ESERCIZI SUI LIMITI DI SUCCESSIONE E DI FUNZIONE TRATTI DA TEMI D ESAME

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1 ESERCIZI SUI LIMITI DI SUCCESSIONE E DI FUNZIONE TRATTI DA TEMI D ESAME a cura di Michele Scaglia LIMITI NOTEVOLI Ricordiamo i pricipali iti otevoli che utilizzeremo ello svolgimeto degli esercizi: si x x 0 x = 1 ta x x 0 x = 1 x 0 1 cos x x 2 = 1 2 arcsi x x 0 x = 1 x 0 arcta x x = 1 xα (log x) β = 0 per ogi α, β > 0 x 0 + ( = e + ) ( x = e x x) (1 + x) 1 x = e, x 0 a x 1 x 0 x = log a x 0 log a (1 + x) x = log a e, da cui e x 1 x 0 x = 1 e x 0 log(1 + x) x = 1. SUCCESSIONI NOTEVOLI Ricordiamo ache le pricipali successioi che itervegoo el calcolo dei iti: (a ) = log

2 2 (a ) = α, co α > 0 (a ) = q (successioe geometrica) (a ) =!, essedo o, alterativamete, { 0! = 1! = ( 1)!,! = ( 1) ( 2) , poedo 0! = 1. (a ) =. Ricordiamo pure la be ota successioe a = ( ), che è ua successioe o egativa, strettamete crescete e itata il cui ite è già stato richiamato i precedeza. La successioe geometrica, come già visto a teoria, ha il seguete comportameto: q = 0 se q < 1 cioè 1 < q < 1 1 se q = 1. + se q > 1 o esiste se q 1 Si verifica immediatamete, applicado la defiizioe di ite, che log = +, +! = +, + + α = + (α > 0), + = +. Si tratta cioè di successioi ifiite per +. Più avati, parlado degli ordii di ifiito, richiameremo la scala degli ifiiti, sia el caso delle successioi, che el caso delle fuzioi reali di variabile reale.

3 3 LIMITI CON CONFRONTI DI INFINITESIMI e INFINITI FUNZIONI INFINITESIME Ricordiamo che ua fuzioe f si dice ifiitesima per x x 0 se f(x) = 0. x x 0 Assegate due fuzioi f e g, etrambe ifiitesime per x x 0, diciamo che: f è u ifiitesimo di ordie superiore rispetto a g se e solo se e scriveremo f(x) x x 0 g(x) = 0 f(x) = o(g(x)) per x x ; 0 f è u ifiitesimo di ordie iferiore rispetto a g se e solo se f(x) x x 0 g(x) = ± ; f e g hao lo stesso ordie di ifiitesimo per x x 0 se e solo se f(x) x x 0 g(x) = l {0, }. I altre parole, per x x 0, essua delle due fuzioi tede a 0 più velocemete dell altra. Ifatti il risultato del ite precedete o vale é 0 é ± : se risultasse 0, sigificherebbe che la fuzioe a umeratore tede a 0 più rapidamete di quella a deomiatore (si pesi, ad esempio, al caso f(x) = x 5 e g(x) = 3x 2 ), se risultasse ±, si avrebbe che la fuzioe a deomiatore tede a 0 più rapidamete di quella a umeratore (si pesi, ad esempio, al caso f(x) = 5x 3 e g(x) = x 7 ). Se cosideriamo, ivece, f(x) = x 2 e g(x) = 5x 2, il ite del loro rapporto è uguale a 1 : essua delle due fuzioi va a 0 5 più rapidamete dell altra (da cui il termie ifiitesimi dello stesso ordie). Particolare attezioe merita il caso degli ifiitesimi dello stesso ordie quado l = 1: diremo che f e g soo due ifiitesimi equivaleti per x x 0 se e solo se x x 0 f(x) g(x) = 1

4 4 e scriveremo f g per x x 0, che si legge f si comporta come g quado x x 0. Il fatto che il precedete ite risulti uguale a 1 sigifica che, i prossimità di x 0, le due fuzioi f e g tedoo a 0 i modo molto simile (acor più di quato capiti el caso geerale i cui il ite del loro rapporto sia u certo l reale diverso da 0 e da 1). Tale somigliaza tra f e g i u itoro di x 0 suggerisce l idea di poter approssimare, el calcolo di u ite, ua fuzioe ifiitesima complessa co u ifiitesimo ad essa equivalete. Toreremo più avati su tale problema, specificado quali siao le codizioi per cui ua approssimazioe di questo tipo sia lecita. Osserviamo ache che, data ua fuzioe f ifiitesima per x x 0, gli ifiitesimi ad essa equivaleti soo geeralmete ifiiti. Nel corso degli esercizi, tuttavia, si cercherà di idividuare ifiitesimi equivaleti semplici che cosetao di risolvere le forme idetermiate. A partire da alcui iti fodametali (o otevoli) richiamati ella prima pagia, è possibile ricavare umerosi ifiitesimi equivaleti a fuzioi trascedeti (goiometriche, espoeziali e logaritmiche). ESEMPIO 1. Poiché vale si x x 0 x = 1, si ha, i base alla defiizioe di ifiitesimi equivaleti, che le fuzioi f(x) = si x e g(x) = x soo ifiitesimi equivaleti per x 0, vale a dire si x x per x 0. ESEMPIO 2. Grazie ai iti fodametali e al teorema di sostituzioe, possiamo ache affermare che si(3x 2 ) (3x 2 ) per x 0. Per dimostrare l affermazioe precedete è sufficiete cotrollare che

5 5 si(3x 2 ) = 1. x 0 3x 2 [ ] 0 Il ite, che si preseta ella forma idetermiata, può essere trattato per mezzo di ua 0 semplice sostituzioe. Poiamo y = 3x 2. Poiché x 0, si avrà baalmete che y = 3x 2 0. Possiamo riscrivere il ite e trovare facilmete il risultato. Si ha si(3x 2 ) x 0 3x 2 = y 0 si y y a causa del ite fodametale richiamato poco fa. Poiché il ite precedete è risultato uguale a 1, possiamo cocludere che si(3x 2 ) e (3x 2 ) siao due fuzioi ifiitesime equivaleti quado x 0, cioè = 1, si(3x 2 ) (3x 2 ) per x 0. Vediamo u altro esempio. ESEMPIO 3. Cosideriamo la fuzioe f(x) = si(x + 2) per x 2. Poiché x 2 si ha baalmete (x + 2) 0; e segue che la fuzioe si(x + 2) è ifiitesima quado x 2, i quato il suo argometo tede a 0 e la fuzioe si è cotiua i 0. Si ituisce, i forza del ite otevole richiamato poco fa, che la fuzioe f sia u ifiitesimo equivalete a (x + 2) quado x 2. Per provarlo dovremo cotrollare che si abbia si(x + 2) x 2 x + 2 = 1. I effetti, posto y = (x + 2), si ha subito, dal teorema di sostituzioe, da cui la scrittura si(x + 2) x 2 x + 2 = y 0 si y y = 1, si(x + 2) (x + 2) quado x 2. Vediamo u ultimo esempio i cui il puto di accumulazioe è +.

