Strada B. Classe Velocità valore frequenza Frequ. ass Frequ. % hi Freq. Cum

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1 Eserczo SINTESI S supponga d avere eseguto 70 msure della veloctà stantanea de vecol che transtano nelle sezon d due strade A e B. S supponga che tal msure sano state eseguta n corrspondenza d valor modest del volume d traffco transtante (tal che le msure d veloctà possano consderars event ndpendent l uno dall altro). I valor della veloctà msurata rappresentano realzzazon d una varable aleatora (contnua). S vuole ndurre dal campone rlevato la dstrbuzone d probabltà dell ntera popolazone. Per far questo rappresentamo attraverso crter della statstca descrttva dat msurat. Per fare cò dvdamo l ntero campo d varazone delle veloctà msurato n un numero fnto d ntervall d eguale ampezza. La scelta del numero d class da utlzzare vene effettuata utlzzando la relazone: Nclass=+3.3LOG(70)= 8, Il numero d class prescelte è par a 9 con ampezza d =5 km/h. S ndvduano pertanto per cascuna classe l numero d osservazon che a quella classe appartengono ottenendo l seguente quadro: Classe Veloctà Strada A Strada B Numero totale osservazon STATISTICA DESCRITTIVA S valutano qund per cascuna classe le frequenze assolute e percentual nonché l valore h=f/. Il valore d h è confrontable con l valore della teorca funzone denstà d probabltà della popolazone rcordando che la probabltà che la varable aleatora veloctà assuma valor compres n un ntervallo è par a f(x)*. Strada B Classe Veloctà valore frequenza Frequ. ass Frequ. % h Freq. Cum 0-5 7, ,50 0,08,8 0,000787, ,50 0 0,0588 5,88 0,0039 7, ,50 0 0,76,76 0, , ,50 8 0,647 6,47 0, , , ,353 3,53 0, , , ,765 7,65 0, , ,50 5 0,47 4,7 0, , ,50 5 0,088 8,8 0, S rappresenta la dstrbuzone ottenuta con un stogramma (ved fgura). S valutano alcun ndc descrttv della dstrbuzone msurata; meda, varanza e devazone standard.

2 h 0,08 0,06 0,04 0,0 0,0 0,008 0,006 0,004 0,00 0 7,50,50 37,50 5,50 67,50 8,50 97,50,50 7,50 Veloctà [km/h] Valutamo ora alcun ndc della dstrbuzone (meda, varanza, devazone standar, moda e medana. Strada B Classe Valore Frequ. relatva Veloctà x Frequenza assoluta f* X * f* X *f* 0-5 7, ,50 0,08 0,655 5, ,50 0 0,0588,05 8, ,50 0 0,76 6,74 34, ,50 8 0,647,75 750, , ,353 9,45 60, , ,765 7, , ,50 5 0,47 6, , ,50 5 0,088, ,803 X = f x = [km/h] m ( x) = f x = [(km/h)^] S () x n ( x X ) f n = = = n = = f = 9 * * ( x X ) f = ( x f ) X = S = 5.54 [km/h] Somma= 84, , [(km/h) ] La moda corrsponde alla classe km/h qund s può assocre al valore medo della classe stessa par a 8.50 meda. La classe medana è km/h pertanto l valore medano è: m ' f = medana = xm + m = 8.8 km/h meda ' f m dove x m è l estremo nferore della classe medana e m è l ampezza della classe medana.

3 L ndce d dssmmetra è par a: 9 ( x X ) f = Ds( x) = = / 70 =-33.8 [[(km/h) 3 ] 9 f = 3 3 Ds(x) = [km/h] Gl ndc sntetc d varabltà e d dssmetra relatv sono: S c = = 0.09 X Ds( x) d = = X L osservazone de dat del campone ndca che ess sono dstrbut n manera pressochè smmetrca (meda medana moda) con una leve dssmetra negatva (valor spostat verso snstra). STATISTICA INDUTTIVA Una stma non dstorta della varanza della popolazone è fornta da: µ X = [km/h] N σ S** = S = 65.34* (70/69)=656. [(km/h) ] N σ= σ = 5.6 [km/h] S ** S confronta la dstrbuzone del campone con la dstrbuzone d una varable aleatora caratterzzata da una legge denstà d probabltà d tpo Normale, avente la stessa meda e la stessa varanza del campone. S nota che l potes d dstrbuzone d tpo normale sembra plausble alla luce del confronto qualtatvo eseguto. valor funzone denstà d probabltà f(x) 0,08 0,06 0,04 0,0 0,0 0,008 0,006 0,004 0, veloctà [km/h] valor campone dstrb. Teorca

4 S deve verfcare l potes attraverso un test delle potes (l potes è che l campone ottenuto provenga da una popolazone dstrbuta con legge d probabltà d tpo Normale). Ipotes: π =p Coè che le probabltà ncognte della classe -esma sano ugual alla probabltà che una v.a. Normale, con meda e varanza par a quella del campone, assuma un valore compreso nell ntervallo che defnsce la classe -esma. E ntutvo che tanto pù è accettable l potes quanto pù prossme a zero sono le dfferenze: p * -p dove * n p = N coè le dfferenze n N p S dmostra che se l potes è vera : k ( n N p ) Χ = χ = N p ha approssmatvamente una dstrbuzone χ con ν =k-h- grad d lbertà, dove k è l numero delle class e h è l numero de parametr della dstrbuzone teorca (n questo caso parametr della legge d probabltà Normale sono µ e σ ). Se rsulta : Χ χ χ α dove χ α è l valore della v.a. χ n corrspondenza del valore della funzone d dstrbuzone par a (α). l potes nulla può essere accettata o meglo non è possble rfutare l potes ad un lvello d sgnfcatvtà par ad α. E necessaro pertanto calcolare la probabltà p che la v.a. descrtta dalla dstrbuzone teorca d probabltà (dstrbuzone Normale) assuma un valore compreso negl estrem che caratterzzano l esmo ntervallo d veloctà. Tale operazone può essere agevolmente eseguta consultando le tavole che fornscono valor della funzone d dstrbuzone d della v.a. normale standardzzata (ved tavola allegata). Per fare cò dobbamo trasformare valor relatv agl estrem d cascun ntervallo d veloctà ne valor della corrspondente v.a. Normale standardzzata: S x µ = nf x nf e x σ S sup x = sup σ µ

