APPUNTI SULLA RELATIVITA RISTRETTA (2/2) a) Quantità di moto e massa relativistica. b) Seconda legge di Newton ed energia

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1 APPUNTI SULLA RELATIVITA RISTRETTA (2/2) 1. Dinamia relativistia a) Quantità di moto e massa relativistia b) Seonda legge di Newton ed energia ) L equivalenza fra massa ed energia d) Unità di misura per massa-energia e quantità di moto e) L esperimento di William Bertozzi (sulla veloità limite) 2. Relatività ed elettromagnetismo a) La quantità di moto 1. Dinamia relativistia In relatività è neessario introdurre una nuova definizione di quantità di moto, affinhè il prinipio di onservazione di questa grandezza ontinui a valere. La definizione lassia ps =mus o massa riposo. viene sostituita da ps =γm 0 us, on m 0 massa propria Esempio dimostrativo Consideriamo un evento di urto elastio bidimensionale fra due masse uguali: la quantità di moto si onserva. Analisi seondo la fisia lassia ps iniziale = ps finale mus =mu S in due dimensioni musx+mus y = mu S x+mu S y Osservatore O : i orpi A e B hanno uguale massa m, veloità iniziali uguali in modulo e opposte in direzione, quindi la quantità di moto totale è nulla, ioè u yb = -u ya e u xb = -u xa e poihé l urto è elastio si ha u ya = -U ya =U yb = -u yb e u xa =U xa = -U xb = -u xb L osservatore O nota he, durante la ollisione, le omponenti y delle veloità invertono sempliemente i segni, mentre le omponenti x rimangono invariate. 1

2 Osservatore O: selto vs = u S xb = -u S xa, si avrà us xa = 0 e us ya = us ya = U S ya e us yb = us yb = U S yb; seondo la meania lassia le omponenti y della veloità non vengono influenzate dalla trasformazione e la quantità di moto si onserva: ps iniziale = ps finale in modulo mu ya mu yb = mu ya + mu yb on U ya =u ya e U yb =u yb, quindi mu ya mu yb = mu ya + mu yb 2mu ya =2mu yb (*) e poihé i orpi hanno la stessa massa è u ya = u yb. Analisi relativistia Questo risultato non è in aordo on le trasformazioni di Lorentz, per le quali risulta per il orpo B: u yb = per il orpo A: u ya = u ya γ u yb ( γ vu xb 2 ) essendo u xa =0 Supponendo di avere u ya =u yb, si riava he u ya = u yb vuxb 2 ioè u ya u yb in ontraddizione on il risultato lassio! Le omponenti y della veloità sono influenzate dalle trasformazioni relativistihe: non hanno gli stessi valori in due riferimenti diversi e se sono uguali fra loro in modulo in un riferimento, non lo sono neessariamente in un altro. Se il prinipio di onservazione della quantità di moto deve valere per tutti i sistemi di riferimento inerziali, è neessaria una nuove definizione di massa: 2

3 l equazione (*mu ya =2mu yb viene risritta 2m A u ya =2m B u yb da ui si riava m m B = A vu xb 2 v(=u xb )= u xb v vu v= xb 2 u ya m A m B =m A = u yb vu xb 2 2 u xb ( ) ( ) uxb 2 m A m B = ( uxb Possiamo generalizzare la formula on le seguenti onsiderazioni: - la formula preedente si può appliare a qualsiasi urto - le masse m A e m B a riposo sono uguali e le indihiamo on m 0 (massa a riposo o massa propria in iasun riferimento) - per l osservatore O la massa B si muove in direzione x on veloità u xb, he più in generale indihiamo on u, quindi si può srivere m 0 m= ( u he i esprime ome la massa relativistia m di un orpo he si muove alla veloità u, varia on u seondo la funzione resente m=m(u), per la quale si ha he lim u 0 m(u)=m 0 e limm(u)=+ u 3

4 Dire he la massa di un orpo aumenta on la veloità signifia affermare he l inerzia del orpo aumenta on la veloità. Conlusione - Per rendere la onservazione della quantità di moto negli urti una legge he sia sperimentalmente valida in tutti i sistemi di riferimento, dobbiamo definire la quantità di moto, non ome ps =m 0 us, ma ome m p x = 0 u x ( ) u 2 m0us ps = ( u on omponenti m p y = 0u y ( u m p z = 0u z ( u b) Seonda legge di Newton ed energia Le onsiderazioni he seguono, pur avendo arattere generale, si limitano al moto di una partiella e al moto relativo dei riferimenti O e O lungo l asse x. La seonda legge di Newton F S = dps dt =m dus 0 dt =m 0aS deve essere osì generalizza: F S = dps dt = d m0us dt ( ) u 2 L energia inetia Definizione generale: l energia inetia K di una partiella di veloità u è il lavoro ompiuto da una forza esterna per aumentare la veloità della partiella da zero al valore u (teorema dell energia inetia). K nella meania newtoniana: u=u du dx K= u=0 Fdx= m0 dt dx=m 0 dt du=m u=u 1 0 u=0 udu= 2 m 0u 2 K nella meania relativistia: u=u dmu K= u=0 Fdx = dt dx = d(mu) dx = (udm+mdu)u = dt u=u = u=0 (u 2 dm+mudu)=( ) ( ) m 0 u 2 ) m= ( ) m ( 2 =m 2 u 2 0 m 2 2 m 2 u 2 =m differenziando quest ultima equazione si ha: 2m 2 dm 2mu 2 dm 2m 2 udu=0 e dividendo per 2m: 2 dm u 2 dm mudu=0 u 2 dm+mudu= 2 dm u=u ( )= u=0 2 dm= 2 m=m m=m dm=m 2 m

