Collana di Fisica e Astronomia

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2 Collana di Fisica e Astronomia A cura di: Michele Cini Stefano Forte Massimo Inguscio Guido Montagna Oreste Nicrosini Franco Pacini Luca Peliti Alberto Rotondi

3 Giorgio Bendiscioli Fenomeni Radioattivi Dai nuclei alle stelle 123

4 Giorgio Bendiscioli Fenomeni radioattivi Dai nuclei alle stelle 123

5 Prefazione Questo volume raccoglie le lezioni del Corso di Radioattività impartite dall autore agli studenti dei Corsi di Laurea in Fisica presso l Università di Pavia. La struttura del corso con le connessioni fra i vari argomenti è illustrata nel seguente diagramma. Legge del decadimento radioattivo Radiazione e ambiente Radiodatazione Decadimento γ Decadimento α Decadimenti esotici Decadimento β Non conservazione della parità Energia delle stelle Nucleosintesi Teoria di Dirac Massa del neutrino Oscillazioni di neutrino Teoria V A del decadimento β Doppio decadimento β I temi trattati costituiscono un introduzione ai fenomeni radioattivi in senso stretto con escursioni, aventi come base di partenza e filo conduttore il decadimento β, nel campo della fisica delle particelle elementari, in particolare dei neutrini, e dell astrofisica.

6 VI Prefazione Alcuni argomenti sono tradizionali, altri riguardano la fisica di frontiera così che al lettore sono offerti particolari itinerari dalla fisica consolidata alla fisica in evoluzione. Ovviamente, per quanto riguarda quest ultima, i risultati sperimentali riportati e i relativi commenti hanno carattere di provvisorietà. Gli argomenti discussi rappresentano una scelta, per qualche verso arbitraria, del vasto materiale disponibile e vengono proposti come introduzione alla materia. Per le lezioni ho attinto, in varia misura, dai testi, dagli articoli di rassegna, dagli articoli didattici o divulgativi e dagli articoli originali citati al termine di ogni capitolo e ai quali si rimanda per approfondimenti e ampliamenti. Essi costituiscono una minuscola parte della vastissima letteratura esistente. La comprensione dei vari temi presuppone il possesso delle nozioni normalmente impartite nei primi tre anni del Corso di Laurea in Fisica. Per non appesantire l esposizione degli argomenti principali, argomenti complementari e sviluppo di calcoli sono raccolti in Appendici poste alla fine di ogni capitolo. Nella stesura del testo mi sono avvalso della preziosa consulenza di numerosi colleghi del Dipartimento di Fisica Nucleare e Teorica dell Università di Pavia e della collaborazione degli studenti che hanno seguito le mie lezioni e hanno affrontato il testo in versioni più rozze. A tutti un vivo ringraziamento. Un grazie particolare al collega Claudio Cattaneo che con grande pazienza ha curato la versione LaTeX del testo. Pavia, marzo 2008 Giorgio Bendiscioli

7 Indice 1 Legge del decadimento radioattivo I fenomeni radioattivi La legge esponenziale del decadimento radioattivo Probabilità di decadimento per un singolo nucleo Tempo di dimezzamento e vita media Attività Decadimenti in competizione Famiglie radioattive Decadimento A B(stabile) Decadimento A B(instabile) Serie di decadimenti (K 1) K (stabile) Andamento nel tempo della quantità di una sostanza radioattiva prodotta da fenomeni non radioattivi Misura della vita media Appendice Fluttuazioni statistiche Statistica e probabilità Frequenza e probabilità Valutazione della costante di decadimento Sottrazione del fondo Misure statisticamente compatibili Bibliografia Radiazione ambientale naturale Sorgenti della radiazione ambientale Radionuclidi naturali primordiali L uranio Il torio Calore terrestre di origine radioattiva I raggi cosmici

8 VIII Indice 2.5 Radionuclidi naturali cosmogenici Radionuclidi artificiali (cenni) Effetti biologici della radiazione Interazione delle particelle cariche con la materia Interazione dei fotoni con la materia Effetti delle radiazioni ionizzanti sui tessuti biologici Unità dosimetriche Danni e fattori di rischio Dosi alte assorbite in breve tempo Dosi basse Radioattività intrinseca del corpo umano Il radon Radiazione media assorbita dalla popolazione Sono possibili effetti benefici delle radiazioni? Bibliografia Radiodatazione Criterio di base della radiodatazione Datazione delle rocce Introduzione Metodi di datazione Età della terra Datazione dei coralli Datazione con il 14 C Appendici Incertezza sulla radiodatazione dipendente dalla statistica Esempio di calibrazione della radiodatazione Bibliografia Decadimento γ Proprietà generali del decadimento γ Radiazione di multipolo Equazioni di Maxwell Parità Parità orbitale e parità intrinseca Il campo elettromagnetico nello spazio vuoto Parità orbitale del campo elettrico e del campo magnetico associati Campi di multipolo Parità intrinseca Parità totale Dipolo di radiazione elettrica e di radiazione magnetica. 102