5 Classe Valore v.a. NS Funz. Dstrb. v.a. NS Veloctà frequenza Valore nf Val. sup z nf z sup F(z nf ) F(z sup ) F(z sup )-F(z nf ) N*P (n-n*p)^/np ,86 -,700 0, , , ,5058 0, , 30 -,697 -,5 0, ,0779 0,0375, , , 45 -, -,59 0, , , , , , 60 -,55-0,944 0, ,7634 0,0906 8, , , 75-0,940-0,358 0, , , , , , 90-0,354 0,7 0,3654 0, , ,8789 0, , 05 0,3 0,83 0,5947 0, , , , , 0 0,87,398 0, , ,6036,464 0, , 35,40,984 0, , , ,654037, ,86938 Il valore n corrspondenza del quale la funzone d dstrbuzone della v.a. χ con 6 grad d lbertà (9--) assume un valore par a 0.05 è (ved tavole allegate) che rsulta maggore del valore d 5.86 k ( n N p ) Χ = =5.86 <.59 χ = N p L potes, che le veloctà stantanee sulla strada B s dstrbuscano seguendo una legge d probabltà d tpo Normale, non può qund essere rfutata al lvello d sgnfcatvtà par a 5% Se s consdera una probabltà d falso rfuto o una sgnfcatvtà pù basso e par ad esempo a 0.0 (%) s ha che l valore n corrspondenza del quale la funzone d dstrbuzone della v.a. χ con 6 grad d lbertà (9--) assume un valore par a 0.0 è 6.8 che rsulta maggore del valore d 5.86

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8 ESERCIZIO N. Un osservatore regstra l numero de vecol che passano n una sezone stradale durante un ntervallo d 30 sec. Rpete l osservazone 0 volte (coè tene sotto controllo la sezone stradale complessvamente per un ora) e regstra rsultat delle osservazon nella tabella seguente: numero classe x (numero d vecol che passano n un ntervallo d 30 sec) f frequenza assoluta (numero d ntervall n cu sono gunt x vecol) a) Dsegnare l dagramma a segment della dstrbuzone delle frequenze (assolute e relatve); b) Tabellare e dsegnare la dstrbuzone cumulata delle frequenze assolute e/o relatve (smle alla funzone d dstrbuzone); c) Trovare la meda (speranza matematca), la varanza del campone e l ndce d dssmetra; d) Indvduare la medana e la moda della dstrbuzone; e) Valutare gl ndc relatv d dspersone e d dssmetra; f) Smare meda e varanza della popolazone a cu l campone appartne; g) Confrontare le frequenze relatve (calcolate nel punto a)) con valor fornt dalla legge d probabltà d Posson avente meda uguale a quella del campone osservato; h) Verfcare attraverso un test statstco l potes che la v.a. sa dstrbuta come una varable aleatora d Posson; ) Ipotzzando che la popolazone segua una legge d probabltà d Posson valutare: la probabltà che s abba un dstanzamento temporale tra vecol sec., l dstanzamento temporale tra vecol che ha 80% d probabltà d non essere superato (funzone d dstrbuzone esponenzale).

9 ESERCIZIO N. Vene eseguto uno studo n cu s selezona opportunamente un campone sgnfcatvo d gudator. A tal gudator vene chesto d percorrere una psta alla veloctà costante d 90 km/h. Sul percorso degl utent vengono poszonat degl ostacol e vene msurato l tempo d percezone e reazone degl utent stess. I dat ottenut, suddvs n class sono rportat nella tabella seguente. Classe Tempo d percezone e reazone Numero d valor msurat Estremo nferore [sec] Estremo superore [sec] appartenent a cscuna classe,5 0,5,3 0,3,45 0,45,6 3,6,75,75,9 7,9,05 6,05, 9,,35 3,35,5,5,65 0,65,8 0,8,95 0,95 3, 0 3, 3,5 0 3,5 3,4 0 3,4 3,55 0 Totale msure esegute = 60 Consderando come v.a. la grandezza ln(t): a) Dsegnare l stogramma della dstrbuzone delle frequenze (assolute e/o relatve); b) Tabellare e dsegnare la dstrbuzone cumulata delle frequenze assolute o relatve (smle alla funzone d dstrbuzone); c) Trovare la meda (speranza matematca) e la varanza del campone; d) Indcare la medana e la moda della dstrbuzone; e) Stmare la meda e la varanza della popolazone a cu l campone appartene f) Confrontare le frequenze relatve (calcolate nel punto a)) con valor fornt dalla legge d probabltà Normale con meda e varanza par a quelle stmate n base al campone; g) Verfcare attraverso test statstco l potes che la v.a. ln(t) sa dstrbuta come una varable aleatora Normale; h) Ipotzzando che la popolazone, da cu abbamo estratto l campone, segua una legge d probabltà normale valutare l tempo d percezone e reazone che ha l 90% d probabltà d non essere superato (.e. l valore corrspondente al 90 percentle).

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