5 Indiando K=m 2 m 0 2 o anhe K=m ( u K=m 0 2 (γ 1) E= m 2 1 on il nome di energia totale e detta m 0 2 l energia a riposo della partiella, si può srivere Importanti onsiderazioni: E =K +m l energia totale E= m 2 della partiella è la somma della sua energia inetia e della sua energia a riposo; - per u=0 K=0 ed E=m 0 2 l energia totale della pertiella è l energia a riposo; - per u«k= 1 2 m 0u 2 l espressione relativistia dell energia inetia oinide on quella lassia (si dimostra mediante sviluppo in serie); - la relazione K=m 2 m 0 2 si può srivere m m 0 = K ed evidenzia he 2 un aumento di energia inetia di una partiella omporta un aumento della sua massa inerziale m. Relazione fra energia totale, energia a riposo e quantità di moto K=m ( ) 1 u 2 eliminando u si ottiene(k+m 0 2 )=(p +(m 0 2, ioè m p= 0 u ( ) u 2 E 2 =(p +(m 0 2 on immediata interpretazione grafia 5

6 ) L equivalenza fra massa ed energia La formula E= m 2 esprime il prinipio di equivalenza massa-energia. Nella meania lassia la onservazione della massa e la onservazione dell energia sono due leggi fondamentali indipendenti fra loro. La teoria della relatività afferma, invee, he la massa non è più una ostante (non è invariante) e rappresenta una forma di energia da aggiungere nel omputo dell energia totale, alle lassihe forme inetihe e potenziali. Ogni qualvolta un orpo assorbe o ede una quantità di energia E, la sua massa aumenta o diminuise di una quantità m= E 2. d) Unità di misura per massa-energia e quantità di moto In fisia atomia e nuleare l energia di una partiella è misurata in elettronvolt, unità di misura, in questo ontesto, più omoda del joule: Def.: un ev è l energia inetia aquistata da un elettrone quando è aelerato tra due punti A e B tra i quali è mantenuta la d.d.p. di 1 V. K =L=q V 1 ev=1, J Il prinipio di equvalenza massa-energia suggerise un nuova utile unità di misura - per la massa: E=m 2 m= E 2 la massa si può misurare in ev 2 nels.i.: 1 ev 2 =1, kg Esempio La massa a riposo dell elettrone è m 0 =9, kg. E=m 0 2 F 9, ( = 8, J = = 8, , F 5, ev=0, 512 Mev 6

7 quindi la massa a riposo dell elettrone vale m 0 F 0,512 MeV/ 2. - per la quantità di moto: p=γm 0 v γ è adimensionale, m 0 si misura in ev, 2 unità di, quindi p si misura in ev v si può esprimere in nel S.I.: 1 ev =5, kg m/s. e) L esperimento di William Bertozzi (sulla veloità limite) Nel 1963 lo sienziato William Bertozzi effettuò un esperimento on l intento di dimostrare l esistenza della veloità limite. Allestì un apparato sperimentale mediante il quale venivano reati degli elettroni liberi, he poi erano aelerati mediante opportune differenze di potenziale. Bertozzi proedette alla misurazione della veloità degli elettroni al variare della loro energia inetia, ovvero al variare delle differenze di potenziale fornite loro per aelerarli ed ottenne i seguenti risultati: 7

