Calcolo Vettoriale. 1.1 Vettori. Prodotto scalare. Definizione: a b = a b cosθ. In coordinate cartesiane: a b = a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3.

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1 Calcolo Vettoriale 1.1 Vettori Prodotto scalare. Definizione: a b = a b cosθ. In coordinate cartesiane: a b = a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3. Proprietà: a b a b = 0, a b a b = ± a b, a b = b a, a 0 = 0. Proiezione di a nella direzione ê a = (a ê)ê. Prodotto vettoriale. Definizione: c = a b Proprietà: c 1 = a 2 b 3 a 3 b 2, c 2 = a 3 b 1 a 1 b 3, c 3 = a 1 b 2 a 2 b 1. a b c = a b, a b a b = 0, a b = b a, 1

2 2 CHAPTER 1. CALCOLO VETTORIALE a 0 = 0. Distanza tra un punto e una retta. La distanza tra la retta r(λ) = A+λê (con λ R) e il punto B è data da: d = AB ê. Prodotto misto. a (b c) = det a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 Doppio prodotto vettoriale. a (b c) = (a c)b (a b)c, (a b) c = (a c)b (b c)a. Equazione vettoriale. Data l equazione a x = b, dove a e b sono due vettori ortogonali dati. La soluzione è dove λ è un parametro reale. 1.2 Vettori applicati Vettori caratteristici Trasporto R = x = b a a 2 +λa, S = {(P i,v i ) i = 1..n} n n v i, M O = OP i v i i=1 Coppia di vettori. {(A, v),(b,v)} Invariante scalare. i=1 M Q = QO R+M O. M = AB v. I = R M O. Riduzione. Si possono verificare i seguenti casi: Se R = 0 e M O = 0, il sistema è equilibrato;

3 1.3. ESERCIZI 3 Se R = 0 e M O 0, il sistema si riduce ad una coppia; Se R 0 e I = 0, il sistema si riduce ad un vettore applicato in un punto della retta di applicazione del risultante: OA = R M O R 2 +λr Se R 0 e I 0, il sistema si riduce ad una forza applicata e ad una coppia. Il momento della coppia risulta parallelo al risultante ed ha minimo modulo se si sceglie come polo di riduzione un punto dell asse centrale. 1.3 Esercizi Esercizio 1.1. Calcolare le quantità u (v w), u (v w) e (v w) u per le seguenti triple di vettori u = î ˆk, v = î +ĵ 3ˆk, w = 2ĵ. u = 3î +ĵ, v = ĵ +2ˆk, w = 2î +ĵ ˆk. u = î +ĵ + ˆk, v = 2ˆk, w = 2î ĵ + ˆk. u = î +ĵ + ˆk, v = 2î +2ĵ +2ˆk, w = 2î ˆk. u = î +ĵ v = 2ĵ +2ˆk, w = î +3ˆk. Esercizio 1.2. Calcolare la proiezione di v su un piano di giacitura ˆn quando v = î +ĵ 2ˆk, ˆn = 1 2 (î +ĵ). v = î +ĵ 2ˆk, ˆn = 1 2 (î ĵ). v = 2ˆk, ˆn = 1 (î ĵ + ˆk ). 3 v = 2î +2ĵ +2ˆk, ˆn = 1 (2î ˆk ). 5 v = 2ĵ +2ˆk, ˆn = 1 ) (î +3ˆk. 10 Esercizio 1.3. Usando la formula del prodotto vettoriale, determinare la dis-

4 4 CHAPTER 1. CALCOLO VETTORIALE tanza tra il punto B e la retta r(λ) = A+λê A (1,0,0), B (0,1,0), ê = ˆk. A (1,0,0) B (0,0,0), ê = sinαĵ +cosαˆk A ( 1,0,1) B (0, 2,1), ê = 1 2 (î +ĵ). A (2, 1,1) B (3,0,0), ê = 1 (î +ĵ + ˆk ). 3 A (0,1,0) B ( 1,0,1), ê = 1 ( î + ˆk ). 2 Esercizio 1.4. Nel piano cartesiano generato dai versori î e ĵ, determinare la distanzatrailpuntop (1,0)elabisettricedelsecondoedelquartoquadrante. Determinare la distanza tra P e la retta passate per Q ( 1,0) che forma un angolo antiorario di π 3 con l asse î. [d 1 = 2 2,d 2 = 3] Esercizio 1.5. Si consideri il seguente sistema di vettori applicati v 1 = 3î +ĵ 2ˆk P 1 (1,0,0) v 2 = 3î +2ˆk P 2 (1,1,1) v 3 = î +ĵ ˆk P 3 (1,2, 3). Determinare il risultante R, il momento M O rispetto all origine e l invariante scalare I. [R = 3î +2ĵ ˆk,M O = 3î 3ĵ + ˆk,I = 2] Esercizio 1.6. Calcolare il risultante, momento risultante rispetto all origine e invariate scalare del seguente sistema di vettori applicati: v 1 = î +ĵ 2ˆk, P 1 = (1,0,0); v 2 = î ĵ 2ˆk, v 3 = 2ˆk, P 2 = ( 1,2,0); P 3 = ( 2,3,1). Esercizio 1.7. Per i sistemi di vettori dei due esercizi precedenti, calcolare il momento risultante rispetto al punto Q (1,0, 1). Esercizio 1.8. Dato il sistema di vettori piani v 1 = î +ĵ P 1 (5,2,0) v 2 = 3î 4ĵ P 2 (3,0,0) v 3 = 2î +6ĵ P 3 (1, 3,0). Determinare il risultante ed il momento risultante rispetto all origine. Determinare un sistema equivalente composto da un solo vettore applicato. Scrivere l equazione della retta di applicazione del risultante in forma cartesiana. [R = 2î +3ĵ,M O = 9ˆk, { 9 13 ( 3,2,0),2î +3ĵ},3x 2y+9 = 0]

