noti come esiste uno z massimo per 1acuituttelevelocitàpeculiari selezionate a caso raggiungono un massimo. Quando ` 1ilcomportamentoèanalogoaprimacolmassimoaz minori poichè, come visto prima, le perturbazioni crescono fino a z più bassi.

176 176 L evoluzione delle perturbazioni nel modello standard del Big Bang 11.6 La crescita delle piccole perturbazioni in un universo in espansione: il caso relativistico Il caso relativistico si ha per i fotoni o quando le particelle hanno E " mc 2 ovvero quando l universo è dominato dalla radiazione. Non è semplice ottenere le equazioni idrodinamiche e di Poisson adatte a descrivere l evoluzione delle perturbazioni nel caso relativistico e, partendo dal tensore energia-impulso per un gas relativistico, è stato dimostrato che le equazioni appropriate sono B Bt ~r ` p ~v c 2 ` p B~v `p~v ~rq~v ~rp c 2 Bt r 2 4 G ` 3 p c 2 Inoltre, l equazione di stato nel caso relativistico è p 1 3 c2 1 3 " Passando alle derivate Lagrangiane si ha quindi d dt 4 r 3 ~ ~v d~v dt 3 rp 4 ~ ~r r 2 8 G ` p c 2 ~r Il risultato è che le equazioni per l evoluzione di nel caso relativistico sono simili al caso non relativistico a parte diversi coe cienti numerici. Pertanto si può seguire un procedimento del tutto analogo a quello seguito nel caso relativistico, considerare un contrasto di densità p~r, tq ptq exp i ~ ı k c ~r egiungereall equazionerelativisticaper ptq ˆ d 2 9a d dt ` 2 2 a dt ˆ32 3 G k2 c 2 s dove l unica di erenza rispetto al caso non-relativistico è il fattore 32 G{3 invece di 4 G. Analogamente a prima si può fare l analisi nel caso stazionario, 9aptq=, ed ottenere onde sonore per lunghezze d onda inferiori alla lunghezza d onda di Jeans relativistica che vale J 2 k J c s ˆ 1{2 ˆ 1{2 3 c 8G 8G dal momento che c s 1{2 1{2 ˆBp B ˆ1 B S B 3 c2? c S 3

177 velocità del suono nel caso relativistico. Per J si ha il collasso esponenziale della perturbazione. Nel caso di universo in espansione, aptq, con " J si può trascurare il gradiente di pressione ottenendo d 2 dt 2 ` 2 ˆ 9a d a dt 32 3 G ovvero la stessa equazione del caso non-relativistico ma con diversa costante moltiplicativa per. Consideriamo il caso radiation-dominated (appropriato quando la materia è relativistica); dato che a 9 t 1{2 e 9 a 4, si ottiene equindiper " J si ha cioè nuovamente una crescita algebrica Il problema di base At n con n 1 9 t 9 a 2 9p1 ` zq 2 Nel caso del nostro modello di universo di riferimento, =.3, =.7, la crescita di va più o meno come 9 9 a 1 1 ` z nell epoca post-ricombinazione. Se = la crescita è molto inferiore: per z! 1{ le perturbazioni crescono più lentamente e per Ñ noncresconoa atto. Poichè adesso le galassie esistono inequivocabilmente, si deve avere 1 per a 1, z. Questo significa che sulla superficie di ultimo scattering a z «1 le perturbazioni dovevano essere almeno 1 3 ovvero, di sicuro non infinitesime. Possiamo vedere questi risultati sotto due aspetti diversi. Da un lato, cresce lentamente, non in modo esponenziale ma algebrico al contrario della formazione stellare e dall istante in cui le perturbazioni diventano più piccole dell orizzonte crescono solo di un piccolo fattore; ne consegue che deve esserci stato un meccanismo per generare perturbazioni di ampiezza finita e su grande scala nell universo primordiale (questo in pratica è il motivo per cui prima si riteneva che non si potessero formare le galassie dalla crescita delle perturbazioni). Dall altro lato, proprio grazie alla crescita lenta delle perturbazioni possiamo imparare molte cose sull universo primordiale che ci sarebbero state precluse. Possiamo studiare le fluttuazioni a z 1 e possiamo avere informazioni sullo spettro delle fluttuazioni nell universo primordiale, ovvero sulla fisica dell universo primordiale.

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179 Capitolo 12 Diagrammi spazio-tempo, orizzonte e modello inflazionario Fino ad ora abbiamo trovato come crescono le perturbazioni ma non abbiamo tenuto conto del tempo finito di propagazione dei segnali. Adesso dobbiamo considerare altri processi fisici che ci permettano di avere modelli più realistici di crescita delle perturbazioni: dobbiamo definire cosa sia l orizzonte di un osservatore (ed i problemi ad esso connessi) e dobbiamo capire come crescono le perturbazioni su scale più grandi dell orizzonte. Successivamente cercheremo di capire il ruolo della materia barionica nella crescita delle perturbazioni scoprendo come i modelli con la sola materia barionica falliscano nello spiegare le osservazioni. In seguito ci occuperemo della materia oscura L orizzonte di una particella Un concetto importante è quello di orizzonte di una particella o di un osservatore: ad ogni epoca t è l a m a s s i m a d i s t a n z a c o n l a q u a l e c è s t a t a c o n n e s s i o n e c a u s a l e, o v v e r o è l a distanza massima che può aver percorso un segnale luminoso da t finoat. In pratica questo è lo stesso problema con cui ci siamo confrontati quando abbiamo dovuto misurare le distanze tenendo conto dell espansione dell universo: abbiamo considerato un numero infinito di osservatori tra noi e la sorgente, ciascuno con l istruzione ricevuta a t dimisurarealtempotla distanza dall osservatore più vicino per cui alla fine si ottiene che la distanza propria è ª ª Rptq dx aptq dr aptqr con R distanza comovente ovvero misurata per t t (ricordare il thought experiment nella sezione 3.3). La metrica di Robertson Walker è ds 2 dt 2 aptq2 r 2 ı dr 2 ` R 2 sin `d 2 2 ` sin 2 d c 2 R per cui considerando il percorso radiale di un fotone (ds 2, d 2 ` sin 2 d 2 )siha dt aptq c dr

180 18 Diagrammi spazio-tempo, orizzonte e modello inflazionario dr è la distanza comovente di un osservatore che vediamo dopo che i fotoni hanno viaggiato un tempo dt. Allora la distanza comovente di una sorgente che noi (che siamo a t t ) osserviamo quando era a t è ª t ª cdt 1 r t aptq cda a a 9a dove questa espressione può essere letta come la distanza comovente tra l osservatore al tempo t ed un altro osservatore visto al tempo t t ; ovvero la distanza comovente percorsa dai fotoni partiti al tempo t ed arrivati al tempo t. Quindi al tempo t l osservatore avrà un orizzonte che corrisponde alla distanza comovente con gli osservatori che vede al tempo t ª t cdt 1 ª a r apt 1 q cda 1 a 1 9a 1 questa è la distanza comovente tra l osservatore al tempo t equelloaltempot t, ovvero è la distanza comovente che i fotoni percorrono tra t et. Per ottenere la distanza propria, ovvero quella che si misurerebbe a t (e non quella comovente, misurata a t )sidevemoltiplicareperaptq ovvero, il raggio dell orizzonte di una particella o di un osservatore al tempo t è allora ª t cdt 1 ª a R H ptq aptq apt 1 q aptq cda 1 (12.1) 9a 1 a 1 Consideriamo adesso il caso dei modelli di Friedman per =. Ricordiamo che R H ptq aptq dz dt H p1 ` zq p1 ` zq 2 p z ` 1q zpz ` 2q 1{2 ª t cdt 1 ª z apt 1 q aptq `8 c p1 ` zqp dzq H p1 ` zqrp1 ` zq 2 p z ` 1q zpz ` 2qs 1{2 che, per =, diviene ª z ª cp dzq `8 c dz R H ptq aptq aptq `8 H rp1 ` zq 2 1{2 p z ` 1qs z H p1 ` zq p z ` 1q 1{2 ricordando le soluzioni analitiche nel caso = si ha: per 1 c R H ptq aptq acos 1 2p 1q aptq H p 1q1{2 per 1 R H ptq per 1, modello di Einstein - de Sitter, c aptq acosh 1 ` 2p1 q aptq H p1 q1{2 ª `8 R H ptq aptq z 2c H aptq 3{2 2c H t c dz captq 2p1 ` zq 1{2 H p1 ` zq3{2 H 2c 3 H t H 2 t

181 12.2 L orizzonte degli eventi 181 ovvero R H ptq 3 ct (12.2) Per piccoli valori di a ( z " 1), si ottiene la soluzione valida nel caso dominato dalla materia anche per modelli con, analogamente a come abbiamo visto per a aptq. Partendo da ª 8 R H ptq aptq z per z " 1, z " 1sihaa» z 1 esiottiene R H ptq» aptq ª 8 z c dz H rp1 ` zq 2 p z ` 1q zpz ` 2qs 1{2 c dz aptq H p z 3 q1{2 ª 8 captq 2z 1{2 8 H 2 captq 1{2 z H 1{2 2c H 1{2 z c H 1{2 z 1{2 z 3{2 dz aptq 3{2 (12.3) Sappiamo che, in queste condizioni, vale il modello di Einstein-de Sitter modificato ovvero equindi R H ptq aptq 1{3 ˆ3H t 2 2{3 A2c H 1{2 1{2 3 H t 2 3 ct R H ptq 3 ct z " 1, z" 1, (12.4) ovvero lo stesso valore del caso di Einstein - de Sitter. Come abbiamo già visto, questa approssimazione è valida, ad esempio, sulla superficie di ultimo scattering. Perché il raggio dell orizzonte è 3 ct enonct? Perché gli osservatori fondamentali erano più vicini tra loro a t piccoli, ovvero distanze maggiori erano causalmente connesse. Consideriamo adesso il caso radiation dominated che si ha per z " 1.97ˆ1 4 h 2 7 «6. In questo caso a kt 1{2 e ovvero R H ptq aptq ª t c dt 1 apt 1 q Sk t1{2 ª t c dt 1 Sk t 11{2 R H ptq 2 ct (12.5) 12.2 L orizzonte degli eventi L orizzonte degli eventi è la massima distanza osservabile aspettando un tempo su cientemente lungo, al limite t Ñ8. Se consideriamo il fotone che parte a t earrivaaltempo t 1 in direzione radiale la distanza comovente percorsa è pari a r ª t1 t c dt 1 apt 1 q (12.6)

182 182 Diagrammi spazio-tempo, orizzonte e modello inflazionario pertanto, detto t 8 il tempo cosmico massimo che l universo può raggiungere, il raggio dell orizzonte degli eventi per l osservatore al tempo t 1 sarà ª t8 R E ptq aptq t ª c dt a8 aptq aptq cda a a 9a R E è la massima distanza propria degli oggetti che l osservatore in t potrà vedere in futuro. La domanda da porsi è se R E converge per t 8 Ñ8(nel caso dei modelli aperti) o per t 8 Ñ t max (nel caso dei modelli chiusi). In quest ultimo caso t max corrisponde al tempo in cui avviene il big crunch. Se =, 1quell integralediverge(a9t 2{3 per 1ea9t per ) pertanto R E Ñ8: in linea di principio è possibile osservare qualsiasi particella esistente nell universo, basta aspettare il tempo necessario alla propagazione della luce. Se =, 1l integraleconvergeadunvalorefinitochesipuòotteneredallesoluzionigenerali per aptq; ad esempio, per =2, l oggetto più lontano osservabile prima del big crunch avrebbe una distanza comovente r «2, Mpc (H 7 km s 1 Mpc 1 ). Nel caso in cui 1e ` 1l integraleperr E converge ad un valore finito perché per tempi grandi aptq si espande esponenzialmente ed i fotoni emessi da oggetti su cientemente distanti non ce la fanno a giungere fino a noi La sfera di Hubble e il cono di luce passato Prima di a rontare lo studio dei diagrammi spazio-tempo in ambito cosmologico, è necessario capire come si può trovare il cono di luce (passato) di un osservatore che, ricordiamo, è il luogo dei punti nello spazio- tempo percorsi dai fotoni per giungere all osservatore. La prima cosa da notare è che la legge di Hubble, v rec H r, si applica anche per v rec c; questa non è una violazione della relatività generale poichè non è una velocità di trasmissione del segnale ma è solo un e etto dell espansione omogenea ed isotropa dell universo. Pertanto dovremo conto del fatto che, oltre alla velocità e ettiva di un oggetto, esiste una velocità apparente dovuta all espansione dell universo. Possiamo determinare la velocità apparente v tot al tempo t di allontanamento tra due osservatori a distanza comovente r come v tot pdistanza propria al tempo tq ptempo cosmico t) dr dt Sfruttando la definizione di distanza comovente Rptq aptqr v tot dr dr 9aptq r ` a dt dt v rec ` v pec v rec 9aptq r è l a v e l o c i t à d i r e c e s s i o n e c o n c u i i l s u b s t r a t o s i e s p a n d e e c o n c u i g l i osservatori si allontanano; per t t si ottiene v rec H r ovvero la legge di Hubble. v pec aptq dr{dt rappresenta invece la velocità relativa dovuta ai moti peculiari ovvero quelli che si discostano dal flusso di Hubble.

183 12.3 La sfera di Hubble e il cono di luce passato 183 Consideriamo adesso un osservatore al tempo t che osserva fotoni emessi al tempo t em nel caso critico =1 e =, per cui si ha 2{3 ˆ 2{3 ˆ3 t aptq 2 H t t 9a 2 ˆ 1{3 ˆ t t H 3t t t ª «t ˆ c dt 1 r t em pt 1 {t q c t1 3t 2{3 t ˆ 1{3 «ˆ t t v rec 9aptqr 2c t 1{3 1{3 t t 1{3 «ˆ 2c t H t t em 1{3 ˆtem L osservatore al tempo t vede il Big Bang (t em ) come r BB 2c H v rec 2c ˆ t t t 1{3 1{3 1{3 ˆtem Ovvero il Big Bang si allontana con una velocità di recessione apparente pari a 2c indipendentemente dal tempo t acuilosiosserva. Attenzione a non confondere la velocità di recessione 9aptqr con la velocità che si ottiene interpretando erroneamente il redshift cosmologico come e etto Doppler. La velocità Doppler che otteniamo adesso pt t q per fotoni emessi per t t em è 2{3 1 «ˆtem v Dop cz c apt em q 1 c 1 dove si è sfruttato il fatto che il redshift cosmologico non è altro che una misura del fattore di scala a al tempo t em acuivengonoemessiifotoni. Questavaconfrontataconlavelocità di recessione v rec con cui adesso t t vediamo allontanarsi la sorgente che ha emesso i fotoni al tempo t t em ; ponendo t t nell espressione trovata per v rec otteniamo «v rec 2c 1 1{3 ˆtem Per cui si può calcolare il rapporto tra le due velocità e, posto t em t p1 q si trova che con! 1(corrispondenteaz! 1) t v Dop 1 p1 q 2{3 1 v rec 2 1 p1 q» 1 1{3 2 t 2{3 1{3 1 ovvero la velocità Doppler fornisce la corretta velocità di espansione solo nell universo locale. Come già visto v pec aptq dr{dt corrisponde alla velocità reali e non alle velocità apparenti dovute all espansione del substrato, pertanto il modulo della velocità peculiare di un fotone sarà sempre v pec c. Consideriamo adesso un fotone emesso al tempo t em t

184 184 Diagrammi spazio-tempo, orizzonte e modello inflazionario che si sta dirigendo verso un osservatore; al tempo t il fotone si trova a distanza comovente r dall osservatore e la sua velocità di avvicinamento all osservatore sarà v tot drptq dt 9aptq r c il segno viene dal fatto che il fotone viaggia verso l osservatore. Questa espressione definisce la velocità con cui la luce al tempo t si sta avvicinando ad un osservatore per effetto dell universo in espansione: si ricordi che per l osservatore o per il fotone le distanze da percorrere sono sempre quelle proprie, non quelle comoventi. I fotoni si allontanano dall osservatore (la distanza propria a t aumenta) fino a che l espansione cosmologica è caratterizzata da v rec c; però i fotoni si muovono verso l osservatore passando per riferimenti inerziali che si muovono progressivamente con velocità di recessione (v rec ) minori finché non attraversano la sfera di Hubble ovvero la regione in cui v rec 9ar c e v tot. La definizione del raggio della sfera di Hubble R HS ptq è p e r t a n t o ovvero c 9aptq r 9a a aptqr 9a a R HSptq R HS ptq aptq 9aptq c c Hptq si noti che R HS ptq è u n a d i s t a n z a r a d i a l e p r o p r i a. D a q u e s t a e p o c a i n p o i i l f o t o n e si avvicina sempre di più all osservatore finché per t t non vi giunge con velocità apparente pari a c (v tot c visto che r ). Adesso possiamo facilmente determinare il cono di luce passato (Past Light Cone, PLC) di un osservatore al tempo t : dobbiamo trovare la distanza propria (o comovente) al tempo t di un fotone partito a t em che giunge dall osservatore al tempo t. Tenendo conto della velocità di avvicinamento del fotone v tot appena trovata R PLC ptq R em ` ª t t em v tot dt dove R em è l a d i s t a n z a p r o p r i a t r a f o t o n e e o s s e r v a t o r e a l m o m e n t o d e l l e m i s s i o n e d e l fotone stesso. Poichè sappiamo che per t, R (postulatodiweyl)possiamoinfine scrivere ª t ª t ª a R PLC ptq v tot dt r9apt 1 qr csdt 1 9a 1 r c da 1 9a 1 Possiamo anche ragionare in modo diverso e trovare la distanza comovente del fotone emesso a t eosservatoat ; come ben noto questa è pari a r PLC ª t t cdt aptq echecorrispondeadunadistanzapropriaaltempot pari a ª t R PLC ptq aptqr PLC aptq t cdt 1 ª 1 apt 1 q aptq cda aptq 9aa Si può vedere facilmente che le due espressioni sono equivalenti. Dopo aver notato che ª dr d t dt cdt c dt a aptq t

185 12.4 Diagrammi spazio-tempo per i modelli cosmologici standard 185 si integra per parti la prima espressione di R PLC ª t ª t ˆ dr R PLC ptq r9apt 1 qr csdt 1 aptqr a dt 1 dt 1 ª t ª t cdt 1 aptqr aptq t cdt 1 apt 1 q ovvero si ritrova la seconda espressione per R PLC. Determiniamo adesso l equazione del nostro cono di luce in funzione del tempo t nel caso in cui 1, (Einstein-deSitter). Sappiamocheladistanzacomoventedi un fotone al tempo t che arriva al tempo t è per cui r 2c H «ˆ 1{3 t 1 r PLC R PLC ptq aptqr PLC 2c ˆ «2{3 ˆ 1{3 t t 1 H t t esipuòfacilmenteverificarechesiottienelostessorisultatoancheusandol altraespressione di R PLC. t 12.4 Diagrammi spazio-tempo per i modelli cosmologici standard Prima di analizzare i diagrammi spazio-tempo in ambito cosmologico, riassumiamo i tempi eledistanzeintrodottifinoaqui. Tempo cosmico. E il tempo misurato da un osservatore fondamentale e letto su un orologio sincronizzato per t quandotuttelegeodetichesiintersecavano (postulato di Weyl) ª t ª a t dt 1 da 1 9a 1 Tempo conforme. Il tempo conforme è l analogo della coordinata comovente ed è legato all intervallo di tempo sotto cui l osservatore a t t vede avvenire un evento nel passato al tempo t dt conf d dt aptq poichè questo è il tempo misurato dall osservatore fondamentale al tempo t t ma relativo alla durata di eventi passati, è chiaro che rispetto al tempo cosmico, è a etto dalla dilatazione cosmologica dei tempi. La metrica di Robertson e Walker è ds 2 dt 2 aptq2 r 2 ı dr 2 ` R 2 sin `d 2 2 ` sin 2 d c 2 R econiltempoconformediventa ds 2 a2 ptq r ı c 2 d 2 dr 2 R 2 sin 2 pd 2 ` sin 2 d 2 q c 2 R ovvero la parte spaziale e la parte temporale sono adesso omogenee e scalano entrambe con aptq; per cui le associazioni sono tra t r propr e r. Utilizzando il tempo conforme la crescita delle perturbazioni è

186 186 Diagrammi spazio-tempo, orizzonte e modello inflazionario Era della Radiazione: { 9 t; a 9 t 1{2 ; 9t 1{2 per cui { 9 2 Era della Materia: { 9 t 2{3 ; a 9 t 2{3 ; 9t 1{3 per cui { 9 2 ovvero le perturbazioni crescono sempre con 2. Distanza radiale comovente. E definita come r ª t t c dt 1 a 1 ª 1 ovvero è la distanza proiettata all epoca t t. a cda 1 a 1 9a 1 Distanza radiale propria. Partendo dalla definizione di distanza radiale comovente, la distanza radiale propria, ovvero misurata all epoca di osservazione t della sorgente è ª t c dt 1 R prop aptqr a t a 1 ª 1 cda 1 a a a 1 9a 1 Orizzonte di una particella. E la massima distanza con cui ci può essere stata comunicazione all epoca t ovvero è la distanza radiale propria tra t e t R H ptq aptq ª t cdt 1 apt 1 q aptq Orizzonte degli eventi. E la massima distanza radiale propria di un oggetto che potrà essere osservato da un osservatore al tempo t R E ptq aptq ª t8 t c dt 1 apt 1 q aptq ª a ª a8 a cda 1 9a 1 a 1 cda 1 a 1 ptq9a 1 ptq Past light cone. Come abbiamo visto prima definisce gli eventi accessibili all osservatore (ovvero gli eventi da cui provengono i fotoni osservati) ed è dato da R PLC ptq ª t ª t r9apt 1 qr csdt 1 aptq t cdt 1 apt 1 q Raggio della sfera di Hubble, la distanza propria a cui la velocità di recessione è pari alla velocità della luce R HS ptq aptq 9aptq c c Hptq Diagrammi spazio-tempo per 1, Vediamo adesso i diagrammi spazio-tempo e cominciamo con il modello critico di Einstein -desitter, =1., =, per poi passare al nostro modello di riferimento con =.3, =.7. Nelle figure seguenti si useranno sempre queste unità di misura: il tempo sarà espresso in unità di H 1 ; le distanze saranno express in unità di c{h.

187 12.4 Diagrammi spazio-tempo per i modelli cosmologici standard 187 Figura 12.1: Diagramma spazio-tempo tra tempo cosmico t e distanza propria x per il modello critico ( =1, =). Tempi e distanze sono misurati in H 1 e c{h, rispettivamente. Figura 12.2: Diagramma spazio-tempo tra tempo cosmico t e distanza comovente r per il modello critico ( =1, =). Tempi e distanze sono misurati in H 1 e c{h, rispettivamente.

188 188 Diagrammi spazio-tempo, orizzonte e modello inflazionario Figura 12.3: Diagramma spazio-tempo tra tempo conforme t e distanza comovente r per il modello critico ( =1, =). Tempi e distanze sono misurati in H 1 e c{h, rispettivamente. La figura 12.1 rappresenta il diagramma spazio tempo per t r prop ovvero con tempo cosmico e distane proprie; la figura 12.2 rappresenta la relazione t r, tempo cosmico - distanza comovente mentre la figura 12.3 rappresenta la relazione r, tempo conforme - distanza comovente. Nel caso del modello critico esistono relazioni analitiche semplici per le varie grandezze: l età dell universo adesso è t 2{3 H 1 ; il fattore di scala è aptq pt{t q 2{3 ; il tempo conforme è 3t pt{t q 1{3 ; la distanza comovente è rptq 2c{H r1 pt{t q 1{3 s; la distanza radiale propria è Rptq pt{t q 2{3 rptq; la sfera di Hubble è R HS ptq c{h pt{t q; il cono di luce passato è R PLC 2c{H rpt{t q 2{3 pt{t qs; l orizzonte della particella è R H 3ct; l orizzonte degli eventi è R E 8ovvero non c è; Cominciamo con la figura Il past light cone è la world line dei fotoni e, come si vede chiaramente, inizialmente tendono ad allontanarsi dall osservatore a seguito

189 12.4 Diagrammi spazio-tempo per i modelli cosmologici standard 189 dell espansione dell universo per poi riavvicinarsi, una volta entrati nella sfera di Hubble. La sfera di Hubble interseca il cono di luce passato per R HS R PLC ˆ 2{3 ˆ t t t 2 2 t t t ˆ t 8 27 t in questo punto la velocità totale dei fotoni è v tot per definizione di sfera di Hubble, in cui la velocità di recessione è pari a c. La tangente al cono di luce passato è verticale perché da quel punto in poi la distanza propria verso l osservatore ricomincia a diminuire. Nelle figure sono anche rappresentate le world lines di galassie che noi osserviamo a vari redshifts z.5, 1., 2., 3.; ovviamente le galassie sono osservate all intersezione tra la loro world line ed il cono di luce passato, e l intersezione tra la world line e la retta per t t determina la loro distanza comovente. L orizzonte della particella permette di identificare le distanze massime degli oggetti nel diagramma spazio-tempo che sono connessi causalmente con l osservatore a r prop r alvariaredeltempo. Vediamo adesso la figura La singolarità iniziale per a, r prop èstata allungata in una riga, le world lines sono rette parallele all asse delle y. Anche nella figura 12.3 la singolarità iniziale per a èstataallungatainunariga. Questodiagramma,in cui t è s t a t o s o s t i t u i t o c o n è p i ù s e m p l i c e e d i n f a t t i r H pcomoventeq c ; r PLC pcomoventeq 2pc{H qr1 H {2s; r HS pcomoventeq pc{h qh {2. Si noti come il past light cone sia adesso una retta Diagrammi spazio-tempo per.3,.7 Anche in questo caso relativo al nostro modello di riferimento utilizzeremo H 1 e c{h come scale di tempo e di distanza. In questo caso l equazione di Friedman è 9a 1{2.3 a `.7a2 La figura 12.4 rappresenta il diagramma spazio tempo per t r prop ovvero con tempo cosmico e distanze proprie; la figura 12.5 rappresenta la relazione t r, tempo cosmico - distanza comovente mentre la figura 12.6 rappresenta la relazione r, tempo conforme -distanzacomovente. Ci sono molte somiglianze col caso precedente ma anche di erenze dovute alla dark energy che domina ad epoche tarde: il tempo cosmico è allungato rispetto al caso critico; le world lines delle galassie cominciano a divergere per t t a seguito della riaccelerazione dell espansione causata dalla dark energy;

190 19 Diagrammi spazio-tempo, orizzonte e modello inflazionario Figura 12.4: Diagramma spazio-tempo tra tempo cosmico t e distanza propria r prop per il modello di riferimento ( =.3, =.7). Tempi e distanze sono misurati in H 1 e c{h, rispettivamente. Figura 12.5: Diagramma spazio-tempo tra tempo cosmico t e distanza comovente r per il modello di riferimento ( =.3, =.7). Tempi e distanze sono misurati in H 1 e c{h, rispettivamente. la sfera di Hubble converge ad una distanza propria di 1.12c{H (l espansione diventa esponenziale nel futuro e la costante di Hubble tende al valore costante 1{2 ); c è un orizzonte degli eventi; la geometria è piatta e l espansione esponenziale spinge le galassie oltre le massime distanze a cui si può avere una connessione causale al

191 12.5 Il problema dell orizzonte 191 Figura 12.6: Diagramma spazio-tempo tra tempo conforme t e distanza comovente r per il modello di riferimento ( =.3, =.7). Tempi e distanze sono misurati in H 1 e c{h, rispettivamente. tempo t. R E tende allo stesso valore asintotico di R HS,1.12c{H epera Ñ8si ha che R E a R E Ñ ª 8 a ª 8 a da 1 r.3a 1 `.7pa 14 a 12 qs 1{2 da 1 r.7s 1{2 a Ñ r.7s1{2 il diagramma più semplice è quello con il tempo conforme poichè r H pcomov.q r PLC pcomov.q r E pcomov.q r c (12.7) con 3.35 e r nel nostro modello di riferimento Il problema dell orizzonte Un osservatore sulla superficie di ultimo scattering avrà un orizzonte che sottende un angolo H sul piano del cielo, come visto da noi, osservatori a t t. Per calcolare H occorre utilizzare la distanza angolare con D misura di distanza data da D A D 1 ` z r D R sin R

192 192 Diagrammi spazio-tempo, orizzonte e modello inflazionario e r coordinata radiale comovente pari a r c H ª z dz rp1 ` zq 2 p z ` 1q zpz ` 2qs 1{2 Calcoliamo r nel caso in cui =, e 1che,comenoto,approssimabenequello che succede sulla superficie di ultimo scattering dove il contributo di alla dinamica è trascurabile. Si ottiene: r c ª z dz H p1 ` zqp z ` 1q 1{2 2c H p1 q 1{2 da cui 2 c D H 2 p1 ` zq che per z» 1, ovvero z " 1 $ 2 c & D» H A p 2 1 ` % Azq converge a quindi «D A tanh 1 ˆ z ` 1 1 1{2 tanh 1 p1 q 1{2 z `p 2q p z ` 1q 1{2 1 ( Z Z A z ` D», : p 2q p z ` 1q 1{2 1 /. /- 2c H D 1 ` z» 2c H z» 2ca H Il raggio dell orizzonte di particella, tenendo conto di aptq 1{3 p3h t{2q 2{3,èdatoda r H ptq 3ct 3c 2 aptq3{2 c 2 aptq3{2 (12.8) 3 1{2 H 1{2 H L angolo che sottende l orizzonte della particella sulla superficie di ultimo scattering è pertanto econz 1 si ha H r Hptq D A» 2ca3{2 ˆ H H 1{2 2ca 1{2 aptq 1{2 H» 1{2 aptq 1{2 1{2.32 1{2 p1 ` zq1{2 rad 1.8 1{2 deg In conclusione, nel caso di =.3, =.7, z 1, si ottiene H 1. quindi, secondo i modelli standard di Friedman, sulla superficie di ultimo scattering regioni di cielo separate da più di 1 non potevano essere causalmente connesse! Il fatto che la CMB sia omogenea a meglio di 1 parte su 1 deve far parte delle condizioni iniziali dell universo! Vediamo adesso come è possibile risolvere questo problema grazie al modello inflazionario.