9 Indice IX Regole di selezione Le sorgenti del campo elettromagnetico Energia della radiazione elettromagnetica Bibliografia Decadimento α Caratteristiche generali del decadimento α Fenomenologia del decadimento α Aspetti energetici Vita media Teoria del decadimento α La barriera repulsiva coulombiana Le particelle α all interno dei nuclei Trasparenza della barriera coulombiana Costante di decadimento Effetto della barriera centrifuga Decadimenti favoriti e decadimenti sfavoriti Bibliografia Nuclei e decadimenti esotici Introduzione Radioattività con emissione di nuclei con A > Emissione di protoni e neutroni Emissione di protoni Decadimenti del 151 Lu Decadimenti del 21 Na Emissione protonica da un nucleo isomero Emissione di neutroni I nuclei superpesanti Bibliografia Decadimento β Caratteristiche generali del decadimento β Condizione energetica per il decadimento β Esistenza del neutrino e dell antineutrino Aspetti cinematici del decadimento β Decadimento β ± Cattura elettronica Teoria di Fermi Densità degli stati finali Elemento di matrice di transizione Funzioni d onda per elettrone e antineutrino

10 X Indice Densità di probabilità di transizione. Spettro energetico degli elettroni Elemento di matrice nucleare Probabilità di transizione per unità di tempo. Costante di decadimento (vita media) Classificazione dei decadimenti. Transizioni favorite Valutazione della costante g dell interazione debole Osservazioni conclusive Interazione elettromagnetica, interazione forte e interazione debole Dipendenza dalle coordinate spaziali Intensità delle interazioni Appendici Energia liberata, masse atomiche ed energia di legame Densità degli stati Sezione d urto ν + p e + + n Densità degli stati finali per ν + p e + + n Emissione di elettroni, raggi X e γ conseguente al decadimento β Fattore coulombiano Misura della vita media del neutrone Bibliografia Misura della massa del neutrino Introduzione Decadimento del trizio Spettro energetico dei β Spettrometro Risoluzione Perdita d energia per ionizzazione Radiazione di fondo Analisi dei dati Risultati sperimentali Spettrometro a trappola magnetica Appendici Decadimento β del 3 H in livelli eccitati dell 3 He Convoluzione e risoluzione di uno spettrometro Bibliografia Non conservazione della parità nel decadimento β Parità Leggi di conservazione e proprietà di invarianza Inversione delle coordinate spaziali. Parità

11 Indice XI Grandezze pari e grandezze dispari Conservazione della parità. Invarianza per inversione delle coordinate Parità orbitale, parità intrinseca, parità totale Non conservazione della parità Decadimento del 60 Co Introduzione Esperimento del 60 Co Elicità del neutrino Elicità degli elettroni Correlazioni angolari Numero leptonico. Invarianza rispetto a CP Appendice Asimmetria destra-sinistra e potenziale spin-orbita265 Bibliografia Teoria di Dirac Introduzione Equazione di Schrödinger Equazione relativistica di Klein-Gordon Particelle e antiparticelle Equazione di Dirac Proprietà generali dell operatore hamiltoniano Soluzione dell equazione di Dirac Operatori di proiezione di elicità positiva e negativa Equazione aggiunta Invarianti relativistici Proprietà di invarianza Particelle e antiparticelle Confronto fra teoria di Dirac e osservazioni sperimentali Appendici Commutazione di H e J Commutazione di H e h Invarianza relativistica dell equazione di Dirac Covarianza e controvarianza Bibliografia Teoria V A del decadimento β Appendice Bibliografia

12 XII Indice 12 Energia solare Caratteristiche del sole Origine dell energia solare Ipotesi chimica Ipotesi gravitazionale Energia termonucleare Velocità di produzione di deuterio nella catena pp Formazione del deutone Trasparenza della barriera coulombiana Distribuzione maxwelliana dell energia Luminosità del sole Cenni di nucleosintesi Introduzione Cenni sull evoluzione delle stelle Nuclei presenti sul sole e loro origine Formazione dei nuclei con A Nucleosintesi e materia organica Formazione dei nuclei pesanti Collasso della supernova SN1987A e limite superiore della massa del neutrino Introduzione Limite superiore della massa del neutrino elettronico Limite inferiore dell età delle stelle e dell Universo Bibliografia I neutrini solari Modelli solari e flusso di neutrini Rivelazione dei neutrini Reazioni di assorbimento Radiazione di fondo Esperimenti L esperimento con 37 Cl Esperimenti con 71 Ga Misura diretta Osservazioni riassuntive Recenti sviluppi sperimentali Appendice Valutazione del fattore astrofisico Bibliografia Neutrini massivi Introduzione Neutrini massivi Neutrini di Dirac

13 Indice XIII Neutrini di Majorana Osservazione Doppio decadimento β Probabilità del decadimento ββ Decadimento 2νββ Decadimento 0νββ Oscillazioni di neutrino I mesoni K neutri Oscillazioni di neutrino Osservazioni conclusive: esistono differenti neutrini o esiste un solo neutrino multiforme? Bibliografia Doppio decadimento β Introduzione Spettri energetici e vita media Esperimenti Metodo geochimico Metodi diretti Sommario di risultati sperimentali Massa del neutrino Bibliografia Oscillazioni di neutrino Introduzione Condizioni di osservabilità Esperimenti ideali Esperimenti di oscillazione presso reattori nucleari L esperimento di Gösgen L esperimento KamLAND I neutrini solari I neutrini atmosferici Bibliografia Commiato Appendice Formule cinematiche Formule relativistiche Principi di conservazione Sistemi di riferimento del laboratorio (L) e del centro di massa (CM)

14 XIV Indice Relazioni fra le quantità cinematiche di una particella nei sistemi del L e del CM Relazioni fra le quantità cinematiche nel sistema del L e del CM (formule non relativistiche, T M, P = 2MT) Relazioni fra le quantità cinematiche nel sistema del L e del CM (formule relativistiche, P = 2MT + T 2 ) Energia di soglia Decadimenti Tabelle Indice