6 6 ESEMPIO 4. Si chiede di aalizzare il comportameto per x + della fuzioe f(x) = si ( ) 3. x Poiché x +, risulta che l argometo del si, vale a dire la frazioe 3, tede a 0. x Poiché la fuzioe si è cotiua su tutto R, i particolare i 0, si avrà che ( ) 3 si = si(0) = 0, x + x ( ) 3 cioè la fuzioe f(x) = si è ifiitesima per x +. x Chiaramete, ache i questo caso potremo sostituire la fuzioe f co u ifiitesimo ad essa equivalete dedotto dal ite fodametale. I particolare, posto y = 3, da cui y 0 per x +, si ha, per il teorema di sostituzioe, x ( ) 3 x + si x si y ( ) = = 1. 3 y 0 y x Poiché il precedete ite risulta uguale a 1, possiamo affermare che 3 ( ) x 3 equivalete a si per x +, ovvero x si ( ) 3 x ( ) 3 x quado x +. sia u ifiitesimo Più i geerale, ogiqualvolta l argometo del si tede a 0 per x x 0, il si risulta essere u ifiitesimo equivalete al proprio argometo. Avremo quidi approssimazioi del tipo si(x 1) (x 1) per x 1, ( ) 5 si x 3 ( ) 5 x 3 per x +,... Cosiderado ache gli altri iti fodametali, ricaviamo le segueti approssimazioi valide per x 0: (1 cos x) 1 2 x2, si x x, ta x x, arcsi x x, arcta x x,... (e x 1) x, log(1 + x) x,... per x 0

7 7 e tutte le loro cosegueze otteute dall applicazioe del teorema di sostituzioe. I particolare, se f(x) 0 per x x 0, avremo (1 cos [f(x)]) 1 2 [f(x)]2, si [f(x)] f(x), ta [f(x)] f(x), arcsi [f(x)] f(x), arcta [f(x)] f(x), ( e f(x) 1 ) f(x), log (1 + [f(x)]) f(x),... Mostriamo degli esempi cocreti: e x+3 1 (x + 3) per x 3, log (1 + 1x ) 4 1 x 4 per x +, [1 cos(5x)] 1 2 (5x)2 = 25 2 x2 per x 0, arcta(e x ) e x per x +,... e simili. Ripetiamo che le approssimazioi precedeti soo valide perché l argometo delle fuzioi tede a 0 quado x x 0 (come richiesto dai iti fodametali utilizzati). La teoria degli ifiitesimi equivaleti, come si aticipava qualche pagia fa, risulta estremamete utile el calcolo dei iti, ifatti ci suggerisce di poter approssimare, i u itoro di u certo x 0, delle fuzioi ifiitesime piuttosto complesse attraverso delle fuzioi poliomiali, be più semplici da trattare. Quado calcoliamo u ite, ifatti, la variabile idipedete tede ad u determiato valore x 0, pertato verrebbe la tetazioe di sostituire u termie ifiitesimo co UN ifiitesimo (poliomiale) ad esso equivalete. Tuttavia u passaggio di questo tipo NON sempre è lecito. Se u fattore che compare el ite i esame è costituito da u uico termie ifiitesimo, la sostituzioe è lecita. Se, ivece, u fattore è ifiitesimo perché somma di due o più addedi ifiitesimi, i quel caso bisoga procedere co cautela cotrollado che la sostituzioe degli ifiitesimi o porti a forme idetermiate o a cacellazioi di termii che cotribuiscoo al risultato fiale.

8 Qualora si verificassero cacellazioi (cioè perdite di cotributi ifiitesimi, ma sigificativi), la sostituzioe degli ifiitesimi co gli ifiitesimi poliomiali equivaleti dedotti dai iti otevoli o cosete di risolvere l esercizio: i questi casi si devoo utilizzare gli sviluppi i serie di Taylor per le fuzioi derivabili. 8 Per poter risolvere esercizi di vario tipo è ecessario affrotare le pricipali casistiche che si possoo presetare e dedurre delle regole di calcolo utili alla itroduzioe degli ifiitesimi equivaleti. FUNZIONE POLINOMIALE INFINITESIMA Come primo caso, cosideriamo ua fuzioe ifiitesima già di tipo poliomiale costituita da più addedi ifiitesimi. Verifichemo tra poco che el caso i cui ua fuzioe sia u ifiitesimo e di tipo poliomiale, u ifiitesimo ad essa equivalete è dato dal termie di grado più basso del poliomio. ESEMPIO 1. Verifichiamo che risulta f(x) = x 3 5x 2 +3x 3x = g(x) per x 0. Per dimostrare l affermazioe precedete dobbiamo provare, i base alla defiizioe di ifiitesimi equivaleti, che f(x) x 0 g(x) = 1, cioè x 3 5x 2 + 3x x 0 3x = 1. Risulta ifatti: f(x) x 0 g(x) = x 3 5x 2 + 3x x 0 3x = x 0 x(x 2 5x + 3) 3 x = x 0 x 2 5x = 1. Pertato, per x 0, risulta determiate ai fii dello studio del comportameto del poliomio per x 0 il termie di grado iferiore, 3x, detto termie pricipale. Gli altri addedi, ifiitesimi di ordie superiore, vegoo raggruppati ella scrittura o(x) (che si legge o piccolo di x), a sigificare che si tratta di fuzioi che tedoo a 0 più velocemete della poteza x = x 1.

9 9 Nel caso di u poliomio scriveremo, i modo del tutto equivalete, x 3 5x 2 + 3x = +3x + o(x) 3x per x 0. Il risultato ricavato i questo primo esempio è estedibile a qualsiasi poliomio ifiitesimo (per x x 0 ): avremo allora approssimazioi quali 4x 2 x + x 8 = x + o(x) x per x 0, x 3 + x 2 = x 2 + o(x 2 ) x 2 per x 0, e così via. Tuttavia NON è ecessario che il puto di accumulazioe sia x 0 = 0. ESEMPIO 2. Cosideriamo per x + la fuzioe f(x) = 1 x 3 5 x x 5. Poiché x +, si avrà chiaramete che 1 x 3, 5 x 2, 7 x 5 0. Si potrebbe ache scrivere f(x) = ( ) x Posto y := 1, si avrebbe, per x +, che y 0. x Pertato, per le cosiderazioi precedeti, avremo ( ) x ( ) 5 1. x f(y) = y 3 5y 2 + 7y 5 = 5y 2 + o(y 2 ) 5y 2 poiché y 0, ovvero f(x) = 1 x 3 5 x x 5 = 5 x 2 + o ( 1 x 2 ) 5 x 2 per x +. ALTRI ESEMPI ESEMPIO 3.

10 10 Cosideriamo il ite di fuzioe log(1 2x 2 ) x 0 1 cos(3x). [ ] 0 Il ite, come si vede facilmete, si preseta ella forma idetermiata : (1 2x 2 ) 1 0 per x 0, la fuzioe log è cotiua i 1, per cui log(1 2x 2 ) log 1 = 0 per x 0. Aalogamete, 3x 0 per x 0, la fuzioe cos è defiita e cotiua i x = 0, pertato 1 cos(3x) 1 cos 0 = 1 1 = 0. Poiché sia umeratore che deomiatore soo ifiitesimi (tedoo cioè a 0), cercheremo di sostituirli, el calcolo del ite, co degli ifiitesimi ad essi equivaleti dedotti dai iti otevoli. Ricordiamo che log(1 + y) y per y 0. Nel ostro esercizio si ha log(1 2x 2 ) = log [ 1 + ( 2x 2 ) ] ( 2x 2 ) per x 0 dal mometo che y = ( 2x 2 ) 0 quado x 0. Acora, sempre dai iti fodametali, sappiamo che 1 cos y 1 2 y2 per y 0. Ne segue che, poiché y = 3x 0 per x 0, si avrà 1 cos(3x) = 1 2 (3x)2 = 9 2 x2 per x 0. Toriamo al ite assegato e troviamo, seza aver geerato delle cacellazioi, log(1 2x 2 ) x 0 1 cos(3x) = 2x 2 4 = x x2 ESEMPIO 4. Cosideriamo il ite x 1 (e x e) 2 si(3x 3) arcta(1 x). Grazie alla cotiuità delle fuzioi e t, si t, arcta t, e cosiderato che x 1, il ite si

11 [ ] 0 preseta ella forma idetermiata. 0 Cerchiamo di trattare ciascu fattore per mezzo delle sostituzioi co gli ifiitesimi equivaleti dedotti dai iti fodametali. Comiciamo co il fattore (e x e) La variabile idipedete x tede a 1, pertato o possiamo applicare immediatamete il ite otevole e la coseguete approssimazioe e y 1 y 0 y = 1 (e y 1) y per y 0. Procediamo el seguete modo. Risulta, raccogliedo a fattor comue, ( ) e e x x e = e e 1 = e(e x 1 1). A questo puto, posto y = (x 1), si ha che y 0 poiché per ipotesi x 1. Pertato il fattore (e x 1 1) è proprio della forma (e y 1) co y 0. Poiché e y 1 y per y 0, avremo, el ostro caso, e x 1 1 (x 1) per x 1, da cui, i particolare, (e x e) = e (e x 1 1) e (x 1) per x 1, e, acora, (e x e) 2 [e (x 1)] 2 = e 2 (x 1) 2 per x 1. Cosideriamo il secodo fattore, si(3x 3). Si ha chiaramete 3x 3 0 per x 1.