193 12.6 Il modello inflazionario Il modello inflazionario Mettendo insieme quello che abbiamo appena visto e le cose analizzate in precedenza, possiamo concludere che il modello cosmologico standard ha i seguenti problemi: Problema dell orizzonte. Il modello standard si basa sull assunzione di omogeneità e isotropia la cui evidenza maggiore è data dalla CMB; ma le scale spaziali causalmente connesse sulla CMB corrispondono ad appena 1, proiettate sul piano del cielo. Come è possibile che la CMB sia così omogenea ed isotropa su tutto il cielo? Problema della piattezza. Abbiamo visto che avere.3 «1comportache pzq 1perz" 1; per esempio la pzq 1 ˆ ` z ci dice che =.3 fornisce pzq.9978 a z 1 e pzq a z 1; in conclusione, ad altissimi z deve essere estremamente prossimo ad 1, richiedendo un fine tuning molto forte. Formazione delle strutture cosmiche. Le fluttuazioni di densità sulla superficie di ultimo scattering devono essere relativamente grandi 1 3 per poter spiegare le strutture cosmiche esistenti adesso; queste non sono certo perturbazioni infinitesime dovute a fluttuazioni statistiche. Poichè la crescita delle perturbazioni è sempre algebrica anche in precedenza ( a 2 nell epoca della radiazione e a nell epoca della materia), le perturbazioni di densità non possono originarsi a seguito di fluttuazioni statistiche ma a causa di un fenomeno fisico di cui non abbiamo ancora tenuto conto. Nel 1981 Alan Guth ha cercato di risolvere questi problemi proponendo che ci sia stata una fase nell universo primordiale in cui la densità di energia fosse dominata da una componente di energia del vuoto con pressione negativa, in modo del tutto analogo alla dark energy che abbiamo già visto. Pertanto in quella fase, in cui la dinamica era guidata da una componente con proprietà simili a quelle della dark energy, si è avuta una espansione di tipo esponenziale, ovvero durante quella fase aptq exppt{ q. L inizio e la durata della fase inflattiva dipendono dalle proprietà del potenziale del campo scalare che dà origine alla componente di energia del vuoto che guida l inflazione; perciò esistono vari modelli inflazionari. Ad esempio nel modello indicato in figura 12.7 la fase inflazionaria è tra 1 35 e1 33 s. Come vedremo l esatta collocazione temporale della fase inflazionaria non ha influenza per quanto riguarda la soluzione dei problemi appena indicati. Consideriamo ad esempio un modello in cui a fase inflazionaria inizia quando la temperatura dell universo raggiunge il valore T GUT ; al termine della fase inflazionaria l energia del campo che ha causato l inflazione viene liberata e si ha un reheating per l universo si riscalda nuovamente alla temperatura T GUT. T GUT è l a t e m p e r a t u r a c h e c o r r i s p o n d e all energia la disopra della quale si ha la grande unificazione delle forze (esclusa quella gravitazionale) e vale T GUT 2 ˆ 1 16 GeV 1.5 ˆ 1 29 K Ricordando che 9a 2 H 2 a ` H 2 a 2 H 2 p ` 1q

194 194 Diagrammi spazio-tempo, orizzonte e modello inflazionario Figura 12.7: Evoluzione del fattore di scala nel modello standard e nel caso di modello inflazionario. e che la densità di energia del vuoto è V 8 G 3H2 8 G possiamo ricavare l equazione di Friedmann nel caso in cui, per a " 1, la dinamica sia dominata da un termine di energia del vuoto analogo a V che chiameremo 9a 2 8 G 3 a2 come abbiamo già visto questa equazione può essere risolta per separazione di variabili; ponendo ˆ 1{2 3 8 G eintegrandotral iniziodellafaseinflazionaria,t 1,et si ottiene aptq a 1 exp t supponiamo che la fase inflazionaria termini per t 2 N I ` t 1» N I con N I " t 1, per cui alla fine della fase avremo apt 2 q a 2» a 1 e N I

195 12.6 Il modello inflazionario 195 ovvero il fattore di scala è cresciuto di un fattore exppn I q. Vediamo le conseguenze di questo fatto. L orizzonte di particella alla fine della fase inflattiva t I ª t2 R H pt 2 q apt 2 q ª c dt t2 aptq» apt 2q t 1 c dt aptq con t 1 inizio della fase inflattiva; come si vede abbiamo trascurato il contributo a R H dovuto alla propagazione dei fotoni prima della fase inflattiva. Si ottiene R H pt 2 q c a ª t2 2 e t{ dt c e t 2{ e t 1{ e t 2{» c e t2{» c e N I a 1 t 1 dove si è considerato che t 2» N I " t 1. Questo raggio dell orizzonte definisce la regione causalmente connessa al termine della fase inflazionaria, ovvero il raggio della sfera all interno della quale si è potuta ottenere l omogeneità. Si noti che, nel caso in cui l universo si fosse espanso come nel caso dominato dalla radiazione, avremmo avuto R Hpt2 q 2ct 2» 2c N I ovvero un fattore 2N I { exppn i q più piccolo. Questa sfera causalmente connessa poi si espande seguendo l espansione standard dell universo fino a raggiungere il momento della ricombinazione per t rec dove definirà un area causalmente connessa sulla superficie di ultimo scattering ed il cui raggio sarà pari a R C apt recq apt 2 q R Hpt 2 q 1 ` zpt 2q 1 ` zpt rec q R Hpt 2 q T 2 T rec R H pt 2 q T GUT T rec c e N I Si noti che questo non è il raggio dell orizzonte a t rec, ma il raggio dell orizzonte alla fine dell inflazione, ovvero il raggio della sfera che è stata causalmente connessa a t 2. Abbiamo sfruttato la relazione tra a z e z T, ed inoltre il fatto che alla fine della fase inflazionaria la temperatura è T 2 T GUT. Per stimare il valore di r C dobbiamo stimare il valore di ovvero di. Se alla fine della fase inflazione l energia del vuoto viene ceduta all universo, diventa energia di radiazione e particelle ultrarelativistiche con temperatura T GUT 2 ˆ 1 16 GeV 1.5 ˆ 1 29 K rad 4 c T GUT» 4 ˆ 1 gcm 3 da cui ed infine ˆ 3 8 G 1{2 2 ˆ 1 38 s r C T GUT T rec c e N I 1.5 ˆ 129 K 4 K ˆ c ˆp2 ˆ 1 38 sqˆe N I 5.1 ˆ 1 25 e pn I 63q cm dove per ottenere il valore numerico si è usato un N I 63. Questo raggio va confrontato con il raggio della sfera che racchiude l universo osservabile ovvero la distanza propria tra noi e la superficie di ultimo scattering; nel caso di Einstein - de Sitter abbiamo visto che la distanza comovente è «r 2c ˆ 1{3 t 1 H t

196 196 Diagrammi spazio-tempo, orizzonte e modello inflazionario per cui la distanza propria Rptq 2c ˆ «2{3 ˆ 1{3 t t 1 H t t alla ricombinazione aptq pt{t q 2{3 1 3 ovvero Rpt rec q 2 c H {2» c H 2.6 ˆ 1 25 cm Pertanto il raggio della sfera che racchiude l universo osservabile è inferiore al raggio della sfera che racchiude le regioni causalmente connesse al termine della fase inflazionaria se questa dura almeno N I con N I Á 63; ovvero la durata della fase inflazionaria deve essere superiore a 1.2 ˆ 1 36 s per risolvere il problema dell universo. Se la fase inflazionaria iniziasse più tardi come nel modello in figura 12.7, la temperatura all inizio ed alla fine della fase inflazionaria sarebbe più bassa, conseguentemente sarebbe più bassa e più grande. Per il modello in figura all inizio ed alla fine della fase inflazionaria si avrebbe T 1 T 2» 1 28 Kilcheimplica rad 3 ˆ 1 76 gcm 3 e» 1 35 s per cui durante la fase inflazionaria ci sono circa 1 e r C 2.ˆ1 43 cm ben oltre il raggio dell universo osservabile. Abbiamo appena visto come il modello inflazionario risolva il problema dell orizzonte e vediamo adesso le conseguenze per il problema della piattezza. Riprendiamo l equazione di Friedmann completa ovvero che include i termini di massa, radiazione e densità del vuoto 9a 2 H 2 a con k curvatura a t t data da ` rh 2 a 2 ` H 2 a 2 c 2 k k H2 c 2 r ` r ` 1s Se definiamo i parametri di densità a redshift z come i pzq 8 G 3Hpzq ipzq 8 G ˆ i, ˆ i pzq H2 2 3H 2 i, Hpzq 2 ˆ ˆ i pzq H2 i, i, Hpzq 2 dove con i pzq densità a redshift z della componente i-esima e Hpzq costante di Hubble a redshift z (Hpzq 9a{a). Conoscendo l evoluzione con z delle densità delle varie componenti e sostituendo gli i, con gli i pzq si ottiene 9a 2 m pzq Hpzq 2 a 2 ` r pzq Hpzq 2 a 2 ` pzq Hpzq 2 a 2 c 2 k ovvero, ponendo 9a Hpzqa, si ha c 2 k a 2 Hpzq 2 r pzq 1s (12.9) con pzq m pzq` r pzq` pzq. Questo è un modo diverso di scrivere l equazione di Friedmann. Valutando le due espressioni all inizio ed alla fine della fase inflazionaria si può scrivere pt 2 q 1 pt 1 q 1 apt 1q 2 Hpt 1 q 2 apt 2 q 2 Hpt 2 q 2

197 12.7 Scale oltre l orizzonte 197 Durante la fase inflazionaria aptq apt 1 q exppt{ q e Hptq 9aptq aptq 1 per cui Hptq è c o s t a n t e e Hpt 1 q{hpt 2 q 1. Infine pt 2 q 1 pt 1 q 1 apt 1q 2 apt 2 q 2 e 2t 2{ e p 2N Iq À 1 55 dove l ultima disuguaglianza è stata ottenuta con N I Á 63 stimato prima. Pertanto, qualsiasi fosse il valore di pt 1 q, pt 2 q 1deveessereestremamentepiccolo,e pt 2 q 1... amenodi1partesu1 55! Questo spiega il fine tuning implicato dal problema della piattezza. Durante la fase inflattiva le fluttuazioni quantistiche associate al campo inflativo vengono amplificate e raggiungono ampiezze su cienti a spiegare le fluttuazioni osservate sulla superficie di ultimo scattering. Inoltre risulta che queste fluttuazioni sono scale free ovvero il ad esse associato è indipendente dalla scala della perturbazione: come vedremo più avanti, questo significa che le fluttuazioni di densità generate durante la fase inflattiva hanno uno spettro di potenza di Harrison Zel dovich Scale oltre l orizzonte Il raggio dell orizzonte R H ptq tende a per t Ñ epertsu cientemente piccoli R H diventa più piccolo delle scale di superammassi, ammassi e galassie: è pertanto necessario considerare la crescita delle perturbazioni quando le loro scale sono più grandi dell orizzonte. Nel caso in cui r H il trattamento fatto fino ad ora è inadeguato ed occorre la relatività generale; il punto di partenza è quindi quello di considerare perturbazioni lineari del tensore metrico g µ ḡ µ ` g µ con ḡ µ corrispondenti alla metrica imperturbata ovvero quella di Robertson e Walker che conosciamo bene. Si considera anche il tensore energia impulso perturbato al primo ordine T µ T µ ` T µ esilinearizzanoleequazionidicampodieinsteinperdeterminarelepiccoleperturbazioni. Si può dimostrare che la metrica perturbata al primo ordine può essere scritta nella forma ds 2 a 2 p q p1 ` 2 qc 2 d 2 ` 2w i cd dx i rp1 2 qḡ ij ` 2h ij s dx i dx j( (12.1) con tempo conforme, ḡ ij parte spaziale comovente della metrica di Robertson e Walker (ovvero quella che già conosciamo), w i vettore e h ij è u n t e n s o r e. G l i i n d i c i i, j variano solo tra 1 e 3 ovvero sulla parte spaziale; infine e sono due funzioni scalari. Dalla metrica perturbata si nota che esistono tre tipi di perturbazioni che possono essere separati e trattati indipendentemente perturbazioni scalari, che corrispondono alle funzioni già viste; e ovvero alle perturbazioni perturbazioni vettoriali, che corrispondono ai w i che rappresentano moti vorticosi (rotazionali);

198 198 Diagrammi spazio-tempo, orizzonte e modello inflazionario perturbazioni tensoriali, che corrispondono ai h ij che rappresentano onde gravitazionali. Il problema è che abbiamo 16 componenti incognite del tensore di perturbazione della metrica g µ esolo1equazioniindipendentipercuiènecessariofareunasceltadi gauge. Ovviamente, c è una grossa libertà nella scelta del gauge ma è stato dimostrato da Bardeen che è possibile derivare un set di quantità che non dipendono dal gauge per trattare una qualsiasi perturbazione su scale più grandi dell orizzonte. Inoltre esistono delle relazioni che permettono di passare da un gauge all altro. In pratica la scelta del gauge dipende solo dalla convenienza ma, se il modello fisico dell universo e l origine delle perturbazioni sono ben definite, il risultato fisico finale è lo stesso: la scelta di gauge diversi comporta apparentemente diverse evoluzioni delle perturbazioni su scale r H ma, quando le perturbazioni entrano dentro il loro orizzonte, hanno la stessa identica evoluzione. Il gauge che conduce a risultati simili a quelli già visti in precedenza è il cosiddetto conformal Newtonian gauge o gauge longitudinale in cui le perturbazioni vettoriali e tensoriali sono poste uguali a ; con una geometria piatta si ottiene ds 2 a 2 p q p1 ` 2 qc 2 d 2 p1 2 qpdx 2 ` dy 2 ` dz 2 q si inserisce quindi questa metrica nelle equazioni di campo di Einstein e, se il tensore T µ è diagonale si ottiene che ovvero ds 2 a 2 p q p1 ` 2 qc 2 d 2 p1 2 qpdx 2 ` dy 2 ` dz 2 q Ricordiamo la metrica di Schwarzschild ˆ ds GM ˆ c 2 dt GM 1 dr 2 r 2 d 2 r 2 sin d 2 rc 2 rc 2 posto GM{pc 2 rq, potenziale Netwoniano della massa puntiforme M (normalizzato a c 2 ), nell assunzione di campo debole! 1siha ds 2 `1 ` 2 c 2 dt 2 `1 2 dr 2 r 2 d 2 r 2 sin 2 d 2 ovvero la funzione che caratterizza la metrica perturbata è proprio il potenziale newtoniano; questo dimostra che l analisi classica che abbiamo fatto è corretta nel regime lineare. Ma la metrica è valida anche nel caso di perturbazioni su scale più grandi dell orizzonte, quindi il potenziale newtoniano permette di descrivere la crescita delle perturbazioni anche su scale superhorizon. Il potenziale Newtoniano della perturbazione è determinato dall equazione di Poisson eneicasirelativisticienonèdatoda Matter dominated: r 2 4 G ; Radiation dominated: r 2 8 G. Tiriamo fuori le dipendenze dal fattore di scala e passiamo a coordinate comoventi. Nel caso matter dominated a, a 3 per cui 4 G 4 G 4 G a 2

199 12.7 Scale oltre l orizzonte 199 Nel caso radiation dominated a 2, a 4 per cui quindi se r 2 a 2 r 2 c si ottiene 8 G 8 G 8 G a 2 ovvero Matter dominated: Radiation dominated: 1 a 2 r2 c 4 G a 2 ; 1 a 2 r2 c 8 G a 2 ; Matter dominated: r 2 c 4 G Radiation dominated: r 2 c 8 G Questi risultati, trovati nel caso classico ovvero per r H, ci dicono che le perturbazioni nel potenziale gravitazionale sono indipendenti dal fattore di scala sia nell era matter-dominated che radiation-dominated. Poichè, come abbiamo visto, il potenziale Newtoniano fornisce una buona descrizione delle perturbazioni anche nel caso r H e l equazione di Poisson non dipende dalla scala della perturbazione, se ne conclude che è possibile applicare al caso super-horizon i risultati classici per r H ovvero: Matter dominated: 9 a Radiation dominated: 9 a 2 Come vedremo più avanti, nel caso sub-horizon, possono esistere dei processi fisici che smorzano per perturbazioni che quindi possono rallentare la loro crescita o addirittura diminuire di ampiezza. Nel caso super-horizon questo non è possibile per l assenza di connessione causale e pertanto le perturbazioni sono congelate nella metrica e obbligate acrescerecomeappenaindicato( 9 a, 9 a 2 ). Possiamo concludere mostrando come la crescita delle perturbazioni nel caso superhorizon può essere ricavata direttamente dall equazione di Friedmann. Utilizzando pzq e Hpzq abbiamo riscritto l equazione di Friedmann come (12.9) Hpzq 2 r pzq 1s c2 k a 2 Consideriamo la nostra perturbazione che cresce all interno di un universo piatto il cui fattore di scala soddisfa Hpzq 2 r pzq 1s Ricordando la definizione di, pzq 8 G {p3hpzq 2 q, si ha 8 G 3 H 2 dove abbiamo indicato col pedice il caso a curvatura nulla. Come abbiamo visto la perturbazione ha la stessa dinamica di un universo con più grande; se supponiamo che la costante di Hubble Hpzq della perturbazione sia la stessa che per l universo (corretto

200 al primo ordine) ed indichiamo con il pedice 1 le quantità relative alla perturbazione si ha 8 G 3 1 H 2 c2 k 2 a 2 per cui sottraendo membro a membro e ricavando si ha 1 3c2 k 2 8 G a 2 ovvero 9 1 a 2 1 con densità dell universo imperturbato. In conclusione troveremo nei due casi Matter dominated: 9 a 3 ovvero 9 a; Radiation dominated: 9 a 3 ovvero 9 a 2.

201 Capitolo 13 Fluttuazioni barioniche adiabatiche nel modello standard Adesso studieremo lo sviluppo delle fluttuazioni di densità in un modello in cui la materia è costituita soltanto da barioni ovvero nel caso in cui non esiste materia oscura non barionica b. Considereremo per il momento il caso di fluttuazioni adiabatiche come quelle che abbiamo analizzato in dettaglio nelle lezioni precedenti (l approssimazione di adiabaticità è quella che ci ha permesso di scrivere p c 2 s ). Storicamente, negli anni 6 era ben noto che esistesse la materia oscura con Á.1 masiritenevachefossecostituitadaqualcheformadimateriabarionica;perciòil modello puramente barionico è stato il primo ad essere sviluppato e, come vedremo, il suo fallimento ci fornirà un ulteriore prova dell esistenza di materia oscura non barionica. Inoltre i risultati che otterremo saranno utili per capire il modello standard CDM in cui la componente dominante di materia è quella oscura non barionica. Il modello delle fluttuazioni barioniche si basa sui risultati che abbiamo ottenuto precedentemente. La lunghezza di Jeans J 2 {k J è l a m a s s i m a l u n g h e z z a s c a l a s u c u i l e p e r t u r b a - zioni sono stabilizzate dal gradiente di pressione e si ha ˆ 1{2 J c s (caso non relativistico) G ˆ 1{2 3 J c s (caso relativistico) 8G Per J si hanno le onde sonore, per J le perturbazioni sono instabili e collassano. Quando " J il contrasto di densità cresce algebricamente con a esiha La scala dell orizzonte è 9 a 9p1 ` zq 1 (caso matter-dominated) 9 a 2 9p1 ` zq 2 (caso radiation-dominated) R H 3 ct (epoca matter-dominated per z " 1) R H 2 ct (epoca radiation-dominated)

202 22 Fluttuazioni barioniche adiabatiche nel modello standard Prima di proseguire dobbiamo determinare M J, la massa di Jeans, e c s la velocità del suono La massa di Jeans Una perturbazione su una scala pari alla lunghezza di Jeans J formerà una struttura di massa M J ; la struttura si formerà nella regione di sovradensità, ovvero dove, che ha dimensioni J{2. M J è p e r t a n t o l a m a s s a c o n t e n u t a n e l l a s f e r a d i d i a m e t r o J {2 ovvero la massa di Jeans è definita come M J 48 3 J m (13.1) con m densità della materia e m b nel modello puramente barionico che stiamo esaminando. Si come l espressione comunemente utilizzata per la massa di Jeans sia M J {6 3 J La velocità del suono Per capire la formazione delle strutture è importante conoscere J J pzq che a sua volta richiede la conoscenza della velocità del suono c s c s pzq; come vedremo, è particolarmente importante sapere come cambia c s nel passaggio dall epoca radiation-dominated a matterdominated. Per definizione di velocità del suono ˆBp c 2 s B dove il pedice S indica che la derivata è calcolata a entropia costante. La complicazione nel calcolo di c s è d a t a d a l f a t t o c h e n e l p a s s a g g i o d a l l e p o c a d e l l a r a d i a z i o n e a l l e p o c a della materia cambiano i principali contributi a p e. Ma possiamo sfruttare il fatto che materia e radiazione sono strettamente legati nell epoca precedente alla ricombinazione. Per prima cosa possiamo scrivere ˆBp ˆBpr ˆBpm ` ˆBp c 2 Ba S Ba s S Ba S B S ˆB ˆB r ˆB m ` Ba Ba Ba S sfruttando il fatto che paq r ` m e p ppaq p r ` p m. Sappiamo che durante l espansione vale la conservazione dell energia nel caso adiabatico du pdv che, per la componente i esima, corrisponde a S S S Per la radiazione d i da ` 3 i ` p i {c 2 a p r 1 3 rc 2

203 13.2 La velocità del suono 23 ovvero Per la materia ovvero d r da 4 r a dp r da 1 d 3 c2 r 4 da 3 c2 r a p m Per cui si ottiene ovvero c 2 s ˆBpr Ba ˆB r Ba d m da 3 m a dp m da ˆBpm ` S Ba S ` c 2 s c2 3 ˆB m Ba Nell epoca dominata dalla radiazione, cioè per S S 4 3 c2 r a 4 r a 3 m a 4 r 4 r ` 3 m (13.2) z " 1.97 ˆ 1 4 h 2 7 «6 si ha r " m e c s tende al limite relativistico c 2 s» c2 3 per r " m A z più piccoli c s diminuisce al crescere di m ; in particolare tra l epoca r m ela ricombinazione, quando si ha l accoppiamento stretto tra materia e radiazione, la pressione delle onde sonore è data dai fotoni ma l inerzia è data dalla materia ( m " r ). Quindi, in quest epoca, c s decresce da c{? 3a c 2 s c2 3 4 r 4 r ` 3 m» 4 9 c2 r m da m r fino alla ricombinazione Avevamo trovato che r pzq m pzq 4 T 4 p1 ` zq c 3 c per cui in questa fase 16 T 4 1{2 c s» p1 ` zq 1. ˆ 18 z 1{2 cm s 1» 2.6 ˆ 1 8 z 1{2 cm s 1 (13.3) 9c c 1{2 h con.3 eh.7. Dopo la ricombinazione, la velocità del suono diviene la velocità del suono della materia che, a causa dell accoppiamento ancora stretto con la radiazione, ha temperatura T m» T r per z 56p h 2 q 1{5 382

204 24 Fluttuazioni barioniche adiabatiche nel modello standard come visto in precedenza. Quindi a z» 382 il gas aveva una temperatura T m «1 K. Se non fosse accaduto altro, adesso il gas dovrebbe essere «375 volte più freddo della radiazione: infatti, come indicato dalla 6.24, un gas di barioni durante l espansione dell universo ha T T aptq 2 T p1 ` zq 2 equindiapartiredat m» T r il crollo della temperatura dei barioni è un fattore p1 ` zq più grande. In realtà il gas intergalattico di barioni è molto più caldo, e questo è dovuto al processo di formazione delle galassie Crescita di una fluttuazione barionica adiabatica nell epoca dominata dalla radiazione Nell epoca dominata dalla radiazione " rad " " m " b (b indica i barioni) e la velocità del suono è quella relativistica c s c{? 3percui J? c ˆ 1{2 ˆ 1{2 3 3 c 3 8G 24G è la densità di massa totale che include fotoni e particelle ultrarelativistiche. Come abbiamo visto pt q 4 c 3 T ˆ 1 34 gcm 3 p1 ` zq 4 con fattore che deve tener conto del contributo delle altre particelle ultrarelativistiche che sono i neutrini. I neutrini si sono disaccoppiati dalla radiazione per T 1MeV e da quel punto la loro densità è rimasta congelata al valore relativistico N.91p2 kt{hcq 3 con T 1MeV e si è successivamente evoluta con l espansione dell universo in modo da mantenere costante il numero, ovvero come N 9 a 3. Si può quindi stimare che, tenendo conto del contributo dei neutrini,» 1.7. Durante questa epoca tutta la massa inerziale delle perturbazioni è nella radiazione ( r " m ) a cui il plasma barionico è fortemente accoppiato per scattering Compton. Adesso siamo interessati a trovare la massa in barioni all interno della scala J, che sono poi quelli che formano gli oggetti nell epoca dominata dalla materia. La densità di massa dei barioni è b c a 3 b 1.88 ˆ b h a 3 gcm 3 per cui la massa in barioni entro J nelle prime fasi dominate dalla radiazione (z " 2.4 ˆ 1 4 h 2 )è ovvero M J 48 3 J b ˆ 3{ c3 ˆ 4.7 ˆ 1 34 p1 ` zq 4 gcm 3 3{2 ˆ 24G ˆ 1.88 ˆ 1 29 b h 2 p1 ` zq 3 gcm 3 M J 1. ˆ 1 28 a 3 b h 2 M d da cui si ottiene che M J 9 a 3 durante la fase dominata dalla radiazione. Data l assunzione di modello puramente barionico b.3, inoltre h.7 per cui si ottiene M J 12 M d per z 1.1 ˆ 1 8 M J 1. ˆ 1 11 M d per z 2.5 ˆ 1 5

205 13.4 Crescita di una fluttuazione barionica adiabatica nell epoca dominata dalla materia 25 Ricordiamo che queste sono le minime masse barioniche delle perturbazioni che collassano, ovvero perturbazioni barioniche con masse superiori a queste collassano. Confrontiamo adesso la lunghezza d onda di Jeans J con il raggio dell orizzonte R H ptq 2ct, sapendo che 1{4 ˆ32 G" aptq t 1{2 3c 2 ovvero ˆ 3c 2 1{2 R H ptq 2ct 2c a 2 32 G" Ricordando che " c 2 " a 4 equindiche" c 2 a 4 si ottiene infine ˆ 1{2 3 R H ptq c 8 G Siccome vogliamo capire quando tutta la perturbazione diventa instabile e causalmente connessa, dobbiamo confrontare il suo diametro minimo, J{2, con R H J 2 c ˆ 1{ G Si ottiene J{2 R H 2? 3».91 ovvero J «R H durante la fase dominata dalla radiazione: la massa di Jeans della perturbazione è quindi quasi uguale alla massa racchiusa nell orizzonte M J».75 M H Consideriamo una perturbazione che contiene una massa galattica di barioni M gal» 1 11 M d contenuta nella scala spaziale ; come mostrato in figura 13.1, nelle prime fasi dominate dalla radiazione era super-horizon perché la sua scala era " R H. Essendo congelata nella metrica cresceva quindi come 9 a 2. Nel momento in cui la massa di Jeans (M J 9 a 3 )diventapariam gal, M J M 1 11 M d per z 2.5 ˆ 1 5, la lunghezza scala diventa più piccola di J; circa nello stesso momento, dato che J{2 «R H, la perturbazione entra nell orizzonte. A questo punto la perturbazione è entrata nel suo orizzonte ( R H )edha J : la perturbazione si stabilizza contro il collasso gravitazionale e dà luogo a onde sonore (oscillazioni del fluido guidate dalla pressione di radiazione) Crescita di una fluttuazione barionica adiabatica nell epoca dominata dalla materia Nell epoca in cui la densità di energia della materia uguaglia quella della radiazione (z» 1.97 ˆ 1 4 h 2 7) l espansionediventadominatadallamateriama,comeabbiamovisto, materia e radiazione sono fortemente accoppiate fintanto che il plasma rimane ionizzato: per z «15 il plasma è ionizzato al 5% (epoca della ricombinazione) mentre per z» 56h 2{5 1{5 cessa l accoppiamento termico. Quest ultimo fatto altera profondamente la variazione della massa di Jeans col tempo t.