15 Facciamo l uomo a nostra immagine, a nostra somiglianza: domini sui pesci del mare e sugli uccelli del cielo, sul bestiame, su tutte le bestie selvatiche e su tutti i rettili che strisciano sulla terra. Genesi 1,26

16 1 Legge del decadimento radioattivo 1.1 I fenomeni radioattivi I nuclei conosciuti, nella maggior parte prodotti artificialmente, sono circa 2700; di questi solo una piccola parte, circa 270, è stabile. Si ritiene, inoltre, che il numero dei nuclei instabili producibili in laboratorio possa raggiungere il numero di I nuclei sono instabili a causa di differenti processi fisici, detti decadimenti radioattivi. Questi processi hanno carattere probabilistico nel senso che ogni nucleo di una data specie ha una caratteristica probabilità per unità di tempo di decadere. Conseguentemente, dato un certo numero di nuclei instabili di una data specie, il loro numero decresce gradualmente nel tempo; ogni specie è caratterizzata da un intervallo, detto tempo di dimezzamento o periodo, nel quale il numero dei nuclei si riduce a metà di quello iniziale. La distinzione fra nuclei stabili e instabili non è netta. Infatti, alcuni nuclei instabili, per esempio i nuclei suscettibili di doppio decadimento β, hanno un tempo di dimezzamento così grande, che possono essere considerati praticamente stabili. Ogni decadimento trasforma una configurazione instabile di nucleoni in una configurazione più stabile con liberazione di una certa quantità di energia definita dalla differenza fra l energia associata alla massa a riposo iniziale e la somma delle energie associate alle masse a riposo finali. Ogni decadimento è caratterizzato da un particolare valore dell energia liberata. L insieme dei nuclei stabili e instabili (osservati o attesi) è rappresentato nel diagramma di fig I principali processi di decadimento, ossia quelli con più elevata probabilità, sono i seguenti. a) Decadimento α: un nucleo si trasforma in un nucleo con 4 nucleoni in meno emettendo un nucleo di 4 He (particella α) secondo la reazione A(Z, N) A (Z 2,N 2) + A (2,2). Il decadimento α è caratteristico dei nuclei pesanti con A > 210.

17 2 1 Legge del decadimento radioattivo Fig Rappresentazione dei nuclei nel piano Z,N. La regione dei nuclei possibili previsti teoricamente è compresa tra le linee tratteggiate superiore e inferiore. Queste sono dette linee di sgocciolamento per indicare che in loro prossimità eventuali nucleoni addizionali si staccano dai nuclei essendo nulle le rispettive energie di legame (B p e B n). La regione dei nuclei conosciuti, ossia effettivamente osservati, è delimitata dalla linea piena e i nuclei stabili si trovano nella sua parte mediana; gli altri nuclei sono instabili. Nella figura sono messi in evidenza i nuclei con numero magico di protoni o neutroni (2, 8, 20, 28, 50, 82, 126) e alcuni nuclei doppiamente magici. ([4]) I più elevati valori osservati di Z, N e A sono 116, 176 e 292, rispettivamente. Dettagli sulla regione dei nuclei superpesanti sono dati in fig del cap. 6. b) Decadimento β : un nucleo si trasforma in un isobaro con emissione di un elettrone (particella β ) e di un antineutrino secondo la reazione A(Z, N) A(Z + 1, N 1) + e + ν. Il decadimento è caratteristico dei nuclei con eccesso di neutroni rispetto agli isobari stabili corrispondenti. c) Decadimento β + : un nucleo si trasforma in un isobaro con emissione di un positrone (particella β + ) e di un neutrino secondo la reazione A(Z, N) A(Z 1,N + 1) + e + + ν.

18 1.1 I fenomeni radioattivi 3 Il decadimento è caratteristico dei nuclei con difetto di neutroni rispetto agli isobari stabili corrispondenti. E riscontrato solamente nei nuclei radioattivi artificiali. Fig Esempi di decadimenti radioattivi. Le frecce rappresentano impulsi con somma uguale a zero. d) Decadimento γ: un nucleo passa da uno stato eccitato a un altro stato eccitato o allo stato fondamentale emettendo un fotone o quanto di energia elettromagnetica: A (Z, N) A(N,Z) + γ.

19 4 1 Legge del decadimento radioattivo e) Fissione spontanea: un nucleo si spezza in due nuclei aventi una massa circa metà di quella iniziale, emettendo un certo numero di neutroni: A(Z, N) A (Z,N ) + A (Z, N ) + kn, A + A + k = N + N + Z + Z + k = A. La fissione spontanea è caratteristica di nuclei pesanti. Esempi dei precedenti decadimenti sono mostrati in fig Altri decadimenti hanno bassa probabilità rispetto ai precedenti e sono detti esotici. Fra di essi ricordiamo: f) Doppio decadimento β ± : un nucleo decade con emissione di due elettroni o due positroni e due antineutrini o due neutrini: A(Z, N) A(Z 2,N + 2) + 2e + + 2ν, A(Z, N) A(Z + 2, N 2) + 2e + 2 ν. Questi decadimenti sono osservati in un certo numero di nuclei non suscettibili di decadimento β singolo. g) Decadimenti con emissione di protoni o neutroni: A(Z, N) A (Z 1,N) + p, A(Z, N) A (Z, N 1) + n. Sono processi caratteristici di nuclei con grande eccesso o grande difetto di neutroni, spesso conseguenti a decadimenti β ± (emissioni β-ritardate). h) Emissione di nuclei leggeri con A > 4: A(Z,N) A (Z,N ) + A (Z,N ). Questi decadimenti sono stati osservati in nuclei pesanti; per esempio, emissione di nuclei di C e Ne da parte di nuclei di Ra e U. Indipendentemente dai processi particolari, i decadimenti avvengono secondo la stessa legge temporale che verrà illustrata nei successivi paragrafi. 1.2 La legge esponenziale del decadimento radioattivo Un grande numero di osservazioni sperimentali mostra che il numero medio n d delle trasformazioni spontanee (o decadimenti) di un materiale radioattivo osservate in un intervallo di tempo t (non troppo lungo) è proporzionale al numero n di nuclei presenti e all intervallo t: n d = λn t. (1.1)

