Management Sanitario. Modulo di Ricerca Operativa 2 a lezione: un problema di assegnamento
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- Raimondo Brescia
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1 Management Sanitario per il corso di Laurea Magistrale SCIENZE RIABILITATIVE DELLE PROFESSIONI SANITARIE Modulo di Ricerca Operativa 2 a lezione: un problema di assegnamento Prof. Laura Palagi palagi Dipartimento di Ingegneria informatica automatica e gestionale A. Ruberti Sapienza Università di Roma Via Ariosto 25
2 Cosa è un modello Il termine modello è usato per definire una rappresentazione di un oggetto o di un fenomeno, che corrisponde alla cosa modellata per il fatto di riprodurne alcune caratteristiche o comportamenti fondamentali (wikipedia), di solito usato per evidenziare proprietà specifiche di oggetti reali. modelli concreti: ad esempio i prototipi (di aerei o automobili),
3 Cosa è un modello Il termine modello è usato per definire una rappresentazione di un oggetto o di un fenomeno, che corrisponde alla cosa modellata per il fatto di riprodurne alcune caratteristiche o comportamenti fondamentali (wikipedia), di solito usato per evidenziare proprietà specifiche di oggetti reali. modelli concreti: ad esempio i prototipi (di aerei o automobili), modelli matematici costruiti usando il linguaggio e gli strumenti della matematica.
4 In alcuni casi le situazioni in esame sono talmente complesse e le dimensioni talmente elevate da rendere difficile o troppo costoso l uso di modelli analitici. modello di simulazione utilizzo di un calcolatore per costruire un modello che permetta di replicare le caratteristiche del problema reale in esame. Questi modelli hanno la differenza fondamentale rispetto ai modelli analitici di utilizzare il calcolatore non solo come strumento di calcolo, ma anche come strumento per rappresentare le realtà. Non li tratteremo in questo corso.
5 I modelli matematici Rappresentano la realtà attraverso variabili e relazioni logico - matematiche e descrivono in modo semplificato, ma rigoroso, i fenomeni del mondo reale che si vogliono considerare. Perché un modello matematico? obbligo ad un analisi per cogliere gli aspetti essenziali e significativi di un problema possibilità effettuare un analisi di tipo What if...? e quindi di valutare fuori linea leffetto delle scelte possibilità di individuare la miglior soluzione anche quando le possibili scelte sono molte
6 Alcuni esempi applicativi economico gestionali pianificazione della produzione: determinare i livelli di produzione e/o lutilizzazione di risorse; ad es. allocazione ottima di risorse = distribuzione di risorse limitate tra alternative concorrenti in modo da minimizzare il costo o massimizzare il guadagno 1. allocazione di letti ai reparti per specializzazione
7 Alcuni esempi applicativi economico gestionali pianificazione della produzione: determinare i livelli di produzione e/o lutilizzazione di risorse; ad es. allocazione ottima di risorse = distribuzione di risorse limitate tra alternative concorrenti in modo da minimizzare il costo o massimizzare il guadagno 1. allocazione di letti ai reparti per specializzazione gestione ottima delle scorte: decidere quando e quanto, durante un processo produttivo, si devono immagazzinare prodotti in modo da rispettare le consegne minimizzando i costi. 1. gestione dell acquisizione di farmaci ospedalieri
8 Alcuni esempi applicativi economico gestionali pianificazione della produzione: determinare i livelli di produzione e/o lutilizzazione di risorse; ad es. allocazione ottima di risorse = distribuzione di risorse limitate tra alternative concorrenti in modo da minimizzare il costo o massimizzare il guadagno 1. allocazione di letti ai reparti per specializzazione gestione ottima delle scorte: decidere quando e quanto, durante un processo produttivo, si devono immagazzinare prodotti in modo da rispettare le consegne minimizzando i costi. 1. gestione dell acquisizione di farmaci ospedalieri project planning: decidere come gestire le risorse e come sequenziare le molteplici attività di un progetto. 1. programmazione delle sale chirurgiche
9 progettazione di reti e loro gestione: definire i collegamenti e dimensionare le capacità di una rete stradale, di telecomunicazione, di trasmissione dati, di circuiti, in modo da garantire il traffico tra le varie origini e destinazioni e minimizzare il costo complessivo; 1. Nurse path
10 progettazione di reti e loro gestione: definire i collegamenti e dimensionare le capacità di una rete stradale, di telecomunicazione, di trasmissione dati, di circuiti, in modo da garantire il traffico tra le varie origini e destinazioni e minimizzare il costo complessivo; 1. Nurse path determinazione dei turni del personale: coprire una serie di servizi rispettando i vincoli di contratto aziendale e minimizzando i costi
11 progettazione di reti e loro gestione: definire i collegamenti e dimensionare le capacità di una rete stradale, di telecomunicazione, di trasmissione dati, di circuiti, in modo da garantire il traffico tra le varie origini e destinazioni e minimizzare il costo complessivo; 1. Nurse path determinazione dei turni del personale: coprire una serie di servizi rispettando i vincoli di contratto aziendale e minimizzando i costi manutenzione di beni: decidere quando e se effettuare la manutenzione di alcuni oggetti soggetti ad usura, in modo da minimizzare il costo complessivo.