206 26 Fluttuazioni barioniche adiabatiche nel modello standard Mgal > MJ collapses Mgal < MJ oscillates (sound waves) Mgal MH MJ Figura 13.1: Evoluzione della massa di Jeans M J, della massa racchiusa entro l orizzonte M H e della massa di Silk M S in funzione del fattore di scala a. La massa di una perturbazione galattica, dell ordine di 1 11 M d è rappresentata da una retta orizzontale in quel diagramma. La riga verticale tratteggiata separa il caso in cui la perturbazione collassa (M gal M J ) o oscilla generando onde sonore (M gal M J ). Si noti come le scale non corrispondano esattamente ai valori citati nel testo per cui la figura è da considerarsi come uno schema qualitativo. Ricaviamo la variazione della massa barionica contenuta entro R H in funzione di a nell epoca matter dominated. Per z " 1, z " 1(comeappropriatoperlafasematter dominated fino oltre la ricombinazione) abbiamo trovato la 12.8 R H 2c H 1{2 a 3{2

207 13.4 Fluttuazione barionica adiabatica nell epoca della materia 27 per cui la massa barionica entro l orizzonte (R H è il diametro della sfera) è M H 6 R3 H b 6 8c 3 H 3 3{2 a 9{2 ˆ 3H2 b 8 G a 3 poichè stiamo considerando un modello puramente barionico b esiottiene M H c 3 2H 1{2 G a3{2 3.1 ˆ 122 1{2 h a3{2 M d ovvero la massa barionica entro l orizzonte cresce come M H 9 a 3{2 9 t (si ricordi che in questa fase a 9 t 2{3 ). Vediamo adesso la variazione della massa racchiusa entro una lunghezza d onda di Jeans; ci serve la variazione di c s con il redshift. A partire dall equivalenza tra materia e radiazione la velocità del suono si abbassa rispetto al limite relativistico e dalla 13.2 si ha c 2 s c2 3 4 r» 4c2 4 r ` 3 m 9 poichè, come abbiamo visto, la materia domina l inerzia e la pressione è data dalla radiazione fino al momento della ricombinazione; pertanto, come trovato nella 13.3 abbiamo r m Ricordando che c s c ˆ4 rad 9 b 1{2 18 p1 ` zq 1{2 1{2 b h cm s 1 otteniamo infine (sempre con b ) ˆ 1{2 J c s 1.6 ˆ 1 26 a G h cm 2 b c a 3 b 1.88 ˆ 1 29 h 2 b a 3 gcm 3 3 M J J b 48 M J,m 5.5 ˆ 115 p h 2 q 2 M d» 2.5 ˆ 1 17 M d ovvero, in questa fase, la massa di Jeans è indipendente dal fattore di scala come anche chiaramente mostrato in figura Nella fase dominata dalla materia e per z " 1, le perturbazioni adiabatiche (ovvero quelle che abbiamo analizzato) di massa superiore a M J,rm crescono sempre come 9 a sia prima che dopo l entrata nell orizzonte. Lo stesso non accade alle perturbazioni con M M J,m che nella fase dominata dalla materia sono già stabilizzate e continuano le loro oscillazioni sonore. Ricapitolando, abbiamo trovato i seguenti risultati. Fino a che le perturbazioni sono su scale R H, poichè hanno masse M gal M J (M H M J ), crescono come 9 a 2 9 t nella fase radiation-dominated e come 9 a 9 t 2{3 nella fase matter-dominated. Le perturbazioni con M gal M J,m attraversano l orizzonte durante la fase radiationdominated, si stabilizzano e diventano onde sonore con velocità c s c{? 3mantenendo un ampiezza costante.

208 28 Fluttuazioni barioniche adiabatiche nel modello standard Nel momento in cui le perturbazioni con M gal M J,m entrano nella fase matterdominated oscillano come onde sonore con velocità del suono c 2 s 4 c2 9 esipuòdimostrareche,inquestocaso,l ampiezzadelleoscillazionidecrescecome 9 t 1{6 in seguito alla perdita di energia adiabatica delle oscillazioni dovuta all espansione dell universo (e etto del termine smorzante con 9a{a). Le perturbazioni con M gal M J,m attraversano l orizzonte durante la fase matterdominated e continuano a crescere con 9 a. La dimostrazione dello smorzamento adiabatico 9 t 1{6 delle onde sonore nella fase dominata dalla materia è abbastanza semplice. Si parte dall equazione per ptq ˆ ˆ d 2 9a d dt ` 2 2 a dt 4 G k2 cc 2 s a 2 che avevamo già risolto nel caso del collasso trascurando il termine di pressione k 2 cc 2 s{a 2. Si noti che abbiamo utilizzato il vettore d onda in coordinate comoventi k c k{a. Adesso, tenendo conto di quel termine, si cerca una soluzione del tipo r m ptq t n ptq Svolgendo le derivate e moltiplicando membro a membro per t 2 si ottiene ˆn : ` 2 t ` 9a c 2 9 ` s kc 2 ` 2n ˆ 9a npn 1q ` a a 2 t a t 2 dove si è usato a 3, r a 4 r,, c 2 s 4c 2 r {p9 m q e infine aptq 1{3 pt{t q 2{3 da cui 9a{a 2{p3tq. Ponendo n 2{3 il termine smorzante in 9 svanisce e rielaborando otteniamo : ` «c 2 skc 2 ` 1 a 2 2 ˆ 2 9a a che è l equazione per un oscillatore non-smorzato con frequenza variabile! 2 c2 sk 2 c a 2 ˆ 2 9a a Consideriamo onde con! c s t cioè con lunghezza d onda inferiore all orizzonte sonoro in quanto quelle al disopra non hanno il tempo di oscillare. Questo significa che da cui k c 2 c 2 a " a c s t» 9a c s k c c s " 9a ovvero possiamo trascurare il termine in 9a{a in! ottenendo!» c sk a 9 a 3{2

209 13.4 Fluttuazione barionica adiabatica nell epoca della materia 29 poichè c s 2{3cp r { m q 1{2 9 a 1{2 la frequenza decresce a seguito dell espansione dell universo. Nel limite in cui il tempo scala di variazione della frequenza è " del periodo di oscillazione ovvero sempre k c " 9a{c s, possiamo applicare il principio dell invarianza adiabatica per un oscillatore la cui frequenza varia nel tempo: di conseguenza l ampiezza massima delle oscillazioni deve scalare come 9 max 9! 1{2 9 a 3{4 infine, se a 9 t 2{3 ptq t 2{3 ptq9t 2{3 pt 2{3 q 3{4 9 t 1{6 come volevamo dimostrare. Dopo il periodo dominato dalla materia in cui si ha lo smorzamento adiabatico delle perturbazioni con M gal M J,m, le epoche critiche sono la ricombinazione ed il momento in cui materia e radiazione si disaccoppiano termicamente. Al momento della ricombinazione la pressione non è più data dalla radiazione ma diventa quella termica della materia; la velocità del suono è quella adiabatica di una gas a T» 3 K per z 1 (il disaccoppiamento termico è a z 56p h 2 q 1{5 38) ovvero dal momento della ricombinazione in poi ˆ 1{2 ˆ 1{2 p 5kT c s 1.9 ˆ 1 4 a 1{2 cm s 1 3m H con 5{3 (gas monoatomico); la massa di Jeans, sempre dal momento della ricombinazione in poi, crolla a ( b ) M J 3 ˆ J b ˆ 14 1{2 h M d quindi al momento della ricombinazione la massa di Jeans passa improvvisamente a masse molto minori delle tipiche masse delle galassie; tutte le perturbazione con massa M Á 1 4 M d cominciano a collassare e crescono come 9 a. Si noti come la massa di Jeans dopo la ricombinazione corrisponda, più o meno, alla massa degli ammassi globulari, ovvero alla massa dei più vecchi sistemi stellari della galassia. Come abbiamo visto, dopo la ricombinazione il gas mantiene l accoppiamento termico con la radiazione fino a z 56p h 2 q 1{5 38 pertanto temperatura, velocità del suono, J e M J scalano come equindi T g T r 9 a 1 c s 9 a 1{2 J 9 a M J 9 cost. Dopo il disaccoppiamento termico con la radiazione il gas di barioni si ra redda adiabaticamente e T g 9 a 2 c s 9 a 1 J 9 a 1{2

210 21 Fluttuazioni barioniche adiabatiche nel modello standard equindi M J 9 a 3{2 In realtà il gas intergalattico per z 6 è molto ionizzato, come mostrato dall assenza di assorbimento negli spettri dei quasar, e quindi deve accadere qualcos altro Processi dissipativi nell epoca pre-ricombinazione: Silk damping delle perturbazioni adiabatiche Per concludere l evoluzione delle perturbazioni adiabatiche dobbiamo considerare i processi dissipativi che avvengono nell epoca pre-ricombinazione. Se è s u s c a l e J» 2R H allora siamo in presenza di onde sonore adiabatiche dove la forza di richiamo per ogni oscillazione è data dalla pressione di radiazione; se i fotoni di ondono fuori dalla perturbazione allora le oscillazioni vengono smorzate poichè viene a mancare la forza di richiamo. Questo fenomeno di smorzamento prende il nome di Silk Damping. Adesso facciamo una trattazione molto semplificata per capire meglio l essenza del processo fisico. Il cammino libero medio dei fotoni a seguito dello scattering Thomson con gli elettroni è ` 1 N e T Il percorso di un fotone determina uno spostamento complessivo ~D ÿ i `~d i dove ~ d i è il versore dello spostamento la cui direzione è distribuita casualmente nello spazio. Il modulo dello spostamento è pertanto ˇ ~D ˇ ˇ2 `2 ÿ i ÿ ~d i ~d j ÿ `2 j i ˇ ˇ~d iˇˇˇ2 ` 2`2 ÿ i,j i Facciamone la media su tutto l angolo solido e avremo C G C G ÿ ÿ ~d i ~d j cos i,j i,j i i,j i poichè gli d ~ i hanno direzioni casuali nello spazio. Allora Bˇˇˇ F Dˇˇˇ2 ~ N`2 ovvero D? N` ~d i ~d j con N numero di scattering e D spostamento medio. Quindi ne possiamo dedurre che nel tempo t i fotoni si spostano di un tratto D? N` ma percorrono una lunghezza pari a N` da cui N` ct ovvero N ct ` ed infine si ottiene 1{2 ˆct D ` p`ctq 1{2 `

211 13.5 Silk damping delle perturbazioni adiabatiche 211 Con una trattazione statistica più accurata, si ottiene che la lunghezza di di usione dei fotoni al tempo t cioè il raggio massimo della perturbazione da cui sono in grado di uscire è 1{2 ˆ1 R S 3` ct La massa entro questo raggio è M S 4 3 R3 S b da valutare nell epoca pre-ricombinazione. Nel caso radiation-dominated, ovvero per z " 1.97 ˆ 1 4 h 2 7 si ha con ˆ 3c 2 1{2 ˆ 3c 2 t 32 G" 32 G 4 {ct et K. N e varia come 1{2 2.4 ˆ 119 p1 ` zq 2 s N e b c p1 ` zq 3 m p 1.1 ˆ 1 5 b h 2 p1 ` zq 3 cm 3 quindi la massa al disotto della quale le perturbazioni sono smorzate dalla di usione dei fotoni (Massa di Silk) nell epoca radiation dominated è M S 4 3 R3 S b 2.4 ˆ 1 26 p b h 2 q 1{2 p1 ` zq 9{2 M d (rad. dom.) da valutare con b. Analogamente, nel caso matter-dominated si trova t 2 3H 1{2 p1 ` zq 3{2 2.1 ˆ 1 17 p h 2 q 1{2 p1 ` zq 3{2 s ovvero con b M S 2. ˆ 1 23 p h 2 q 5{4 p1 ` zq 15{4 M d (matt. dom.) La massa di Silk M S in funzione del redshift è rappresentata in figura 13.1 e, come detto, rappresenta la massa massima delle perturbazioni che vengono smorzate a seguito del processo di di usione dei fotoni; come si vede in figura lo smorzamento interessa tutte perturbazioni stabili ovvero che oscillano come onde sonore visto che si ha sempre M S M J. Dal momento in cui la massa della perturbazione diventa M gal M S la perturbazione viene smorzata e la sua ampiezza va rapidamente a ovvero Ñ quando M gal M S. Il Silk damping procede fino al momento della ricombinazione ovvero fintanto che la pressione è data dalla radiazione: alla ricombinazione la massa di Silk ha raggiunto un valore M S,rec «1 12 p h 2 q 5{4 M d Con calcoli più dettagliati che tengano anche conto della gradualità della ricombinazione si ottiene M S,rec» 1.3 ˆ 1 12 p h 2 q 3{2 M d» 2.3 ˆ 1 13 M d con l ultimo valore ottenuto per b h 2 h Questo risultato implica che tutte le perturbazioni di tutte le masse, tranne quelle delle galassie più massicce, sono

212 212 Fluttuazioni barioniche adiabatiche nel modello standard state smorzate all epoca della ricombinazione. In pratica, è come se le perturbazione di massa M gal M S,rec 2 ˆ 1 13 M d non avessero mai cominciato a crescere! In conclusione, con la teoria delle perturbazioni adiabatiche, solo le perturbazioni su scale M gal M S,rec 2 ˆ 1 13 M d sopravvivono dopo la ricombinazione. Le strutture su scale più piccole devono essersi necessariamente formate per frammentazione di queste grandi perturbazioni dopo la ricombinazione Crescita di una fluttuazione barionica adiabatica Riassumiamo qui la crescita di perturbazioni barioniche adiabatiche tenendo conto di quanto visto fino ad ora e riferiamoci alla figura 13.2 In figura sono rappresentate tre perturbazioni a tre scale diverse. Ogni perturbazione attraversa tre diverse fasi. Nella prima fase la perturbazione è più grande dell orizzonte (super-horizon) e cresce come 9 a 2 nell epoca della radiazione e 9 a nell epoca della materia. Le perturbazioni che entrano l orizzonte prima di t eq (separazione tra epoca radiazione e materia) oscillano con ampiezza costante fino a t eq. Per t eq t t rec (t rec è l a r i c o m b i n a z i o n e ) l e p e r t u r b a z i o n i decadono adiabaticamente come 9 t 1{6 9 a 1{4. Inoltre, le perturbazioni sulle scale più piccole sono soggette a smorzamento per di usione dei fotoni (Silk damping) e sono fortemente attenuate: in figura si tratta della perturbazione con scala più piccola. Le perturbazioni che sopravvivono fino a t rec riprendono poi a crescere come 9 a nel gas ormai neutrale Perturbazioni isoterme Nelle perturbazioni adiabatiche abbiamo supposto che c s p ovvero p p Queste sono perturbazioni di energia (quindi sia di materia che di radiazione) che, come abbiamo visto, durante la fase dominata dalla radiazione crescono come 9 a 2. Si noti come questa crescita sia dovuta al fatto che la componente dominante la gravità, ovvero la radiazione, contribuisce a. All altro estremo rispetto alle perturbazioni adiabatiche ci sono le perturbazioni isoterme che sono fluttuazioni di densità barionica sul background uniforme della radiazione. Anche queste perturbazioni sono importanti perché nel caso dei gas perfetti qualsiasi fluttuazione di p e nella fasi dominate dalla radiazione può essere ricondotta ad una sovrapposizione di perturbazioni isoterme ed adiabatiche. Le perturbazioni sono isoterme poichè in esse la materia è alla stessa temperatura della radiazione (per scattering Thomson-Compton) e la radiazione è uniforme ovvero T cost. Pertanto le fluttuazioni in b non causano fluttuazioni in T durante le fasi dominate dalla radiazione. Si può confrontare il tempo caratteristico per il collasso di una perturbazione in un mezzo uniforme (tempo di free-fall) ff «pg b q 1{2

213 13.7 Perturbazioni isoterme 213 Figura 13.2: Evoluzione di perturbazioni barioniche adiabatiche con tre diverse scale spaziali. Le lunghezze (proprie) sono divise per il fattore di scala a e rappresentano quindi lunghezze comoventi. Ricordiamo che, come trovato nel testo, nell epoca della radiazione J 9 a 2 e R H 9 a 2 mentre nell epoca della materia J 9 a e R H 9 a 3{2 ; questo spiega, ad esempio, perché J{a è costante nell epoca della materia. con il tempo caratteristico dell espansione dell universo nella fase radiation dominated exp a ˆ 3 c 2 9a a 4 1{2 ˆ 1{2 3 «pg radq 1{2 8 G" 8 G rad da cui ff exp «ˆ b rad 1{2 " 1 poichè b mat! rad nella fase dominata dalla radiazione con anche b. Il tempo di espansione è pertanto molto minore del tempo di collasso di una perturbazione per cui ci si può aspettare che una perturbazione rimanga congelata nel substrato e si espanda con esso (come abbiamo già visto confrontando l evoluzione dei due universi con 1e 1): questo fenomeno prende il nome di e etto Meszaros. Si noti come questo ragionamento non si applichi nel caso delle perturbazioni adiabatiche dove, nell epoca della radiazione, la gravità è determinata dalla radiazione e ff «pg rad q 1{2 ovvero ff { exp 1. Si può dimostrare (vedi il prossimo capitolo) che nella fase dominata dalla radiazione la perturbazione isoterma cresce come b 9 1 ` 3 b 1 ` 3 2 rad 2 a a eq

214 214 Fluttuazioni barioniche adiabatiche nel modello standard con a eq fattore di scala per cui b rad ( b è t u t t a l a m a t e r i a n e l m o d e l l o p u r a m e n t e barionico che stiamo considerando). Questo dimostra che le perturbazioni isoterme sono praticamente congelate fino ad a eq. In pratica, in tutta fase dominata dalla radiazione le perturbazioni isoterme crescono solo di un fattore 1 ` 3{2 5{2. Dopo, con b " rad ritroviamo b 9 a come abbiamo già visto. Ci siamo però dimenticati l interazione tra materia e radiazione. Il risultato appena trovato sarebbe corretto se gran parte della materia fosse oscura e non interagente con la radiazione. In realtà questo non succede in questo caso in cui abbiamo supposto che tutta la materia sia barionica. Si può dimostrare che l attrito dovuto all interazione di elettroni (e protoni) con i fotoni è superiore alla forza gravitazionale della perturbazione (si ricordi che in questo caso i fotoni non partecipano alla perturbazione). Pertanto le perturbazioni b isoterme non crescono quasi per nulla fino all epoca della ricombinazione, dopo di che crescono con la classica 9 a p1` zq 1. Quindi, lo spettro delle perturbazioni alle grandi masse non è molto diverso rispetto al caso adiabatico, ma alle piccole masse esistono perturbazioni che prima non c erano perché smorzate dal Silk damping: in questo caso isotermo il Silk damping non c è perché il campo di radiazione è uniforme e sopravvivono le perturbazioni su tutte le scale. Come visto, dopo la ricombinazione M J crolla a M J 1.8 ˆ 1 4 p h 2q 1{2 M d (4.7 ˆ 1 4 M d per =.3, h.7) eleperturbazionisumassasuperioreaquestacomincianoaformareoggettilegati Teorie barioniche di formazione delle galassie. Storicamente ci furono due gruppi concorrenti: Zel dovich, Sunyaev et al., favorivano le perturbazioni adiabatiche mentre Peebles et al. favorivano le perturbazioni isoterme Caso adiabatico A causa del damping di Silk, solo le perturbazioni con M M S 1 12 p b h 2 q 5{4 M d sopravvivono e collassano dopo la ricombinazione, quando crescono in ampiezza come 9p1` zq 1 finché z 1. Poichè all inizio degli anni 7 si sapeva già dalla nucleosintesi che b À.5h 2, anche nel caso estremo in cui h.5, le perturbazioni sarebbero cresciute molto lentamente per z 5eperspiegarelestruttureesistentisisarebbedovuto avere 1perz 5. A causa del damping di Silk solo le perturbazioni su grande scala arrivano a z 5con 1equestedovevanoavere 6 ˆ 1 3 alla ricombinazione da pt rec q 1 ` 5 pz 5q p1 ` z rec q» 6 ˆ 1 3 Le galassie e le altre strutture si formavano poi nel periodo z 3 5perframmentazione delle perturbazioni di grande massa sopravvissute al momento della ricombinazione: questo è lo scenario top-down Caso isotermo In questo caso non c è il damping di Silk (T rad cost.) e tutte le perturbazioni con M M J 1.8 ˆ 1 4 p h 2 q 1{2 M d

215 collassano. I primi oggetti a formarsi sono simili agli ammassi globulari. La formazione di galassie ed ammassi avviene per una specie di clustering gerarchico : da strutture piccole si formano le strutture grandi per aggregazione. Questo è lo scenario bottom-up I problemi dei modelli barionici di formazione delle galassie Il problema più grosso che caratterizza i modelli barionici di formazione delle galassie deriva dal confronto tra i p { q predetti ed osservati sulla superficie di ultimo scattering. Alle grandi masse, entrambi i modelli danno predizioni simili (infatti la di erenza principale sta nel Silk damping) e richiedono che sulla superficie di ultimo scattering si abbia Á 3 ˆ 1 3 Queste fluttuazioni di densità barionica dovrebbero corrispondere a fluttuazioni di temperatura che però non sono osservate. Infatti, è stato dimostrato da Sunyaev e Zel dovich che Cˆ T T 2G 1{2 2 ˆ 1 5 M 1{2 1{2 p1 ` z 1 15 q M d con z redshift a cui p { q 1. Se per queste strutture z» 5con =.3, si ottiene Cˆ T T 2G 1{2» 9 ˆ 1 5 ˆ M 1 15 M d 1{2 Però dalle fluttuazioni della CMB avevamo trovato che T» 18µK ovvero ˆ T 18µK T 2.73 K» 7 ˆ 1 6 ovvero ben un fattore 1 più piccolo di quanto richiesto dai modelli! Infine, sappiamo che».3 e b».4 per cui deve esistere della materia non barionica che costituisce gran parte della materia dell universo. In conclusione, se la materia fosse soltanto barionica le fluttuazioni di densità verrebbero smorzate dal Silk damping nel caso adiabatico o frenate dall interazione con la radiazione nel caso isotermo. In ogni caso crescerebbero lentamente e per avere le strutture osservate oggi dovremmo avere fluttuazioni sulla CMB che sono un fattore 1 più grande di quanto osserviamo.

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217 Capitolo 14 Materia oscura e crescita delle perturbazioni Abbiamo appena visto che i modelli puramente barionici falliscono nello spiegare le strutture esistenti oggi in quanto richiedono dei { sulla superficie di ultimo scattering che sono circa 1 volte più grandi di quanto osservato: infatti le perturbazioni adiabatiche sono cancellate dal Silk Damping mentre le perturbazioni isoterme sono cancellate dal radiation drag. In pratica è proprio l accoppiamento dei barioni con i fotoni che contrasta la crescita delle perturbazioni e determina il fallimento dei modelli puramente barionici. Sappiamo però che.3 e b».4 (nucleosintesi) e pertanto gran parte della materia deve essere non barionica. Inoltre sappiamo che la materia barionica osservata sotto forma di stelle e gas (mezzo interstellare e intergalattico) riesce più o meno a spiegare b, perciò b».26 deve essere materia oscura non barionica. Nel caso probabile in cui la materia non sia costituita solo da barioni la situazione diventa più complessa di quanto visto fino ad ora, come indicato nel diagramma in figura 14.1: e e p sono strettamente accoppiati dallo scattering di Coulomb e costituiscono un plasma collisionale; hanno entrambi distribuzioni Maxwelliane alla stessa temperatura; e e sono strettamente accoppiati dallo scattering Thomson (Compton) nell epoca pre-ricombinazione e hanno la stessa temperatura; gli e, e di conseguenza i p, sono in equilibrio termodinamico con la radiazione fino alla ricombinazione; e, p e in quanto componenti dell universo determinano la metrica contribuendo a tot ptq edeterminandocurvaturaeaptq; dobbiamo includere anche le altre particelle che costituiscono la materia non barionica: neutrini e dark matter (costituita da particelle per il momento ignote); i neutrini vanno comunque tenuti in considerazione anche se non possono costituire la dark matter; neutrini e materia oscura sono accoppiati a e, p e metrica; tramite il loro contributo alla mentre il plasma di e e p è un gas perfetto, neutrini e materia oscura interagiscono debolmente; pertanto sono un gas non collisionale ed è necessario utilizzare l equazione di Boltzmann accoppiata alle equazioni di Einstein per descrivere l evoluzione delle perturbazioni.

218 218 Materia oscura e crescita delle perturbazioni 14.1 Forme di materia non barionica: hot e cold dark matter Vediamo adesso le possibili particelle candidate a costituire a materia non barionica. Assioni (Axions). Sono state create dai teorici delle particelle per impedire una forte violazione di CP nella quantocromodinamica. Senza entrare nei dettagli, devono avere masse m 1eV altrimenti la loro emissione ra redderebbe il nucleo solare che quindi dovrebbe essere mantenuto a temperatura maggiore con conseguente riduzione della vita sulla sequenza principale, possibilità incompatibile con l età della Terra. L intervallo di masse possibili è» ev. Queste particelle si disaccoppiano dall equilibrio per T 1 12 K( 86 MeV) e nonostante la temperatura al momento del disaccoppiamento sono non relativistiche, ovvero fredde, a causa della loro scarsa interazione con le altre componenti dell universo per cui non raggiungono mai la termalizzazione. Per questo si comportano come i WIMPs descritti più avanti. Neutrini. Se tutte le famiglie di neutrini avessero m 1 ev, sarebbero su cienti a dare 1. Tra l altro abbiamo visto che i neutrini si disaccoppiano quando t» 1s e kt» 1MeV. Ovvero al momento del disaccoppiamento E» kt " m c 2 ovvero sono e restano particelle ultrarelativistiche. Però i limiti sperimentali al momento dicono che m À 2 3eV. Inoltre, l osservazione delle oscillazioni dei neutrini µ e Figura 14.1: Diagramma che illustra le interazioni relative tra le varie componenti dell universo e come queste influiscono sulla metrica.

219 14.1 Forme di materia non barionica: hot e cold dark matter 219 suggerisce che la massa sia dell ordine di m.1ev. Benchèineutrininonpossano essere la materia oscura, tuttavia hanno «.1 (ricordiamo che m 1 ev corrisponde a =1, quindi m.1 ev corrisponde a =.1) ovvero dello stesso ordine dei barioni e vanno pertanto presi in considerazione. WIMPs. Questa è una sigla generica che indica Weakly Interacting Massive Particles, con massa a riposo m 1 1GeV; ad esempio, potrebbero essere i partner supersimmetrici del gravitone (gravitino) o del fotone (fotino), oppure un altra particella sconosciuta tipo il neutrino sterile. Ricordiamo che il disaccoppiamento di una particella dall equilibrio termodinamico col resto dell universo (ed in particolare con la radiazione) avviene quando 1 X XN X v» t con t età dell universo. Al tempo t l universo ha temperatura T epertantole particelle che si disaccoppiano vengono congelate alla densità di equilibrio che corrisponde alla temperatura T ovvero N X N X 4 g X h 3 ª 8 p 2 3 dp ˆ2 kt e E{kT 1 9 hc nel caso relativistico (kt " mc 2 )e N X g X ˆmX kt h 2 3{2 e m Xc 2 {kt nel caso non relativistico (kt! mc 2 ); in questo caso non ci sono più le antiparticelle. Ricordiamo adesso che una particella ultrarelativistica come i neutrini (cioè che si disaccoppia quando è ultrarelativistica) è molto abbondante (N 9T 3 )econ m» 1 ev dà 1. Pertanto i WIMPs hanno il vincolo che non possono avere masse m X 1 ev e, al tempo stesso, essere comuni come fotoni e neutrini altrimenti avremmo " 1. Perché questo non accada il disaccoppiamento deve essere avvenuto quando le particelle erano non relativistiche per cui la loro abbondanza viene abbattuta, rispetto al caso relativistico, di un fattore N X ˆmX c 2 3{2 «.4 e m Xc 2 {kt N rel kt senza entrare nel dettaglio (vedi libro), se vogliamo che i WIMPs siano la materia oscura e diano.3 conunamassaparia devono essersi disaccoppiati per edevonoavereunasezioned urtoparia m x ˆ 1GeV T» x ˆ 5 ˆ 1 13 K 4.3 x k GeV X «5 ˆ 1 36 cm 2

220 22 Materia oscura e crescita delle perturbazioni questa sezione d urto è indipendente dal valore della massa del WIMP. Se si disaccoppiano per kt 4.3xGeV e la loro massa è m 1xGeV se ne ricava subito che adesso devono essere particelle non relativistiche. In pratica, dal richiedere che i WIMPs diano.3 sipossonoottenerevincoliimportantisullaloronatura (vedi libro). In conclusione, a seconda del tipo di particelle considerate, esistono due tipi di Materia Oscura: Cold Dark Matter. Sono particelle massicce non relativistiche ovvero che si sono disaccoppiate quando erano non relativistiche e poco numerose (WIMPs). Hot Dark Matter. Sono particelle poco massicce che si sono disaccoppiate quando erano ancora relativistiche e molto numerose (come, ad esempio, i neutrini) Perturbazioni della metrica Nel caso barionico abbiamo considerato perturbazioni adiabatiche ed isoterme per un gas collisionale. Come abbiamo visto all inizio di questo capitolo, qui dobbiamo considerare tutte le quantità descritte (barioni, fotoni, neutrini e particelle di materia oscura) e quindi usare perturbazioni della metrica. Ci limiteremo alle perturbazioni scalari, ovvero quelle che danno la metrica perturbata dipendente dal potenziale Newtoniano ds 2 a 2 p q p1 ` 2 qc 2 d 2 p1 2 qpdx 2 ` dy 2 ` dz 2 q Analogamente al caso puramente barionico, ci sono due tipi di perturbazioni scalari che descrivono tutte le altre; tutte le perturbazioni scalari possono essere scritte come la sovrapposizione dei modi di curvatura e di isocurvatura. Modi di curvatura. Durante l epoca della radiazione, l ampiezza delle perturbazioni in, barioni e materia oscura erano simili e guidate dalle perturbazioni di nella metrica. Le relazioni tra le varie fluttuazioni di densità sono 1 3 b b 1 3 DM DM 1 4 rad rad con b barioni, D cold-dark matter, rad radiazione, neutrini; c { c è i l c o n t r a s t o d i densità totale determinato dalle perturbazioni di curvatura. Questa relazione è facilmente comprensibile ricordando che la conservazione dell energia per la componente i-esima impone d i da ` 3 i ` p i {c 2 a che, come abbiamo già visto, comporta d m 1 3 m a d r 1 4 r a per la materia con p m c c per la radiazione con p r 1{3 r c 2 Pertanto devono esserci state variazioni della densità di massa-energia locale che hanno prodotto perturbazioni locali della curvatura dello spazio. La relazione sopra è nota come condizione adiabatica e le perturbazioni sono spesso dette perturbazioni adiabatiche di curvatura e sono l analogo delle perturbazioni adiabatiche viste prima. Questo tipo di perturbazioni appare naturalmente dai modelli inflazionari.