12 12 Coviee quidi porre y = (3x 3) = 3(x 1) 0 e ricorerre all approssimazioe si y y per y 0, da cui si (3x 3) 3(x 1) per x 1. Ifie, l ultimo termie, arcta(1 x), verrà trattato facedo riferimeto all approssimazioe dedotta dal ite fodametale arcta y y per y 0, arcta y y 0 y Posto y = (1 x) = (x 1) 0 per x 1, avremo, per il teorema di sostituzioe, = 1. arcta (1 x) (1 x) = (x 1) per x 1. Riscriviamo il ite di parteza sostituedo a ciascu fattore ifiitesimo u proprio ifiitesimo poliomiale equivalete dedotto dai iti fodametali e dal teorema di sostituzioe. Si trova x 1 (e x e) 2 si(3x 3) arcta(1 x) = x 1 e 2 (x 1) 2 3 (x 1) [ (x 1)] = e2 3.

13 13 FUNZIONI INFINITE Aalogamete a quato accade per gli ifiitesimi, si dao defiizioi del tutto aaloghe per le fuzioi ifiite, vale a dire quelle fuzioi che tedoo all ifiito quado x x 0. I particolare, el calcolo di u ite, si cercherà di sostituire ua fuzioe ifiita co u ifiito ad essa equivalete i u itoro di x 0. Ricordiamo quidi le defiizioi di fuzioi ifiite e, i particolare, di ifiiti equivaleti. Ua fuzioe f defiita i u itoro di x 0 si dice ifiita per x x 0 se f(x) = ±. x x 0 Date due fuzioi f, g defiite i u itoro di x 0 ed etrambe ifiite per x x 0, si dice che: f è u ifiito di ordie superiore rispetto a g se e solo se f(x) x x 0 g(x) = ± ; i altre parole, la fuzioe f tede all ifiito più velocemete di quato teda la fuzioe g. Si pesi, ad esempio, alle fuzioi f(x) = x 3 e g(x) = x, etrambe ifiite per x +. Si ha f(x) x x 0 g(x) = x 3 x x 0 x = x + x2 = +, cioè la fuzioe f(x) = x 3 è u ifiito di ordie superiore rispetto a g(x) = x. f è u ifiito di ordie iferiore rispetto a g se e solo se f(x) x x 0 g(x) = 0; i altre parole, la fuzioe f tede all ifiito meo velocemete di quato teda la fuzioe g. Si pesi all esempio precedete, scambiao f co g. Nel caso delle fuzioi del tipo x, l ordie di ifiito è tato maggiore quato maggiore è il grado. f e g soo ifiiti dello stesso ordie se e solo se f(x) x x 0 g(x) = l R \ {0}. I altre parole, due fuzioi f e g soo ifiiti dello stesso ordie quado tedoo all ifiito alla stessa maiera (essua delle due è più veloce el tedere all ifiito).

14 Ache per le fuzioi ifiite, merita particolare attezioe il caso degli ifiiti equivaleti, estremamete utili el calcolo dei iti. Più el dettaglio, date due fuzioi f e g etrambe ifiite per x x 0, diremo che f e g soo ifiiti equivaleti per x x 0 se e solo se 14 e scriveremo f(x) x x 0 g(x) = 1 f g per x x 0. La somigliaza tra f e g per x x 0 è quidi molto forte (tato da risultare uguale a 1 il precedete ite). Come specificato per gli ifiitesimi, osserviamo che ache gli ifiiti equivaleti a ua data fuzioe f per f x 0 soo geeralmete ifiiti. Tuttavia, ello svolgimeto degli esercizi, si cercherà di idividuare delle fuzioi semplici. L idea, come vedremo, sarà quella di sostituire, el calcolo di u ite, ua fuzioe ifiita f co UN ifiito ad essa equivalete a patto di o creare forme idetermiate o cacellazioi. Prima di procedere col calcolo dei iti, è opportuo richiamare le pricipali fuzioi/successioi e ordiarle i base al loro ordie di ifiito. I particolare si hao le segueti scale di ifiiti (i ordie crescete, dalle fuzioi co ordie di ifiito iferiore alle fuzioi co ordie di ifiito via via superiore). SCALA DEGLI INFINITI (per successioi e fuzioi) log α (co α > 0) q (co q > 1)! per + Ogi termie della scala va all ifiito più rapidamete di qualsiasi altro termie che lo precede. Avremo quidi e così via. + 2 ( + 1)! = 0, 3 + log log = +, to+ 3 = 0,... Ache per le fuzioi reali di variabile reale vale ua scala aaloga (per x + ): log x, x α co α > 0, a x co a > 1 per x +, co le medesime cosiderazioi del caso delle successioi.

15 15 Chiaramete, grazie al teorema di sostituzioe (per fuzioi e successioi), i precedeti risultati possoo essere estesi al caso i cui l argometo delle fuzioi coivolte o sia esattamete x o, acora, al caso i cui il puto di accumulazioe o sia ecessariamete +. ESEMPIO. Cosideriamo il ite x x 3 log( x), i cui il puto di accumulazioe è. Poiamo y = x, da cui x = y. Risulta quidi y + quado x. Il ite diviee x x 3 log( x) = ( y) 3 y + log y = y + y 3 log y = (+ ) =, dove il ite dell ultimo quoziete vale + a causa della scala degli ifiiti per x +. CALCOLO DI LIMITI CON GLI INFINITI EQUIVALENTI Nel calcolo di u ite è utile approssimare u fattore ifiito co u ifiito ad esso equivalete per x x 0. Aalizziamo, co degli esempi, le varie situazioi che si possoo presetare. A) FUNZIONI POLINOMIALI Partiamo co u esempio. Data la fuzioe f(x) = 2x 3 5x + 1, risulta che f(x) = +. x + Dimostreremo che f(x) = 2x 3 5x + 1 g(x) = 2x 3 per x +. Per provarlo sarà sufficiete verificare, i base alla defiizioe di ifiiti equivaleti, che f(x) x + g(x) = 2x 3 5x + 1 = 1. x + 2x 3

16 16 Risulta ifatti ( f(x) x + g(x) = 2x 3 x x + 1 x + 1 ) = 2 x 3 = x + 2x 3 x + 2x 3 i quato le frazioi 1 5 = x x 3 x + 1 = 1, 5 x e 1 tedoo a 0 quado x tede a +. 2 x3 Da questo semplice esempio possiamo dedurre ua regola geerale: data ua fuzioe PO- LINOMIALE, per idividuare u ifiito ad essa equivalete per x ± è sufficiete cosiderare il termie di grado maggiore, vale a dire l ifiito di ORDINE SUPERIORE. Avremo pertato x 4x x 5 per x ±, e così via. 1 2 x8 7x x8 per x ±, Nel calcolo dei iti co x ± sostituiremo quidi, per semplicità, u fattore di tipo poliomiale co il suo termie di grado più alto. Tale procedura si applica ache quado il poliomio è elevato a ua poteza α > 0. Avremo quidi (3x 1) 4 (3x) 4 per x +, ( ) 2 ( 2 ) 2 = 4 per +,... e aaloghe. B) LOGARITMI CON ARGOMENTO POLINOMIALE Ache el caso di logaritmi il cui argometo sia u poliomio, quado la variabile idipedete tede all ifiito si può cosiderare solo il termie di grado superiore ell argometo di ciascu logaritmo. Mostriamo u esempio. ESEMPIO 1. Cosideriamo, per x +, la fuzioe f(x) = log ( 2x 3 5x + 1 ).