12 instradamento di veicoli: decidere quali percorsi devono seguire i veicoli di un flotta (ad esempio di automezzi adibiti alla raccolta dei rifiuti o alla distribuzioni di prodotti ad una rete di negozi) in modo da minimizzare la distanza complessiva percorsa; 1. trasporti sanitari: la definizione dei percorsi degli automezzi che prelevano i pazienti che devono subire dei trattamenti medici
13 instradamento di veicoli: decidere quali percorsi devono seguire i veicoli di un flotta (ad esempio di automezzi adibiti alla raccolta dei rifiuti o alla distribuzioni di prodotti ad una rete di negozi) in modo da minimizzare la distanza complessiva percorsa; 1. trasporti sanitari: la definizione dei percorsi degli automezzi che prelevano i pazienti che devono subire dei trattamenti medici Misura di efficienza di unitá operative: 1. Reparti ospedalieri
14 instradamento di veicoli: decidere quali percorsi devono seguire i veicoli di un flotta (ad esempio di automezzi adibiti alla raccolta dei rifiuti o alla distribuzioni di prodotti ad una rete di negozi) in modo da minimizzare la distanza complessiva percorsa; 1. trasporti sanitari: la definizione dei percorsi degli automezzi che prelevano i pazienti che devono subire dei trattamenti medici Misura di efficienza di unitá operative: 1. Reparti ospedalieri localizzazione e dimensionamento di impianti: decidere dove installare impianti di produzione in modo da rifornire in modo ottimale aree distribuite su un territorio
15 Problemi di economia e finanza scelta di investimenti: scegliere fra un vasto numero di possibilità di investimento rispettando i vincoli imposti da un budget finanziario e massimizzando il guadagno;
16 Problemi di economia e finanza scelta di investimenti: scegliere fra un vasto numero di possibilità di investimento rispettando i vincoli imposti da un budget finanziario e massimizzando il guadagno; composizione di un portafoglio: decidere quali titoli e con quali quote investire capitali in modo da massimizzare il ricavo o minimizzare il rischio;
17 Problemi di economia e finanza scelta di investimenti: scegliere fra un vasto numero di possibilità di investimento rispettando i vincoli imposti da un budget finanziario e massimizzando il guadagno; composizione di un portafoglio: decidere quali titoli e con quali quote investire capitali in modo da massimizzare il ricavo o minimizzare il rischio; Problemi di revenue management (lett. Gestione del ritorno economico ) 1. in una azienda caratterizzata da varietà di servizi e di prezzi, domanda variabile nel tempo, stabilire quanti e quali servizi vendere avendo incertezza sulla domanda futura, allo scopo di massimizzare il profitto globale. 2. compagnie di trasporto aereo, ferroviario, marittimo, catene alberghiere e di noleggio auto.
18 Programmazione Matematica In questo corso tratteremo problemi di Programmazione Matematica.
19 Programmazione Matematica In questo corso tratteremo problemi di Programmazione Matematica. In questo contesto il termine programmazione non deve essere inteso nel senso di di costruzione di programmi per il calcolatore, seppur il calcolatore elettronico sia uno strumento indispensabile per risolvere problemi di Programmazione Matematica.
20 Programmazione Matematica In questo corso tratteremo problemi di Programmazione Matematica. In questo contesto il termine programmazione non deve essere inteso nel senso di di costruzione di programmi per il calcolatore, seppur il calcolatore elettronico sia uno strumento indispensabile per risolvere problemi di Programmazione Matematica. I problemi di Programmazione Matematica rappresentano problemi decisionali con un solo decisore, un solo obiettivo che rappresenta il criterio di scelta tra le diverse alternative deterministici, ovvero i dati si considerano cert non affetti da stocasticit.