221 14.3 Smorzamento delle perturbazioni della hot dark matter 221 Modi di isocurvatura. La densità totale di massa-energia è costante per cui non ci sono fluttuazioni di curvatura ma ci sono fluttuazioni di massa-energia di ciascuna delle singole componenti. Sono l analogo delle perturbazioni isoterme viste prima. Una generica distribuzione di perturbazioni può essere decomposta in modi di curvatura ed isocurvatura in modo analogo a quanto avevamo trovato per le perturbazioni adiabatiche e isoterme di un plasma. I modi di curvatura sono quelli che sono stati maggiormente presi in considerazione proprio per la loro origine dal modello inflazionario Smorzamento delle perturbazioni della hot dark matter Fintanto che le particelle di dark matter sono fortemente accoppiate alla radiazione dalla gravità nell epoca della radiazione si comportano come le altre particelle ordinarie. Se però le particelle di dark matter sono relativistiche quando si disaccoppiano come nel caso HDM, continuano a muoversi in linea retta con v» c. Se queste particelle sono la fonte dominante di massa-energia, queste continuano a fluire liberamente dopo che hanno attraversato l orizzonte della particella, e quindi smorzano la perturbazione. Questo è analogo al damping di Landau e al damping di Silk visto prima. Il moto libero delle particelle relativistiche distrugge la coerenza della fase delle perturbazioni di densità ovvero avviene un mescolamento su scale " e questo cancella le perturbazioni. Questo processo di smorzamento non è importante per la CDM perché le particelle sono nonrelativistiche quando si disaccoppiano e sono fredde quando le strutture attraversano l orizzonte. Vediamo adesso lo smorzamento delle perturbazioni nei neutrini (o in HDM) a causa di questo free streaming ; se vptq è la velocità della particella con dr FS in coordinate comoventi; si ha vptqdt drptq aptqdr FS r FS ptq ª t vpt 1 qdt 1 apt 1 q equestaèladistanzacomoventecheunaparticellapuòviaggiarefinoall epocat. Consideriamo t NR, tempo a cui la particella diventa non relativistica e t eq tempo a cui si ha l uguaglianza materia radiazione " rad " mat ;allora r FS ptq ª t vpt 1 qdt 1 apt 1 q ª tnr vpt 1 qdt 1 apt 1 q ` ª teq vpt 1 qdt 1 t NR apt 1 q ` ª t vpt 1 qdt 1 t eq apt 1 q il primo addendo è pari all orizzonte della particella al tempo t NR (comovente!) in quanto vptq»c per t t NR e, poichè siamo nell epoca della radiazione, si ha ª tnr vpt 1 qdt 1 apt 1 q R Hpt NR q a NR 2 ct NR a NR Quando la particella diviene non relativistica, come abbiamo visto parlando della conservazione dell energia nelle equazioni di Friedman, si ha v 9 a 1 equindi anr v c a

222 222 Materia oscura e crescita delle perturbazioni Durante l epoca radiation dominated si ha a 9 t 1{2, ovvero a 2 9 t, allora ˆ 2 a t t NR a NR analogamente durante l epoca matter dominated si ha a 9 t 2{3, ovvero a 2 9 t 4{3,allora ˆ t 4{3 ˆ a 2 t eq a eq quindi r FS 2 ct NR a NR 2 ct NR a NR a NR ` ` ª teq t NR ª teq t NR anr 2 ct NR ` ct NR ln ct NR a NR # a c 1 a dt ` ª t c a NR anr 2 pt{t NRq dt ` a NR ˆ teq 2 ` ln t NR ˆ teq t NR t eq ª t t eq ` 3 ca NR a 2 eq anr a c 1 a dt ca NR dt a 2 eqpt{t eq q4{3 t 4{3 eq t 1{3 eq t 1{3 «` 3 : 1 2 ˆ ˆaNR teq a eq t NR 1 + 1{3 ˆteq t Supponiamo che la particella di materia oscura calda sia un tipo di neutrino pesante sconosciuto con le stesse proprietà dei neutrini noti a parte la massa. Abbiamo visto che per i neutrini t NR «t eq ovvero i neutrini diventano non-relativistici quando " rad «" mat ovvero per t eq. Quindi, poichè t eq {t NR «1, quando la materia comincia a dominare (t t eq )siha r FS» R H a NR 2 ct NR a NR eallaricombinazione(t t rec, con t eq {t rec pa eq {a rec q 3{2 ) # «r FS» 2 ct NR 1 ` 3 ˆ aeq 1 a NR 2 a rec 1{2 + «7 2 ct NR a NR con a eq {a rec z eq {z rec «15{6 1{4. Poichè abbiamo lavorato in coordinate comoventi allora si ha M FS 6 r3 FS» 2 ˆ 1 15 M d cioè tutte le perturbazioni con scala r! r FS vengono smorzate dal free-streaming delle particelle; le particelle che si muovono liberamente rimescolano tutto su scale» r FS, per cui rimuovono le fluttuazioni al disotto di quelle scale. Il risultato importante è che tutte le perturbazioni di densità con M M FS vengono smorzate non appena entrano nell orizzonte; le perturbazioni oltre l orizzonte sono congelate nella metrica ed evolvono come 9 a 2 o 9 a in quanto gli altri e etti fisici non possono agire perché non c è il tempo su ciente per una connessione causale tra i vari punti della perturbazione. M FS è l a m a s s a d e g l i a m m a s s i d i g a l a s s i e p i ù m a s s i c c i p e r t a n t o s o l o l e s t r u t t u r e p i ù grandi sopravvivono nella HDM dopo l epoca della radiazione; questa è una caratteristica distintiva della HDM, analoga allo schema adiabatico delle perturbazioni barioniche che venivano smorzate per di usione dei fotoni.

223 14.4 L e etto Meszaros L e etto Meszaros Come abbiamo visto nel capitolo precedente, una perturbazione di sola materia ha una crescita ridotta nel periodo in cui l Universo è dominato da una componente relativistica come la radiazione (e etto Meszaros). Questo è per esempio il caso di materia non collisionale e non relativistica (come la CDM) nelle perturbazioni di isocurvatura. Vediamo adesso di determinare l evoluzione temporale del contrasto di densità in queste condizioni. Consideriamo l equazione che regola l evoluzione temporale dell ampiezza delle fluttuazioni di CDM : ` 2 ˆ 9a a 9 4 G m dove si è usato m asecondomembropoichè,ancheseladensitàtotaleè r ` m, il campo di radiazione è costante e la gravità che fa crescere la perturbazione è solo quella della materia. Vogliamo una soluzione che sia valida sia nei radiation e matter dominated, ovvero non possiamo utilizzare le semplici relazioni a 9 1{2 e a 9 t 2{3. Cambiamo variabili a y m a r a eq usando le equazioni di Friedmann con k, e r` m eponendod{dt 9apd{daq l equazione di evoluzione per diventa la cui soluzione crescente è d 2 d 2 y ` quindi, prima di z eq la crescita di totale fino a t eq è s o l t a n t o 2 ` 3y d 2yp1 ` yq dy 3y 2yp1 ` yq 9 1 ` 3 2 y è p r a t i c a m e n t e b l o c c a t a i n q u a n t o l a s u a c r e s c i t a py 1q py q 5 2 dopo z eq la soluzione tende nuovamente alla crescita che ben conosciamo 9 a in quanto siamo nel regime matter dominated, ovvero dominato dalla stessa CDM. Infatti per y " 1 otteniamo d 2 d 2 y ` 3 d 2y 2 dy 3 2y 2 la cui soluzione è proprio 9 a. Questo è detto e etto Meszaros ed è lo stesso e etto che abbiamo incontrato parlando delle perturbazioni isoterme nel capitolo precedente; come abbiamo visto allora, il motivo fisico di questo comportamento è che il tempo dinamico della perturbazione (caduta libera guidata dalla gravità della materia) è ff " exp ovvero molto maggiore del tempo scala di espansione dell universo guidato dalla radiazione Fluttuazioni barioniche in presenza di materia oscura A questo punto va riconsiderato il concetto di massa di Jeans. Le equazioni della dinamica del gas che abbiamo utilizzato vanno sostituite con le equazioni di Boltzmann per il gas

224 224 Materia oscura e crescita delle perturbazioni non collisionale. Si trova che lo stesso criterio di instabilità di Jeans è valido nel caso non collisionale se c s è s o s t i t u i t a d a v 2 v 2 fpvqd 3 ~v fpvqd3 ~v con f pvq distribuzione di velocità delle particelle di DM assunta isotropa. Il punto è se l attrazione gravitazionale delle particelle di DM entro la perturbazione è su ciente ad impedir loro di fuggire. Ma, come nel caso dell analisi di Jeans, per su cientemente grande, la massa della perturbazione è su ciente a provocarne il collasso. Consideriamo il disaccoppiamento di materia e radiazione alla ricombinazione dove, come vedremo b! DM ovvero le perturbazioni nei barioni avevano ampiezza molto minore che nella DM dopo la ricombinazione. Come evolvono le perturbazioni dei barioni dopo la ricombinazione, quando sono accoppiate solo gravitazionalmente alle perturbazioni di DM con ampiezza maggiore? Quando si può trascurare la pressione interna, l evoluzione di nell era della materia è data da : ` 2 ˆ 9a a 9 A m con m densità della materia e A 4 G. Dette b e DM le perturbazioni nei barioni e nella DM si ha ˆ : 9a b ` 2 9 b A b b ` A DM DM a ˆ : 9a DM ` 2 9 DM A b b ` A DM DM a (14.1) si noti come il termine gravitazionale è lo stesso nei due casi. Troviamo la soluzione nel caso 1econsideriamoche b! DM allora ˆ : 9a DM ` 2 9 DM A a b b ` A DM DM questa equazione la sappiamo risolvere e risulta DM Ba B è una costante in quanto siamo nel caso matter dominated. Questo è il risultato che già conosciamo. Quindi l evoluzione delle perturbazioni nei barioni è determinata da ˆ : 9a b ` 2 9 b 4 G DM Ba a la densità della DM è DM DM, a 3» c a 3 Nel caso matter-dominated con 1sihaa p3h t{2q 2{3, 9a H a 1{2 e d dt da d dt da 2 ˆ3H t 3 2 1{3 3H 2 d da a 1{2 H d da

225 14.5 Fluttuazioni barioniche in presenza di materia oscura 225 per cui l equazione di evoluzione di b diventa H a 1{2 d ˆ H a 1{2 d b ` 2 Ha 1{2 H a 1{2 d b da da a da 4 GpBaq 3H2 a 3{2 d ˆ a 1{2 d b ` 2 d b da da da 3 2 B e questa equazione ha una soluzione del tipo b Bpa a rec q 8 G a 3 con a rec fattore di scala alla ricombinazione. Le perturbazioni nei barioni possono essere b pera a rec ma poi le perturbazioni nei barioni crescono sotto l azione delle perturbazioni crescenti nella DM. b Bpa a rec q DM a pa a recq DM 1 arec a ovvero ˆ b DM 1 z (14.2) z rec l ampiezza nella perturbazione dei barioni cresce rapidamente alla stessa ampiezza di quella nella DM. In modo semplificato: i barioni cadono nelle perturbazioni della DM e, entro un fattore 2 in redshift, sono già cresciute in ampiezza a metà di quella delle perturbazioni in DM. Consideriamo il caso delle perturbazioni adiabatiche di curvatura. Quando diventano più piccole dell orizzonte nell era della radiazione, le ampiezze delle quattro componenti sono 1 3 b b 1 3 DM DM 1 4 rad rad 1 4 Le perturbazioni nel plasma radiation dominated vengono rapidamente stabilizzate quando entrano nell orizzonte perché J R H elaradiazionefornisceilsupportodipressione per le perturbazioni. Le perturbazioni barioniche diventano onde sonore che oscillano con max costante fino alla ricombinazione, quando c è il disaccoppiamento dalla radiazione. Dopo " DM " rad (a z z eq ) le perturbazioni in DM (che prima erano accoppiate al campo di radiazione dalla gravità) crescono indipendentemente da quelle del plasma radiation dominated. Ecco perché il calcolo fatto in precedenza è fondamentale! Le perturbazioni barioniche vengono stabilizzate dall ingresso nell orizzonte alla ricombinazione, ma le perturbazioni in DM crescono da z eq fino alla ricombinazione con DM 9 a; per cui si ha DMprecq DM peqq a rec a eq e, senza tener conto del damping di Silk, l ampiezza massima delle perturbazioni barioniche alla ricombinazione è bprecq «b peqq «DM peqq «DM precq a eq a rec L ampiezza relativa delle perturbazioni alla ricombinzione è pertanto b DM «a eq a rec «z rec z eq «15 6».25

226 226 Materia oscura e crescita delle perturbazioni per cui b DM alla ricombinazione. Le perturbazioni nei barioni erano soppresse relativamente alla DM nel momento in cui le perturbazioni in T venivano impresse nella CMB. Dopo che la materia si disaccoppia dalla radiazione, i barioni possono collassare nelle perturbazioni in DM secondo ˆ b DM 1 z z rec riportando la loro ampiezza a quella della DM. Le perturbazioni su scale più grandi di quelle che attraversano l orizzonte a z eq hanno una di erenza relativamente piccola tra DM e b alla ricombinazione. Se b entra nell orizzonte alla ricombinazione, allora b DM Evoluzione delle perturbazioni nella hot dark matter La Hot Dark Matter è fatta di particelle come i neutrini con masse 1 ev, relativistiche al momento del disaccoppiamento dalla radiazione e quindi numerose. Le perturbazioni di interesse astrofisico sono innescate su un ampio intervallo di scale che eccedono di molto R H nell universo primordiale e che crescono come noto finché non attraversano l orizzonte. A questo punto, se le particelle di DM rimangono relativistiche all attraversamento dell orizzonte, le perturbazioni sulle scale più piccole vengono cancellate dal free streaming. Il processo continua finché le particelle come i neutrini diventano non relativistiche e tutte le perturbazioni con massa inferiore a M FS 4 ˆ 1 15 m 2 Md 3 ev non vengono smorzate. A quest epoca, ovvero quella della transizione radiazione materia, tutte le perturbazioni (neutrini, barioni, DM) hanno più o meno la stessa ampiezza, ma ora le perturbazioni in DM crescono liberamente come DM 9p1 ` zq 1 poichè non sono accoppiate al campo di radiazione. Al contrario le perturbazioni nei barioni attraversano l orizzonte e sono stabilizzate fino alla ricombinazione ( b cost.). All epoca della ricombinazione le perturbazioni nella DM con massa 4 ˆ 1 15 pm {3 evq 2 M d (quelle sopravvissute al free streaming) sono più grandi di quelle del plasma di un fattore DM b a rec a eq «1 ` z eq 1 ` z rec «2 15 «13 poichè le b non sono cresciute mentre le DM si. Le perturbazioni nel plasma sono state smorzate dal Silk Damping ma questo non è importante perché le perturbazioni che determinano le strutture sono quelle nella DM con massa M 4 ˆ 1 15 pm {3 evq 2 M d. Dopo la ricombinazione la materia barionica ricollassa nelle perturbazioni di DM raggiungendone presto l ampiezza; DM continua a crescere fino a DM 1eaquelpunto finisce il regime lineare, le perturbazioni si frammentano e si formano le strutture viste oggi. Lo scenario della HDM non crea fluttuazioni eccessivamente grandi nella CMB perché alla ricombinazione l ampiezza delle perturbazioni barioniche era 1 volte più piccola

227 14.7 Evoluzione delle perturbazioni nella cold dark matter 227 di quelle della DM; dopo la ricombinazione in poco tempo si ottiene nuovamente che b Ñ DM. Una predizione cruciale è che le prime strutture a formarsi sono quelle su scala più grande mentre le galassie e le strutture più piccole si formano relativamente tardi per frammentazione. Questo è uno scenario top-down analogamente a quello delle perturbazioni adiabatiche nel modello puramente barionico. Il modello HDM, sviluppato prevalentemente da Zel dovich e collaboratori, spiega la struttura cellulare delle galassie in modo naturale, ma queste si formano troppo tardi rispetto a quello che ci dicono le osservazioni (ed in particolare le osservazioni relative al riscaldamento e alla reionizzazione del gas intergalattico, all arricchimento del gas primordiale) Evoluzione delle perturbazioni nella cold dark matter La DM è la forma di materia dominante all epoca attuale. Per.3,.7, h.7 l epoca di uguaglianza tra materia e radiazione è z eq «35. Lo scenario CDM coinvolge particelle che sono già non-relativistiche quando si disaccoppiano e quando entrano nell orizzonte; pertanto il free-streaming non è importante (v c) equinditutte le perturbazioni su scale di interesse astrofisico sopravvivono. Le perturbazioni in DM non adiabatiche, ovvero non associate a perturbazioni nel campo di radiazione ( DM {3 DM rad {4 rad )noncresconoquasipernullafinoaz eq in seguito all e etto Meszaros. Le perturbazioni adiabatiche invece crescono come DM 9 a 2, come già visto. Dopo z eq la DM diventa dinamicamente dominante e le perturbazioni in materia oscura crescono indipendentemente dalle perturbazioni del campo di radiazione. Sappiamo che le perturbazioni di materia barionica sono cancellate dal Silk Damping ma le perturbazioni in materia oscura no e quindi sopravvivono su tutte le scale; in questo modo sono in grado di rigenerare le perturbazioni nei barioni che cadono dentro le buche di potenziale della materia oscura non appena cessa il loro accoppiamento con la radiazione al momento della ricombinazione. Ricordiamo che dopo la ricombinazione la massa di jeans per i barioni è M J 1.8 ˆ 1 4 p b h 2q 1{2 M d «5 ˆ 1 4 M d, dell ordine della massa dei globulari. Quindi dopo la ricombinazione, tutte le strutture barioniche a partire dalla massa dei globulari cominciano a collassare nuovamente. La figura 14.2 mostra l evoluzione delle perturbazioni adiabatiche di barioni, dark matter e radiazione; è chiara la separazione tra quello che succede ai barioni dopo che entrano nell orizzonte (vengono stabilizzate in onde sonore e smorzate dal Silk Damping) e quello che succede alla materia oscura (non interagendo con i fotoni non sono soggette al Silk Damping); dopo la ricombinazione le perturbazioni barioniche ( b) cadonodentro le buche di potenziale delle perturbazioni di materia oscura ( DM) eraggiungonolaloro ampiezza rapidamente. Al contrario le perturbazioni della radiazione vengono smorzate dal free-streaming dei fotoni e spariscono. Sia nel caso puramente barionico (alto) che nel caso dominato dalla CDM si ha 1pera 1manelprimocasovaloredi b è c i r c a ˆ1 più grande sulla superficie di ultimo scattering, in disaccordo con le osservazioni. Questo modello con la CDM si può considerare come uno scenario bottom-up analogamente a quello delle perturbazioni isoterme nei modelli puramente barionici. Si formano prima le strutture più piccole che poi si fondono a formare galassie ed ammassi e si parla infatti di formazione gerarchica.

228 228 Materia oscura e crescita delle perturbazioni Figura 14.2: Evoluzione delle perturbazioni barioniche nel caso puramente barionico (alto) e in un universo dominato dalla materia oscura fredda (CDM; basso). Nel caso barionico le perturbazioni cominciano a crescere dopo la ricombinazione e raggiungono 1 per a 1. In entrambi i casi si ha una perturbazione barionica con b 1 per a 1. Dopo la ricombinazione, nel caso dominato dalla DM le perturbazioni barioniche ( b) cadono dentro le buche di potenziale delle perturbazioni di materia oscura ( DM) e raggiungono la loro ampiezza rapidamente. In entrambi i casi le perturbazioni della radiazione vengono smorzate dal free-streaming dei fotoni e spariscono. Sia le perturbazioni puramente barioniche che quelle nel caso CDM raggiungono 1 per a 1 ma nel primo caso il valore di b è circa ˆ1 più grande sulla superficie di ultimo scattering, in disaccordo con le osservazioni.

229 Come vedremo più avanti, questo modello ha successo nello spiegare sia la struttura a grande scale che le fluttuazioni della CMB. Inoltre la formazione delle stelle avviene subito dopo la ricombinazione senza che ci sia il problema di dover spiegare la reionizzazione e la sintesi degli elementi (post nucleosintesi, ovviamente). Adesso è necessario studiare come si forma e si sviluppa lo spettro delle perturbazioni di densità per poi poter fare il confronto con le osservazioni, ovvero con la distribuzione agrandescaladellegalassieelefluttuazioniditemperaturadellacmb. In conclusione a quanto visto fino ad ora possiamo dire che la formazione delle strutture basata su un modello puramente barionico fallisce; pertanto è necessaria l introduzione della materia oscura (e quindi non solo perché b )ovverodiunamateriachenon interagisca con la radiazione. La natura delle particelle di materia oscura può essere vincolata con la cosmologia ed infatti si hanno due possibili scenari: Hot e Cold Dark Matter.

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231 Capitolo 15 Lo spettro delle fluttuazioni e la sua evoluzione Per fare un confronto quantitativo tra teoria e osservazioni è necessario mettere in relazione lo spettro delle perturbazioni di densità con quello delle fluttuazioni delle strutture osservate. Come primo passo, si può collegare la funzione di correlazione delle galassie vista all inizio con lo spettro di potenza delle perturbazioni La funzione di correlazione a due punti per le galassie Abbiamo visto la funzione di correlazione a due punti per le galassie che descrive la probabilità di trovare una galassia a distanza r da un altra, in eccesso rispetto alla distribuzione x 1 r x + r 2 Figura 15.1: Coppia di galassie 1 e 2 a distanza r nel sistema di riferimento in cui la posizione di 1 è ~x.

232 232 Lo spettro delle fluttuazioni e la sua evoluzione uniforme di fondo. Il numero di galassie nella shell sferica di volume dv e raggio r a partire dalla galassia di riferimento è dnprq N r1 ` prqs dv con N densità numerica media delle galassie. Posso quindi scrivere la probabilità di trovare una coppia di galassie 1, 2 separate da una distanza r moltiplicando la probabilità di trovare la galassia 1 con la probabilità di trovare la galassia 2 a distanza r da 1 (figura 15.1); pertanto il numero di coppie di galassie a distanza r è dn pair N dv 1 ˆ N r1 ` prqs dv 2 N 2 r1 ` prqs dv 1 dv 2 con funzione di correlazione a due punti. Questa probabilità può essere messa direttamente in relazione col contrasto di densità { ; si noti come abbiamo nuovamente preso ad usare il pedice per indicare il mezzo omogeneo imperturbato. Per definizione di possiamo scrivere r1 ` p~xqs per cui il numero di galassie a distanza ~r dalla posizione ~x è con M massa media delle galassie, ovvero dn pair p~x, ~rq 1 M p~xqdv 1 ˆ 1 M p~x ` ~rqdv 2 dn pair p~x, ~rq 2 r1 ` p~xqs r1 ` p~x ` ~rqs dv1 dv 2 M prq non dipende dalla posizione ~x ma solo dalla distanza tra le galassie, pertanto prendiamo la media di quell espressione su un grande volume spaziale; sappiamo che per l omogeneità e isotropia dell universo ovvero ma avevamo trovato che per cui si deve avere dn pair p~rq xdn pair p~x, ~rqy x p~xqy x p~x ` ~rqy 2 r1 `x p~xq p~x ` ~rqys dv1 dv 2 M dn pair p~rq N 2 r1 ` prqs dv 1 dv 2 prq x p~xq p~x ` ~rqy Quella che si misura è la funzione di correlazione a due punti angolare ovvero sul piano del cielo: Np qd n g r1 ` wp qs d Abbiamo visto che la distribuzione di galassie ha simmetria sferica allora si ha la corrispondenza 1q prq9r Ñ wp q9 p quindi la cosa più semplice è ricavare prq da wp q. Ricordiamo che prq è u n a f u n z i o n e d i correlazione a due punti, ovvero tiene conto solo della distanza r non di eventuali strutture

233 15.2 Lo spettro delle perturbazioni 233 a filamenti; pertanto trattiamo tutto come se le perturbazioni avessero simmetria sferica. Per poter studiare la struttura filamentare occorrono funzioni di correlazione a 3 e 4 punti. Ricordando i risultati delle osservazioni si ottiene che ˆ r prq su scale da 1h 1 kpc fino a 1h 1 Mpc con r 5h 1 Mpc e 1.8. Per r r si ha che prq Ñtendeamoltorapidamente:questo,comeabbiamogiàvisto,èilsignificatodi omogeneità e isotropia a grande scala (vedi figure 2.8, 2.9). Dalle figure 2.8, 2.9 è c h i a r o che prq per le galassie è regolare e non si sono ovvie scale preferite; nello spettro delle perturbazioni iniziali doveva essere presente un grosso intervallo di scale spaziali. C è una scala caratteristica r 5h 1 Mpc» 7.1Mpc (h.7) che definisce la scala a cui 1 ovvero 2. Questa è approssimativamente la scala sotto cui tutte le perturbazioni sono non lineari ovvero hanno { 1datoche prq 1. Strutture come i gruppi o gli ammassi di galassie adesso sono fortemente non lineari. Benché prq per le galassie sia! 1sugrandiscale,c èunacorrelazionepergliammassinelsensocheconsiderando gli ammassi più ricchi si ha r»p15 25qh 1 Mpc. Infine, ci sono strutture correlate su grandissime scale che ad oggi sono ancora in fase di crescita lineare Lo spettro delle perturbazioni Il procedimento da seguire consiste nel partire dalla distribuzione tridimensionale delle galassie, farne la trasformata di Fourier e determinare lo spettro delle ; questo permette di trovare l ampiezza delle componenti corrispondenti ai diversi vettori d onda ~ k p2 { q~i k. Però è possibile semplificare perché vogliamo paragonare lo spettro delle perturbazioni con prq che per definizione corrisponde ad una simmetria sferica. Dato p~xq si ha che la sua trasformata e antitrasformata di Fourier sono ~ k 1 ª p~rqe i~ k ~x d 3 ~x V ª V p~xq p2 q 3 ~ e i~ k ~x k d 3 ~ k con V volume entro cui p~xq è d e fi n i t a. S i n o t i c h e l e ~ k expp i ~ k ~xq sono i modi normali ovvero le soluzioni dell equazione che descriveva l evoluzione lineare del contrasto di densità. Quindi i ~ k (che indicheremo con k per semplicità) evolvono temporalmente come abbiamo visto fino ad ora (ad esempio 9 a nel caso dominato dalla materia). Quello che vogliamo studiare adesso è il peso cioè la normalizzazione di ciascun modo normale. Applicando il teorema di Parseval 1 V ª r 2 p~xqd 3 ~x V p2 q 3 ª ˇ ˇˇ ˇ2 ~k d 3 ~ k Il primo membro rappresenta x 2 y, l ampiezza quadratica media delle fluttuazioni in V. Nel secondo membro si ha lo spettro di potenza delle fluttuazioni P pkq ˇˇ ~ kˇˇ2, quindi si può scrivere x 2 y V ª P pkqd 3 ~ k p2 q 3