17 17 Possiamo affermare che f(x) = log(2x 3 5x + 1) log(2x 3 ) = g(x) per x +. Per provarlo verificheremo, i base alla defiizioe di ifiiti equivaleti, che Risulta ifatti f(x) x + g(x) = 1. f(x) x + g(x) = log (2x 3 5x + 1) x + log(2x 3 ) log x 3 + log (2 5x + 1x ) log x 3 = 2 3 = x + log 2 + log x 3 x + [ log x 3 (2 5x + 1x )] = 2 3 x + log(2 x 3 ) log 1 + log (2 5x + 1x ) log x = 3 = 1. x + log 2 log x = (2 5x + 1x ) 2 3 log x 3 ( ) = log 2 log x 3 log x Abbiamo quidi provato che f(x) = log(2x 3 5x + 1) e g(x) = log(2x 3 ) soo due ifiiti equivaleti per x +. Nel calcolo di u ite potremo quidi sostituire (a patto di o creare forme idetermiate) log(2x 3 5x + 1) co log(2x 3 ) quado x +. I realtà, si potrebbe dire di meglio. Osserviamo iazitutto che ifatti, log(2x 3 ) log(x 3 ) per x + : ( ) log 2 log(2x 3 ) x + log(x 3 ) = log 2 + log x 3 log x 3 log x + 1 = 3 = 1. x + log x 3 x + log x 3 Ne segue che log ( 2x 3 5x + 1 ) log ( 2x 3) log ( x 3) per x +,

18 18 quidi log ( 2x 3 5x + 1 ) log ( x 3) per x +. Da questo esempio deduciamo ua regola pratica applicabile ogiqualvolta NON si geeri ua forma idetermiata: u logaritmo il cui argometo sia u poliomio di grado si comporta come log(x ), ovvero log x per x +. Si avrao quidi le segueti approssimazioi: log(x 2 + 5x 8 1) log ( x 8) = 8 log x per x +, log (3x 1) log x per x +, e così via. log ( 2x 5 + x + 1 ) log ( x 5) = 5 log x per x +, Chiaramete, come si diceva sopra, se si dovesse verificare ua forma idetermiata, tali approssimazioi o sarebbero lecite per stabilire il risultato del ite. ESEMPIO 2. Cosideriamo il ite [ ( log 5x ) log ( x 3)], x + che si preseta ella forma idetermiata [+ ]. Applichiamo la proprietà dei logaritmi e otteiamo Poiché x +, possiamo scrivere [ ( log 5x ) log ( x 3)] = log x + x + ( 5x x 3 ). da cui log x + ( ) 5x x 3 5x x 3, = x + log ( ) 5x 3 x 3 = log 5 = log 5. x +

19 19 ESEMPIO 3. Cosideriamo, ivece, il ite [ ( log 5x ) log ( x 7)], x + che si preseta ach esso ella forma idetermiata [+ ]. Applicado la solita proprietà dei logaritmi troviamo Poiché [ ( log 5x ) log ( x 7)] = log x + x + 5x x 3 per x +, ( 5x x 7 ). avremo, per x +, ( ) 5x log x 7 ( ) 5x 3 log x 7 ( ) 5 = log = ( log 5 log x 4) = (log 5 4 log x). x 4 Acora, poiché 4 log x metre log 5 log 5, completado l approssimazioe precedete troviamo ( ) 5x log x 7 (log 5 4 log x) 4 log x per x +. Torado al ite origiario e iseredo le varie approssimazioi, troviamo log x + ( ) 5x x 7 = 4 log x =. x + C) FUNZIONI COSTITUITE DA PIÙ ADDENDI DI VARIO TIPO ESEMPIO 1. Data la fuzioe f(x) = x 2 3 log x + e 2x 1, verificare che f è ifiita per x + e trovare u ifiito ad essa equivalete.

20 Si verifica facilmete che f è costituita da più addedi ifiiti: ifatti, se x +, risulta x 2 +, 3 log x ed e 2x = (e 2 ) x +, trattadosi di u fattore del tipo a x co a = e 2 > 1 e x +. Si chiede di idividuare u ifiito equivalete a f(x). Nel caso i cui la fuzioe sia costituita da più addedi ifiiti si segue ua regola pratica (di cui cotrolleremo la validità) che ci cosete di idividuare u ifiito equivalete (il più semplice possibile) alla fuzioe data. La regola è la seguete: ua fuzioe ifiita è equivalete all addedo di ifiito di ordie superiore. Nel caso di ua fuzioe poliomiale ci si può itare a cosiderare il termie di grado più alto (come abbiamo già avuto modo di costatare); se, ivece, la fuzioe è costituita da addedi di atura differete (poteze, espoeziali, logaritmi), la scala degli ifiiti ci cosetirà di idividuare u ifiito equivalete (che potremo quidi sostituire ad f, sempre che o si verifichio forme idetermiate). Torado alla fuzioe assegata ell esercizio, f(x) = x 2 3 log x + e 2x 1, 20 il termie che per x + va all ifiito più rapidamete degli altri è e 2x, fuzioe espoeziale co base strettamete maggiore di 1. Pertato potremo affermare che f(x) = x 2 3 log x + e 2x 1 e 2x se x +. Per VERIFICARE che le due fuzioi siao effettivamete equivaleti per x +, cotrolliamo che sia soddisfatto il ite della defiizioe di ifiiti equivaleti, ossia Si ha iazitutto f(x) x + g(x) = x + ( x 2 e 2x 3 log x e2x f(x) x + g(x) = ) e 2x e 2x = e 2x x + x 2 3 log x e2x 1 e 2x e 2x. Cosideriamo i sigoli addedi. Baalmete 1 e 2x 0 poiché e 2x + quado x +. x 2 3 log x Le frazioi, tedoo etrambe a 0 quado x + a causa della gerarchia degli e2x e 2x ifiiti richiamata poco fa.

21 21 Pertato si ha f(x) x + g(x) = x 2 3 log x + e 2x 1 x + e 2x ( x 2 3 log x = ) = 1, x 0 e2x e 2x e 2x cioè f(x) = x 2 3 log x + e 2x 1 e g(x) = e 2x soo due ifiiti equivaleti per x +. La regola pratica che abbiamo dato (quella di cosiderare il termie che ha ifiito di ordie superiore) ci cosete effettivamete di idividuare u ifiito equivalete a ua fuzioe data. ESEMPIO 2. Si calcoli il ite x 4 log x + 1, x + log x + 7x 2 ricorredo alle sostituzioi delle fuzioi ifiite co degli ifiiti ad esse equivaleti. Poiché x +, risulta log x + e x 2 +. Aalizziamo ciascu fattore che costituisce la fuzioe f, comiciado dal umeratore, vale a dire x 4 log x + 1. Grazie alla scala degli ifiiti (per la quale x è u ifiito di ordie superiore rispetto a log x) avremo x 4 log x + 1 x per x +. Per quato riguarda il deomiatore, ivece, avremo log x+7x 2 +7x 2 per x +. No si soo verificate forme idetermiate. Possiamo riscrivere il ite iiziale sostituedo ciascu fattore (ifiito) col proprio ifiito equivalete più semplice. Si ha x 4 log x + 1 = x + log x + 7x 2 x + x +7x 2 = x + 1 7x = 0. ESEMPIO 3.

22 22 Si calcoli il ite e x 5 log x + 2 x + 2 x + log x x. 3 Il umeratore, e x 5 log x + 2, ( ) x 1 è formato da tre addedi: e x NON tede a + : si può ifatti scrivere e x = (e 1 ) x =, e vale a dire ua fuzioe espoeziale co base 0 < a < 1, quidi tedete a 0 se x +. Il termie 5 log x, ivece, tede a. Ifie, il termie +2 è costate e tede a +2. I defiitiva, il umeratore tede a ed è equivalete, ad esempio, all UNICO addedo che tede all ifiito, vale a dire 5 log x. Cioè e x 5 log x log x per x +. Il deomiatore è formato da tre addedi, tutti tedeti all ifiito. I particolare, 2 x è di tipo espoeziale co base a = 2 > 1, quidi tedete a + quado x + ; ache log x e x 3 soo addedi ifiiti per x +. Dalla gerarchia degli ifiiti, sappiamo che 2 x va all ifiito più velocemete degli altri termii. Pertato avremo 2 x + log x x 3 2 x per x +. Il ite origiario diviee quidi e x 5 log x log x 5 log x = = = 0 +, x + 2 x + log x x 3 x + 2 x x + 2 x poiché, dalla gerarchia degli ifiiti, sappiamo che q x co q > 1, è u ifiito di ordie superiore rispetto a log x per x +. ESEMPIO 4. Si calcoli il ite x + x 2 3 log x x 5. e x 1 A umeratore compaioi tre addedi ifiiti: riferedoci alla scala degli ifiiti, possiamo subito scartare il termie 3 log x ella idividuazioe dell ifiito equivalete. Rimagoo i termii x 2 e x 5. Poiché, el caso delle poteze, l ifiito di ordie superiore è dato dal termie elevato