21 Altre classi di problemi Si tratta ovviamente di ipotesi siemplficative, ma che consentono di modellare molte situazioni di interesse in contesto di management sanitario. Possibili estensioni sono: i problemi con più decisori (in competizione ) che sono oggetto di studio nella Teoria dei Giochi; Problemi con più obiettivi (in conflitto) che rientrano nell Ottimizzazione a molti obiettivi; i problemi di ottimo in cui i dati sono soggetti da incertezze caratterizzabili in modo probabilistico che rientrano nella Programmazione Stocastica.
22 Programmazione matematica Sono modelli con una struttura di questo tipo Ottimizza obiettivo restrizione 1 restrizione 2. restrizione m in cui obiettivo rappresenta il crierio di scelta individuato e restrizione-1,...,restrizione-m rappresentano le limitazioni alle scelte. Si tratta di relazioni matematiche che legano i parametri del problema con le possibili scelte decisionali. La parola Ottimizza sta a indicare che si vuole individuare la scelta che consente di ottenere il miglior valore dell obiettivo.
23 Programmazione matematica Per introdurre una simbologia matematica, le possibili scelte, leve decisionali sono spesso indicate con la lettera x e l obiettivo e le restrizioni sono funzioni matematiche che dipendono da x. La funzione obiettivo è spesso indicata con f (o f (x) per indicare la dipendenza dalle variabili decisionali). Inoltre la parola ottimizzare può essere declinata come massimizzare, se il criterio di scelta rappresenta un vantaggio (ed es. profitto) oppure minimizzare, se il criterio rappresenta uno svantaggio (ad es. un costo). Le restrizioni sono espresse in forma di uguaglianza o disuguaglianze. Una volta ottenuto un modello matematico, la RO si dedica alla definizione di metodi matematici efficienti (algoritmi di soluzione) per determinare una soluzione.
24 Ma algoritmo che vuol dire? Un insieme di istruzioni elementari che eseguite (su calcolatore) consentono di determinare la soluzione di un problema in un tempo finito La scelta dell algortimo da utilizzare dipende dal tipo di problema che necessario risolvere. Il più famoso nella RO è il metodo del simplesso che consente di determinare la soluzione ottima di una classe particolare di problemi di programmazione matematica (problema di programmazione lineare).
25 Approccio modellistico ai problemi di decisione Descrizione e Analisi del problema Costruzione del modello Analisi del modello Selezione di buone soluzioni Validazione del modello
26 Approccio modellistico ai problemi di decisione Descrizione e Analisi del problema individuare i parametri di controllo, i legami logico-funzionali e gli obiettivi Costruzione del modello Analisi del modello Selezione di buone soluzioni Validazione del modello
27 Approccio modellistico ai problemi di decisione Descrizione e Analisi del problema individuare i parametri di controllo, i legami logico-funzionali e gli obiettivi Costruzione del modello descrizione formalizzata del problema: individuazione di una corrispondenza tra relazioni del mondo reale (relazioni tecnologiche, leggi fisiche, vincoli di mercato, etc.) e relazioni matematiche (equazioni, disequazioni, dipendenze logiche, etc.) Analisi del modello Selezione di buone soluzioni Validazione del modello
28 Approccio modellistico ai problemi di decisione Descrizione e Analisi del problema individuare i parametri di controllo, i legami logico-funzionali e gli obiettivi Costruzione del modello descrizione formalizzata del problema: individuazione di una corrispondenza tra relazioni del mondo reale (relazioni tecnologiche, leggi fisiche, vincoli di mercato, etc.) e relazioni matematiche (equazioni, disequazioni, dipendenze logiche, etc.) Analisi del modello deduzione per via analitica di alcune importanti proprietà, quali esistenza, unicità, stabilità ecc. Selezione di buone soluzioni Validazione del modello
29 Approccio modellistico ai problemi di decisione Descrizione e Analisi del problema individuare i parametri di controllo, i legami logico-funzionali e gli obiettivi Costruzione del modello descrizione formalizzata del problema: individuazione di una corrispondenza tra relazioni del mondo reale (relazioni tecnologiche, leggi fisiche, vincoli di mercato, etc.) e relazioni matematiche (equazioni, disequazioni, dipendenze logiche, etc.) Analisi del modello deduzione per via analitica di alcune importanti proprietà, quali esistenza, unicità, stabilità ecc. Selezione di buone soluzioni (ottimizzazione e/o simulazione) Validazione del modello
30 Approccio modellistico ai problemi di decisione Descrizione e Analisi del problema individuare i parametri di controllo, i legami logico-funzionali e gli obiettivi Costruzione del modello descrizione formalizzata del problema: individuazione di una corrispondenza tra relazioni del mondo reale (relazioni tecnologiche, leggi fisiche, vincoli di mercato, etc.) e relazioni matematiche (equazioni, disequazioni, dipendenze logiche, etc.) Analisi del modello deduzione per via analitica di alcune importanti proprietà, quali esistenza, unicità, stabilità ecc. Selezione di buone soluzioni (ottimizzazione e/o simulazione) Validazione del modello verifica che i risultati ottenuti siano congruenti con il problema
31 Assegnamento: definizione del problema Un azienda deve decidere come assegnare i suoi 3 dipendenti a 3 differenti attività da svolgere.