234 234 Lo spettro delle fluttuazioni e la sua evoluzione Siccome prq è sfericamente simmetrica dobbiamo considerare il caso in cui le direzioni dei ~ k sono isotrope per cui possiamo scrivere in coordinate sferiche d 3 ~ k 4 k 2 dk per cui Adesso dobbiamo collegare x x 2 y V ª 2 2 P pkqk 2 dk 2 y a prq utilizzando la relazione trovata precedentemente x p~xq p~x ` ~rqy Cominciamo considerando una serie di Fourier, poi passeremo agli integrali. p~xq V ª p2 q 3 ~ e i~ k ~x k d 3 ~ k può essere scritta sotto forma di serie come p~xq ÿ ~ k ~ k e i~ k ~x Dal momento che p~xq è reale p~xq p~xq ( indicailcomplessoconiugato)equindi ovvero posso scrivere p~xq 2 p~xq p~xq prq x p~xq p~x ` ~rqy x p~xq C ÿ ÿ ~ k ~ k 1 C ÿ ÿ ~ k ÿ ~ k ÿ ~ k 1 ~ k 1 ~ k ~k 1 ~ e i~ k ~x k ~k 1 e ip~ k1 ~x`~k 1 ~rq ~ k ~k 1 e ip~ k ~k 1 q ~x e i~ k 1 ~r A e ip~ k ~k 1 q ~x e i~ k 1 ~r p~x ` ~rqy G Ma quando si va a fare la media spaziale (si integra su ~x, non su ~r) siha A E A E e ip~ k ~k 1q ~x e i~ k 1 ~r e ip~ k ~k 1 q ~x e i~ k 1 ~r se ~ k ~ k 1 pertanto gli unici termini non nulli della sommatoria hanno ~ k ~ k 1 equindi C G ÿ p~rq ÿ ˇˇ ~ kˇˇ2 e i ~ k ~r ~ k ~ k ˇˇ ~ kˇˇ2 e i~k ~r poichè l operazione di media è fatta su ~x e gli addendi della sommatoria non dipendono da esso. Dal momento che abbiamo fatto il passaggio ª V ÿ p2 q 3 ~ e i~ k ~x k d 3 ~ k Ñ G E ~ k ~ k e i~k ~x

235 15.2 Lo spettro delle perturbazioni 235 possiamo concludere che p~rq V p2 q 3 ª ˇ ˇˇ ˇ2 ~k e i~ k ~r d 3 ~ k Ora p~rq è una funzione reale per cui ci interessa soltanto la parte reale di quell integrale Re e i~ k ~r cosp ~ k ~rq cospkr cos q Poichè p~rq è sfericamente simmetrica possiamo mediare su una distribuzione isotropa di probabilità per ottenere prq prq x p~rqy 1 ª p~rqp p, q sin d d 4 4 con P p, q cost. ovvero xcospkr cos qy 1 ª 4 per cui ed infine 2 * 2 4 ª prq 4 cospkr cos q sin d d cospkr cos q sin d 1 kr 2sin 2 kr V ª prq V ª 2 2 k 2 sin kr kr questa è la relazione che lega P pkq a prq. Poichè 4 k 2 dk (15.1) sin kr P pkq kr k2 dk (15.2) sin kr kr Ñ per k r 1 ovvero kr 1 si ha che solo le scale k r 1 contribuiscono a prq. Le fluttuazioni su scale più grandi vengono mediate via. In modo analogo a quanto fatto (cioè partendo dalle serie) si può ottenere P pkq a partire da prq ovvero invertire la relazione integrale appena trovata P pkq 1 V ª 8 prq sin kr kr 4 r2 dr Esistono altre rappresentazioni per P pkq, k 3 P pkq prq V ª rk 3 sin kr P pkqs dpln kq 2 2 kr 2 pkq (non è {!) 2 pkq V p2 q 3 4 k3 P pkq 2 k3 ª 8 prq sin kr kr r2 dr

236 236 Lo spettro delle fluttuazioni e la sua evoluzione 15.3 Lo spettro iniziale delle perturbazioni Le osservazioni delle strutture a grande scala suggeriscono che lo spettro iniziale delle perturbazioni sia esteso senza scale preferite (sezione 2.2),ovveroènaturalecominciare con P pkq k 2 9 k n per cui prq V ª 2 2 P pkq sin kr kr k2 dk V ª sin kr k kr k2 dk 9 ª sin kr kr kn`2 dk dal momento che sin kr{kr Ñ perkr 1possiamointegraretraek max cui, posto x kr, dk dx{r si ha «1{r per prq9 ª 1{r ª sin kr 1 kn`2 dk r pn`3q kr ovvero, dato che l integrale è un numero, si ha prq9r pn`3q Ma la massa delle fluttuazioni è M 9 r 3 per cui pmq9m pn`3q{3 sin x xn`2 dx x Abbiamo da poco dimostrato che «x 2 y per cui possiamo ottenere pmq pmq x 2 y 1{2 1{2 9 M pn`3q{6 pmq è i l c o n t r a s t o d i d e n s i t à m e d i o d e l l e p e r t u r b a z i o n i d i m a s s a M che, a parte la dipendenza spaziale e temporale, ha una ampiezza massima che scala con M pn`3q{6. In conclusione, uno spettro delle perturbazioni del tipo P pkq9k n corrisponde a prq9r pn`3q 9 M pn`3q{3 equindiadunospettrodiperturbazionididensità pmq9m pn`3q{ Lo spettro di potenza di Harrison-Zel dovich Lo spettro di potenza di Harrison-Zel dovich è caratterizzato da n 1percuisiha P pkq9k pmq9m 2{3 9 r 4 9 M 4{3

237 15.4 Lo spettro di potenza di Harrison-Zel dovich 237 Questo spettro di potenza ha l importante proprietà che il contrasto di densità pm q ha la stessa ampiezza su tutte le scale quando le perturbazioni entrano il loro orizzonte di particella, ovvero non esistono scale preferite per le perturbazioni che entrano nell orizzonte. Vediamo perché cominciando dall evoluzione di su scale maggiori dell orizzonte: prima di entrare nell orizzonte, ovvero prima dell uguaglianza materia-radiazione cresce come 9 a 2 in modo indipendente dalla massa (ricordiamoci che il potenziale Netwoniano non dipende dalla scala delle perturbazioni). Allora si ha pmq9a 2 M pn`3q{6 La perturbazione su scala r entra nell orizzonte al tempo t H quando r «ct H ed in tal caso la massa M è l e g a t a a t H da M «H r 3 H» H pct H q 3 dove il pedice H indica i valori al momento dell entrata nell orizzonte della perturbazione. Nella fase radiation dominated a 9 t 1{2, inoltre la densità scala come 9 a 3 ottenendo che t H 9 a 2 H e M «H pct H q 3 9 a 3 H pa2 Hq 3 9 a 3 H ovvero in conclusione si ottiene ovvero a H 9 M 1{3 HpMq9a 2 HM pn`3q{6 9 M 2{3 M pn`3q{6 HpMq9M pn 1q{6 questa è l ampiezza delle perturbazioni di densità alla loro entrata nell orizzonte, ovvero ad un istante ben preciso; il pedice H sta proprio a ricordare questo fatto. Se n 1allora HpMq H pmq{ H cost. etutteleperturbazionihannolastessaampiezza! n 1 è noto come lo spettro di Harrison-Zel dovich. Le perturbazioni su scale r H corrispondono a perturbazioni del potenziale gravitazionale che compare nella metrica perturbata e sono quindi congelate nella metrica stessa, come abbiamo visto. Per n 1 tutte le perturbazioni hanno la stessa ampiezza su tutte le scale quando attraversano l orizzonte. Se si avesse n 1cisarebberostategrosseperturbazionidellametrica su scale piccole nell universo primordiale che sarebbe risultate immediatamente nel loro collasso a buchi neri. Con n 1 lo spettro non diverge neanche alle grandi scale e quindi è consistente con l omogeneità e l isotropia dell universo su grande scala. Lo spettro con n 1vienefuorinaturalmentedalmodelloinflazionario. Vediamo adesso quale sarebbe la forma dello spettro se la distribuzione delle perturbazioni seguisse una statistica di Poisson ovvero corrispondesse a rumore bianco : N N 9 1 N 1{2 pmq M M 9 1 M 1{2

238 238 Lo spettro delle fluttuazioni e la sua evoluzione da cui concludiamo che n 4. pmq9m pn 1q{6 9 M 1{2 n L evoluzione dello spettro delle perturbazioni e la funzione di trasferimento Consideriamo lo spettro iniziale delle perturbazioni della materia oscura al redshift z, kpzq, che evolve fino ad arrivare all epoca di riferimento z come kpz q. Ovviamente, possiamo prendere come epoca di riferimento z. Sia fpzq il fattore di crescita delle perturbazioni da z fino all epoca di riferimento z ; nell epoca della radiazione fpzq9a 2 9 t mentre nell epoca della materia fpzq9a9t 2{3. Allora possiamo scrivere kpz q T pkqˆfpzqˆ kpzq T pkq è l a f u n z i o n e d i t r a s f e r i m e n t o c h e t i e n e c o n t o d e i v a r i e etti di smorzamento e delle deviazioni dalla crescita come a 2 e a. Se consideriamo i k vettori d onda comoventi potremo seguire la crescita di una particolare perturbazione. Si assume che kpzq sia definito all epoca appena precedente a quella in cui le perturbazioni attraversano il loro orizzonte. kpzq così definito ha la forma dello spettro iniziale delle perturbazioni infatti, dato che le perturbazioni super-horizon sono congelate nella metrica, fpzq è l o s t e s s o p e r t u t t e l e m a s s e ( o v v e r o p e r t u t t i i k) enoninterviene nessun processo di smorzamento ovvero T pkq 1. Infatti a partire dall inflazione (in cui si sono generate le perturbazioni) fino ad arrivare prima dell entrata nell orizzonte le perturbazioni sono rimaste congelate nella metrica (mancanza di tempo per connessione causale) e nessun processo fisico ha potuto alterare lo spettro. Nel seguito, le k si riferiranno ai contrasti di densità nella materia oscura ma, ovviamente, ci saranno anche le corrispondenti perturbazioni nelle altre componenti Perturbazioni adiabatiche (di curvatura) nella Cold Dark Matter Lo spettro iniziale delle perturbazioni è P pkq k 2 9 k n erappresental ampiezzainizialeditutteleperturbazioniconscalak; ricordiamo che per lo spettro di Harrison-Zel dovich si ha n 1. Prima di entrare nell orizzonte, per tutte le scale, si ha l evoluzione k 9 a 2 nella fase dominata dalla radiazione e k 9 a nella fase dominata dalla materia (le perturbazioni sono congelate nella metrica su scale super-horizon). Definiamo come M eq la massa della perturbazione di materia oscura (CDM) che entra nell orizzonte a t eq ovvero nel momento in cui radiazione e materia si uguagliano. Se consideriamo le perturbazioni con M M eq, queste nell epoca della radiazione sono sempre superhorizon e continuano a crescere come k 9 a 2 per cui, si ha k 9 a 2 P pkq 1{2 a 2 k n{2 fino a t t eq. Lo spettro rimane pertanto quello iniziale perché la crescita delle k è indipendente dalla massa.

239 15.5 Evoluzione dello spettro e funzione di trasferimento 239 Consideriamo adesso le perturbazioni con M M eq ovvero quelle che entrano nell orizzonte nell epoca della radiazione: sappiamo che le perturbazioni nei fotoni (e di conseguenza nei barioni, accoppiati ai fotoni) vengono stabilizzate dalla pressione di radiazione perché J 2 k 1 J «R H. Le perturbazioni di fotoni e barioni cominciano ad oscillare. Contemporaneamente le perturbazioni nella dark matter perdono la gravità delle perturbazioni dei fotoni (che sono stabilizzate) e quindi crescono solo sotto l azione della loro gravità: in pratica, poichè siamo nell epoca della radiazione, non crescono a atto in quanto il loro tempo di caduta libera è molto maggiore del tempo scala di espansione dell universo (e etto Meszaros). Pertanto, per M M eq, k costante fino a t t eq ; ovvero si ha k 9 P pkq 1{2 k n{2 fino t t eq. Nella fase dominata dalla materia le perturbazioni di dark matter su tutte le scale continuano a crescere come k 9 a poichè non sono accoppiate alla radiazione e non so rono del free-streaming (siamo nel caso CDM); lo spettro delle perturbazioni rimane invariato. IcambiamentidellospettrodelleperturbazionidellaCDMavvengonoquindisolofino a t eq : le perturbazioni su grande scala hanno mantenuto intatta la forma dello spettro mentre quelle su piccola scala, rimanendo costanti, sono state smorzate di un fattore a 2 rispetto a quelle su grande scala. Lo spettro delle perturbazioni con M M eq segue sempre la crescita prevista ( 9 a 2, 9 a) nelleepochedellaradiazioneedellamateriapercuicon kpz q T pkqˆfpzqˆ si ha T k 1datochelacrescita prevista èinclusainfpzq. Al contrario lo spettro delle perturbazioni con M M eq non segue sempre la crescita prevista ( 9 a 2, 9 a): a causa dell e etto Meszaros le perturbazioni non crescono quasi per nulla tra t H e t eq ovvero kpt eq q k pt H q Si può fattorizzare la crescita prevista e scrivere kpzq ˆaH kpt eq q a eq 2 ˆ 2 ˆaeq a H ˆ kpt H q Il secondo fattore corrisponde a fpzq mentre il primo fattore è il T pkq. Poichè all entrata nell orizzonte la perturbazione ha una scala «J «R H se ne deduce che k 9 a 1 H ovvero T pkq9k 2. In conclusione, passando da k allo spettro di potenza P pkq 2 k, si ha che T pkq cost. P pkq9k n M M eq T pkq9k 2 P pkq9k n 4 M M eq ovvero si ha lo spettro iniziale inalterato solo alle grandi masse, mentre alle basse masse si ha uno smorzamento per e etto Meszaros nell epoca dominata dalla radiazione tra t H e t eq. Il modello delle perturbazioni adiabatiche di curvatura nella cold dark matter è rappresentato in figura 15.2 sia come T pkq che come P pkq. T pkq91 alle grandi masse, corrispondenti alle grandi scale ovvero ai piccoli k. T pkq9k 2 alle piccole masse, corrispondenti alle piccole scale ovvero ai grandi k. Corrispondentemente, P pkq9k n ovvero è lo spettro originale alle grandi masse (piccoli k) ep pkq9k n 4 alle piccole masse (grandi k). Il cambio di pendenza di P pkq avviene per

240 24 Lo spettro delle fluttuazioni e la sua evoluzione Figura 15.2: Alto: esempi di funzioni di trasferimento T pkq per diversi modelli di formazione delle strutture. Basso: spettro di potenza P pkq atteso per i modelli rappresentati nella figura in alto. In tutti i casi lo spettro iniziale delle perturbazioni è di Harrison- Zel dovich con n 1. Nel caso del modello di isocurvatura è stato usato n 3. La normalizzazione è stata scelta in modo tale che gli spettri di potenza siano uguali a piccoli k ovvero a grandi scale. I numero d onda sono misurati in Mpc 1.

241 15.5 Evoluzione dello spettro e funzione di trasferimento 241 Ω =.3 Ω = 1 World model Ω Λ =.7 Ω Λ = h =.7 h =.7 z eq 3,53 11,76 t eq 47,5 years 4,277 years Comoving horizon scale r eq = 2ct eq /a eq 1 Mpc 26 Mpc M eq = (π/6)r 3 eq ϱ M M Tabella 15.1: Proprietà delle perturbazioni adiabatiche di cold dark matter che sono entrate nell orizzonte all epoca dell uguaglianza materia - radiazione. k eq ovvero per le perturbazioni che entrano l orizzonte quando materia = radiazione. Le proprietà delle perturbazioni adiabatiche di cold dark matter che sono entrate nell orizzonte all epoca dell uguaglianza materia - radiazione sono riportate in tabella Come si può facilmente notare la posizione del picco dello spettro P pkq dipende da, e h! Perturbazioni adiabatiche (di curvatura) nella Hot Dark Matter Se la DM è fatta di neutrini massicci allora è Hot eleperturbazionisugrandik ovvero piccole scale vengono pesantemente smorzate dalla streaming instability, come ben visibile in figura Perturbazioni di isocurvatura nella Cold Dark Matter Le perturbazioni in DM devono essere compensate da perturbazioni opposte nella radiazione per mantenere la curvatura costante. Senza entrare nei dettagli si trova che le perturbazioni su grandi scale sono in ritardo di un fattore r H {r eq elaformadellospettro risultante è simile a quella del caso adiabatico (sempre con la CMD) ma con un picco a k più piccoli L evoluzione successiva per le perturbazioni adiabatiche nei modelli CDM e HDM Nel caso della CDM, lo spettro mostrato in figura 15.2, P pkq da kpq T pkqˆfpzqˆ kpzq k 2 è r i c a v a t o a p a r t i r e Abbiamo trovato che lo spettro delle perturbazioni di densità va come pmq pn`3q{6 pmq9m

242 242 Lo spettro delle fluttuazioni e la sua evoluzione 14.4 Biasing 41 = Figura 15.3: Esempio di struttura osservata su grande scala (riquadro centrale basso) confrontato con le predizioni dei modelli CMD ( =.2, =) e HDM ( =1, =); il modello CDM non fornisce abbastanza struttura su grande scala sotto forma di vuoti o filamenti mentre il modello HDM ne produce troppi. In generale il modello CDM è quello che meglio si avvicina alle osservazioni. per P pkq9k n. Se adesso si ha P pkq9k n 4 per grandi k (ovvero piccole masse) allora dobbiamo modificare l espressione per pmq sostituendo n con n 4ovvero pmq9m rpn 4q`3s{6 9 M pn 1q{6 ovvero si trova che, per lo spettro di Harrison-Zel dovich n 1, masse. Alle grandi masse si ha P pkq9k per cui si ottiene pmq cost. alle piccole pmq9m 2{3 Se ne conclude che l ampiezza delle perturbazioni decresce alle grandi masse ovvero crescono prima le piccole masse (crescita gerarchica o bottom-up). Nella fase successiva non lineare, le perturbazioni su piccola massa virializzano ed evolvono verso una configurazione di equilibrio in cui tutte le masse convergono alla stessa distribuzione di velocità; poi a seguito di dynamical friction (scambio di energia per interazione gravitazionale, processo lento) cominciano il processo di fusione (merging) e coalescenza sotto l influenza delle perturbazioni su scala più grande. Nel caso della Hot Dark Matter solo le perturbazioni su grande scala sopravvivono a seguito del damping dovuto al free streaming; pertanto le strutture su piccola scala si formano per frammentazione delle strutture su grande scala. Questo fatto è chiaramente indicato dalla funzione di trasferimento e dallo spettro di potenza mostrati in figura 15.2:

243 15.5 Evoluzione dello spettro e funzione di trasferimento 243 lo spettro di potenza nel caso HDM adiabatico è nullo per k{ h 2 Á 1ovverosulle piccole scale. Dalle simulazioni si vede che nel caso HDM si formano strutture allungate eappiattiteinseguitoalprocessodiframmentazione(ricordiamoche,ingenerale,nonsi tratta di collassi sferici). Rispetto al caso della CDM, nel caso HDM le strutture su grande scala si formano prima e sono più pronunciate; la formazione delle galassie è ritardata in quanto quest ultime si formano in seguito alla frammentazione delle strutture su grande scala. Il confronto tra le predizioni dei modelli CDM e HDM è ben chiaro dalla figura 15.3 in cui si confrontano simulazioni ottenute alla fine degli anni 8 con le osservazioni: il modello CDM non fornisce abbastanza struttura su grande scala sotto forma di vuoti o filamenti mentre il modello HDM ne produce troppi. Però, complessivamente, il modello CDM è quello che meglio si avvicina alle osservazioni Biasing La figura 15.3 mostra che il modello CDM fornisce un accordo migliore rispetto al modello HDM ma che comunque l accordo non è perfetto ed in particolare ci sono alcune discrepanze come ad esempio il fatto che il modello CDM non fornisca abbastanza struttura su grande scala sotto forma di vuoti o filamenti. Il biasing serve a spiegare il disaccordo osservato tra le simulazioni di DM e le galassie. Fino ad ora abbiamo supposto che le parti luminose delle galassie traccino la distribuzione di materia oscura ma ci sono molti motivi per cui questo potrebbe non avvenire. Genericamente questi motivi sono noti con il nome di biasing ovvero la formazione preferenziale delle galassie in certe regioni piuttosto che in altre. Come vedremo più avanti per la CMB, la descrizione fatta sulla base dello spettro di potenza porta naturalmente all assunzione che le fluttuazioni siano Gaussiane con varianza x 2 y. Ricordiamo che i di cui abbiamo parlato fino ad ora sono in realtà x 2 y 1{2 ovvero sono le ampiezze quadratiche medie delle fluttuazioni di una data M o k (l operazione di media è fatta sui volumi spaziali). Allora la probabilità di avere una fluttuazione è 2 P p q9 exp 1 2 x 2 y Se le strutture si formano solo quando eccede un valore crit, allora la formazione delle galassie sarebbe biased verso le perturbazioni con più alta densità rispetto al background. Questo processo potrebbe spiegare, per esempio, come mai gli ammassi siano in generale più clustered delle galassie stesse. Nel modello delle fluttuazioni gaussiane si può scrivere che gal prq b 2 DM prq con gal prq funzione di correlazione a 2 punti per le galassie, DM prq funzione di correlazione a due punti della DM ed infine b parametro di bias. Dalle relazioni esistenti tra e P pkq, e,èchiaroche P gal pkq b 2 P DM pkq ˆ ˆ b gal DM gal b DM

244 244 Lo spettro delle fluttuazioni e la sua evoluzione Sulle grandi scale (5 h 1 Ñ 3 h 1 Mpc) è stato trovato che, assumendo la forma funzionale gal b 1 DM ` b 2 2 DM per fare un fit dei dati osservativi, si ha b , b ; ovvero la distribuzione delle galassie su grande scala è unbiased (b» 1). Invece la distribuzione delle galassie è biased su scale più piccole o se si considerano galassie di classi diverse. Per esempio, è stato trovato che b b.85 `.15 L L ovvero le galassie più luminose (es., 1 L )conb» 2.4b sono più biased rispetto alle galassie L (b» b ). Il bias esiste anche per le misure di redshift. Infatti abbiamo trovato che per le velocità peculiari si ha v H r.6 ˆ Se usiamo le galassie per determinare il contrasto di densità ˆ ˆ b ovvero gal v H r.6 b ˆ gal ediquestodobbiamotenerneconto.dall analisidiredshiftsurveysèstatostimatoche.6 b.43.7 Se teniamo conto che, per la galassie in generale, b» 1allorasiottiene La crescita non lineare delle perturbazioni di densità Abbiamo trovato che P pkq9k n comporta che 9 r pn`3q. Nel caso di perturbazioni adiabatiche su piccole scale (grandi k), si ha P pkq9k n 4 ovvero 9 r pn 1q ; per n 1(spettro di Harrison Zel dovich), 9 r. In realtà lo spettro osservato è ˆ r prq r 1.8 equestadiscrepanzadeveesseredovutaall evoluzionesuccessivanonlineare. Ladipendenza osservata per prq mostra che per r " r le perturbazioni sono ancora lineari e pertanto possono ancora fornire informazioni dirette sulla forma dello spettro iniziale delle perturbazioni dopo che è stato processato prima della ricombinazione; ovvero possono fornire informazioni sul fattore T pkqfpzq che vale nel regime lineare.

245 15.7 Il ruolo dei barioni nelle perturbazioni 245 Figura 15.4: Evoluzione della funzione di correlazione a due punti in funzione del redshift. La funzione è stata normalizzata per risultare in una correlazione che assomiglia alla funzione di correlazione a due punti delle galassie osservata che ha pendenza 1.8 (punti con barre d errore). In realtà è possibile anche mettere in relazione la parte non lineare dello spettro con lo spettro processato del regime lineare. In pratica si possono utilizzare argomenti analoghi a quelli utilizzati per capire la crescita delle perturbazioni: una perturbazione è un piccolo universo chiuso in un universo omogeneo aperto. Le perturbazioni crescono fino ad un massimo e poi ricollassano per formare una struttura legata. L evoluzione dal regime lineare a quello non lineare segue una soluzione autosimile ottenuta per la prima volta dalle simulazioni numeriche da cui si trova che è possibile scrivere F pxq con x a 2 come mostrato in figura Come si vede dallo spettro iniziale processato nel caso CDM, si arriva ad uno spettro che a redshift nel regime osservato (punti con barre d errore) è in accordo con le osservazioni. Per 1siosserval evoluzionelinearegià vista, ma successivamente si ha un irripidimento della prq.

246 246 Lo spettro delle fluttuazioni e la sua evoluzione Figura 15.5: Diagramma di stabilità di Sunyaev e Zel dovich. Nella figura a sinistra la regione di instabilità è alla destra della riga continua. I due grafici addizionali illustrano l evoluzione di due fluttuazioni di densità di massa diversa da quando entrano nell orizzonte fino alla ricombinazione. Nella figura di destra, le perturbazioni corrispondenti a masse diverse arrivano all epoca della ricombinazione con fasi diverse, che risultano in una dipendenza periodica dell ampiezza delle perturbazioni con la massa al momento della ricombinazione Il ruolo dei barioni nelle perturbazioni Come detto, le perturbazioni dei barioni oscillano per l accoppiamento con la radiazione fino alla ricombinazione momento in cui ricomincia il collasso. Però le varie perturbazioni arrivano alla ricombinazione e quindi al collasso in fasi diverse dell oscillazione: questo determina una dipendenza periodica dell ampiezza delle perturbazioni con la massa. In pratica, al momento dell ingresso nell orizzonte, tutte le perturbazioni cominciano ad oscillare dall ampiezza massima pmq, continuano ad oscillare ed arrivano con or alla ricombinazione a seconda della relazione tra tempo intercorso e la loro. I picchi di queste oscillazioni vengono detti picchi acustici (li rivedremo meglio durante l analisi della CMB): il { di un picco corrisponde ad una oscillazione che arriva alla massima ampiezza alla ricombinazione. In figura 15.5 si mostra uno schema che descrive la formazione dei picchi acustici in {. Lafigura15.6 mostra quattro esempi di funzioni di trasferimento per modelli puramente barionici e modelli misti di barioni e CDM. Consideriamo i modelli puramente barionici rappresentati in alto. Si nota chiaramente l e etto del silk damping e la presenza dei picchi acustici. Nella figura 15.6 in basso ci sono i modelli con barioni e DM in pari quantità. In questo caso le perturbazioni dei barioni vengono guidate dalle perturbazioni nella DM e ˆ b DM 1 z z rec poichè la DM non ha oscillazioni acustiche il suo spettro è regolare e questo comporta lo smorzamento dei picchi acustici: le perturbazioni barioniche cadono nelle buche di potenziale della DM e la struttura a picchi tende a smussarsi diventando simile allo spettro regolare della DM. E di quanto vengono smorzate dipende, ad esempio, rapporto

247 15.7 Il ruolo dei barioni nelle perturbazioni 247 Figura 15.6: Quattro esempi di funzioni di trasferimento per modelli puramente barionici (alto) e modelli misti di barioni e CDM (basso). I risultati dei calcoli numerici sono mostrati dalle righe continue, e le funzioni usate per il loro fit sono rappresentate dalle righe tratteggiate. La riga a punti mostra la funzione di trasferimento della CDM. b { ovvero dal rapporto tra barioni e DM. E chiaro che la rivelazione dei picchi acustici (BAO, Baryon Acoustic Oscillations) è un test cruciale per i modelli di formazione delle strutture. I picchi acustici sono stati rivelati nelle survey recenti 2dF E SDSS. La figura 15.7 mostra il confronto tra lo spettro di potenza atteso dal modello (convoluto con gli e etti di bias e di incompletezza della survey) e quello osservato con la survey 2dF. Nella parte in basso lo spettro osservato è stato diviso per lo spettro atteso in un modello di pura DM in cui non ci sono i picchi acustici. C è un evidenza dell esistenza dei picchi acustici ed i valori dei parametri di densità ottenuti col best fit sono h e b { In figura 15.8 c è l evidenza per il primo picco acustico ottenuta dalla survey SDSS: il modello regolare è quello di pura DM. I modelli in figura hanno, dall alto in basso, h 2.12,.13,.14 e tutti con b h 2.24 e n.98 (spettro di Harrison

248 248 Lo spettro delle fluttuazioni e la sua evoluzione Figura 15.7: Spettro di potenza della distribuzione tridimensionale delle galassie nella redshift survey della 2dF. I punti con le barre d errore sono le migliori stime dello spettro di potenza osservato dopo che i bias e le correzioni per incompletezza sono state applicate. Nel pannello inferiore i dati dal pannello superiore sono stati divisi per il modello CDM di riferimento con DM.2, = e b. La linea tratteggiata grigia è il modello di best fit prima della convoluzione della funzione che tien conto degli e etti di selezione della survey; la linea unita mostra il best fit dopo la convoluzione con gli e etti di selezione della survey. Zel dovich). La riga continua senza picco è il modello di pura DM con h Nel caso della SDSS c è l evidenza per il primo picco acustico. Per concludere questa parte, la figura 15.9 mostra lo spettro di potenza previsto con alcuni tipi di modelli CDM e confrontato con quello ottenuto dalle survey di galassie. Uno dei punti importanti da ricavare da quella figura è che la posizione k max del picco dipende e. Il modello con =1 = (dal vincolo del modello inflazionario) indicato con scdm (standard CDM) ha un picco spostato rispetto a quello osservato: c è troppa potenza alle piccole scale, ovvero ai grandi k. Il modello open CDM (CDM) con =.2, =, riesce a spostare il picco e a metterlo in accordo migliore con le osservazioni. Anche l accordo del modello CDM è ottimo (in figura è stato spostato in alto per chiarezza ma passa per tutte le misure). Gli altri modelli più esotici ( CDM, CDM) hanno tutti un

249 Figura 15.8: Funzione di correlazione su grande scala del campione di galassie luminose rosse della SDSS. psq è stata moltiplicata per s 2 per mettere in evidenza la curvatura dello spettro di potenza alle piccole scale. I modelli hanno, dall alto in basso, h 2.12,.13,.14 e tutti con b h 2.24 e n.98. La riga continua senza picco è il modello di pura DM con h accordo peggiore. Infine, la figura 15.1 mostra le diverse predizioni di struttura a grande scala per i modelli CDM: =.3, =.7; ocdm: =.2, =; CDM: con particelle neutrino-like che spostano a redshift più bassi l epoca di uguaglianza materia = radiazione per avere un comportamento analogo al modello ocdm; questi neutrini decadono dopo la nucleosintesi. scdm: =1., =; I modelli CDM e ocdm danno predizioni simili ma in quest ultimo la geometria non è piatta come predetto dal modello inflazionario; sono i modelli che meglio descrivono la struttura osservata su grande scala. In conclusione, il modello CDM è quello che riesce aspiegareilmaggiornumerodidatiosservativiconilminornumerodiparametri.