23 23 a poteza maggiore, avremo x 2 3 log x x 5 x 5 per x +. Il deomiatore tede a + (perché x + ) e si ha baalmete e x 1 e x se x +. Troviamo quidi x 2 3 log x x 5 x + e x 1 x 5 = = 0, x + e x poiché e x è u ifiito di ordie superiore rispetto a x α, α > 0. Se si veri- No sempre, tuttavia, queste sostituzioi co gli ifiiti equivaleti soo lecite. ficao forme idetermiate bisoga agire diversamete. D) CASO DELLE RADICI QUADRATE ESEMPIO 1. Calcolare il ite ( x2 5x + 1 x). x + La fuzioe è costituita da u uico fattore, vale a dire ( x 2 5x + 1 x ). Il radicado x 2 5x+1 è u poliomio. Se procedessimo co l approssimazioe di u poliomio col suo addedo di grado maggiore, troveremmo, per x +, ( x2 5x + 1 x) ( x2 x) = x x, vale a dire ua FORMA INDETERMINATA. Potrebbe veire spotaeo affermare che il ite assegato valga 0 (a causa dell approssimazioe (x x) appea trovata); ora mostreremo che il ite o vale 0. Bisoga idividuare qualche altra strategia di calcolo che rimadi, a ua fase successiva, le approssimazioi dei termii ifiiti co degli ifiiti equivaleti. I questi casi può essere utile razioalizzare la fuzioe e riscriverla i altro modo. Risulta ( x2 5x + 1 x) ( ) ( x2 5x x ) = x2 5x + 1 x ( x2 5x x ) = x2 5x + 1 x 2 ( x2 5x x ) =

24 24 = 5x + 1 ( x2 5x x ). Precisiamo che o abbiamo acora approssimato alcu termie: ci siamo solo itati a scrivere diversamete la fuzioe. Applichiamo le sostituzioi co gli ifiiti equivaleti sia a umeratore che a deomiatore. Per il umeratore si ha baalmete A deomiatore si ha ( x2 5x x) 5x + 1 5x per x +. ( x2 + x) = x + x = 2x per x +. NON si è creata ua forma idetermiata, quidi l approssimazioe del radicado (x 2 5x + 1) co x 2 è lecita. Possiamo ora calcolare il ite iiziale. Si ha ( 5x + 1 x2 5x + 1 x) = x + x + x2 5x x = Come aticipato prima, il ite o risulta 0. ESEMPIO 2. Calcolare il ite 5x = x + 2x = 5 x + 2 = 5 2. x x2 2x x log( x) e 2x + 4x. La fuzioe è costituita da due fattori, uo a umeratore e uo a deomiatore. Aalizziamo il comportameto del umeratore, x2 2x x quado x. Poiché il radicado è u poliomio, comiceremo ad approssimarlo cosiderado l addedo di grado superiore. Ricordado che x2 = x := { x se x 0 x se x < 0

25 25 e cosiderato che l ipotesi x implica x < 0 da cui x = x, si trova x2 2x x x 2 + 3x = x + 3x = x + 3x = 2x per x. L approssimazioe del radicado co l ifiito equivalete NON ha portato a ua forma idetermiata: la sostituzioe è quidi lecita. Cosideriamo il deomiatore della frazioe: solo due addedi soo ifiiti, log( x) e 5x. Notiamo ifatti che e 2x = (e 2 ) x è ua fuzioe espoeziale co base a > 1 che tede a 0 quado la variabile idipedete tede a. Il logaritmo ha perfettamete seso i quato il suo argometo è x. Posto y = x, si ha immediatamete y + e log( x) = log y = +. x y + A parte il termie ifiitesimo e 2x, tra i due addedi rimaeti quello che va all ifiito più velocemete è 4x. Pertato avremo log( x) e 2x + 4x 4x quado x. Possiamo quidi calcolare il ite sostituedo a ciascu fattore il proprio ifiito equivalete ricavato. Risulta x x2 2x x log( x) e 2x + 4x = 2x x 4x = 1 2.

26 26 ESERCIZI VARI 1) Si calcoli il ite x + (x2 4x + 3) [log ( x ) log x 2]. Svolgimeto. La fuzioe è costituita da due fattori. Cerchiamo di aalizzare il comportameto di ciascu fattore per poterlo sostituire co u ifiitesimo o u ifiito ad esso equivalete al fie di semplificare la struttura del ite. Poiché x +, il fattore poliomiale (x 2 4x + 3) si comporta come il suo addedo di grado maggiore, vale a dire x 2 ; cioè x 2 4x + 3 x 2 per x +. Nel ite sostituiremo quidi il fattore x 2 4x + 3 co x 2. Cosideriamo il secodo fattore, vale a dire [log (x 2 + 3) log x 2 ]. Se procedessimo co le approssimazioi degli argometi dei logaritmi avremmo [ log ( x ) log x 2] log(x 2 ) log(x 2 ), vale a dire ua forma idetermiata. Bisoga cambiare tecica. I questi casi può essere utile applicare la proprietà dei logaritmi per cui la differeza di due logaritmi è uguale al logaritmo del quoziete dei due argometi origiari. Si avrà quidi [ ( log x ) log x 2] ( ) ( x x 2 = log = log x 2 x + 3 ) = log (1 + 3x ). 2 x 2 2 Poiché x +, si avrà y = 3 x 2 0. Ricordado che log(1 + y) y per y 0, potremo scrivere, el ostro caso, log (1 + 3x ) 2 3 x 2 per x +. Riscriveremo quidi al posto del fattore [log (x 2 + 3) log x 2 ] l ifiitesimo ad esso equivalete

27 27 3 x 2. Torado al ite origiario, troviamo x + (x2 4x + 3) [log ( x ) log x 2] = x + x2 3 x = 2 3 = 3. x + 2) [T.E. 22/01/2007] Si calcoli il valore del ite + ( ) log ( 2 + 2!). Svolgimeto. Cosideriamo i vari fattori. Il primo fattore, 2, si preseta già i forma favorevole (e, ovviamete, tede all ifiito). Per quato riguarda il secodo fattore, 3 1, ci accorgiamo della preseza di u addedo i cui compare la sia alla base che all espoete: come già precisato i aula, coviee i questo caso teer presete la be ota uguagliaza y = e log y, per ogi y > 0. Applichiamola co y = 3 : si ha 3 = e log 3 = e 3 log. Pertato ) ( 3 1 = ( ) ) e 3 log 1 = (e 3 log 1. Poiché, dalla gerarchia degli ifiiti, sappiamo che è u ifiito di ordie superiore rispetto a log, si ha 3 log + = 0.

28 28 ) Pertato il fattore (e 3 log 1 tede a (e 0 1) = 0. Si tratta di u fattore ifiitesimo per +. Cerchiamo di approssimare tale fattore co u ifiitesioo ad esso equivalete. La struttura del fattore fa pesare immediatamete all approssimazioe e y 1 y quado y 0. Effettivamete siamo elle codizioi per poter ricorrere a tale approssimazioe. Posto ifatti si ha, per quato osservato i precedeza, y = 3 log, y = 3 log 0 per +. Possiamo quidi procedere co l approssimazioe e scrivere ) (e 3 log 1 3 log Quado riscriveremo il ite, sostituiremo al fattore 3 log. Il terzo e ultimo fattore, log( 2 + 2!) per +. ( ) e 3 log 1 l ifiitesimo equivalete tede all ifiito. Quado l argometo di u logaritmo è la somma di più addedi che tedoo all ifiito, abbiamo visto che è possibile cosiderare solamete il termie che ha ifiito di ordie superiore rispetto agli altri e trascurare gli ifiiti di ordie iferiore (oltre che i termii fiiti), a patto di o geerare delle forme idetermiate. Poiché 2 è u ifiito di ordie superiore rispetto a!, e segue che possiamo riscrivere log( 2 + 2!) log( 2 ) = 2 log per +. Possiamo riscrivere il ite origiario sostituedo ai vari fattori i rispettivi ifiitesimi/ifiiti equivaleti. Si trova ( ) 2 e 3 log 1 + log( 2 + 2!) 2 3 log = + 2 log = = 3 2.

