Dalla meccanica del continuo alle Equazioni di Lagrange g per i solidi elastici. Dinamica delle Strutture Aerospaziali

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Cesare Pieri
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1 Dalla meccanica del continuo alle Equazioni di Lagrange g per i solidi elastici Franco Mastroddi dal Dinamica delle Strutture Aerospaziali Anno Accademico

2 SOMMARIO Richiami idi meccanica dei continui i( (solidi+fluidi) idi) Le equazioni di Lagrange per i solidi elastici lineari ENFASI SU: La scelta delle funzioni di base per le Equazioni di Lagrange g FEM v.s. variabili modali Pagina 2

3 Il problema elastico lineare dalla meccanica del continuo Struttura Modello (Laplace Domain) Pagina 3

Richiami di meccanica del continuo Diversi punti di

continui LAGRANGIANA EULERIANA Legate dal moto del

Jacobiano della trasformazione Derivata sostanziale

volume di continuo che si muove può essere fatto

4 Richiami di meccanica del continuo Diversi punti di vista per la descrizione delle granedzze di stato dei continui LAGRANGIANA EULERIANA Legate dal moto del continuo Cambio locale di coordinate dato dallo Jacobiano della trasformazione Derivata sostanziale (lagrangiana) Un integrale di una grandezza f su un volume di continuo che si muove può essere fatto Proprietà del determinante dello Jacobiano (teorema del trasporto di Reynolds) Pagina 4

5 Richiami di meccanica del continuo Equazione di continuità I postulato: per ogni volume materiale del continuo Conseguenze ( localizzazioni ): Conseguenza integrale (secondo teorema dl trasporto di Reynolds): Pagina 5

6 Richiami di meccanica del continuo Conservazione della quantità di moto e del Momento della quantità di moto II postulato: per ogni volume materiale del continuo Conseguenze ( localizzazioni ): esiste il tensore degli sforzi tale che III postulato: per ogni volume materiale Conseguenze: (applicando il Th. di Gauss ) Legge di conservazione dell energia meccanica con Pagina 6

7 Richiami di meccanica del continuo Conservazione dell energia IV postulato: per ogni volume materiale del continuo Conseguenze: (sottraendo la legge di cons. en. meccanica) Esiste il vettore flusso di calore tale che Utilizzando le precedenti e localizzando (1) Pagina 7

8 Richiami di meccanica del continuo Principio della Termodinamica per solidi V postulato (termodinamca): esistono le varabili di stato temperatura ed entropia tali che per ogni volume materiale del continuo (2) segno = per trasformazioni reversibili (Clausius) SOLIDO: continuo il cui stato è determinato dalla grandezza tensoriale deformazione e da una variabile scalare (ad. es,. entropia) L equazione di stato che fornisce l energia interna per un solido è Pertanto, se si definiscono e Poiché dalla (2) si può ricavare (3), l equazione dell energia (1) diventa per i solidi Contributo alla crescita di entropia dovuto al lavoro fatto dalla porzione irreversibile del tensore degli sforzi Pagina 8

Richiami di meccanica del continuo Solidi elastici Il solido è elastico se il

(3) (4) In assenza di flussi e sorgenti di calore la (3) da inoltre, cioè l

Se si esprime allora il lavoro fatto dagli stress interni si iha con Quindi

dell energia meccanica diventa: Per solido elastico e lineare dal punto di

9 Richiami di meccanica del continuo Solidi elastici Il solido è elastico se il lavoro compiuto sulla deformazione è reversibile, cioè, v. Eq. (3) (4) In assenza di flussi e sorgenti di calore la (3) da inoltre, cioè l entropia non è più variabile di stato per il solido. Se si esprime allora il lavoro fatto dagli stress interni si iha con Quindi per un solido elastico la legge di conser. dell energia meccanica diventa: Per solido elastico e lineare dal punto di vista costitutivo ( fisico ) in assenza di pre-stess el energia elastica locale Dunque per l energia elastica totale si ha in questo caso la forma quadratica: Pagina 9

Poiché sviluppando integrando sul volume e applicando il teorema di Gauss si ha sostituendo nella (5) si ha Se si pone quindi

10 Equazioni di Lagrange per Solidi elastici lineari Si consideri i un campo di spostamenti ti virtuali it per la struttura tt compatibili con i vincoli e lo si moltiplichi scalarmente per l equazione di Cauchy integrando sul volume del solido (5) Poiché sviluppando integrando sul volume e applicando il teorema di Gauss si ha sostituendo nella (5) si ha Se si pone quindi per il campo di spostamenti (ed il relativo virtuale) la (5) diviene un sistema di ODE (utilizzata l arbitrarietà dei ) Pagina 10