250 Figura 15.9: Esempi di spettri di potenza predetti da diversi modelli di formazione delle strutture. I modelli si basano sulla cold dark matter standard (scdm), sulla open cold dark matter (CDM), sulla cold dark matter con costate cosmologica ( CDM), sulla cold dark matter con i neutrini in decadimento ( CDM) e su un modello alternativo di cold dark matter basata sui neutrini ( CDM). I punti con le barre d errore rappresentano lo spettro di potenza osservato delle galassie e la normalizzazione ai bassi k ricavata dalla CMB. Lo spettro CDM è stato spostato in alto per chiarezza. Si noti che P pkq ha le dimensioni di Mpc 3 perché gli autori non hanno incluso V nella definizione di P pkq.

251 Figura 15.1: Struttura a grande scala per le galassie predetta con le simulazioni del consorzio Virgo ( per alcuni modelli cosmologici. Ogni riquadro ha un lato pari a 24h 1 Mpc ed è il risultato di una simulazione N-body con ˆ1 7 particelle. I quattro modelli mostrati si basano sulla cold dark matter standard (scdm), sulla open cold dark matter (ocdm), sulla cold dark matter con costate cosmologica ( CDM), sulla cold dark matter con i neutrini in decadimento ( CDM). I parametri dei modelli sono stati scelti per riprodurre la struttura a grande scala osservata nelle galassie all epoca attuale.

252

253 Capitolo 16 Le fluttuazioni della radiazione cosmica di fondo Lo spettro di potenza delle fluttuazioni della radiazione cosmica di fondo (CMB) e le sue proprietà di polarizzazione forniscono dei vincoli ai parametri cosmologici ed alla formazione delle strutture. Adesso il nostro scopo è quello di collegare i modelli di formazione delle strutture con le tracce che lasciano sulla CMB. Combinando le osservazioni della CMB, la struttura a grande scala delle galassie e le supernovae Ia è possibile vincolare i parametri cosmologici al meglio del 1% e con le recenti osservazioni di Planck è stato possibile raggiungere un accuratezza del 1%. Questo permette di parlare di precision cosmology rispetto a quando le incertezze sui parametri cosmologici erano dell ordine di un fattore 2. Ovviamente la teoria deve essere più accurata delle osservazioni e questo comporta un analisi complessa che è ben oltre lo scopo del corso: l analisi completa prevede la soluzione numerica delle equazioni di Einstein della Relatività Generale, dell equazione di Boltzmann e delle equazioni fluide. Quest analisi si può fare accuratamente con codici numerici pubblici come CMBFAST e CAMB che permettono di avere le predizioni del modello preferito di formazione delle strutture. Nel nostro caso ci limiteremo ad un analisi semplice per capire la fisica che è alla base dei risultati numerici. La prima cosa importante da analizzare è lo stato di ionizzazione del gas nell epoca della ricombinazione ovvero nell epoca in cui l universo ha e ettuato la transizione da completamente ionizzato a completamente neutro Lo stato di ionizzazione del gas intergalattico durante l epoca della ricombinazione Abbiamo trovato che per z " 1, z " 1laprofonditàotticaperscatteringThomsondel gas totalmente ionizzato è data dalla 9.56:».36 b ovvero per.3, b.4, h.7 siha 1{2 hz 3{2» 1.8 ˆ 1 3 z 3{2

254 254 Le fluttuazioni della radiazione cosmica di fondo cioè» 11 per z 15. Tutto quello che avviene quando il gas è ionizzato va perso perché i fotoni subiscono molti scattering e perdono memoria delle loro condizioni fisiche iniziali. La radiazione della CMB che vediamo proviene da piccole regioni in z in cui si ha» 1ovverodallasuperficiediultimoscattering(inmodoanalogoallafotosferadi una stella). A questo punto dobbiamo conoscere l intervallo di redshift z in cui è avvenuto l ultimo scattering dei fotoni poichè quello rappresenta la porzione di universo che vediamo con la CMB. La probabilità che un fotone che osserviamo adesso abbia subito uno scattering tra z e z ` dz è d a t a d a dp e pzq d definiamo la funzione di visibilità vpzq tale che ovvero si ha dp vpzqdz e pzq d vpzq e pzq d dz e pzq d dz dz Il processo di ricombinazione non è istantaneo per vari motivi: le ricombinazioni al livello n 1 dell atomo di idrogeno creano fotoni che reionizzano gli atomi di H appena formati: le ricombinazione ai livelli n 1vannoapopolareillivellon 1(2S o2p ); se c è il decadimento diretto dal livello 2P si crea un fotone Ly che viene riassorbito popolando nuovamente il livello n 1; in conclusione c è una significativa popolazione del livello n 1dacuil atomodihpuòessereionizzatoinquantocisonoancora fotoni su cientemente energetici; se dal livello n 1c èunacadutadirettaallivellofondamentalesigeneraun fotone Lyman che può venire a sua volta riassorbito ripopolando il livello con n alto; l atomo di H può essere ionizzato a partire da questo livello poichè, come detto, esistono ancora fotoni su cientemente energetici; l unico modo di decadimento che non porta ad una ionizzazione è la transizione proibita da 2S a1s; è una transizione di quadripolo a due fotoni la cui energia totale è pari a quella del fotone Ly ; contrariamente al fotone Ly la loro profondità ottica è molto piccola e quindi non interagiscono con gli atomi di H in quanto non hanno energia su ciente a ionizzare ne tantomeno a far fare la transizione tra il livello 1 ed il 2. Quindi, il processo che determina la ricombinazione è il decadimento 2S Ñ 1S che però ha una probabilità molto piccola con A 8.23 s 1. Come si vede in figura 16.1 il massimo della funzione di visibilità (che, ricordiamo, rappresenta la probabilità che il fotone abbia avuto l ultimo scattering tra z e z ` dz) si ha per z max» 19; la larghezza a metà altezza (ovvero quando si raggiunge il 5% del picco) si ha per z ovvero z 195. Per il nostro modello di riferimento questi valori corrispondono a t 37, yr pz max q e t 32, 44, yr p zq.

255 16.2 Scale fisiche e angolari delle fluttuazioni 255 Figura 16.1: Alto: frazione di ionizzazione = x e N e {N H in funzione del redshift per il modello cosmologico standard. Basso: funzione di visibilità normalizzata ad 1 al suo massimo Scale fisiche e angolari delle fluttuazioni Vediamo adesso le varie scale spaziali che ci serviranno per l analisi dello spettro di potenza della CMB nel modello di riferimento caratterizzato da.3,.7, b.4, h.7 e,senecessario,n 1. Nell epoca dominata dalla materia, come abbiamo visto, la distanza radiale comovente è c dz dr H rp1 ` zq 2 p z ` 1q zpz ` 2qs 1{2 che, nel caso ` 1, possiamo scrivere dr c dz H r p1 ` zq 3 ` s 1{2 in quest espressione c è solo il contributo della materia ma dovremmo considerare anche i neutrini e la radiazione per avere delle precisioni inferiori all 1%; infatti ricordiamoci che rad 9 a 4 e m 9 a 3 per cui partendo da t t eq in cui rad m eq, possiamo scrivere

256 256 Le fluttuazioni della radiazione cosmica di fondo che il rapporto radiazione/materia alla ricombinazione è rad m ˆarec a eq 1 z rec z eq « il contributo di neutrini e radiazione rappresenta una non piccola correzione che però possiamo trascurare nelle nostre stime grezze Lo strato di ultimo scattering Cerchiamo adesso lo spessore comovente dello strato di ultimo scattering (last scattering layer). Siamo nel caso in cui z " 1percuipossotrascurareilterminein : r c z H r p1 ` zq 3 ` s» c z 1{2 H z 3{2 1{2 abbiamo visto che il picco di vpzq è p e r z 19 e che si ha z 195 per cui si ottiene r LS 16.2p h 2 q 1{2» 42 Mpc questo è lo spessore comovente della superficie di ultimo scattering. (materia oscura e barionica) che corrisponde a questa scala è La massa totale M DM 6 p rq3 6. ˆ 1 14 p h 2 q 1{2 M d 1.6 ˆ 1 15 M d che corrisponde circa alla massa di un ammasso di galassie. Si noti come si è calcolato la massa utilizzando una lunghezza comovente e la densità per t t. La scala comovente r LS lalunghezzapropriaè R LS r LS {p1 ` zq hauna dimensione angolare sulla superficie di ultimo scattering pari a LS R LS r LS D A D 16.2p h 2 q 1{2 r MPC dove si è sfruttato il fatto che la distanza angolare D A D{p1 ` zq echelamisuradi distanza D r per ` 1; r MPC è la distanza comovente in Mpc. Utilizzando l espressione per dr per ottenere r MPC corrispondente a z 19 (r MPC» 1.4ˆ1 4 Mpc) si ottiene LS 18 1{2 arcmin 1 arcmin Su scale comoventi r r LS 16.2p h 2q 1{2 42 Mpc all epoca presente, ci aspettiamo di avere molte fluttuazioni indipendenti lungo la linea di vista attraverso la superficie di ultimo scattering: la sovrapposizione casuale di molte perturbazioni entro la superficie di ultimo scattering porta al loro smorzamento di un fattore pari a N 1{2,doveN è i l numero di fluttuazioni lungo la linea di vista (figura 16.2). Pertanto, le fluttuazioni su scale r r LS sono smorzate mentre di quelle su scale superiori ne vediamo solo una fetta nella CMB, ovvero vediamo solo la regione che corrisponde alla superficie di ultimo scattering. Ricordiamo che r LS corrisponde a fluttuazioni la cui massa è dell ordine di quella degli ammassi.

257 16.2 Scale fisiche e angolari delle fluttuazioni 257 N fluttuazioni lungo la linea di vista: smorzamento di N -1/2 Last Scattering Layer Figura 16.2: Last scattering layer e lo smorzamento dovuto a N perturbazioni in esso contenute La scala del damping di Silk Adesso vediamo la scala comovente del Damping di Silk nel caso in cui la dinamica dell universo sia guidata dalla DM; la scala di Silk (propria) è 1{2 ˆ1 S 3` ct con ` cammino libero medio dei fotoni per un universo DM dominated si ha t ` 1 ˆ2 3 H ovvero, passando a distanza comovente, si ha S,comov T N e 1{2 z 1{5.867 Mpc 9.Mpc p b h 2 q 1{2 p h 2 q1{4 Questo corrisponde ad una scala angolare sul piano del cielo pari a S S,comov D 2.2arcmin Però questa è una sottostima significativa perché non abbiamo considerato l aumento rapido di ` dei fotoni non appena il processo rapido di ricombinazione inizia (con meno scattering, i fotoni di ondono più facilmente). Questa cosa è mostrata in figura 16.3 in cui si vede come, tenendo conto della ricombinazione dei fotoni, la scala del damping di )rapidamentesidiscostadallanostraapprossimazionenonappenal idrogeno comincia a ricombinare. Silk (k 1 d

258 258 Le fluttuazioni della radiazione cosmica di fondo Figura 16.3: Evoluzione della scala del damping di Silk per le fluttuazioni primordiali di densità. Le righe tratteggiate rappresentano la scala senza tener conto della ricombinazione. Le righe continue invece rappresentano l e etto della ricombinazione che avviene per z «19. Le tre serie di righe rappresentano modelli con diversi valori di b e h L orizzonte sonoro nello strato di ultimo scattering L orizzonte sonoro nello strato di ultimo scattering è s c s t con c s velocità del suono e t età dell universo. L orizzonte sonoro rappresenta la lunghezza d onda massima su cui le onde sonore potevano aver avuto oscillazioni coerenti al momento della ricombinazione; in pratica rappresenta il limite superiore alla delle onde acustiche al momento della ricombinazione poichè, data una lunghezza d onda, c s t n fornisce il numero (può essere frazionario) di oscillazioni che una data perturbazione ha avuto al momento della ricombinazione. Ovviamente per avere una oscillazione coerente si deve avere À s. Abbiamo trovato la velocità del suono come c s e, al momento della ricombinazione, R 3 b 4 rad? c ˆ 1{2 4 rad 3 4 rad ` 3 b c a 3p1 ` Rq 3 b c c 2 16 T 4 p1 ` zq 3.5 ˆ 14 bh 2 p1 ` zq.685

259 16.2 Scale fisiche e angolari delle fluttuazioni 259 con z 19 e b.5. Pertanto nello strato di ultimo scattering c s.445 c; si noti inoltre che s dipende da e b. Utilizzando t del modello matter dominated con z " 1, z " 1siha c 2 z s c s t a 3p1 ` Rq 3H 1{2 Si noti che c s.454 c per z 19 è quasi uguale al valore relativistico che è pari a c s c{? c. Pertanto, dal momento dell ingresso della perturbazione nell orizzonte alla ricombinazione si può considerare la velocità del suono costante e pari a c s».5 c. Fino ad ora non abbiamo corretto la relazione a 9 t 3{2 per tener conto della presenza del contributo di radiazione alla densità di energia totale. Tenendo conto di questo contributo si ha t 37, yr per z 19 da cui ne consegue che come lunghezza comovente. La massa entro s,comov 62 Mpc s è M 6 3 s c 5.1 ˆ 1 15 M d In conclusione, s c s t corrisponde ad una singola oscillazione tra l entrata nell orizzonte e la ricombinazione. Si noti come le perturbazioni con lunghezza d onda s siano quelle che, alla superficie di ultimo scattering, ritornano alla stessa ampiezza che avevano all entrata nell orizzonte (in assenza di altri processi di smorzamento); quelle con s {4 raggiungono invece la massima compressione alla superficie di ultimo scattering e pertanto sono quelle associate al primo massimo nello spettro di potenza delle fluttuazioni. L origine dei picchi acustici è schematizzata in figura s rappresenta la massima lunghezza di coerenza sulla superficie di ultimo scattering per cui la dimensione angolare di questo picco acustico nello spettro delle fluttuazioni è s «c stp1 ` zq D che nel nostro modello diventa s» 15 arcmin.25. Nello sviluppo in multipoli di cui parleremo tra poco, s corrisponde ad un massimo a l «25. Nell analisi delle fluttuazioni di temperatura della CMB, s è una scala ben più importante della lunghezza d onda di Jeans ma è necessario tener conto di quest ultima per la relazione di dispersione ovvero per capire se si hanno e ettivamente onde sonore. Come abbiamo visto, l interpretazione di J è quella di distanza che l onda sonora può viaggiare durante il tempo di collasso della perturbazione che è pari al tempo di free fall ovvero pg q 1{2. Quindi, la di erenza tra l orizzonte del suono e la lunghezza di Jeans nel caso cosmologico è che t (tempo scala dell espansione dell universo) è determinato dalla densità della DM, DM, mentre tempo scala delle perturbazioni barioniche dipende da b. Le oscillazioni acustiche sono supportate dalla pressione del plasma di barioni e fotoni entro le buche di potenziale più profonde definite dalla DM. Usando la densità barionica si ha ˆ 1{2 ˆ 1{2 c J c s a 2.6 ˆ 1 22 m «9 Mpc G 3p1 ` Rq G allora s! J (k " k J )percuipossiamousarel approssimazionedi piccola nella relazione di dispersione delle onde acustiche, ovvero! 2 c 2 sk 2 4 G c 2 spk 2 k 2 Jq«c 2 sk 2

260 26 Le fluttuazioni della radiazione cosmica di fondo 5.3. Figura 16.4: Origine dei primi picchi acustici nello spettro di potenza della radiazione cosmica di fondo. I cerchi rappresentano la risposta del plasma di fotoni e barioni alle perturbazioni che crescono nelle buche di potenziale della DM; i cerchi con il riempimento nero rappresentano la massima compressione delle perturbazioni mentre i cerchi con il riempimento bianco rappresentano la massima rarefazione delle perturbazioni. z eq è l epoca dell uguaglianza materia radiazione e z è lo spessore in redshift dello strato di ultimo scattering. ovvero le oscillazioni del barioni erano pure onde acustiche al momento della ricombinazione La scala dell orizzonte della particella Abbiamo trovato che la scala dell orizzonte nel limite matter dominated è R H 3 ct 2 c H 1{2 ovvero, come distanza comovente, p1 ` zq 3{2 5.1 ˆ 1 23 p h 2 q 1{2 cm 2. ˆ 1 23 cm «.43 Mpc r H R H p1 ` zq 47 Mpc e, se si tien conto della densità di energia della radiazione (ovvero t rec 37, yr), r H si riduce a 37 Mpc. Adottando r H «37 Mpc si ha H r H D 1.5

261 16.2 Scale fisiche e angolari delle fluttuazioni 261 eleregionicon H sulla CMB non possono essere state in contatto causale cosa che, come abbiamo visto, è in apparente contrasto con i risultati di COBE, WMAP e PLANCK che hanno mostrato come l universo sia omogeneo ed isotropo a meno di 1 parte su 1 5.Poichè J «r H tutte le perturbazioni con r H sono onde acustiche sulle superficie di ultimo scattering. Un altra quantità che ci sarà utile è l orizzonte per t eq ; con i nostri valori di riferimento t eq 47, yr e con R H 2.5 ct (compromesso tra 2 e 3) abbiamo eq,comov» 216 Mpc sempre da intendersi come lunghezza comovente Riassunto Facciamo adesso un riassunto delle scale fisiche e angolari ottenute fin qui. Le fluttuazioni della CMB associate alle perturbazioni primordiali sono state originate a z «19 quando l universo era appena entrato nella fase matter-dominated. Le regioni con scale 1.5 non erano causalmente connesse, pertanto conservano le informazioni sullo spettro primordiale delle perturbazioni. Le regioni su scale scale forniscono molte informazioni legate all epoca in cui radiazione «materia; su scale.1 ci sono oscillazioni acustiche con smorzamento dovuto al Silk Damping e allo spessore dello strato di ultimo scattering. Questa informazione è disponibile perché le perturbazioni nei barioni sono strettamente accoppiate alla radiazione, ma diventano onde sonore non appena attraversano l orizzonte. La scala del Silk Damping è S 9.Mpc corrispondente a S» 2.2arcmin.4. Le perturbazioni adiabatiche su scale S vengono completamente smorzate dalla di usione dei fotoni. Lo spessore dello strato di ultimo scattering è r LS 42 Mpc (comovente), corrispondente a LS» 1 arcmin.2 ; una perturbazione con quel diametro ha massa M ls 1.6 ˆ 1 15 M d (barionica e oscura). Le perturbazioni su scale r LS subiscono lo smorzamento statistico ovvero vengono abbattute di un fattore N 1{2 con N numero di perturbazioni lungo la linea di vista nello strato di ultimo scattering. Questo è solo uno smorzamento apparente, ovvero per le nostre osservazioni. L orizzonte del suono è s 62 Mpc corrispondente a s».25 ; la massa corrispondente a quella scala è M s 5.1 ˆ 1 15 M d. L orizzonte sonoro determina la massima scala di per avere delle oscillazioni coerenti; questa è anche legata al primo picco acustico in P pkq; per k più piccoli (o più grandi) non ci sono picchi perché le oscillazioni non sono coerenti. L orizzonte della particella è r H» 37 Mpc corrispondente a H» 1.5. Rappresenta la massima lunghezza scala causalmente connessa; al disopra si hanno le fluttuazioni congelate nella metrica. Queste scale rilevanti sono anche riportate in tabella 16.1.

262 262 Le fluttuazioni della radiazione cosmica di fondo Scala spaziale r p Mpcq Orizzonte della particella Orizzonte sonoro Spessore strato u.s Silk Damping 9..4 Tabella 16.1: Scale spaziali comoventi rilevanti sulla superficie di ultimo scattering Lo spettro di potenza delle fluttuazioni della CMB: descrizione statistica delle fluttuazioni di temperatura Da una trasformata di Fourier dell intensità della CMB è possibile risalire allo spettro continuo delle fluttuazioni di temperatura della CMB. Per descrivere la distribuzione spaziale dell intensità e quindi della temperatura si può sfruttare il fatto che queste sono distribuite su una superficie sferica e quindi è possibile utilizzare una decomposizione in armoniche sferiche: con T T p, q T p, q T T 8ÿ lÿ l m l 1{2 2l ` 1 pl m q! Y lm p, q ˆ P lmpcos qe im 4 pl ` m q! a lm Y lm p, q ˆ " p 1q m m 1 m Y lm p, q è la funzione armonica sferica di grado l ed ordine m, P lm pcos q è l a f u n z i o n e di Legendre associata; è l a n g o l o p o l a r e o c o l a t i t u d i n e ( ) e è l a l o n g i t u d i n e ( 2 ). Gli indici variano come l, 1,...,`8 e l m l (m assume 2l ` 1 valori). La funzione associata di Legendre è P lm pxq p1 x 2 q m{2 dm P l pxq dx m con x cos. P l pxq è il polinomio di Legendre di grado l che vale n dn P l pxq p2 n!q 1 `x2 1 n dx n Ricordiamo che la condizione di ortogonalità per le armoniche sferiche è ª Y lmy l 1 m 1d ll 1 mm 1 con d sin d d e ij 1sei j oppure ij sei j. 4

263 16.3 Descrizione statistica delle fluttuazioni di temperatura della CMB 263 Utilizzando la condizione di ortogonalità appena vista, moltiplicando T {T per Y lm e integrando sulla sfera si ottiene ª a lm 4 T T p, q Y lmd Una semplice interpretazione di questo sviluppo è la seguente: gli zeri delle parti reali e immaginarie delle Y lm p, q dividono il cielo in celle di forma approssimativamente rettangolare con dimensione minima all equatore pari a {l; pertanto ogni armonica sferica corrisponde ad una scala angolare «l l è chiamato momento di multipolo. Solitamente si assume che le perturbazioni siano Gaussiane ovvero i moduli degli a lm sono estratti da una distribuzione gaussiana P p a lm q 1? 2 Cl exp a lm 2 2C l (16.1) mentre le fasi sono estratte da una distribuzione casuale uniforme tra e 2. Perturbazioni Gaussiane sono predette dal modello inflazionario, per cui il test sulla Gaussianità delle perturbazioni è anche un test sulla validità del modello inflazionario. Non Gaussianità possono essere dovute a discontinuità in T ( hot spots, strutture lineare ecc.); tuttavia, al momento, non esistono evidenze di non Gaussianità dai dati disponibili. L assunzione di perturbazioni Gaussiane permette di fare varie semplificazioni: le fluttuazioni si possono rappresentare come una sovrapposizione di onde con fase casuale quindi ognuno dei p2l ` 1q coe cienti a lm, per l fissato, fornisce una stima indipendente dell ampiezza delle fluttuazioni di T associate al multipolo l. Lo spettro di potenza C l è c i r c o l a r m e n t e s i m m e t r i c o a t t o r n o a c i a s c u n p u n t o d e l c i e l o e q u i n d i i l v a l o r e d i a lm a lm mediato su tutto il cielo (ovvero la varianza di a lm )fornisceunastimadellapotenza associata al multipolo l ovvero C l x a lm 2 y 1 ÿ a lm a lm 2l ` 1 Si noti che il calcolo della varianza di a lm ha senso dal momento che è estratto da una distribuzione Gaussiana. Dal momento che le fluttuazioni sono Gaussiane possiamo quindi concludere che i C l forniscono una descrizione completa delle fluttuazioni di temperatura, come indicato dalla Un altro modo di presentare i risultati di queste analisi statistiche è quello di derivare la funzione di autocorrelazione a due punti per la distribuzione delle temperature in cielo in coordinate angolari (analoga alla delle galassie): B T p~u1 q Cp q T m T p~u 2 q T dove ~u 1 e ~u 2 sono versori delle direzioni 1 e 2 e la media è presa su tutto il cielo per una separazione angolare, come mostrato in figura Calcolando l autocorrelazione media su tutto il cielo per ottenere Cp q esfruttando l ortogonalità delle armoniche sferiche si può dimostrare che Cp q 1 4 F ÿ p2l ` 1q C l P l pcos q l

264 264 Le fluttuazioni della radiazione cosmica di fondo T T ( 1, 1) u 1 T T ( 2, 2) O u 2 Figura 16.5: Geometria per il calcolo dell autocorrelazione tra le fluttuazioni di temperatura a distanza angolare. con C l spettro di potenza delle fluttuazioni di temperatura già visto e pari a C l x a lm 2 y 1 2l ` 1 ÿ a lm a lm P l pcos q è il polinomio di Legendre di ordine l. Per ottenere la relazione tra Cp q e C l si è anche sfruttato il teorema secondo cui ÿ lm Y lmp~u 1 qy lm p~u 2 q ÿ l m 2l ` 1 4 P lpcos q Si noti come, con le procedure seguite e la scelta di considerare solo i C l si perda tutta l informazione sulla fase degli a lm ; in ogni caso se le perturbazioni sono distribuite Gaussianamente, le fasi sono numeri casuali tra e 2. In conclusione, si può scegliere indi erentemente di lavorare con Cp q o C l ; nel nostro caso utilizzeremo i C l. Nel presentare gli spettri di potenza si mostra comunemente non C l ma lpl ` 1qC l Il motivo è che lo spettro di potenza delle fluttuazioni di temperature per uno spettro delle perturbazioni di Harrison-Zeldovich, P pkq9k, è pc l q HZ 9 1 lpl ` 1q pertanto, nei grafici lpl ` 1qC l in funzione di l, le curve orizzontali indicano la presenza di uno spettro delle perturbazioni di Harrison Zel dovich. In generale, è stato dimostrato che se P pkq Ak n allora i C l sono dati da C l 2 n 2 A p3 nq `l ` n 1 2 `l ` 5 n 2 ` 4 n 2 2

265 16.4 Lo spettro di potenza osservato della CMB 265 con funzione Gamma data da con la proprietà che pxq ª 8 px ` 1q t x 1 e t dt Se abbiamo uno spettro HZ, allora n 1 e per la proprietà della Gamma si ha pc l q HZ pxq 8 A lpl ` 1q In conclusione lpl `1qC l è i n d i p e n d e n t e d a l per uno spettro di Harrison Zel dovich delle perturbazioni. Un altro aspetto importante per queste misure è la Cosmic Variance ovvero le deviazioni dal comportamenti uniforme che si hanno su tutto il cielo. La Cosmic Variance comporta che si possano avere valori diversi di C l asecondadicomesifanno le misure, ovvero a seconda delle aree di cielo che si scelgono (non tutti gli esprimenti di misura della CMB sono a tutto cielo!): in ultima analisi è questo il limite più importante per la precisione delle osservazioni, più che lo stesso rumore di misura. Come abbiamo visto prima, C l viene ricavato dagli a lm con m l,..., l eciascun valore di a lm fornisce una stima indipendente di C l. Pertanto abbiamo p2l ` 1q stime indipendenti di C l ; a seguito di questo la precisione con cui C l è n o t o a s e g u i t o d e l l a Cosmic Variance è pc l q C l «ˆ 2 1{2 2l ` 1 quindi c è un limite intrinseco ai bassi l dovuto alla cosmic variance, indipendentemente dagli errori di misura Lo spettro di potenza delle fluttuazioni della CMB: lo spettro di potenza osservato Consideriamo lo spettro di potenza ottenuto dopo i primi 3 anni di osservazioni con WMAP (figura 16.6a). In questa figura si riportano lpl ` 1q C l 2 Dalla figura si nota una chiara evidenza per la presenza di oscillazioni acustiche nello spettro di potenza; la curva rossa rappresenta il modello che fornisce il miglior fit dei dati. I dati (punti con barre d errore) indicano chiaramente la presenza del primo e del secondo picco acustico (da sinistra verso destra ovvero da l più piccoli a l più grandi). Ricordiamo che l corrisponde ad una scala «l ovvero si ha che l è d i r e t t a m e n t e l e g a t o a i k delle perturbazioni come k «l Il primo ed il secondo picco acustico sono a l più bassi ovvero a scale più grandi; per rivelare la presenza del terzo picco acustico occorre combinare i dati di WMAP con quelli vs l

266 266 Le fluttuazioni della radiazione cosmica di fondo Figura 16.6: (a) Spettro di potenza angolare dopo tre anni di osservazioni del satellite WMAP; le misure sono i punti con barre di errore a 1 per 2 l 1. La banda rossa è l incertezza a dovuta alla cosmic variance. La curva rossa è il modello CDM che fornisce il best fit dei dati. (b) Paragone tra i dati di WMAP e quelli di altri esperimenti che si estendono a l più alti. Si noti in (a) e in (b) la scala logaritmica nella rappresentazione dei multipoli l.