29 29 3) [T.E. 26/01/2009] Si calcoli il valore del ite log + si ( + 2) + log 1 + si 1. Svolgimeto. Cosideriamo i vari fattori. Comiciamo dal fattore a umeratore, + 7 log + si. Stabiliamo a cosa tede ogi addedo: l addedo tede all ifiito (come è be oto); l addedo 7 log tede all ifiito, perché prodotto di successioi ifiite; per quato riguarda si, azitutto ricordiamo che NON ESISTE si ; + sappiamo solo che il seo è ua fuzioe LIMITATA oscillate tra i valori 1 e 1. Il fattore che moltiplica il seo tede al ifiito; pertato, ell isieme, o esiste il ite si. + D altra parte ciò che a oi iteressa è idividuare, all itero del fattore, l ifiito di ordie superiore per poterlo sostituire all itero fattore: el ostro caso si tratta di. Sappiamo dalla gerarchia degli ifiiti che è u ifiito di ordie superiore delle successioi che lo precedoo; si può verificare facilmete che è u ache ifiito di ordie superiore a 7 log (che è il prodotto di due successioi che precedoo ella scala degli ifiiti). Ioltre, è pure ifiito di ordie superiore rispetto a si, cioè si = 0. + Ifatti, essedo 1 si 1,

30 30 segue immediatamete che si, e quidi, poiché la prima e l ultima successioe della disuguagliaza tedoo a 0 per, pure la successioe cetrale tede a 0 (per il Teorema del Cofroto). Quidi l addedo è effettivamete l ifiito di ordie superiore del primo fattore, quidi u ifiito equivalete al fattore stesso. Quidi scriveremo + 7 log + si per +. Cosideriamo ora il secodo e ultimo fattore, vale a dire il deomiatore [ ( + 2) + log 1 + si 1 ]. Vediamo il comportameto di ogi addedo. Si ha ( + 2) + per +. L addedo log 1 = log() 1 = ( 1) log = log, tede a. L addedo si 1 = si se +, a causa del ite otevole si y y 0 y = 1 utilizzato poedo y = 1. Pertato, el secodo fattore, vi è la preseza di due addedi ifiiti per + e di u addedo che tede a u umero fiito.

31 31 Siamo quidi iteressati a idividuare l ifiito di ordie superiore, vale a dire ( + 2). Pertato possiamo riscrivere il ite iiziale come ossia + ( ( + 2), ) {( = } 1. + ) A questo puto vogliamo utilizzare il ite otevole t 0 (1 + t) 1 t = e, essedo el ostro caso t = 2 0 per +. Per il teorema di sostituzioe, occorre avere all espoete l iverso di t, vale a dire l iverso di cioè 2, 2. Per fare ciò dividiamo e moltiplichiamo per 2 (i quato il fattore è già presete). Si ha + { ( ) } = e 2 (risultato otteuto utilizzado il ite otevole richiamato e il teorema di sostituzioe). 4) Si calcoli il valore del ite e 2x e 2x x 0 ta(3x). Svolgimeto.

32 32 Poiché e 2x = 1 e 2x, possiamo riscrivere il ite come e 2x 1 e 4x 1 e 2x x 0 ta(3x) = e 2x x 0 ta(3x) = x 0 e 4x 1 e 2x ta(3x). Osserviamo azitutto che Possiamo pertato riscrive il ite come che si preseta ella forma idetermiata Aalizziamo i sigoli fattori. Comiciamo col fattore e 2x 1 quado x 0. x 0 e 4x 1 ta(3x), [ ] 0. 0 e 4x 1. Poiché per x 0 si ha 4x 0 e poiché la fuzioe espoeziale è cotiua i 0, si ha che e 4x 1 e 0 1 = 0. Il fattore è quidi ifiitesimo. Cercheremo di sostituirlo co u ifiitesimo ad esso equivalete. Poiché e y 1 y se y 0, posto y = 4x, si ha chiaramete y 0 e, per il teorema di sostituzioe, e 4x 1 4x per x 0. Sostituiremo quidi e 4x 1 co l ifiitesimo equivalete 4x.

33 33 Il secodo fattore, ta 3x è ach esso ifiitesimo poiché 3x 0 e ta 0 = 0. Grazie all approssimazioe ta y y per y 0, avremo, posto y = 3x 0, ta 3x 3x per x 0. Torado al ite origiario e sostituedo a ciascu ifiitesimo l ifiitesimo ad esso equivalete dedotto dai iti otevoli, troviamo e 4x 1 x 0 ta 3x = 4x x 0 3x = ) [T.E. 11/01/2010] Si calcoli il valore del ite ( ) 7!( + 1) si ( + 1)! ( + 2) Svolgimeto. Cosideriamo i vari fattori. Il umeratore è dato dal prodotto di tre fattori:! ed ( + 1) si presetao già i forma favorevole. Il fattore ( ) 7 si ( + 1)! è ifiitesimo (cioè tede a 0) per tedete all ifiito. Ifatti, ricordado la scala delle successioi otevoli, si ha + 7 ( + 1)! = 0,

34 34 e di cosegueza, per il teorema di sostituzioe, ( ) 7 si = 0. + ( + 1)! Trattadosi di u fattore ifiitesimo, cercheremo di sostituirlo co u ifiitesimo ad esso equivalete per +. Poiché si y y per y 0, 7 posto y = (che, come osservato sopratede a 0 quado + ) otteiamo, per il ( + 1)! teorema di sostituzioe, ( ) 7 si ( + 1)! Ifie, il fattore a deomiatore, ( 7 ) ( + 1)! 2 + ( + 2) per +. costa di due addedi che tedoo etrambi a +. Poiché ( + 2) è l ifiito di ordie superiore, avremo che 2 + ( + 2) ( + 2) per +. OSSERVAZIONE IMPORTANTE: Sarebbe u errore proseguire co l approssimazioe e scrivere ( + 2) per +. Ifatti, sosteere che sia u ifiito equivalete a ( + 2) sigificherebbe affermare che il risultato del ite ( + 2) + sia uguale a 1 (a causa della defiizioe di ifiiti equivaleti). I realtà il precedete ite NON risulta uguale a 1. Si ha ifatti ( + 2) = + + ( + 2 ) ( = = + ) = + { ( ) } 2 2 = e 2 1.

35 35 Pertato è FALSO affermare che ( + 2) e siao ifiiti equivaleti (e quidi è sbagliato sostituire ( + 2) co el calcolo del ite). Terremo l itero fattore ( + 2). Fatte queste premesse, possiamo riscrivere il ite come ( ) 7!( + 1) si ( + 1)! = ( + 2) + 7 ( + 1)!! ( + 1) 7 = ( + 2) + ( + 1)! ( + 2).! ( + 1) Ricordiamo che ( + 1)! = ( + 1)!, pertato si ha +!( + 1) 7 ( + 1)! ( + 2) = + ( + 1) 7 ( + 1) ( + 2). Poiché = 7 + = 7, possiamo riscrivere il ite come ( ) ( + 1) ( + 2) = Poiché si ha ( + 1), ( + 2) per +, = 1 per + ; siamo quidi i preseza di ua forma idetermiata del tipo [1 ] che ci suggerisce di far riferimeto a uo dei due iti otevoli Cosideriamo, ad esempio, il secodo. ( ) y = e oppure y y (1 + y) 1 y = e. y 0 Dobbiamo quidi cercare di riscrivere ( )

36 36 ella forma (1 + y) co y 0. Per fare ciò, cerchiamo di far comparire a umeratore la stessa espressioe che compare a deomiatore, vale a dire + 2. Procediamo aggiugiedo e togliedo 2 el seguete modo: ( ) + 1 = + 2 otteedo quato desiderato. ( ) ( ) = = ( ) ( = ), Pertato si ha ( ) ( + 1 = ) La struttura è proprio quella del ite otevole essedo el ostro caso y = (1 + y) 1 y, y 0 I forza del teorema di sostituzioe, occorre duque moltiplicare (e dividere) l espoete della toda per il reciproco di y, cioè Si perviee duque al ite = ( + 2). { ( ) } (+2) 1 +2 { ( = ) } (+2) per il teorema di sostitutioe ed essedo ioltre = 7 e 1, = + = 1. 6) [T.E. 29/01/2010] Si calcoli il valore del ite

37 37 + ( ) 4 1 [cos 2 ] 1 log (1 + 7 ). + 3 Svolgimeto. La successioe è composta da tre fattori. Il fattore 4 = 1/4 +, trattadosi di ua poteza del tipo α co α > 0. Osservado il secodo fattore ( ) 1 cos 1, 2 ci si accorge immediatamete che, poiché y = 1 0 per +, che coviee ricodursi al 2 ite fodametale dal quale segue l approssimazioe 1 cos y = 1 y 0 y 2 2, 1 cos y 1 2 y2 quado y 0. Raccogliamo u sego meo e troviamo [ ( ) ] [ ( )] 1 1 cos 1 = 1 cos 2 2 [ ( ) ] = 2 2 = per +. Cosideriamo il fattore log (1 + 7 ) +, 3 el quale compare la sottrazioe di due radici quadrate.