20 1.2 La legge esponenziale del decadimento radioattivo 5 Il valore della costante di proporzionalità λ, detta costante di disintegrazione o di decadimento, dipende dalla specie nucleare e dal tipo di decadimento. Tenuto conto del fatto che in un decadimento un nucleo iniziale si trasforma in un nucleo finale così che il numero totale di nuclei rimane inalterato (quindi n d + n = 0), e che la (1.1) vale per qualsiasi valore di n e per qualsiasi istante t, per t tendente a zero la (1.1) assume la forma dn d (t) = dn(t) = λn(t)dt, (1.2) che rappresenta l espressione differenziale della legge dei decadimenti radioattivi radioattivi. La (1.2) può essere riscritta nella forma dn(t) n(t) = λdt, (1.3) il cui integrale fornisce il numero di nuclei non decaduti (o residui) all istante generico t: n(t) = n o e λ t, (1.4) dove n o è il numero di nuclei presenti all istante iniziale t = 0. La (1.4) è l espressione esponenziale della legge fondamentale dei decadimenti radioattivi; essa mostra che il numero di nuclei non disintegrati (o residui) diminuisce esponenzialmente nel tempo (vedere fig. 1.3) e λ determina la rapidità con cui l esponenziale tende a zero. Fig Legge del decadimento radioattivo per un nucleo generico con T 1/2 = 280g. Il numero di nuclei che decadono fra 0 e t è n d (t) = n o n(t) = n o ( 1 e λt ) ; (1.5)

21 6 1 Legge del decadimento radioattivo il numero di quelli che decadono nell intervallo t = t 2 t 1 è per ovvero la (1.6) diviene semplicemente n d = n o ( e λt 1 e λt2) ; (1.6) t 1 < t 2 << 1/λ, t = t 2 t 1 << 1/λ, (1.7) n d = no [(1 λt ) (1 λt )] = n o λ t (1.8) Questa relazione coincide con la (1.1) e dà significato all aggettivazione non troppo lungo che accompagna l intervallo di tempo t nell introduzione della (1.1) stessa. Inoltre, la (1.7) implica λ t << 1 e quindi n d << n o, vale a dire il numero di nuclei che decadono è molto minore di quello iniziale o, equivalentemente, il numero di nuclei rimane approssimativamente costante in t. La (1.8) ha notevole interesse pratico e sarà ripetutamente utilizzata nel seguito. Va sottolineato che i fenomeni radioattivi hanno carattere statistico e le equazioni ( ) sono relazioni fra valori medi. Nei casi concreti si hanno deviazioni da tali leggi dovute alle fluttuazioni statistiche, che sono tanto più sensibili quanto più piccolo è n o. Di esse si discuterà nell Appendice. La legge del decadimento radioattivo e il valore di λ sono la manifestazione macroscopica delle interazioni forte, elettromagnetica e debole, dei principi di conservazione e delle leggi della meccanica quantistica che determinano a livello microscopico la stabilità o l instabilità dei nuclei Probabilità di decadimento per un singolo nucleo Le relazioni (1.2) e (1.4) descrivono proprietà statistiche di popolazioni di nuclei derivanti da proprietà probabilistiche dei singoli nuclei, che ricaviamo dalle stesse relazioni citate. La probabilità dp d (t) che un nucleo decada nell intervallo dt è data dal rapporto fra il numero di nuclei che decadono e il numero totale dei nuclei presenti; per la (1.2) risulta dp d (t) = dn d(t) n (t) = dp (t) = dn(t) n(t) = λdt. (1.9) Questa relazione mostra che la costante di decadimento ha il significato di probabilità di decadimento per unità di tempo: dp (t) λ = dt = dp d (t). (1.10) dt