32 Assegnamento: definizione del problema Un azienda deve decidere come assegnare i suoi 3 dipendenti a 3 differenti attività da svolgere. Ciascun dipendente può esprimere una preferenza dipendenti att 1 att 2 att 3 dip 1 0,9 0,8 1 dip 2 0,7 0,5 1 dip 3 0,8 0,4 1 ciascun dipendente deve essere assegnato ad un sola attività ; ciascuna attività deve essere svolta esattamente da un dipendente. Supponiamo che l azienda voglia massimizzare il soddisfacimento medio.
33 Costruzione del modello Si tratta di individuare le leve decisionali o variabili di decisione che rappresentano le grandezze che è possibile scegliere, su cui si ha potere decisionale. Nel caso del problema di assegnamento la scelta che dobbiamo individuare è se assegnare un certo dipendente i ad un attività j per ogni possibile coppia i, j. Si tratta di scelte dicotomiche che possono essere espresse dip i assegnato alla att j = { SÍ NO = { = { 1 0
34 Le leve decisionali Valori diversi indicano scelte decisionali diversi. Nel caso di problema di assegnamento la scelta é come assegnare dipendente i all attivitá j per ogni coppia i, j. Formalizzando con un linguaggio matematico Le scelte decisionali=variabili di decisione dip i assegnato alla att j = { { VERO FALSO = = { 1 0
35 Le leve decisionali Dunque una scelta decisionale può essere rappresentata come dipendenti att 1 att 2 att 3 dip dip dip Per semplificare la scrittura indichiamo le variabili di decisione come x ij (ma si tratta di un nome!) che può assumere solo due valori {0, 1} e sono n 2 = 9 dipendenti att 1 att 2 att 3 dip 1 x 11 x 12 x 13 dip 2 x 21 x 22 x 23 dip 3 x 31 x 32 x 33
36 La funzione obiettivo L ottimizzazione consiste nell individuare il valore massimo o il valore minimo dell obiettivo ottenuto in corrispondenza a diversi valori delle scelte. Spesso l insieme delle leve decisionali si rappresenta in blocco x = (x 11 x 12 x 13 x 21 x 22 x 23 x 31 x 32 x 33 ) L obiettivo é una funzione matematica che lega i parametri del problema con le possibili scelte decisionali. dipendenti att 1 att 2 att 3 dip 1 x 11 x 12 x 13 dip 2 x 21 x 22 x 23 dip 3 x 31 x 32 x 33 dipendenti att 1 att 2 att 3 dip 1 V 11 V 12 V 13 dip 2 V 21 V 22 V 23 dip 3 V 31 V 32 V 33
37 Ad esempio La scelta decisionale {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} si rappresenta come Dati i parametri dipendenti att 1 att 2 att 3 dip dip dip dipendenti att 1 att 2 att 3 dip 1 0,9 0,8 1 dip 2 0,7 0,5 1 dip 3 0,8 0,4 1 si ottiene il valore V 11 x 11 + V 22 x 22 + V 33 x 33 = 0, 9 + 0, = 2, 4
38 La funzione obiettivo V 11 x 11 + V 12 x 12 + V 13 x 13 + V 21 x 21 + V 22 x 22 + V 23 x 23 + V 31 x 31 + V 32 x 32 + V 33 x 33 Spesso la funzione obiettivo si indica con f e dipende dalla scelta x: n n f (x) = V ij x ij i=1 j=1 Ottimizza significa individuare la particolare scelta x che definisce il valore massimo o minimo dell obiettivo f = f (x ). Nel nostro caso abbiamo visto che f = 2, 6.