38 38 Osservado il primo radicado, log (1 + 7 ) +, 3 poiché per +, il termie log ( ) tede a log 1 = 0. Ne segue che solo l addedo tede a +. Pertato, i prima approssimazioe, avremmo log (1 + 7 ) + per +. 3 Tuttavia, seguedo questa prima approssimazioe, si otterrebbe, per l itero fattore, log (1 + 7 ) + per +, 3 vale a dire ua FORMA INDETERMINATA. Per idividuare l adameto del fattore è quidi ecessario procedere co la razioalizzazioe. Si trova log (1 + 7 ) + = 3 log (1 + 7 ) + 3 log (1 + 7 ) log (1 + 7 ) = = log (1 + 7 ) 3 log (1 + 7 ) A questo puto risulta possibile studiare l adameto dei sigoli fattori e idividuare degli ifiiti o ifiitesimi ad essi equivaleti. Il umeratore è ifiitesimo poiché 7 0 per +. Pesado all approssimazioe 3 log(1 + y) y per y 0, si ha, posto y = 7 3, log (1 + 7 ) per +. Al deomiatore o si verifica più la forma idetermiata. Risulta ifatti

39 39 log (1 + 7 ) = 2. 3 I defiitiva abbiamo log (1 + 7 ) + = 3 log (1 + 7 ) 3 log (1 + 7 ) = per +. A questo puto possiamo riscrivere il ite iiziale sostituedo a ciascu termie il proprio ifiitesimo o ifiito equivalete. Troviamo + ( ) 4 1 [cos 2 ] 1 log (1 + 7 ) + 3 ( 1/4 1 ) 2 = 4 = = + 1/4 1/ = /4 = 0, i quato l ifiito a deomiatore è di ordie superiore rispetto all ifiito a umeratore. 7) [T.E. 03/09/2009] Si calcoli il valore del ite ( ) 3 [ si ] ( 1) ( log ). Svolgimeto. Comiciamo co l osservare che la successioe ( 1) = { 1 se è pari 1 se è dispari o ammette ite per. Tuttavia è itata tra 1 e 1. Per stabilire il risultato dell itero ite dobbiamo calcolare a cosa teda il resto della successioe.

40 40 Studiamo quidi il ite ( ) 3 [ si ] ( + log ), procededo come egli esercizi precedeti. Il fattore è ifiitesimo, essedo Poiché ( ) 3 si ( ) 3 0 per +. si y y quado y 0, si ha, posto y = ( ) 3 0, si ( ) 3 ( ) 3 per +. Aalogo discorso per il fattore ( log ). Grazie al ite fodametale, si ha log(1 + y) y per y 0, da cui, posto y = 1, ( log ) 1 per +. Cosideriamo ifie il fattore

41 41 Approssimado il radicado (ifiito) co 2 troveremmo =, vale a dire u forma idetermiata. Procediamo co la razioalizzazioe. Si ha Approssimado, troviamo = = = = per +. Possiamo ora riscrivere il ite di parteza sostituedo a ciascu fattore u fattore ad esso equivalete per +. Si ha ( ) 3 si + log [ ] ( ) = = la successioe è quidi ifiitesima. Ne segue che 21 = + 2 = 0, ( ) 3 [ si ] ( 1) ( log ) = 0, poiché la successioe itata ( 1) risulta moltiplicata per ua successioe ifiitesima. 8) Si calcoli il valore del ite x log(2 cos x) si x. x 0 + Svolgimeto. La preseza dell icogita x sia alla base sia all espoete ci suggerisce di ricorrere alla be

42 42 ota uguagliaza y = e log y, per ogi y > 0. Riscriviamo quidi il ite come elog x log(2 cos x) si x x 0 + = e log(2 cos x) log si x x = x 0 + = e log(2 cos x) log x x 0 + si x, dove l ultima uguagliaza è lecita grazie al teorema di sostituzioe. Preoccupiamoci quidi di calcolare il ite log(2 cos x) log x. x 0 + si x Il fattore si x, tedete a 0, lo trattiamo col solito ite otevole, scrivedo si x x per x 0. Cosiderado ivece il fattore log(2 cos x), ci accorgiamo che, al tedere di x a 0, il fattore tede a log(1) = 0. Si tratta cioè di u fattore ifiitesimo. Come osservato a lezioe, i questi casi si cerca di ricodursi al ite otevole e alla coseguete approssimazioe log(1 + y) y 0 y = 1, log(1 + y) y per y 0. Osserviamo che, el precedete ite fodametale, l argometo del logaritmo tede a 1 come el ostro esercizio.

43 43 Cerchiamo quidi di scrivere log(2 cos x) ella forma log(1 + y), co y 0. Si ha log(2 cos x) = log(1 + 1 cos x) = log [1 + (1 cos x)]. dove y = (1 cos x) 0 quado x 0. Possiamo quidi scrivere log(2 cos x) = log [1 + (1 cos x)] (1 cos x) per x 0. Acora, poiché (1 cos x) 1 2 x2 per x 0, possiamo proseguire co l approssimazioe e scrivere log(2 cos x) = log [1 + (1 cos x)] (1 cos x) 1 2 x2 per x 0. I defiitiva troviamo 1 log(2 cos x) log x = 2 x2 x 0 si x x 0 x a causa del ite fodametale log x = 1 x log x = 0, x 0 2 xα (log x) β = 0 per ogi α, β > 0. x 0 + Torado al ite origiario si trova, dal teorema di sostituzioe, elog x log(2 cos x) si x x 0 + = e log(2 cos x) log x x 0 + si x = e 0 = 1.

44 44 9) Si calcoli il valore del ite ( ) 3 x3 2x x. x Svolgimeto. Se cosiderassimo solamete l ifiito maggiore sotto radice cubica, ossia x 3, otterremmo ua forma idetermiata 3 x 3 (= x) x. Pertato bisoga procedere i altro modo, cercado di far scomparire la radice cubica. Per fare ciò, la tipica razioalizzazioe che coivolge la differeza di due quadrati o è efficace, i quato la radice terza rimae elevado al quadrato. Bisoga quidi cercare di rifarsi alla differeza di due cubi. Ricordiamo che per ogi a, b R risulta (a b)(a 2 + b 2 + ab) = a 3 b 3. Cerchiamo di applicarla al ostro esercizio, essedo a = 3 x 3 2x 2 + 1, b = x. Moltiplichiamo sia umeratore sia deomiatore per il fattore macate della scomposizioe: si ha ( ) 3 x3 2x x = x ( 3 x3 2x x ) ( ( 3 x3 2x ) 2 + x 2 + x 3 x 3 2x 2 + 1) = x ( 3 x3 2x ) 2 + x2 + x 3 x 3 2x Per la scomposizioe richiamata poco fa, si ottiee x (x 3 2x x 3 ) ( 3 x3 2x ) 2 + x2 + x 3 x 3 2x = x che si preseta ella forma idetermiata ( 2x 2 + 1) ( 3 x3 2x ) 2 + x2 + x 3 x 3 2x 2 + 1, [ ].