267 16.5 L origine delle anisotropie di temperatura della CMB Angular scale D`[µK 2 ] Multipole moment, ` Figura 16.7: Spettro di potenza della CMB ottenuto dal Satellite Planck (dati 213). In figura D l lpl ` 1qC l {2. di altri esperimenti (16.6b) che coprono porzioni piccole di cielo ma con una risoluzione spaziale migliore e che quindi campionano lo spettro su l più grandi (ovvero scale più piccole). La banda rossa nelle figure rappresenta l incertezza dovuta alla varianza cosmica (1 ). Come si vede, le misure di WMAP sono cosmic variance limited fino a l 4; questo significa che è inutile ottenere misure più profonde per l 4 che comunque sarebbero limitate dalla variabilità intrinseca spaziale. Si noti come la varianza cosmica diventi molto grande agli l piccoli ovvero a scale 9 ; il motivo è semplice e risiede nel fatto che l angolo giro e quindi la scala massima campionabile è 36 ; piùcheandiamoal piccoli, più che abbiamo un numero di misure indipendenti minore e quindi siamo più a etti dalla varianza. Infine la figura 16.7 mostra lo spettro di potenza ottenuto dalle ultime osservazioni di Planck. Gli errori di misura sono così piccoli ed il campionamento è su un intervallo di scale così grandi che si riesce ad ottenere lo spettro con un ottimo segnale rumore fino a oltre l 2, osservando tutti i picchi acustici che non sono stati smorzati L origine delle anisotropie di temperatura della CMB Le fluttuazioni di temperatura della CMB sono dovute a 3 contributi principali che sono quindi alla base della forma dello spettro delle perturbazioni: il contributo principale è quello delle fluttuazioni prodotte e amplificate durante la fase inflazionaria che poi evolvono e vengono smorzate secondo i processi fisici

268 268 Le fluttuazioni della radiazione cosmica di fondo visti fino ad ora; nel caso delle fluttuazioni adiabatiche che non subiscono un riprocessamento (es., e etto Meszaros, Silk Damping, Free Streaming, ecc.) si ha direttamente ˆ T 1 b 1 DM T k 3 b 3 DM si è usato il pedice k per indicare le fluttuazioni di temperatura direttamente dovute alle perturbazioni con spettro di potenza P pkq al momento della ricombinazione; e etto Sachs Wolfe ovvero la generazione di fluttuazioni di temperatura a seguito dell uscita dei fotoni dalle buche di potenziale; è una combinazione di redshift gravitazionale e di dilatazione dei tempi che risulta in ˆ T 1 T 3 c 2 SW e etto Doppler, ovvero la generazione di fluttuazioni di temperatura nello spettro dei fotoni che vengono di usi da elettroni in moto nelle buche di potenziale: ˆ T T v c Complessivamente si ha Dopp ˆ T T T ` 1 T k 3 c ` v 2 c Da queste fluttuazioni poi si ottengono i C l ovvero lo spettro delle fluttuazioni di temperatura. Come vedremo più in dettaglio, sulle grandi scale domina l e etto Sachs Wolfe dalle buche di potenziale delle perturbazioni adiabatiche primordiali; sulle scale intermedie si hanno le oscillazioni acustiche di plasma, quindi l e etto Sachs Wolfe dalle buche di potenziale oscillanti è alla base dei picchi acustici osservati oltre, ovviamente, alcontributo dovuto all e etto Doppler; a scale più piccole intervengono gli e etti di smorzamento statistico ed il Silk Damping Grandi scale: l e etto Sachs Wolfe sulle perturbazioni primordiali A grandi scale, 2, le perturbazioni nel last scattering layer sono ancora oltre l orizzonte di particella, pertanto sono congelate nella metrica e contengono ancora le informazioni sullo spettro iniziale delle perturbazioni non ancora processato. Come si vede dalle figure 16.6, 16.7 lo spettro per 2 è c o n s i s t e n t e c o n lpl ` 1qC l costante, ovvero quello che ci aspettiamo dallo spettro di Harrison Zel dovich. A queste scale, l unico e etto da considerare è l e etto Sachs Wolfe sulle perturbazioni primordiali. Avevamo trovato che per le perturbazioni adiabatiche di curvatura come quelle originate dall inflazione e ancora su scala r r H alla ricombinazione si aveva 1 3 b b 1 3 DM DM 1 4 rad rad

269 16.5 L origine delle anisotropie di temperatura della CMB 269 ma, dal momento che rad 4 {ct 4, ne consegue che rad rad 4 T T ovvero basta considerare ˆ T 1 b T k 3 b Questo è il contributo alle fluttuazioni di temperatura direttamente dovuto alle fluttuazioni di densità la cui evoluzione abbiamo studiato fino ad ora; per consistenza con la sezione precedente abbiamo utilizzato il pedice k. I fotoni che escono da queste perturbazioni primordiali sono soggetti all e etto Sachs Wolfe; la prima parte dell e etto Sachs Wolfe è il redshift gravitazionale (nel limite Newtoniano) a cui i fotoni sono soggetti per l uscita dalla buca di potenziale : z grav c 2 T T ricordiamo che il redshift comporta un ra reddamento dei fotoni T e infatti (buca di potenziale più profonda per l aumento della densità). La seconda parte dell e etto Sachs Wolfe è la dilatazione dei tempi, sempre a seguito dell uscita dalla buca di potenziale; t t c 2 gli orologi nella buca di potenziale scorrono più lentamente per cui vediamo la regione quando era più giovane, ovvero più calda; infatti comporta t cioènellabuca di potenziale gli orologi sono in ritardo, ovvero l universo è più giovane e quindi la radiazione più calda ; inoltre, dal momento che a 9 t 2{3 si ha a a 2 3 esiccomet9 a 1 T T a 2 a 3 sommando quanto trovato otteniamo infine t t t 2 t 3 c 2 T T c c c 2 Poichè ilrisultatonettoèquellodi T ovveroifotonisonopiù freddi. Vediamo adesso qual è il valore del potenziale della perturbazione.sappiamoche G M d con d scala della perturbazione; la fluttuazione di massa è M d 3 elafluttuazionedi densità è ˆ con contrasto densità e densità media; ma a e a 3 per cui p aqˆp a 3 q p q a 2 a 2 la dimensione della perturbazione è d d a

270 27 Le fluttuazioni della radiazione cosmica di fondo ovvero G M d Gp a 2 qpd 3 a 3 q d a G d 2 (16.2) ovvero la perturbazione del potenziale gravitazionale è indipendente dell epoca cosmica fintanto che cresce come a; questo è anche il motivo per cui le perturbazioni superhorizon congelate nella metrica crescono come a nell epoca della materia. Possiamo anche usare i risultati dell analisi dello spettro di potenza fatta prima. Per P pkq9k n si ha 9 M pn`3q{6, ovvero dato che M 9 d 3 si ottiene 9 M pn`3q{6 9 d 2 9 d p1 nq{2 9 p1 nq{2 sfruttando il fatto che 9 1{d. pertanto ovvero Le fluttuazioni di temperatura su grandi scale sono T T 1 3 c 2 9 p1 nq{2 T T 9 p1 nq{2 e quindi, per uno spettro di Harrison Zel dovich (n 1), si ha T {T costante ovvero uno spettro di potenza piatto. Quello che si osserva ai piccoli l ovvero alle grandi scale è pertanto consistente con lo spettro di Harrison Zel dovich. Lo spettro di potenza delle fluttuazioni di temperatura fornisce la migliore normalizzazione dello spettro delle perturbazioni di densità su scale molto grandi. Per avere un idea delle scale, 1 corrispondono a d 24 Mpc, ovvero 1 volte più grandi dei più grandi vuoti visti nella distribuzione delle galassie. L e etto Sachs Wolfe descritto fin qui è dovuto solo alle buche di potenziale nello strato di ultimo scattering e si basa in modo cruciale sul fatto che il contrasto di densità cresca linearmente con a: a. Si ricordi inoltre che questo crescita di è esatta solo per 1,. Ovviamente durante il tragitto tra z rec e z ifotoniattraverserannoaltrebuchedi potenziale e saranno quindi soggetti ad un blueshift/redshift gravitazionale a seconda che entrino/escano dalla buca. Però a z più bassi nel modello CDM (, ` 1) non cresce più come a acausadell e etto della dark energy, e questo determina una modifica dell e etto Sachs Wolfe rispetto alla semplice espressione vista prima; pertanto bisogna tener conto dell e etto Sachs Wolfe per ogni intervallo di redshift dz esiparla pertanto di e etto Sachs Wolfe integrato (Integrated Sachs Wolfe, ISW). A z più bassi c è un altro e etto di ordine superiore da tenere in considerazione: quando un fotone attraversa una perturbazione di densità, il blueshift (per l entrata nella buca) ed il redshift (per l uscita dalla buca) non si compensano più perché nel frattempo la perturbazione evolve temporalmente. Tutti questi e etti sono piccoli rispetto al Sachs Wolfe sulla superficie di ultimo scattering, ma devono comunque essere considerati per la precisione ottenuta dalle osservazioni.

271 16.5 L origine delle anisotropie di temperatura della CMB 271 Fig a,b. + Figura 16.8: Oscillazione indotta su un anello di materia nel piano del foglio da onde gravitazionali piane che si propagano perpendicolarmente al foglio: sono mostrati i due modi indipendenti h` (sinistra) e hˆ (sinistra) Le onde gravitazionali primordiali Nel modello inflazionario lo spettro delle perturbazioni iniziali nasce dalle fluttuazioni quantistiche del campo responsabile per l inflazione (espansione esponenziale); questo spettro è predetto essere proprio lo spettro di Harrison Zel dovich. Lo spettro di HZ si riferisce alle perturbazioni scalari, che abbiamo analizzato fino ad ora, ma il campo scalare che dà origine all inflazione determina anche delle onde gravitazionali, ovvero le perturbazioni tensoriali della metrica (gli h ij visti nella metrica 12.1). Poichè la forza gravitazionale è solo attrattiva non esistono onde gravitazionali di dipolo ma solo di quadrupolo. Le onde gravitazionali fanno variare la metrica e quindi la geometria dello spazio; si può dimostrare che le perturbazioni tensoriali (onde gravitazionali) possono essere decomposte in due polarizzazioni indipendenti (modi di oscillazione) in modo analogo alle onde elettromagnetiche ed indicate con h` e hˆ. Queste corrispondono aoscillazionidellospazioinduedirezionia45graditralorocomemostratoinfigura16.8 dove si considera l oscillazione indotta su un anello di materia. Le onde gravitazionali determinano quindi compressioni e rarefazioni della materia in modo analogo alle perturbazioni scalari. Le perturbazioni di potenziale così generate contribuiscono poi all e etto Sachs Wolfe sui fotoni della radiazione cosmica di fondo. Le onde gravitazionali interagiscono con la materia tramite la loro influenza gravitazionale di quadrupolo e portano informazioni dirette sull universo primordiale. Pertanto, se venissero rivelate, fornirebbero una prova diretta del modello inflazionario. Si può dimostrare che le onde gravitazionali si comportano come particelle senza massa (o ultrarelativistiche) con equazione di stato p 1{3" equindihanno c P {c V 4{3. Esattamente come le perturbazioni scalari, le onde gravitazionali sono state gonfiate (inflated) durante l espansione esponenziale a lunghezze d onda " r H ecometalisono congelate nella metrica e conservano il loro spettro di potenza fino all entrata nell orizzonte in epoche molto posteriori. Quando r H entrano nell orizzonte si ha che la loro densità di energia " a 4 equindi,contrariamentealleperturbazioniscalarineiplasmirelativistici che vengono stabilizzate, le onde gravitazionali vengono smorzate adiabaticamente in modo analogo alle perturbazioni della DM.

272 272 Le fluttuazioni della radiazione cosmica di fondo Figura 16.9: Spettro di potenza delle fluttuazioni di temperatura (lpl ` 1qC l ) previsto per le perturbazioni scalari (di densità) e le perturbazioni tensoriali (onde gravitazionali) per un rapporto tensoriali-su-scalari pari a r 1. A noi interessano le fluttuazioni di temperatura generate dalle onde gravitazionali. Queste determinano un redshift o un blueshift dei fotoni analoghi a quelli prodotti dall e etto Sachs-Wolfe. Lo spettro predetto dall inflazione per le onde gravitazionali è invariante sulle scale spaziali ed è simile a n «1 delle perturbazioni scalari. Questa invarianza di scala (tipo spettro HZ) che determina uno spettro piatto delle fluttuazioni di temperatura, si mantiene fino a scale Á 2 (corrispondente a l À 1) ovvero al di sopra del raggio dell orizzonte al momento della ricombinazione, come abbiamo visto per le perturbazioni scalari. Su scale più piccole le perturbazioni sono decadute adiabaticamente per cui la loro ampiezza relativamente alle perturbazioni scalari (che sono stabilizzate dalla radiazione) diminuisce come T a 4 9 S a 3 a 1 9 l 1 e questo andamento è valido per l Á 1. In figura 16.9 si mostra lo spettro di potenza delle fluttuazioni di temperatura (lpl ` 1qC l )previstoperleperturbazioniscalari(didensità) e le perturbazioni tensoriali (onde gravitazionali); la normalizzazione delle perturbazioni tensoriali è fatta in base a r rapporto tra perturbazioni tensoriali e scalari definito come r C lpt q C l psq evalutatoapiccolil; questocoe ciente di normalizzazione è un numero che serve a riscalare direttamente la curva rossa in figura In e etti a grandi l, per quanto visto

273 16.5 L origine delle anisotropie di temperatura della CMB 273 prima si ha, r C lpt q C l psq 9 2 T 2 S 9 l 2 Nel caso in figura 16.9 è s t a t o a s s u n t o r 1dacuisicapiscecomeilcontributodelle perturbazioni tensoriali (di quadrupolo) sia intrinsecamente più piccolo di quello delle perturbazioni scalari. Secondo alcuni modelli inflazionari r dipende dallo spettro di potenza delle perturbazioni con 2 «6p1 nq (16.3) quindi, avendo ottiene T 2 S 2 T, si ha che n 1, anche se di poco. Da misure recenti di Planck si n e questa piccola deviazione dallo spettro HZ potrebbe indicare la presenza delle perturbazioni tensoriali, ovvero delle onde gravitazionali generate dall inflazione Scale angolari intermedie ed i picchi acustici Le oscillazioni acustiche sono attese su scale intermedie S H con H scala dell orizzonte e S scala del Damping di Silk. Le perturbazioni nel plasma radiation-dominated diventano onde acustiche non appena entrano nel loro orizzonte. Abbiamo visto che il primo picco acustico è associato alle perturbazioni sulla scala dell orizzonte sonoro sulla superficie di ultimo scattering. Poichè abbiamo assunto che le piccole perturbazioni siano Gaussiane allora la probabilità di avere un ampiezza per una data scala di massa M è 2 1 P p q? exp 2 pmq 2 2 pmq Le perturbazioni che poi collassano a formare strutture hanno alla ricombinazione, però il fatto che si abbia, o dipende dal numero di oscillazioni che compiono tra l entrata all orizzonte (in cui hanno ampiezza massima) e l arrivo alla superficie di ultimo scattering. L ampiezza delle perturbazioni barioniche dipende pertanto dalla di erenza di fase tra queste due epoche ovvero rec ª trec d ª trec kc s dt ª trec k c c s p1 ` zqdt con k c vettore d onda comovente e t cherappresental entratadellaperturbazione nell orizzonte con fase ; come abbiamo visto la perturbazione entra nell orizzonte con contrasto di densità massimo (se è una compressione) poi comincia ad oscillare. Il primo picco di potenza nello spettro corrisponde alle perturbazioni per cui ª trec d ovvero fluttuazioni che corrispondono a onde con metà lunghezza d onda tra l entrata nell orizzonte e la superficie di ultimo scattering. Abbiamo visto che questo corrisponde

274 274 Le fluttuazioni della radiazione cosmica di fondo Figura 16.1: Contributi principali allo spettro di potenza complessivo (curva nera). In rosso si ha il contributo delle perturbazioni di temperatura/potenziale gravitazionale sullo strato di ultimo scattering e dell e etto Sachs Wolfe da esse generato; in verde c è il contributo dell e etto Sachs Wolfe integrato (dovuto a perturbazioni tra noi e lo strato di ultimo scattering) mentre in blue c è il contributo dovuto all e etto Doppler. a l «25 e che è stato osservato in modo spettacolare già da WMAP. Come abbiamo detto, s, la scala dell orizzonte sonoro sulla superficie di ultimo scattering (approssimando l integrale) è s «s p1 ` zq D c a 3p1 ` Rq 2z 3H 1{2 z r «cz 3H 1{2 Sapendo che s deve corrispondere alle perturbazioni che hanno fatto una sola oscillazione tra l entrata nell orizzonte e la ricombinazione, conosciamo la scala spaziale vera c s t per cui combinando con s misurato dalla posizione del picco s {l possiamo ottenere una stima di D sulla superficie di ultimo scattering e quindi misurare i parametri cosmologici tra cui, principalmente,. Quindi, se k 1 è i l v e t t o r e d o n d a c h e c o r r i s p o n d e a l p r i m o p i c c o a c u s t i c o, i m a s s i m i s i avranno per oscillazioni con di erenza di fase pari a n rispetto a k 1. Però bisogna tener presente che: se n è d i s p a r i s i h a l a m a s s i m a c o m p r e s s i o n e d e l l o n d a c h e c o r r i s p o n d e a d u n m a s s i m o di e quindi ad un minimo della variazione di potenziale ovvero ad una temperatura più calda; se n è pari si ha la massima rarefazione e quindi dei minimi di T ; le perturbazioni con pn ` 1{2q relativamente a k 1 hanno ampiezza e quindi corrispondono ai minimi dello spettro di potenza. z r

275 16.5 L origine delle anisotropie di temperatura della CMB 275 In conclusione, i picchi acustici corrispondono quindi a frequenze tali che!t rec n (abbiamo assunto che l entrata nell orizzonte sia avvenuta per t ) ma sappiamo che! 2 c 2 sk 2 4 G ese s! quindi J (che come abbiamo visto è vero alle scale in cui siamo) si ha! 2 «c 2 sk 2 e!t rec c s kt rec n che, con c s t rec s comporta che i picchi acustici siano a k n n s nk 1 con s scala dell orizzonte sonoro. Pertanto i picchi acustici sono equispaziati per! J (short wave approximation). La separazione tra i picchi è, per n 1, k { s che quindi fornisce un ulteriore stima di s e quindi di una lunghezza sulla superficie di ultimo scattering. Il contributo delle oscillazioni acustiche con i picchi acustici è mostrato in figura 16.1 dalla curva rossa. Vediamo adesso di stimare le ampiezze dei picchi acustici nello spettro di potenza; le oscillazioni acustiche avvengono in presenza delle perturbazioni di DM che continuano acrescereedhannoun ampiezzamaggioredelleoscillazioniacustiche. Perquantosegue, trascuriamo la crescita lenta delle perturbazioni di DM e la variazione di " rad {" m. Ricordiamo che per la crescita delle perturbazioni si ha d 2 dt 2 ` 2 ˆ 9a a d dt p4 G k2 c 2 sq i termini oscillatori sono associati al plasma photon-dominated per cui k 2 c 2 s bk 2 c 2 s mentre il potenziale gravitazionale guida è quello della DM 4 G DM DM 4 G e, se il termine di smorzamento associato all espansione è trascurabile, si ha d 2 b dt 2 ` bk 2 c 2 s 4 G DM DM Le fluttuazioni di temperatura sono legate alle fluttuazioni di densità barionica e, nel caso di perturbazioni scalari adiabatiche, si ha T T 1 3 b b 1 3 b questo termine è detto di monopolo. Si può scrivere d 2 dt 2 ` k 2 c 2 s 4 3 Gp q DM

276 276 Le fluttuazioni della radiazione cosmica di fondo Ricordiamo che equindi g M d 4 Gd2 p 3 q DM d 2 dt 2 ` k 2 c 2 s 1 9 k2 4 Gp 3k 2 q DM notare che il fattore 1{9 èstatoinseritopertenerottenereilrisultatocorrettoafronte della nostra trattazione approssimata. L equazione appena trovata è un equazione di un moto armonico con termine forzante k 2 {9; la sua soluzione è la soluzione dell equazione del moto armonico più una soluzione particolare dell equazione totale. La soluzione particolare è 1 9 c 2 s che è indipendente dal tempo, per le assunzioni fatte fin qui. Allora se! c s k si ha che la soluzione completa dell equazione è ptq A cos!t ` B sin!t 1 9 c 2 s dove si è preso t perl entratanell orizzontedellaperturbazione. Lecondizioniiniziali sono pq e 9 pq; ricordando che c s c a 3p1 ` Rq con R 3 b {4 rad si ha ptq pq`1`r 3c 2 cos!t ` 1 9 pq sin!t 1 ` R kc s 3c 2 Vogliamo la soluzione alla ricombinazione quindi per t t rec ; abbiamo che!t rec kc s t rec k s con s orizzonte sonoro, quindi pt rec q pq`1`r cos k 3c 2 s ` 1 9 pq sin k s 1 ` R kc s 3c 2 queste sono le oscillazioni adiabatiche di temperatura delle onde acustiche nelle buche di potenziale della dark matter. Poichè sono forzate non sono simmetriche rispetto a ma sono spostate a valori positivi a causa del termine forzante negativo p1 ` Rq {c 2. Oltre a queste, bisogna tener conto che la materia delle perturbazioni deve essere in moto e, a causa dell equazione di continuità si ha, d dt ˆ b b d b dt ~r ~v ~k ~v Ma questo moto nelle perturbazioni causa una fluttuazione di temperatura a causa dell e etto Doppler tale che 1 T T v cos c

277 16.5 L origine delle anisotropie di temperatura della CMB 277 queste sono le perturbazioni di dipolo. Partendo da 1 3 b ottengo d b 3 dt 9 epossoriscriverel equazionedicontinuitàcome 3 9 kc 1 ptq allora derivo l espressione trovata per ptq e la valuto alla ricombinazione (!t rec k s ) ottenendo 1 pt rec q 3c s pq`1`r sin k c 3c 2 s 3 9 pq cos k s kc In conclusione, ptq è i l c o n t r i b u t o d i m o n o p o l i a T {T che viene dalle fluttuazioni dovute alle oscillazioni acustiche dei barioni; 1 ptq è i l c o n t r i b u t o d i d i p o l o e d è d o v u t o all e etto Doppler per i moti nelle buche di potenziale delle perturbazioni che causano lo stesso termine di monopoli. Questi sono i principali e etti acustici e di redshift gravitazionale che dominano la formazione primaria delle anisotropie, In ptq ci sono termini in cos k s che corrispondono ai modi adiabatici ovvero quelli che hanno all entratanell orizzontepert ; i termini in sin k s, invece, corrispondono ai modi di isocurvatura. Concentriamoci sui modi adiabatici e trascuriamo quindi i termini in sin k s in e quelli in cos k s in 1 per cui pt rec q pq`1`r cos k 3c 2 s 1 ` R 3c 2 1 pt rec q 3c s c pq`1 ` R 3c 2 sin k s Notare come 1 pt rec q sia più piccolo di un fattore 3c s {c rispetto a pt rec q. Consideriamo adesso il redshift dei fotoni che escono dalla buca di potenziale (e etto Sachs Wolfe): se pt rec q è la perturbazione adiabatica alla ricombinazione quella vista dall osservatore è ˆ T T eff pt rec q`1 3 c 2 ptq pq`1`r 3c 2 cos k s R 3c 2 da notare che è indipendente da t. Questa è la fluttuazione di temperatura e cace. Colleghiamola alla corrispondente perturbazione di Sachs Wolfe quando viene fuori dall orizzonte per t. La fluttuazione di monopoli ptq deve avere una perturbazione di temperatura per il Sachs Wolf pari a ˆ T T eff,t 1 3 c 2 per t, per cui alla fine si ottiene ˆ T 1 T 3 c p1 ` 3Rq cos k 2 s R 3c 2 eff

278 278 Le fluttuazioni della radiazione cosmica di fondo Analogamente, per il termine di dipolo si ottiene ˆ T 1 ptq c s? T 3c c p1 ` 3Rq sin k 2 s Questa soluzione mette in evidenza alcune caratteristiche della soluzione completa ovvero che per R 3 m {4 rad Ñ sihac s Ñ c{? 3 ˆ T 1 T 3 c cos k 2 s e ˆ T T eff 1 3 c sin k 2 s ovvero oscillazioni acustiche nel plasma radiation dominated con e 1 (monopolo e dipolo) che hanno la stessa ampiezza ma sono sfasate di {2. In sostanza, quando non si può trascurare l inerzia dei barioni (R ) si ha che 1. Alla massima compressione k s cos k s, l ampiezza delle T {T osservate è p1 ` 6Rq volte quella dovuta all e etto Sachs Wolfe ( {3c 2 ). Le ampiezze delle oscillazioni sono asimmetriche se R equestospiegaleasimmetrietraimonopolipari edisparivistenellospettro. Considerando tutti gli e etti si ottiene che lo spettro predetto deve essere mediato statisticamente su una distribuzione casuale di onde acustiche e integrato su tutti i k; si devono includere i termini doppler (dipolo) oltre al monopolo; le onde acustiche evolvono in un mezzo in espansione in cui c s e variano nel tempo; si integrano le equazioni di Boltzmann, Einstein e Eulero sullo strato di ultimo scattering quindi, per ottenere accuratezze migliori del % è necessario fare un integrazione numerica. In figura si riporta lo spettro delle fluttuazioni di temperatura della radiazione cosmica di fondo e le sue variazioni con i parametri cosmologici. Nel caso in cui.6 b h 2.5 (in alto a sinistra) si noti l aumento dell ampiezza del primo picco acustico; nel caso in cui.5 h 2.5 (in alto a destra) si noti l aumento di ampiezza e lo spostamento della posizione del primo picco acustico. Infine si noti lo spostamento dello spettro al variare del parametro di curvatura k ` 1in.15 k.15 (basso a sinistra), e l analoga dipendenza da (basso a destra) Piccole scale angolari Sulle piccole scale angolari lo smorzamento (damping) avviene principalmente per due motivi: lo smorzamento statistico che si ha per us con us spessore dello strato di ultimo scattering; posto us N, la perturbazione con scala viene smorzata di un fattore N 1{2 ; il damping di Silk che si nota chiaramente per l 5 negli spettri nelle figure 16.6 e 16.7.

279 16.5 L origine delle anisotropie di temperatura della CMB 279 Figura 16.11: Dipendenza dello spettro di potenza delle fluttuazioni di temperatura dai parametri cosmologici. In questo esempio sono state assunte perturbazioni adiabatiche iniziali con spettro di Harrison Zeldovich. Nei diagrammi in alto si considera un variazione di b in.6 b h 2.5 (sinistra) e in.5 h 2.5 (destra). Nei diagrammi in basso si considera l e etto del parametro di curvatura ( k ` 1) in.15 k.15 (sinistra) e,.9 9 (destra). Un altro e etto di cui bisogna tener conto sulle piccole scale ( arcmin) è l e etto Sunyaev-Zel dovich ovvero la variazione della temperatura dei fotoni della CMB per il passaggio in una regione di gas caldo come quello nel mezzo intracluster degli ammassi; questo determina delle fluttuazioni che non sono legate alla crescita delle perturbazioni. In alcuni casi la diminuzione delle fluttuazioni di temperatura può arrivare a essere dell ordine di T {T 1 4. C è un altro tipo di e etto Sunyaev-Zel dovich dovuto al moto peculiare del gas caldo nel riferimento in cui la CMB è isotropa (ovvero il riferimento della CMB). Questo è cosiddetto e etto Sunyaev-Zeldovich cinematico. Infine, ad un certo livello di sensibilità le misure dello spettro primordiale vengono limitate dalla presenza delle sorgenti discrete che non possono più essere rimosse perché irrisolte dallo strumento (caso confusion limited).

280 28 Le fluttuazioni della radiazione cosmica di fondo Figura 16.12: Smorzamento dello spettro di potenza della CMB a seguito della reionizzazione avvenuta dopo la ricombinazione Il Lensing Gravitazionale Le perturbazioni della radiazione cosmica di fondo vengono alterate dal lensing gravitazionale e ettuato dalle perturbazioni più dense e compatte che si trovano tra lo strato di ultimo scattering e noi La Reionizzazione Dopo la ricombinazione ci sono epoche in cui l universo è neutro, dette Dark Ages ; le Dark Ages hanno termine alla nascita delle prime stelle che conducono alla reionizzazione dell universo: questo significa che c è una profondità ottica finita per scattering Thomson tra noi e lo strato di ultimo scattering. L e etto della presenza di questo non nullo è quello di attenuare le fluttuazioni di temperatura originatesi sulla superficie di ultimo scattering si un fattore pari a e come mostrato in figura Considerato il redshift z acuisihalareionizzazionesitrova che si può ottenere.1 o.2 sez 1 o 2; e questo determina uno smorzamento che può essere misurato nello spettro di potenza delle fluttuazioni. Il parametro, profondità ottica per scattering Thomson tra noi e la superficie di ultimo scattering, è un parametro fondamentale per la formazione delle galassie La polarizzazione della CMB La misura della polarizzazione della CMB è 1 volte più di cile della misura delle fluttuazioni di temperatura sia da un punto di vista teorico che sperimentale.