22 1.2 La legge esponenziale del decadimento radioattivo 7 Analogamente, per la (1.4), la probabilità che un singolo nucleo appartenente all insieme iniziale di n o nuclei sopravviva al tempo t ha l espressione Tempo di dimezzamento e vita media P(t) = n(t) n o = e λt. (1.11) La rapidità con cui avviene il decadimento è indicata, oltre che con λ, anche con due altre quantità: il tempo di dimezzamento (o tempo di dimezzamento o semplicemente periodo 2 ) T 1/2 e la vita media t. Il periodo è il tempo dopo il quale il numero dei nuclei di una data specie, inizialmente uguale a n o, si dimezza, ossia diviene n o /2 (vedere fig.1.3). Per la (1.4) si ha 1 È interessante mettere in evidenza alcune limitazioni di carattere conoscitivo della legge del decadimento radioattivo Supponiamo che un nucleo radioattivo venga prodotto all istante t 1: fino a quando sopravviverà o, equivalentemente, quando decadrà? Non è possibile rispondere a questa domanda. L unica previsione che si può fare sulla durata della vita del nucleo è la probabilità di sopravvivenza fino a un generico istante t 2: P(t 2 ) = e λ(t 2 t 1 ) = e λ t Se il nucleo è effettivamente in vita all istante t 2, la probabilità che sopravviva per un ulteriore intervallo di tempo t = t 3 t 2 è P(t 3 ) = e λ(t 3 t 2 ) = e λ t = P(t 2 ) Ciò mostra che la probabilità di sopravvivenza non dipende dal particolare istante iniziale (t 1 o t 2), ma solo dall intervallo t considerato. In altre parole, la probabilità di sopravvivenza non dipende dal passato del nucleo, in particolare dall istante t 1 in cui è stato prodotto. La legge del decadimento consente di formulare previsioni più stringenti relativamente a un insieme di nuclei, in particolare consente di prevedere, in base alla (1.4), quanti nuclei sopravviveranno (in media) all istante t 2: n 2 = n 1 e λ(t 2 t 1 ) = n 1 e λ t. Non è tuttavia possibile prevedere quali particolari nuclei sopravviveranno. Supponiamo ora che all istante t 1 siano presenti n 1 nuclei radioattivi identici. Essi potrebbero essere stati tutti creati all istante t 1, oppure potrebbero essere stati creati in uno stesso istante precedente t 0 o, infine, potrebbero essere stati creati in differenti istanti precedenti. L evoluzione del sistema degli n 1 nuclei presenti all istante t 1 è governata dall ultima relazione scritta, indipendentemente dalle modalità con cui si è costituito l insieme di n 1 nuclei; anche l evoluzione di un sistema di nuclei non dipende dal suo passato. 2 Abitualmente in fisica si usa il termine periodo per indicare l intervallo di tempo caratteristico di moti ripetitivi, come l oscillazione di un pendolo o il moto della terra attorno al sole. Nel caso dei decadimenti radioattivi, il termine non si riferisce, evidentemente, a nessun moto, ma alla ripetitività del fenomeno costituito dal dimezzamento della quantità di materiale radioattivo.

23 8 1 Legge del decadimento radioattivo n o 2 = n oe λt 1/2, T 1/2 = ln2 λ = λ. (1.12) Degli n o nuclei iniziali, fra t e t +dt se ne disintegrano λn(t)dt; ognuno di essi è vissuto per un tempo t; quindi complessivamente essi sono vissuti per un tempo tλn(t)dt. La somma dei tempi vissuti da tutti i nuclei fra t = 0 e t è data dall integrale 0 tλn(t)dt = 0 tλn o e λt dt = n o /λ. Dividendo per n o, si ha la vita media (vedi fig.1.3) t = 1 λ = T 1/2 ln2 = T 1/2, (1.13) che rappresenta l istante in cui il numero di nuclei residui si riduce a n( t) = n o /e = n o / t può essere messo in evidenza graficamente considerando i primi due termini dello sviluppo in serie della (1.4) per t tendente a zero: n(t) = n o (1 λt). Questa equazione rappresenta una retta e t è il valore di t per il quale essa interseca l ascissa (n( t) = 0, vedi fig.1.3). Il valore di T 1/2 (o di t) ha un campo di variabilità amplissimo a seconda del tipo di decadimento e di nucleo, da T s a T a. Va osservato che la vita media e il periodo sopra definiti sono intervalli di tempo misurati da un osservatore solidale con il campione radioattivo. Se questo fosse in moto con velocità v costante, conformemente alla relatività ristretta l osservatore misurerebbe una vita media più lunga: t = t 1 (v/c) Attività Il numero di disintegrazioni al secondo prende il nome di attività e per la (1.2) si ha A(t) = dn(t) = λn(t) = n(t) = ln2 n(t). (1.14) dt t T 1/2 Questa definizione ha carattere generale ed è indipendente dallo specifico andamento nel tempo di n(t). L attività è tanto più elevata quanto più alto è il numero di nuclei radioattivi presenti e quanto più breve è la loro vita media.

24 1.3 Famiglie radioattive 9 Nel caso particolare in cui n(t) è espresso dalla (1.4), l attività ha l andamento A(t) = dn(t) = λn o e λt = λn(t) = n(t). dt t Ha particolare interesse, per il confronto fra le caratteristiche radioattive di differenti nuclei, l attività per unità di massa. Poiché il numero n di nuclei contenuto in un campione di massa m e numero di massa A è n = m A N Avogadro, l attività per unità di massa è espressa dalla relazione Decadimenti in competizione A m (t) = A(t) m = λ A N Avogadro. (1.15) Ci sono numerosi esempi di nuclei radioattivi suscettibili di diversi modi di decadimento. Supponiamo che un nucleo sia soggetto a due soli modi in competizione, per esempio β + e β o β e α. Il numero di decadimenti nell intervallo di tempo dt è dato dalla somma dei decadimenti di tipo 1 e di quelli di tipo 2: dn(t) = λ 1 n(t)dt + λ 2 n(t)dt = (λ 1 + λ 2 )n(t)dt = λn(t)dt. Questa relazione mostra che la costante di decadimento della sostanza è la somma delle costanti di decadimento dei differenti modi: Quindi per la vita media vale la relazione: λ = λ 1 + λ 2. (1.16) 1 t = 1 t t 2. (1.17) 1.3 Famiglie radioattive Un nucleo radioattivo A può decadere in un nucleo B stabile oppure in un nucleo B pure radioattivo; questo, a sua volta, può decadere in un nucleo stabile o in uno instabile, e così via. Pertanto possono realizzarsi per decadimenti successivi concatenazioni o famiglie di nuclei instabili che hanno termine, in ogni caso, con un nucleo stabile. Un nucleo potrà essere chiamato nucleo genitore in relazione al prodotto del suo decadimento e nucleo figlio in relazione al nucleo dal quale è stato prodotto. Consideriamo ora alcuni casi significativi.