45 Poiché x e compaioo termii di tipo poliomiale, approssimiamo ciascu termie co l addedo di ifiito di ordie superiore. Si hao le segueti approssimazioi: 45 2x x 2 per x, ( ) 3 2 ( 3 2 x3 2x x 3) = x 2 per x, x 3 x 3 2x x 3 x 3 = x 2 per x. Risulta quidi x ( 2x 2 + 1) ( 3 x3 2x ) 2 + x2 + x 3 x 3 2x = x 2x 2 x 2 + x 2 + x 2 = ) Si discuta, al variare di α R, il valore del ite +! + arcta ( α [( 2)!] 1 cos 1 ). Svolgimeto. Cosideriamo i vari fattori. Il primo fattore, vale a dire il umeratore, costa di due addedi:! e arcta. Poiché! + e arcta π 2, avremo! + arcta! per +. I primi due fattori del deomiatore, α ed ( 2)!, si presetao già i forma favorevole. Il fattore ( 1 cos 1 ), ivece, lo trattiamo col solito ite otevole e la coseguete approssimazioe 1 cos y = 1 y 0 y cos y 1 2 y2 per y 0.

46 46 I particolare, osservato che y = 1 0 per +, si avrà ( 1 cos 1 ) 1 ( ) = 1 per Risulta quidi +! + arcta ( α [( 2)!] 1 cos 1 ) = +! α ( 2)! ( 1)( 2)! 2 = 2 + α ( 2)! = 2 3 ( 1) α = 4 3 = 2 + α Pertato si presetao le segueti evetualità: 4 = 2 +. α se α = 4, il ite vale 2; se α < 4, il ite vale + ; se α > 4, il ite vale 0. 11) [T.E. 23/03/2004] Sia β R. Si discuta, al variare del parametro β, il valore del ite e +β log + 3 si 2 + e Svolgimeto. Applicado la proprietà delle poteze riscriviamo il ite come Ricordado la proprietà dei logaritmi e e β log + 3 si 2 + e e m log x = log x m, per ogi x > 0 e per ogi m R,

47 47 e che e log x = x per ogi x > 0, si ha e e log β + 3 si 2 + e e = e β e e 7 + si Cerchiamo di stabilire il comportameto di ogi fattore. Comiciamo col cosiderare il fattore e β + 3. È be oto che, per +, β + quado β > 0 β = 1 quado β = 0 β 0 quado β < 0. Tuttavia, idipedetemete da questa casistica, si ha e β +, per ogi β R. Ifatti si ha: se β > 0, e β = + (+ ) = +, se β < 0, e β e = +, β (osserviamo che, essedo β < 0, si ha β > 0, quidi β +. Ricordado la scala degli ifiiti, si ha che il ite tede a +.) se β = 0, e β = e 1 +. Quidi, el primo fattore e β + 3

48 48 teiamo solo il primo addedo, ossia e β, che tede all ifiito (il secodo addedo, 3, è ua quatità fiita). Cosiderado ivece il fattore e e 7 + 3, somma di due ifiiti, come sempre, teiamo l addedo di ifiito maggiore, cioè e e 7. Pertato scriveremo e e e e 7 per +. Ifie, il terzo fattore si 2 2, lo trattiamo col ite otevole si x x 0 x = 1. I particolare, posto x = 2 0 per +, avremo 2 si per +. Quidi si ha + e β e e si 2 2 = e β + e e = + 2 e 7 β 2. Procediamo co la discussioe: se β = 2 il ite risulta 2 e ; 7 se β > 2 il ite risulta + ; se β < 2 il ite risulta 0. 12) [T.E. 01/09/2011]

49 49 Calcolare il ite + ( ) 1 ( + 2)! e 3( 1)! log 2 ( + 1) Svolgimeto. Aalizziamo i vari fattori. Il fattore ( + 2)! tede ovviamete all ifiito. Dovremo, el corso dell esercizio, riscriverlo opportuamete a secoda del tipo di altri fattoriali che comparirao. Poiché ( 1)! +, è chiaro che 1 3( 1)! 0 quado +. pertato il fattore ( ) 1 e 3( 1)! 1 è ifiitesimo (tede a e 0 1 = 0). Utilizzado la solita approssimazioe (e y 1) y per y 0, posto y = 1 3( 1)!, avremo ( ) 1 e 3( 1)! 1 1 3( 1)! per +. Ifie, l ultimo fattore, log 2 ( + 1), è dato da u uica radice quadrata sotto la quale compaioo 3 addedi, ciascuo dei quali tede

50 a +. I casi come questi, siamo iteressati a cosiderare solamete l addedo di ifiito di ordie superiore, vale a dire 50 Cioè log 2 ( + 1) Pertato possiamo riscrivere il ite come 6 4 = 3 2 per +. + ( ) 1 ( + 2)! e 3( 1)! log 2 ( + 1) 1 ( + 2)! 3( 1)! = Riscriviamo ( + 2)! come ( + 2)! = ( + 2)( + 1)( 1)! e otteiamo il ite che, essedo ( + 2)( + 1)( 1)! ( 1)! ( + 2)( + 1) 1 = 3 + 3, 2 ( + 2), ( + 1) per +, diviee = ) [T.E. 11/02/2011] Calcolare il ite + [( + 3)!!] e si(2/) (e 1/ + 1) ( 3 1) (! log ).

51 51 Svolgimeto. Come sempre, cosideriamo ciascu fattore cercado di stabilire a cosa teda e di sostituirlo co u termie ad esso equivalete. Il primo fattore, [( + 3)!!] è dato dalla sottrazioe di due fattoriali. I casi come questo dobbiamo sviluppare opportuamete facedo comparire il fattoriale di argometo più piccolo. Si ha [( + 3)!!] = [( + 3)( + 2)( + 1)!!] =! [( + 3)( + 2)( + 1) 1]. La paretesi quadra è data da u opportuo poliomio di grado 3 otteuto moltiplicado i primi tre biomi e sommadogli l addedo 1. Poiché si ha ( + 3), ( + 2), ( + 1) per +, avremo [( + 3)( + 2)( + 1) 1] [ 1] = [ 3 1] 3 per +. Ne segue che [( + 3)!!] =! [( + 3)( + 2)( + 1) 1]! 3 per +. Cosideriamo ora il fattore e si(2/). Poiché 2 0, si ha, per il solito ite otevole, si 2 2 per +. da cui e si(2/) e 2/ e 0 = 1.

52 52 Pertato il secodo fattore tede alla quatità fiita 1. Il terzo fattore ( e 1/ + 1 ) tede a e = = 2; NON si tratta quidi di u fattore ifiitesimo. Per quato riguarda il quarto fattore si ha baalmete ( 3 1) 3 per +. Ifie, il fattore (! log ) è dato dalla somma algebrica di due addedi tedeti all ifiito. Grazie alla scala degli ifiiti possiamo scrivere! log! per +. Pertato il ite origiario diviee +!( 3 ) 1 2 ( 3 ) (!) = ) [T.E. 13/07/2010] Calcolare il ite di successioe ( + 7) ! + 2. Svolgimeto. La successioe è costituita da 2 fattori (uo a umeratore, l altro a deomiatore). Studiamo ciascu fattore. Il fattore ( + 7) + 2

53 53 è dato dalla somma di due addedi che tedoo etrambi all ifiito; si tratta, però, di addedi della STESSA famiglia di ifiiti. Come osservato i aula, i casi come questo, è ERRATO TRASCURARE uo dei due addedi; ifatti, essedo della stessa famiglia, dao etrambi cotributo al valore fiale del ite. Procediamo el seguete modo: raccogliamo uo dei due addedi (per semplicità, quello la cui base è costituita da u moomio). Si ha ( + 7) + 2 = [ ] [( ) ( + 7) = + 2]. 2 Il fattore a deomiatore, ivece, è dato dalla somma di tre addedi che tedoo all ifiito ma apparteeti a tre famiglie differeti di ifiiti. I questo caso teiamo solamete l ifiito domiate e scriviamo + 8! + 2 per +. Il ite iiziale diviee quidi [( ) ] = + + [( + 7 ) + 2]. Cosideriamo il primo dei due addedi i quadra e cerchiamo di stabilire a cosa teda. Si ottiee il ite + ( + 7 ) che, poiché ( + 1) per +, si preseta ella forma idetermiata [1 ]. Si tratta proprio della forma idetermiata associata al ite fodametale (1 + y) 1 y = e. y 0 Cerchiamo quidi di scrivere la base della poteza ella forma (1 + y) co y 0. Si ha immediatamete ( ) + 7 = ( + 7 ) ( = ) Per poter applicare il ite otevole (combiato col teorema di sostituzioe) dovremmo avere