8 Analisi dei risultati - I valori di v 2 orrispondono a quelli sperimentali solo per valori molto bassi di energia inetia. - Al resere dell energia inetia la veloità degli elettroni aumenta, ma molto meno di quanto dovrebbe in base alle leggi della meania lassia. - Quando la veloità degli elettroni aumenta, aumenta anhe la loro massa inerziale, ovvero la resistenza he oppongono all aelerazione. - Al resere dell energia inetia la veloità tende a stabilizzarsi intorno a un valore fisso v 2 = (m/s, he rappresenta la veloità limite. Conlusioni - Il valore della veloità limite orrisponde a quello della veloità della lue. - La veloità della lue è la veloità limite alla quale una partiella può avviinarsi senza mai raggiungerla. - L esperimento è in aordo on le previsioni della relatività, he aveva proposto una nuova formula per alolare l energia inetia. 2. Relatività ed elettromagnetismo Trasformazioni di E e B (per veloità relativa v fra O e O lungo l asse omune x-x ) Quanto segue si basa sull assunto dell invarianza della aria elettria (q=q ). Questa ipotesi è ritenuta valida sia perhè onsistente on tutti i risultati basati su di essa, sia perhè ha avuto diretta onferma sperimentale. Quando si trasformano le oordinate spazio-temporali per mezzo delle equazioni di trasformazione di Lorentz, si trova he le equazioni di Maxwell rimangono invariate in forma e i ampi elettrio E e magnetio B si trasformano seondo le seguenti formule: E x =Ex B x =Bx E y =γ(ey vb z ) B y =γ (B y + v ) 2E z E z =γ(ez +vb y ) B z =γ (B z v ) 2E y Le omponenti del ampo E ino dipendono sia dalle omponenti di E he di B in O, idem per le omponenti del ampo B. Queste trasformazioni mesolano i ampi tra loro: non ha più senso parlare di ampo elettrio o di ampo magnetio, bensì di ampo elettromagnetio. 8

9 Se per esempio ho una aria q in quiete nel primo riferimento O, avrò, in O, un ampo elettrio ome quello previsto dalla legge di Coulomb E=k q e nessun r ampo magnetio. 2 E x =Ex Nel seondo riferimento O avrò un ampo elettrio E y =γey e quindi non E z =γez molto diverso dal preedente almeno per basse veloità, ma avrò anhe un ampo B x =Bx v magnetio B y =γ 2E z, piolo per piole veloità, quando γ F 1 e v F 0, ma v 2 B z =γ 2E y non nullo. Questo fatto, ioè he una aria in movimento genera un ampo magnetio, naturalmente era già noto nella teoria lassia, quindi l apparire ora di questo ampo magnetio non è una osa strana, è sempliemente una manifestazione del fatto he i due ampi elettrio e magnetio sono espressioni di un unia entità fisia: il ampo elettromagnetio e vedere l uno o l altro è solo una questione di sistemi di riferimento. L unifiazione profonda dei onetti di ampo elettrio e magnetio è uno dei pilastri della teoria della relatività, he, in realtà, si aratterizza proprio per tutta una serie di unifiazioni (spazio e tempo, energia e momento, ampo elettrio e ampo magnetio). Il "paradosso" della teoria lassia delle interazioni magnetihe Esempio lassio della relazione tra un ampo E e un ampo B in due sistemi di riferimento 9

10 Consideriamo un filo perorso da orrente i nel verso delle x negative e poniamo una aria q, negativa, ad una distanza data dal filo, in moto, rispetto al filo, on la stessa veloità u degli elettroni di onduzione (us =vs deriva F 10-4 m/s). Consideriamo inoltre i riferimenti O del filo, nel quale q ha veloità us =vs e il riferimento O, solidale alla aria q, he fissiamo sull asse y : vs è quindi anhe la veloità relativa fra O e O (us =vs =vs deriva). Interpretazione lassia Nel riferimento O del filo la aria risentirà della forza di Lorentz, he la farà avviinare al filo: F S =q ( E S +us B S ) =qvs B S ( ES =0, us =vs 0, B S 0 ). Nel riferimento O della aria, dal punto di vista lassio, nulla ambia per il ampo magnetio (invee di arihe negative he si muovono "verso destra" avrò arihe positive he si muovono "verso sinistra" e ioè la stessa orrente di prima), solo he ora la aria è ferma e dunque non i saranno effetti magnetii: ( F =q E +u S B )=0 ( E =0, u =0 e B 0) e la aria, seondo l interpretazione lassia del fenomeno, non dovrebbe risentire di aluna attrazione verso il filo! Interpretazione relativistia Nel riferimento O del filo, la aria risente di un ampo magnetio avente unia i omponente B z (B z = µ 0, dove il segno india he BS è diretto lungo il verso negativo 2πr dell asse z): F S =q ( E S +us B ) S =qvs B S ( ES =0,uS =vs 0, B S 0 ), quindi F =qvb z Nel riferimento O della aria, la aria risentirà, sia della presenza di un ampo magnetio, sia della presenza di un ampo elettrio diretto ome l asse y positivo, dati dalle formule B z =γb z E y = γvb z Il ampo elettrio origina la forza he attira la aria negativa verso il filo: ( ) F =q E +u S B =qe S ) y (E 0,u S =0,B 0, quindi F =qe y da ui F = qγvb z F = γf. Il fatto he la aria si avviini al filo deve essere una proprietà invariante, ioè indipendente dal riferimento. 10