25 10 1 Legge del decadimento radioattivo Decadimento A B(stabile) Supponiamo che inizialmente sia presente solamente una quantità n A di sostanza A. Essa diminuisce nel tempo secondo la (1.4) n A (t) = n A e λ At. (1.18) Corrispondentemente, nel tempo dt si accumula la quantità di sostanza B dn B (t) = dn A (t) = n A λ A e λat dt. Integrando fra 0 e t, si ottiene la sostanza B prodotta all istante t: n B (t) = n A (1 e λ At ). (1.19) Per t tutta la sostanza A si trasforma in sostanza B. L andamento della (1.18) e della (1.19) è mostrato in fig Fig Andamento nel tempo delle sostanze A e B (eq. (1.18) e (1.19)) Decadimento A B(instabile) Nel tempo dt si ha formazione di una certa quantità di sostanza B prodotta dal decadimento di A, che esprimiamo mediante l attività di A (A A (t)dt) e la trasformazione di una certa quantità di B in una terza sostanza C, che esprimiamo tramite l attività di B (A B (t)dt); pertanto la variazione di sostanza B per la (1.14) è dn B (t) = A A (t)dt A B (t)dt = n A λ A e λat dt λ B n B (t)dt. Si può verificare che l integrale di questa equazione differenziale è n B (t) = λ A λ B λ A n A (e λ At e λ Bt ) + n B e λ Bt, (1.20) dove n A e n B sono le quantità iniziali delle due sostanze.

26 1.3 Famiglie radioattive 11 Nell ipotesi che inizialmente la sostanza B sia assente (n B =0), la (1.20) diviene λ A n B (t) = n A (e λat e λbt ). (1.21) λ B λ A E evidente che, per t 0 e t, n B (t) 0; quindi n B (t) deve avere un massimo per un certo valore di t, che è determinabile uguagliando a zero la derivata prima della (1.21): Per la (1.14) l attività della sostanza A è t = t m = ln (λ B/λ A ) λ B λ A. (1.22) A A (t) = n A λ A e λat (1.23) e, tenuto conto della (1.21), quella della sostanza B è A B (t) = λ Aλ B λ B λ A n A (e λat e λbt ). (1.24) Si verifica immediatamente che per t = t m le attività delle due sostanze sono uguali: A A (t m ) = A B (t m ). (1.25) Ciò significa che per ogni nucleo di B che decade, A ne produce uno nuovo. In queste condizioni si dice che c è equilibrio ideale tra le due sostanze. All equilibrio le quantità delle due sostanze sono in proporzione diretta alle loro vite medie; infatti, per la (1.14) si ha n A (t m ) n B (t m ) = λ B λ A = t A t B. (1.26) Le quantità di sostanza A e B e le relative attività variano nel tempo in modo strettamente dipendente dal rapporto fra le rispettive costanti di decadimento (o delle vite medie), come illustrato nelle fig.1.5 e 1.6. Queste figure sono autoesplicative, ma una particolare attenzione deve essere rivolta alle fig. 1.5d e 1.6d, relative al caso in cui la sostanza A è molto più longeva della sostanza B, cioè λ A λ B ( t A t B ). (1.27) Tenuto conto della (1.27), per t sufficientemente grande (diciamo t > t m ) l esponenziale in λ B nella (1.21) e nella (1.24) diviene trascurabile e le relazioni (1.21) e (1.24) possono essere scritte nella forma n B (t) = λ A λ B n A e λat,

27 12 1 Legge del decadimento radioattivo Fig Andamento nel tempo delle sostanze A e B per differenti valori del rapporto fra le loro vite medie (eq. (1.18) e (1.21)). n B (t) n A (t) = λ A λ B = t B t A (t > t m ), (1.28) A B (t) = λ A n A e λ At = A A (t) (t > t m ). (1.29) La (1.28) mostra che n B (t) n A (t) (vedi fig. 1.5d) e che la sostanza B decresce con la stessa costante di tempo della sostanza A. La (1.29) mostra che le attività delle due sostanze sono uguali (vedi fig. 1.6d). Si dice che le due sostanze sono in equilibrio radioattivo (detto equilibrio secolare); questo termine sta a significare che in un dato intervallo di tempo il numero di deca-

28 1.3 Famiglie radioattive 13 Fig Andamento nel tempo delle attività delle sostanze A e B per differenti valori del rapporto fra le loro vite medie (eq. (1.23) e (1.24)). dimenti di A è uguale al numero di decadimenti di B così che le due sostanze contribuiscono alla radiazione emessa con uguale numero di particelle. La discussione di questo paragrafo relativa a due sostanze radioattive viene generalizzata al caso di più sostanze nel paragrafo che segue Serie di decadimenti (K 1) K (stabile) Consideriamo una successione più o meno lunga di nuclei radioattivi che si trasformano l uno nell altro dando origine a un nucleo finale stabile (è il caso,