39 Le restrizioni I vincoli sono funzioni matematiche che esprimono le restrizioni che devono rispettare le scelte decisionali. ciascun dipendente deve essere assegnato ad un sola attività ; dipendenti att 1 att 2 att 3 dip dip dip
40 Le restrizioni I vincoli sono funzioni matematiche che esprimono le restrizioni che devono rispettare le scelte decisionali. ciascun dipendente deve essere assegnato ad un sola attività ; dipendenti att 1 att 2 att 3 dip dip x 21 + x 22 + x 23 = 1 dip
41 Le restrizioni I vincoli sono funzioni matematiche che esprimono le restrizioni che devono rispettare le scelte decisionali. ciascun dipendente deve essere assegnato ad un sola attività ; ciascuna attività deve essere svolta esattamente da un dipendente. dipendenti att 1 att 2 att 3 dip dip dip x 12 + x 22 + x 32 = 1
42 I vincoli x 11 + x 12 + x 13 = 1 x 21 + x 22 + x 23 = 1 x 31 + x 32 + x 33 = 1 x 11 + x 21 + x 31 = 1 x 12 + x 22 + x 32 = 1 x 13 + x 23 + x 33 = 1 Sono 2 n = 6 dipendente 1 assegnato esattamente ad una attività attività 1 assegnata esattamente ad un dipendente
43 I vincoli Anche i vincoli sono funzioni f i che dipendono dalle variabili di decisione x f 1 (x) = x 11 + x 12 + x 13 = 1 = b 1 f 2 (x) = x 21 + x 22 + x 23 = 1 = b 2 f 3 (x) = x 31 + x 32 + x 33 = 1 = b 3 f 4 (x) = x 11 + x 21 + x 31 = 1 = b 4 f 5 (x) = x 12 + x 22 + x 32 = 1 = b 5 f 6 (x) = x 13 + x 23 + x 33 = 1 = b 6 Una scelta x che soddisfa tutti i vincoli si dice ammissibile. L insieme di tutte le soluzioni ammissibili si dice insieme ammissibile.
44 Un modello di programmazione matematica max n n V ij x ij i=1 j=1 n x ij = 1 i=1 n x ij = 1 j=1 x ij {0, 1} per ogni j = 1,..., n per ogni i = 1,..., n i = 1,..., n j = 1,..., n
45 Un modello di programmazione matematica Determinare il valore x delle variabili di decisione che sia ammissibile e massimizzi il valore dell obiettivo Tale soluzione x si chiama soluzione ottima Nel nostro caso la soluzione ottima x é dipendenti att 1 att 2 att 3 dip dip dip o anche x = ( ) e vale f = 2, 6.
46 Un modello di programmazione matematica ATTENZIONE: le variabili di decisione non possono assumere tutti i valori nel rispetto dei vincoli ma devono {0, 1}. Non si tratta di un aspetto secondario Ad esempio il valore delle variabili dipendenti att 1 att 2 att dip dip dip soddisfa tutti i vincoli f i (la somma sulle righe e sulle colonne è pari a 1) MA NON è una scelta valida!
47 Le fuzioni che descrivono l obiettivo e i vincoli sono lineari rispetto alle variabili x. Si tratta di un problema di f i = a 1 x 1 + a 2 x = N a i x i i=1 Programmazione Lineare intera max f (x) f k (x) = b k x ij {0, 1} n2 k = 1,..., 2n In generale x ij {0, 1} è un VINCOLO (restrizione) IMPORTANTE. In alcuni casi è possibile trascurarlo garantendo la qualità della soluzione.
48 Un modello di programmazione matematica In particolare, per questa categoria di problemi grazie alla particolare struttura delle funzioni di vincolo, può essere sostituito max n n V ij x ij i=1 j=1 n x ij = 1 i=1 n x ij = 1 j=1 x ij 0 per ogni j = 1,..., n per ogni i = 1,..., n i = 1,..., n j = 1,..., n
49 Le fuzioni che descrivono l obiettivo e i vincoli sono lineari rispetto alle variabili x. f i = a 1 x 1 + a 2 x = N a i x i Le variabili possono assumere valori continui nel rispetto dei vincoli. Si tratta di un problema di Programmazione Lineare. i=1 max f (x) f k (x) = b k x ij 0 i, j k = 1,..., 2n
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