11 1 =Forze di inerzia La velocità è data da Equazioni di Lagrange per Solidi elastici lineari e l accelerazione Per cui 1 = con 2 =Forze esterne (body-forces) Se si assume che tali forze siano di natura conservativa (peso) allora e quindi 2 = con 3 =Forze di superficie (per esempio, Aerodinamiche) 3 = NB: spetterà alla modellazione aeroelastica esprimere tali forze generalizzate di superficie in funzione del moto e cioè delle Pagina 11

Combinando quindi le precedenti e ricordando che per i solidi elastici, nella quale si è utilizzata la

12 Equazioni di Lagrange per Solidi elastici lineari 4 =Forze di tensione interne del continuo elastico Per la simmetria del tensore degli sforzi 4 = e nell ipotesi di cinematica linearizzata da cui si ricava che Combinando quindi le precedenti e ricordando che per i solidi elastici, nella quale si è utilizzata la forma dell equazione di continuità che deriva dalla per l indipendenza delle variabili lagrangiane. Pagina 12

Assemblando i termini Equazioni di Lagrange per Solidi elastici lineari 1 2 3 4

funzione quadratica delle Infatti, per il solido elastico lineare si ha (v. prec.

13 Assemblando i termini Equazioni di Lagrange per Solidi elastici lineari si ha finalmente Se si considera elasticità lineare (fisica e geometrica) è funzione quadratica delle Infatti, per il solido elastico lineare si ha (v. prec. con e con ) quindi con (NB: è matrice simmetrica e semidefinita positiva) Pagina 13

(5) DISCRETIZZAZIONE AGLI ELEMENTI FINITI Equazioni di

Rappresentano componenti di spostamento nel nodo n-imo

libertà si ha (6) Se associamo alla (6) il problema di

14 (5) DISCRETIZZAZIONE AGLI ELEMENTI FINITI Equazioni di Lagrange per Solidi elastici lineari funzioni tenda Rappresentano componenti di spostamento nel nodo n-imo Quindi troncando la (5) ad N numero finito di gradi di libertà si ha (6) Se associamo alla (6) il problema di autovalori: + IC I.C. per simmetria e positività delle matrici Pagina 14

soluzione 0 Quindi la soluzione originaria è Se si considerasse come condizione iniziale un autovettore m-imo la soluzione è l autovettore e

15 Equazioni di Lagrange per Solidi elastici lineari Allora il problema di risposta libera 0 + I.C. se si cambiano coordinate lagrangiane e si premoltiplicano le equzioni per, utilizzando le relazioni di ortogonalità, diventa che ha come soluzione 0 Quindi la soluzione originaria è Se si considerasse come condizione iniziale un autovettore m-imo la soluzione è l autovettore e l autovalore coincidono con i concetti fisici di modi e frequenze proprie p di vibrazione l campo vettoriale degli spostamenti modale p-imo sarebbe dato dalla discretizzazione FEM Pagina 15

16 Equazioni di Lagrange per Solidi elastici lineari Parrebbe lecita la domanda: che eq. di Lagrange otterrei se usassi come funzioni di forma le cioè i modi approssimati agli EF? Si avrebbero in questo caso matrici di massa, rigidezza (legge Hook) e forze generalizzate: Cioè le stesse matrici diagonali ottenute mediante il processo di cambio di coordinate q. Dunque cambiare funzioni di forma o coordinate generalizzate sono operazioni duali ed Equicalenti. Cioè Base FEM Base modale Pagina 16

17 Equazioni di Lagrange per Solidi elastici lineari A parità di accuratezza, la velocità di convergenza globale della base modale (approssimata) alla soluzione esatta è maggiore della base FEM. AD ESEMPIO: Poiché la stabilità e la risposta aeroelastica di una configurazioni sono caratteristiche globali, la base modale è la tipica base lagrangiana utilizzata in aeroelasticità. Altra motivazione: a parità di accuratezza, si debbono calcolare meno forze generalizzate aerodinamiche essendo il calcolo aerodinamico l onere di calcolo maggiore ESEMPIO FILMATI ANALISI MODALE Dinamica delle Strutture Aerospaziali ANNO ACCADEMICO Pagina 17

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