29 14 1 Legge del decadimento radioattivo per esempio, delle famiglie radioattive naturali). Analogamente al caso discusso nel par.1.3.2, nell intervallo di tempo dt ogni sostanza ha un incremento che dipende dall attività della sostanza che la precede nella successione e un decremento dovuto alla propria attività. La variazione delle varie sostanze è descrivibile tramite il seguente sistema di equazioni differenziali: dn 1 (t) = A 1 (t)dt dn 2 (t) = A 1 (t)dt A 2 (t)dt dn 3 (t) = A 2 (t)dt A 3 (t)dt (1.30)... dn K (t) = A K 1 (t)dt Se n k (0) sono le quantità iniziali delle varie sostanze, la soluzione di questo sistema di equazione ha la forma (che non dimostriamo) n 1 (t) = A 11 e λ1t n 2 (t) = A 21 e λ1t + A 22 e λ2t... (1.31) n K (t) = A K1 e λ1t + A K2 e λ2t + +A KK dove i coefficienti sono dati dalle seguenti formule ricorrenti: λ k 1 A ki = A k 1,i (k i), (1.32) λ k λ i n k (0) = A k1 + A k2 + +A kk. (1.33) La soluzione (1.32) vale se le costanti di disintegrazione sono tutte diverse fra loro. Per maggiore chiarezza esplicitiamo le equazioni (1.31) per il caso particolare in cui inizialmente è presente solo una certa quantità del nucleo 1 (n 1 (0) 0, n 2 (0) = n 3 (0) = = 0). Tenendo conto delle (1.32) si ha: n 1 (t) = n 1 (0)e λ1t λ 1 n 2 (t) = n 1 (0)(λ 2 λ 1) (e λ1t e λ2t ) n 3 (t) = n 1 (0)λ 1 λ 2 ( e λ 1 t (λ 2 λ 1) + e λ 2t (λ 3 λ 2)(λ 1 λ 2 + e λ 3t (λ 1 λ 3)(λ 2 λ 3) )... (1.34) Le (1.34) assumono una forma particolarmente semplice e significativa se la costante di decadimento del nucleo 1 è molto più piccola (vita media molto più lunga) di tutte le altre. Allora si può porre

30 1.3 Famiglie radioattive 15 λ i λ 1 λ i e, dopo un tempo sufficientemente lungo (diciamo t > t i per i > 1), risulta Pertanto le (1.34) divengono e l attività della sostanza i-esima è e λ1t e λit 0. n 1 (t) = n 1 (0)e λ1t n i (t) = n 1 (0) λ1 λ i e λ1t (1.35) A i (t) = λ i n i (t) = λ 1 n 1 (0)e λ1t = A 1 (t). (1.36) Dunque, tutte le sostanze hanno la stessa attività, ossia si trovano nella condizione di equilibrio secolare che abbiamo già illustrato in precedenza e che solitamente viene espressa nella forma n i (t) n j (t) = λ j λ i = t i t j. (1.37) Andamento nel tempo della quantità di una sostanza radioattiva prodotta da fenomeni non radioattivi. Supponiamo che un fenomeno imprecisato produca una sostanza radioattiva al ritmo di K(t) nuclei al secondo. La variazione del numero di nuclei di tale sostanza in un intervallo di tempo dt è dn(t) = K(t)dt λn(t)dt, (1.38) dove λn(t) è la sua attività. Per trovare la soluzione di questa equazione differenziale, osserviamo che il numero di nuclei che, prodotti all istante t in quantità K(t )dt, sopravvivono all istante t è dato dalla relazione dn(t,t ) = K(t )dt e λ(t t ) e il numero di quelli che sopravvivono all istante t, essendo stati prodotti fra 0 e t, è n(t, t ) = t 0 t K(t )e λ(t t ) dt =e λt Consideriamo ora alcuni casi particolari. 0 K(t )e λt dt. (1.39)

31 16 1 Legge del decadimento radioattivo a) K(t)= K = costante nel tempo; è approssimativamente il caso della produzione nell atmosfera terrestre di 14 C esaminata nel cap.3. Poiché K(t ) = K(t) = K, risulta t n(t,t ) = Ke λt 0 e λt dt = K ( ) λ e λt e λt 1. Per t t e per un numero iniziale di atomi n(0)=0, la soluzione è n(t) = K λ ( 1 e λt ) K t λ. (1.40) Essa mostra che dopo molto tempo dall inizio del processo di produzione, ossia per t 1/λ, il numero di atomi presenti è praticamente costante e uguale a K/λ. b) K(t) = n(t )δ(t ), corrispondente a una produzione impulsiva di nuclei radioattivi al tempo t descritta dalla delta di Dirac. E approssimativamente il caso di produzione di elementi radioattivi in seguito all esplosione di una Supernova considerato nel cap.12. Risulta t n(t,t ) = n(t )e λt Misura della vita media 0 e λt δ(t )dt = n(t )e λ(t t) = n(t). (1.41) Per misurare la vita media (o il periodo o la costante di decadimento) si può procedere secondo differenti criteri dipendenti dalla durata della vita media stessa. Ne esaminiamo alcuni in modo estremamente schematico. a) Vita media né troppo lunga né troppo corta (ore o giorni). Si isola una quantità n o del nuclide in esame 3 e si misura il numero di disintegrazioni 4 in due intervalli di tempo uguali con inizio agli istanti t e t, rispettivamente. Se gli intervalli di misura sono sufficientemente brevi rispetto alla vita media, per la (1.4) e la (1.14) possiamo scrivere ( ) A = n t dn = dt t = λn(t ) = λn 0 e λ t (1.42) 3 Se P è il peso di un campione di una data sostanza, A il peso atomico e N il numero di Avogadro, il numero di nuclei corrispondente è n o = NP/A. È interessante osservare che una misura di radioattività può permettere di stimare il valore del numero di Avogadro. Infatti dalla relazione n(t) = n oe λt = (NP/A)e λt si ricava N = (n(t)a/p)e λt. 4 Il decadimento di un nucleo è individuato dalla rivelazione delle particella emessa (α, β ±, γ). La rivelazione si basa sui processi di ionizzazione ed eccitazione provocati dalle particelle nell attraversare un mezzo materiale. Si rinvia a testi specifici per lo studio dei metodi e dei dispositivi di rivelazione.