281 16.6 La polarizzazione della CMB Polarizzazione da parte della superficie di ultimo scattering Il meccanismo per creare la polarizzazione della CMB è sempre lo scattering Thomson della radiazione da parte degli elettroni liberi. Lo scattering Thomson della radiazione da parte di un elettrone libero crea una radiazione polarizzata al 1% quando l elettrone è visto perpendicolarmente alla direzione di propagazione della radiazione. Tuttavia, nel caso della radiazione cosmica di fondo, la distribuzione della radiazione è altamente isotropa e questo porterebbe alla completa cancellazione del segnale polarizzato a seguito dell ultimo scattering con gli elettroni. Anche nel caso di una distribuzione dipolare del campo di radiazione si avrebbe una polarizzazione nulla per la simmetria dipolare del processo di scattering Thomson. L unico modo per avere un segnale di polarizzazione è pertanto quello di avere un campo di radiazione che incide sugli elettroni della superficie di ultimo scattering con una anisotropia di quadrupolo. Supponiamo di avere tale campo di radiazione incidente del tipo ˆ I I «1 ` aµ ` b µ 2 1 8ÿ ` c n P n 3 con µ cos eip n polinomi di Legendre. aµ è i l t e r m i n e d i d i p o l o m e n t r e i l t e r m i n e c o n b è quello di quadrupolo. Se è la profondità ottica per scattering Thomson, integrando su tutti i possibili angoli di incidenza della radiazione si trova che p I k I K I k ` I K.1bµ 2 poichè, nella parte di Rayleigh Jeans dello spettro gli a, b, c n sono tutti indipendenti da. Una polarizzazione non nulla dipende pertanto dall anisotropia di quadrupolo della radiazione incidente prima dell ultimo scattering (termine con b). La radiazione vista da un elettrone nello strato di ultimo scattering è anisotropa a causa dello spostamento Doppler associato al termine di dipolo 1 nell espressione dello spettro di potenza delle fluttuazioni di temperatura: queste risultano in perturbazioni del primo ordine del tipo T {T v{c cos che sono a loro volta la sorgente della distribuzione quadrupolare di intensità. Come abbiamo già discusso, in figura 16.1 in nero è rappresentato lo spettro di potenza totale, in rosso il contributo dell e etto Sachs Wolfe (monopolo), in blu il dipolo (Doppler) mentre in verde c è il contributo dell e etto Sachs Wolfe integrato. La componente Doppler è fuori fase con il monopoli (come visto con e 1 ); il suo spettro decresce per l decrescente in quanto non ci sono oscillazioni coerenti per s. La formazione del segnale polarizzato richiede due scattering Thomson: il primo scattering crea il campo quadrupolare poichè gli elettroni si trovano nella materia in moto ( 1 ); il secondo scattering che avviene per un campo quadrupolare dà infine il segnale di polarizzazione non nullo. Questi due scattering avvengono entrambi nello strato di ultimo scattering. Di conseguenza, il massimo del segnale polarizzato si ha per perturbazioni con scala dello stesso ordine del cammino libero medio dei fotoni nello strato di ultimo scattering. E cruciale che questi processi avvengano solo nello strato di ultimo scattering. Se ci fossero molti altri fenomeni di scattering la polarizzazione sarebbe cancellata, così come avviene prima della ricombinazione. Quindi è il fatto che i fotoni si muovono liberamente a partire dalle superficie di ultimo scattering che determina l esistenza di un segnale di polarizzazione. n 3

282 282 Le fluttuazioni della radiazione cosmica di fondo Come conseguenza il segnale di polarizzazione è anche molto più debole delle fluttuazioni di densità Analisi del segnale di polarizzazione La polarizzazione della radiazione cosmica di fondo può essere analizzata in modo analogo a quanto si fa per le fluttuazioni di temperatura viste nell intensità totale di radiazione. Senza entrare nei dettagli, così come T {T dall intensità totale è espansa in armoniche sferiche, allo stesso modo si può scomporre in armoniche sferiche il tensore di polarizzazione (2 ˆ 2) costruito a partire dai parametri di Stokes Q e U, che descrivono i modi di polarizzazione lineare ortogonali: il tensore di polarizzazione è quindi scomposto in due tipi di componenti, i modi E (curl-free, a rotore nullo, analoghi come comportamento al vettore campo elettrico) ed i modi B (curl-free, a rotore nullo analoghi come comportamento al vettore campo magnetico). E importante notare qui che le perturbazioni scalari ed i modi h` delle onde gravitazionali possono dare origine ai modi E, mentre solo i modi hˆ delle onde gravitazionali possono dare origine ai modi B. Pertanto, venendo adesso alla scomposizione in armoniche sferiche, si considera p T {T q T, fluttuazioni di temperatura nella radiazione totale (T ), ovvero quelle il cui spettro abbiamo analizzato fino ad ora; p T {T q E, fluttuazioni di temperatura nei modi E della radiazione polarizzata; p T {T q B, fluttuazioni di temperatura nei modi B della radiazione polarizzata. Lo spettro di potenza si ottiene quindi a partire dalla cross correlazione dei segnali secondo la relazione già vista B F T Cp q T p~u T 8ÿ 1q T p~u 2l ` 1 2q 4 C l P l pcos q Si indica quindi con Cl TT nell intensità totale Bˆ C TT p q C EE l C BB l l 2 lo spettro di potenza derivato dalla cross-correlazione del segnale T T T ˆ p~u 1 q T T T F p~u 2 q 8ÿ l 2 2l ` 1 4 CTT l P l pcos q è lo spettro dalla cross correlazione dei modi E della radiazione polarizzata Bˆ ˆ F T T 8ÿ C EE 2l ` 1 p q p~u 1 q p~u 2 q T T 4 CEE l P l pcos q E è lo spettro dalla cross correlazione dei modi B della radiazione polarizzata Bˆ ˆ F T T 8ÿ C BB 2l ` 1 p q p~u 1 q p~u 2 q T T 4 CBB l P l pcos q B E B e Cl TE è lo spettro dalla cross correlazione dei modi E della radiazione polarizzata con la radiazione totale T Bˆ ˆ F T T 8ÿ C TE 2l ` 1 p q p~u 1 q p~u 2 q T T 4 CTE l P l pcos q T E l 2 l 2 l 2

283 16.6 La polarizzazione della CMB 283 Figura 16.13: Spettro di potenza delle fluttuazioni di temperatura per la radiazione totale (TT), per i modi E e B della radiazione polarizzata (EE e BB) e per la cross correlazione tra l intensità totale e l intensità della radiazione polarizzata E (TE). I dati si riferiscono all esperimento WMAP che ha potuto determinare solo un limite superiore per i modi B (onde gravitazionali). EEpforeq e BBpforeq rappresentano una stima del segnale creato dalla polarizzazione della radiazione nel percorso tra la superficie di ultimo scattering e noi (principalmente scattering da parte dei grani di polvere nella nostra galassia). BBplensq è invece il contributo da parte del lensing gravitazionale dei fotoni della CMB da parte delle perturbazioni (ammassi, principalmente) tra la superficie di ultimo scattering e noi. Ricordiamo che solo i modi B di polarizzazione sono prodotti unicamente dalle onde gravitazionali (modi hˆ). In figura si confrontano i segnali dello spettro di potenza delle fluttuazioni di I totale (TT) con quelli ottenuti dalla polarizzazione della CMB. Lo spettro di potenza della radiazione polarizzata prodotto dalle fluttuazioni scalari e dalle onde gravitazionali (modi h`)èscompostonelsegnaleeeebb(solomodih`). La curva è la predizione del modello di best fit che spiega anche lo spettro totale TT. TE è lo spettro di potenza della cross correlazione tra I tot e I pol,e ;poichèlai pol,e è s t r e t t a m e n t e l e g a t a a l t e r m i n e d i d i p o l o i n I tot, il segnale di dipolo e di polarizzazione sono più strettamente correlati del segnale EE con se stesso. La componente polarizzata è circa 9 fuori fase con il monopolo dominante per cui lo spettro di potenza della cross-correlazione ha il doppio dei minimi rispetto a TT

284 284 Le fluttuazioni della radiazione cosmica di fondo o EE. Le righe tratteggiate nella TE predetta mostrano le regioni dello petto anticorrelate: il segnale anticorrelato tra l 6 e 2 è caratteristico delle perturbazioni primordiali adiabatiche. Per l 1 l aumento del segnale polarizzato è legato alla reionizzazione del gas intergalattico a cui abbiamo accennato prima e che avviene a partire da z Onde gravitazionali primordiali Come abbiamo visto, il segnale di polarizzazione può essere decomposto in una componente E associata alle perturbazioni scalari ed ai modi h` delle onde gravitazionali ed in una componente B associata ai hˆ. Quindi, mentre le componenti di tipo E possono essere generate sia da perturbazioni scalari che tensoriali, quelle di tipo B possono essere generate solo da perturbazioni tensoriali (onde gravitazionali). Tornando alla figura BB rappresenta lo spettro di potenza del segnalepolarizzato associato ai modi B delle onde gravitazionali (hˆ); nel caso in figura il modello è calcolato per un rapporto primordiale r 2 T { 2 S.3. Si noti come questo sia consistente con l upper limit trovato da WMAP ha trovato solo un upper limit (barretta e freccia verticale blu in figura attorno a l «4). BB (lens) rappresenta il segnale di tipo B associato al lensing gravitazionale dei modi E (non entriamo in dettaglio). EEpforeq e BBpforeq rappresentano il contributo di foreground alla polarizzazione dovuto alla radiazione di sincrotrone ed all emissione della polvere galattica, la cui sottrazione è critica per rivelare le onde primordiali; EEpforeq influenza le perturbazioni scalari e tensoriali mentre BBpforeq solo quelle tensoriali. Molto recentemente l esperimento BICEP2 (radiotelescopio in Antartide) potrebbe essere riuscito a misurare il segnale dei modi B. BICEP2 ha osservato una regione di cielo molto piccola ( 5 RA 5, 68 DEC 47 ) ottenendoilsegnale della CMB in intensità totale (T )eneiparametridistokesq e U (figura 16.14). Le mappe di polarizzazione nei modi E e B successivamente ottenuti sono riportati in figura 16.15: come si nota confrontando le osservazioni (colonna di sinistra) con le predizioni del solo lensing gravitazionale nel modello CDM, è chiaramente presente del segnale B in eccesso. Questo segnale contiene sia la polarizzazione di foreground (di origine galattica) sia, eventualmente, quella dovuta alle onde gravitazionali. Dopo aver corretto per la polarizzazione di foreground, si ottengono i risultati indicati in figura da cui si evince che r.2`.7.5 con r fuoridi7 dal best fit; le osservazioni sono ottimamente fittate con un modello CDM (con lensing) in cui i modi B sono dovuti ai modi hˆ delle onde gravitazionali. Questo risultato sembra indicare che finalmente sono state rivelate le onde gravitazionali predette dal modello inflazionario (in realtà il valore di r ottenuto molto alto rispetto a quanto atteso da gran parte dei modelli inflazionari); tuttavia non bisogna dimenticare che un punto critico di tutta l analisi è la stima del contributo dovuto alla polarizzazione di foreground, ancora piuttosto incerto. Era pertanto necessario attendere il rilascio dei dati di polarizzazione di Planck per avere la conferma o il rigetto dei risultati di BICEP2. Questi hanno poi mostrato come il segnale visto da BICEP2 sia in realtà un residuo del segnale di polarizzazione dovuta alla polvere galattica. L analisi combinata dei dati di BICEP2 e Planck ha poi posto fine alla questione determinando il limite superiore a r, pariar.12 al 95% di livello di confidenza. In conclusione, quella che è stata indicata come la smoking gun del modello inflazionario deve ancora attendere un po prima di essere confermata (o rigettata) definitivamente.

285 16.7 Determinazione dei parametri cosmologici 285 T signal T jac Q signal Q jac U signal U jac Declination [deg.] Right ascension [deg.] 5 5 Figura 16.14: Mappe di intensita cosmica di fondo shows ottenute BICEP2: FIG. 1. BICEP2 T, della Q, Uradiazione maps. The left column thedabasic signal maps with intensita totale T (alto) e parametri di Stokes Q e U. reduction pipeline. The right column shows difference (jackknife) maps made with the fir No additional filtering other than that imposed by the instrument beam (FWHM.5 ) ha seen in the Q and U signal maps is as expected for an E-mode dominated sky Determinazione dei parametri cosmologici To construct constrained Q and U sky maps which re- so that the T map mo where the C s are CDM spectra from CAMB [76] with cosmological parameters taken from Planck [9], and the n m are normally distributed complex random numbers. Lensing is added to the lenspix [77] softw generate lensed versio Come visto fino ad ora, dello spettro di potenzawe della CMB si possono ottenere spect the dall analisi known CDM T E correlation start from a expect to see with BIC vincoli molto map importanti molti parametri cosmologici. Tuttavia specifi risultati piu imporof the per well-measured temperature anisotropy, is used in Sec. IV F to tanti si ottengono molte osservazioni indipendenti e/o di natura diversa tra icallycombinando the Planck needlet internal linear combination Additionally, we add i T cui, ad esempio, le misure delle Supernovae di tipo Ia e la funzione di correlazione spaziale (NILC) T map [73]. We calculate the a m using the synpredicted by the noise delle galassie.fast software from the healpix [74] package [75], and map, which allows us t E Per far cio,then e prima necessario calculate setsstabilire of a m quali usingsono i parametri da considerare nel ualcalcolo due to noise in the dei modelli e quindi dello spettro della CMB, della prq per le galassie, delle DL pzq per le supernovae ecc. I parametri principali utilizzati ed il loro significato sono indicati in C T E riconoscere T T E )2 /C gia T T nvisti fin (1) tabella 16.2, in cuiaesi possono tutti i (C parametri qui. In piu c e la a m + C EE 2. Le m = m TT C frazione dei neutrini massicci fn (particelle la cui esistenza non e ancora stata accertata),

286 286 Le fluttuazioni della radiazione cosmica di fondo 11 Simulation: E from lensed ΛCDM+noise BICEP2: E signal 1.7µK 1.7µK µk Simulation: B from lensed ΛCDM+noise BICEP2: B signal.3µk µk Declination [deg.].3µk Right ascension [deg.] FIG. 3. Left: BICEP2 apodized E-mode and B-mode maps filtered to 5 < < 12. Right: The equivalent maps for the first Figura 16.15: Modi E e B del segnale polarizzato ottenuti dall analisi dei parametri of the lensed- CDM+noise simulations. The color scale displays the E-mode scalar and B-mode pseudoscalar patterns while the linesq display equivalent magnitude and orientation of linear polarization. Note that excess B mode is c e detected over di Stokes e Utheriportati nella figura precedente; nella colonna di sinistra il segnale lensing+noise with high signal-to-noise ratio in the map (s/n > 2 per map mode at 7). (Also note that the E-mode and osservato il risultato di una simulazione nel modello CDM in B-mode nella maps usecolonna different colordianddestra length scales.) cui e presente solo l e etto del lensing gravitazionale con l aggiunta di rumore (nella the observed valueciagainst distribution of the simusimulazione non sonothequindi onde gravitazionali). E chiaramente presente delχ2 segnale Bandpowers 1 5 χ2 Bandpowers 1 9 lations. 6 6 B in eccesso a quanto atteso per il solo lensing gravitazionale. We evaluate these statistics both for the full set of 5 5 nine band powers (as in C1 and B14), and also for the 4 4 lower five of these corresponding to the multipole range of greatest interest (2 < < 2). Numerical values are given in Table I and the distributions are plotted in ACKNOWLEDGMENTS in Q and U over an effective area of 38 square deg BICEP2 CBI Fig. 4. Since we have 5 simulations thetominimum ob- law Planck+WP+highL To fully exploit this unprecedented sensitivity we have chrotron have a power spectrum D BICEP1 Boomerang.4 1 analysis.6 BICEP2 was supported by the U.S. National expanded our analysisfiducial pipeline in several ways. We have QUAD DASI Planck+WP+highL+BICEP2 servable nonzero value is.2. Most of the T T, T E, and [23], with free amplitude A1sync, where Async is Science 1 Y1xY2 1 QUIET Q WMAP.9 Foundation under Grants No. ANT and ANTadded an additional filtering of the time stream using a the amplitude at = 8 and at 15 GHz, and scalno 217GHz TQUIET W B jackknifes pass, but following C1 and B14 we omit CAPMAP (Caltech and Harvard) and ANT and 3.3 BKxBK&BKxP353 template temperatureonly map (from Planck) to render the.8 with frequency according to. In such a.3 are not them from formal consideration ing (and they in- and bandpowers 1 ANT (Chicago The develop- 1 results Minnesota)..5 insensitive.5 to 9Inc. temperature to polarization leakscenarioment we can vary the degreedetector of correlation that 1.7 EE (EE/BB=2) of antenna-coupled technology was supcluded in the table and figure). The signal-to-noise ratio relax β prior age caused by leading order beam systematics. In addid is assumed between and synchrotron skydevelop.6 ported by the the JPLdust Research and Technology Gauss det in T T is 14 so tiny differences patterns. in absolute calibration tion we have implemented a map purification step that.2 Figure shows results for the uncorre-1 5 Bandpowers Bandpowersalt.1 9 χ model ment Fund 8and Grants No. 6-ARPA26-4 and χ1hl fid..5 1 eliminates ambiguous modes prior to B-mode estimabetween the data subsets can cause jackknife lated and fullyfailure, correlated cases. over 6Marginalizing 6 SAT1-17 fromand the NASA APRA and SAT programs..4 These deprojection and purification steps are both tion. and testingµk of2 focal planes were supandta wedevelopment find Async <.3 at 95% conthe same is true to a lesser extentrfor EThe T B. Even d and straightforward extensions of the kinds of linear filtering and 5 3 the Gordoncase, ported by Bettymany Moore Foundation fidence for the1 uncorrelated times 1 in EE the signal-to-noise is approaching (5 in and operations that are now common in CMB data analysis. at Caltech. ReadoutThis electronics were supported by a.2.2 g smaller for the correlated. last is because once n i = the r 11 lebin) and in fact most of the low Foundation values infor Innovation 4 4 power spectrum results are consistent with lensedns to UBC. The The one has Canada a detection of dust it effectivelygrant becomes.1 receiver was supported in part by a grant signalcdm with one striking exception: the detection of a. development 1 the table are in EE. However, with a maximum for the synchrotron. This synchrotron 1 1 < 1 a template 3 3 excess in the BB spectrum in the from thedifferences W.M. Keck Foundation. The computations in large range where to-noise ratio ofmultipole 1 in BB suchlimit calibration is driven by were the Planck 3 GHz obthis paper run on the Odyssey cluster supported by ns band we r an inflationary gravitational wave signal is expected to are not a concern. All the BB (and EB) jackknifes are tain almost identical when only thisgroup at 2 adding 2 the FAS Scienceresults Division Research Computing peak. This excess represents a 5.2 excursion from the FIG. 14.seen BICEP2 BB auto spectra upper limits band, and a much softerone limit noteffort including it. to pass, with theand 11295% numbers in Table I having Harvard University. Thewhen analysis at Stanford and base1 lensedcdm model. We the havedata conducted a wide sefig. 7. Likelihood results when varying sets used from several previous experiments [2, 4, 42, 43, 47, 49 51, 3. 1 by SLAC is partially supported the U.S. of If.2 we and instead assume synchrotron scaling of Department greater than.99, one less than.1 a distribution 16]. The curves show the theory expectations for r = and the model priors see III C which for details. of jackknife indicate that the B-mode Figura 16.16: Sinistra: i sample punti neri con errori rappresentano lolection spettro disectests potenza delle FIG. Indirect ondoubled r from CMB temperature Energy Office of constraints Science. Tireless administrative supthe the limit on13. Async isstatisapproximately for the and lensedcdm. The with BICEP2 uncertaintiesnote includethat signal is common on the sky in all data subsets. These consistent uniform. four test spectrum measurements in the context of various model port was by relax Irenefor Coyle and Kathy Deniston. BB variance on an r =.2 contribution. uncorrelated caseprovided and reduced correlated. the.5 curve 1 testsoffer.5 1 mostrong empirical evidence against a systematic fluttuazioni osservato dajackknife BICEP2 nei modi ); le rappresentano il extensions. Shown here is (C one following tics for each spectrum and are this Wecorrelated thank the staff ofb the U.S. example, Antarctic Program Planck and rosse 7 l (Because the DS123,DS2 data-split isrunning not available 1 origin for the signal. XVI [9] Fig. where tensors of the scalar specno Sync in particular the South Pole and Station without whose help be taken whencon assessing uniformity. 2 6 for thetral bandstowe to Y1model. Y2 for +Sync uncorr. index LFI are added theswitch base contributo CDM The contours dellomust di best fit into peraccount r.2 ilplanck corrispondente del lensing gravitazionale. Gli 2 1 L/Lpeak r.2 l(l+1)cbb /2π [µk2] l l=8 & 353GHz [µk ] FIG. Distributions of the jackknife and PTE values extensive simulations In+Sync addition, we have conducted this research would not have been 4. possible. We thank all 1% corr on the tensor-to-scalar ratio and find r =.2+.7 with variant this and so we compare thisbicep show theanalysis, resulting 68% and 95% confidence regions for.8 rthree and spectra.5 we those who havemaps contributed past efforts totests the using high fidelity per 5channel beam maps. These conover the 14to and given in Table I. These To form the jackknife spectra difference the r = ruled out at a significance of 7., with no case fore- inthe scalar spectral index n when also allowing running. The Fig. 8 rather than the usual fiducial case.) s Keck Array series of experiments, includingare the consistent BICEP1 firmuniform. our understanding 4of the beam effects, and that after distributions with.6 from Multiple the twolines halves of the suggest data split, divide by two, ground made subtraction. of evidence redand contours are for the Planck+WP+highL data combikeck Array teams. We thank all those in the asdeprojection of the two leading order modes, the residual that theand contribution foregrounds (which will nation, which forspecthis model extension gives a 95% bound take theofpower spectrum. This holds the power lower Varying lensing amplitude: thecontributed fiducial analtrophysics community whoin have feedback on is far below the level of3 the ssignal which we observe..4 the favored value of r) is subdominant: (i) directwhich pro- the ris <.26 [9]. preprint Theofblue add the BICEP2 the public this paper, and particularly two trum amplitude of a contribution uncorrelated inofcontours ysis amplitude the lensing effect is held constraint n2 sthat the signal is real and on Having demonstrated jection of the available foreground models using typical onanonymous r shown inreferees the center panel of Fig. 1. See the text for for their(adetailed and constructive fixed at the CDM expectation s if it may be due to.2 L = 1). Using the sky we proceeded 1to investigate model assumptions, (ii) lack of strong cross-correlation of further details. recommendations. Thisthe work wouldcollaboranot have been postheir own and other data, Planck foreground contamination. Polarized synchrotron emisthose models against the observed sky pattern (Fig. 6), sible without the late Andrew Lange, whom we sorely a limit on the amplitude of the lens(iii) the frequency spectral index of the signal as tion con- quote sion from is estimated using.1.2 our galaxy to be 3 negligible 4 miss. l=8 & 15GHz [µk2] 4 r the are CDM of ALshown = in that strained using BICEP1 data at 1 GHz (Fig. 8),ing andeffect leaseversus [14] (and thus expectation identical to those low frequency polarized maps from WMAP.x 1For polar(iv) the power spectral form of the signal and its appar.99 ±Planck.5 [3]. Allowing ALapply to float freely, sampling and paper). We then importance [15] ized dust emission public maps are not yet available. We ent spatial isotropy (Figs. 3 and 1). using to allthese nine chains bandpowers, wer likelihood obtain FIG. Likelihoodinvestigate results foraanumber fit whenofadding the lower using our as results shown in Fig. 18. therefore commonly used models Note added the frequency bands Planck,uses andinformation extending the model to inshowntoin derive Fig. 9 there only weakfor degeneracy Subtracting the various dust models at their default the blueiscontours, which theberunning paand oneof which which is currently officomponent. The results for two differ- values parameter values and re-deriving the r constrainttween still rameter to dn k =information.28.9 AL Since and constraint both r andshifts Ad.this Marginalizing over r ±clude cially available from Planck. At default parameter s /d ln we submitted paper new on a synchrotron ent assumed degrees of correlation between the dust and synresults in high significance of detection. As discussed and A(68%). we find Adust 1.13 ±.18 a likelihood these models predict auto spectrum power well below our has with become available from the d polarized L = emission chrotron patterns are compared those for theare compaabove, one possibility that cannot be ruled out is a larger 11 Planck experiment in13aof series oftopapers [17 11]. The point of Fig. is 3not1 endorse running as the sky observed level. However, to these models not yet well ratio between zero and peak. Using the While than anticipated contribution from polarized dust. Given correct rable model without synchrotron (see text for details). these confirm that the modal polarization fraction of dust explanation ofbthe deficittoofa low T T constrained by external public data, which cannot emexpression given in Sec. III thisobserved corresponds the present evidence disfavoring this, these high values 12fractions is 4%, there is a long tail to as high as 2% power. It is simply to illustrate one example of a simpirically exclude dust emission bright enough to explain smaller-than probability of 2 1, equivalent to of r are in apparent tension with previous indirect limits Fig. 7extension of [17]). There is also trend to higher pomodel standard CDM+tensors the entire excess signal. In the context of the DDM1 7. ple(see detection of lensingbeyond in the BBa spectrum. based on temperature measurements and we haveadislarization fractions in regions of lower total between dust emission curves, with the result for the data fromsignal Fig. 6would over- require which can resolve the apparent tension previmodel, explaining thereal entire excess We note[see thisfig. is 18 theofmost significant to-date direct cussed some possible resolutions including modifications [17] noting that the BICEP2 field has a As expected, 5% ofspectrum the r liket T measurements and the2 direct 2evidence forplotted. tenincreasing the approximately predicted dust power by 6, for of the initial scalar perturbation spectrum such as measurement run- ous lensing columnofdensity of in(1b-mode 2) 1 polarization. H cm ]. We note that lihoods peak above The the median 95%uniform upper limit provided by our B-mode measurements probably example byzero. increasing assumed polarization ning. However, we emphasize that we do not claim to sors these papers restrict their analysis to regions of the sky is r <.75. Weinfind the(arealizations have there are others. Of course, one mightand alsowhere speculate fraction our that field 8% fromof5% typical value) to 13%. know what the resolution is, if one is in fact necessary. where systematic uncertainties are small, the aex-ratio LNone /Lpeak the.38 in cross-correlation the real tension couldtotal be reduced within the this standard of less thesethan models showobserved significant dustthe signal dominates emission, and that Figure 14 shows the BICEP2 results compared to pre- that model, for includes examplethe if BICEP2 or otherregion. paramwith our maps this in may beiii interpreted data, in agreement with(although the estimate Sec. B. Run- simply cludes 21% of the sky that vious upper limits. We have pushed into a new regime ofiv. CDM+tensors s theseasdust-only LIKELIHOOD were allowed tovalidation shift. a broad range due to limitations of the ning realizations formodels). BICEP2 only and Thus while these papers do We not anticipate offer definitive informasensitivity, and the high-confidence detection of B-mode eters possibilities explored. on the level dust contamination in our field, they polarization at degree angular scales brings us to an ex- of tion Keck Array Taking only, we findspectra that the shift in maximum cross against 1the GHz maps from BItwillitofbe simulations suggest thatwith may well be higher than any of likelihood the citing juncture. If the origin is in tensors, as favored by A.do Validation CEP1 significant set a6 constraint valuewe of find r seen in the correlation real data and in Fig. is models considered in Sec. IX. the evidence presented above, it heralds a new era of Bthe spectral of the B-mode excess consistent exceeded on in about 1% ofindex the simulations. mode cosmology. However, if these B modes represent In addition XII. there has been extensive discussion of CONCLUSIONS with CMB and disfavoring dust by 1.7. The fact that We run the algorithm used in Sec. III B on ensembles of The above simulations assume that the dust compoevidence of a high-dust foreground, it reveals the scale of our preprint in the cosmology community. Two.42 correlate with the on BICEP1 and ArrayDmaps cross simulated realizations to check We first emisnent follows average thekeck fiducial spatial the challenges that lie ahead. preprints [111, 112] its lookperformance. at polarized2 synchrotron altri punti rappresentano gli upper limit da tutti gli altri esperimenti precedenti. Centro: contorni di confidenza (68% e 95%) per la misura del parametro r (ordinata) e n (ascissa), pendenza dello spettro di potenza delle fluttuazioni primordiali (P pkq 9 k e n 1 nel caso dello spettro di Harrison Zel dovich). Planck+WP+highL rappresenta i vincoli dai dati combinati di Planck, WMAP (polarizzazione a bassi l - WP) e degli esperimenti at alto l ACT e SPT (highl). Senza i dati di BICEP2 si ha solo un limite superiore per r. Destra: distribuzione di probabilita per r dopo l analisi combinata dei dati di BICEP con Planck; le varie curve corrispondono a diverse possibilita seguite nell analisi. Alla fine risulta che r.12 al 95% di confidenza. l ampiezza dello spettro di potenza delle fluttuazioni scalari A, la pendenza dello spettro di potenza delle fluttuazioni tensoriali n (onde gravitazionali) e un parametro che descrive BICEP2 is powerful furtherit evidence againstmansystematics. We where have described observations, data consider a model r = and the Ad = 3.6 µk, this lat-reduction, power law, and fluctuates around in a Gaussian simulation, and favored power spectrum analysis of all three sea-to obtain An sample economical interpretation of may the deviate B-mode signal ter being close to the value by the data in a dustner. dust sky patterns that sons of data taken by the BICEP2 experiment. po-this which we have detected is that it is largelyreality, due to tensor only scenario [45]. We generate Gaussian random real- The from behavior in a way which better reflects