32 A = n t Dalle (1.42) e (1.43) si ottiene 1.4 Appendice Fluttuazioni statistiche 17 ( ) dn = = λn(t ) = λn 0 e λ t (1.43) dt t 1 t = λ = 1 t t ln A. (1.44) A b) Vita media grande (secoli). La sostanza A di vita media sconosciuta sia in equilibrio con la sostanza B di vita media nota. Si misurano le quantità di sostanza A e B presenti nel campione in esame e si applica la relazione (1.26): t A = n A(t) n B (t) t B. (1.45) c) Vita media grande (metodo del conteggio). Si misura la quantità n(t) di nuclide in esame e si conta il numero n di disintegrazioni in un intervallo di tempo t sufficientemente breve rispetto alla vita media da misurare, in modo tale che durante la misura n(t) rimanga praticamente costante. In queste condizioni si può scrivere e quindi 1 t = λ = n t = dn(t) = λn(t) dt n 1 n(t) t t = λ = n n(t) t Applicazioni dei concetti illustrati in questo capitolo verranno fatte in capitoli successivi. 1.4 Appendice Fluttuazioni statistiche Statistica e probabilità Il decadimento radioattivo è un fenomeno statistico di cui, nel par.1.2, abbiamo illustrato le caratteristiche medie. Per esempio, la (1.4) fornisce il numero medio di nuclei residui al tempo t e la (1.1) fornisce il numero medio di nuclei che decadono nell intervallo di tempo dt. Vogliamo ora mostrare che singole misure di decadimento danno risultati che in genere si discostano dai valori medi predetti dalle leggi sopra citate. Il carattere statistico dell evoluzione di un aggregato di n nuclei riflette il carattere probabilistico della durata di vita dei singoli nuclei. Sia p la probabilità che un nucleo decada in un intervallo di tempo t. La probabilità che un insieme prefissato r di nuclei decada in t (e che i rimanenti n r nuclei non decadano) è

33 18 1 Legge del decadimento radioattivo Poiché un insieme di r nuclei può essere scelto in p r (1 p) n r. (1.46) C(r,n) = n!/r!(n r)! (1.47) modi, la probabilità che decadano r nuclei qualsiasi è P(n,r) = C(r,n)p r (1 p) n r. (1.48) Il decadimento di r nuclei qualsiasi può essere considerato come uno dei possibili risultati di un esperimento ideale. Il risultato di un singolo esperimento può essere un qualsiasi valore fra 0 e n, ma ciascun risultato ha una differente probabilità di verificarsi, espressa dalla (1.48). Il numero medio di tutti i possibili valori di r, cioè il risultato di un grande numero di esperimenti, è µ(n) = n rp(n,r) = pn. (1.49) r=0 La dispersione dei valori r attorno alla loro media è misurata dalla varianza (o scarto quadratico medio) σ 2 (n) = n (r µ(n)) 2 P (n,r)) = np(1 p). (1.50) r=0 o dalla deviazione standard σ(n) Frequenza e probabilità Supponiamo ora di avere a disposizione N campioni uguali costituiti da n nuclei radioattivi e di effettuare su ognuno di essi una misura di durata t = t 2 t 1. Ci si aspetta che i numeri di decadimenti dati dalle N misure siano distribuiti attorno al numero medio atteso che, secondo la (1.6), è dato dall espressione µ = n ( e λt1 e λt2). (1.51) Per risulta (vedi la (1.8)) t 1, t 2 1/λ, (1.52) µ = nλ (t 2 t 1 ) = nλ t. (1.53) Come sappiamo, in queste condizioni µ n e sul campione possono essere effettuate successive misure di durata t senza una sostanziale variazione di n. Pertanto un esperimento su un solo campione sul quale vengono effettuate N misure successive è equivalente a un esperimento su N campioni identici su ciascuno dei quali è effettuata una sola misura.

34 1.4 Appendice Fluttuazioni statistiche 19 Sia N r il numero di misure che hanno come risultato r; chiamiamo frequenza il rapporto f N (n,r) = N r N. (1.54) Il numero medio dei decadimenti nelle N misure (media campionaria) è m N (n) = n rf N (n,r). (1.55) La dispersione delle singole misure attorno alla media campionaria è s 2 N(n) = 1 N 1 r=0 n (r m N (n)) 2 f N (n,r). (1.56) r=0 Anche la media campionaria è una variabile statistica perché, se ripetiamo la misura della media più volte, ogni volta troviamo un valore diverso. La dispersione della distribuzione della media è σ 2 m N (n) = s 2 N(n)/N (1.57) Per la legge dei grandi numeri o legge empirica del caso, per N risulta f N (n,r) P(n, r), m N (n) µ(n), (1.58) s 2 N (n) σ2 (n). Pertanto la media campionaria m N (n) rappresenta una stima della media µ(n) con un incertezza data da σ mn (n): µ(n) = m N (n) ± σ mn (n). (1.59) Valutazione della costante di decadimento Le considerazioni del par ci consentono di valutare la costante di decadimento λ con la relativa incertezza statistica. Tenendo conto della (1.53) e delle (1.59) si ha nλ t = µ(n) = m N (n) ± σ mn (n) λ = m N(n) ± σ m N (n) (1.60) n t n t Illustriamo ora questi concetti con un esempio numerico. E stata osservata l emissione di particelle α da parte di un campione di 4.75 mg di 238 U. Il numero di decadimenti osservati in 10 misure della durata di 10 minuti ciascuna è riportato in tab.1.1.

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