5 1.3. ESERCIZI 5 Esercizio 1.9. Dato il sistema di vettori paralleli v 1 = 3î +2ĵ 5ˆk P 1 (1,0,0) v 2 = 3 2î +ĵ 5 2ˆk P 2 (0,1,1) v 3 = 6î +4ĵ 10ˆk P 3 (0,0,1) Determinare il risultante ed il momento risultante rispetto all origine. Determinare un sistema equivalente composto da un solo vettore applicato. Scrivere l equazione della retta di applicazione del risultante in forma parametrica. Esercizio Dato il sistema di vettori v 1 = αî +ĵ +2ˆk, v 3 = γî +ĵ ˆk, v 2 = î +βĵ ˆk v 4 = 2î +ĵ, tutti applicati nel punto P = (1,0,0). Determinare al variare dei parametri reali α, β e γ, tutti i sistemi di vettori applicati equivalenti a quello nullo. Per valori dei parametri tali che R 0, determinare la retta di applicazione del risultante. Esercizio Calcolare il risultante, momento risultante rispetto all origine e invariate scalare del seguente sistema di vettori applicati: v 1 = 2αî +βĵ +γˆk, P 1 = (1,0,0); v 2 = 2γî ĵ +βˆk, P 2 = ( 1,0,1); v 3 = γĵ +2αˆk, P 3 = (0,1,1). con α, β e γ parametri reali. Dire per quali valori dei parametri il sistema si riduce ad una coppia di vettori. Calcolare una coppia equivalente dove uno dei vettori della coppia è applicato nel punto A (0,0,1). Esercizio Dire per quali valori del parametro reale α, il sistema di due vettori applicati S = {((0,0,0),î +ĵ),((1,0,0),î +(1+α)ˆk)} può essere equilibrato da un terzo vettore applicato (P 3,v 3 ). Determinare (P 3,v 3 ) Esercizio Nel caso dell esercizio precedente trovare le coppie di vettori {(A, v),(b,v)}, con A (0,0,1), B appartenente all asse î e v = 1. Esercizio Sia S il sistema di vettori applicati formato da v 1 = î +γˆk, P 1 (0,0,0) v 2 = γî +2ĵ αˆk, P 2 ( 1,0,0) v 3 = βî αĵ +2ˆk, P 3 (0,1,0) con α, β e γ parametri reali. Dire per quali valori dei parametri α, β e γ il sistema S è riducibile a una coppia di vettori applicati. Determinare i vettori v, aventi modulo pari a 3, della coppia equivalente C = {(A, v),(b,v)}, dove A ( 1,0,0) e B (0,1,0).

6 6 CHAPTER 1. CALCOLO VETTORIALE Esercizio Sia S il sistema di vettori applicati formato da v 1 = î +αĵ γˆk P 1 (1,0,0) v 2 = î +ĵ +3βˆk P 2 (0,1, 1) v 3 = αî +γĵ +2ˆk P 3 (0,0,2) con α, β e γ parametri reali. Dire per quali valori dei parametri α, β e γ il sistema S è riducibile a una coppia di vettori applicati. Determinare il punto B (appartenente al piano generato da ĵ e ˆk) della coppia equivalente C = {(A, v),(b,v)}, dove A (1,0,1) e v = î ĵ. Esercizio Sia S il sistema di vettori applicati formato da v 1 = αî +3ĵ ˆk P 1 (0,1,0) v 2 = î +2βĵ γˆk P 2 (2,0,0) v 3 = γî +αĵ +2ˆk P 3 ( 1,0,1) con α, β e γ parametri reali. Dire per quali valori dei parametri α, β e γ il sistema S è riducibile a una coppia di vettori applicati. Determinare il punto B (appartenente al piano generato da î e ĵ) della coppia equivalente C = {(A, v),(b,v)}, dove A ( 1,0,1) e v = 2î ˆk. Esercizio Dire per quali valori del parametro reale α, il sistema di tre vettori applicati P 1 = (1,0,0) P 2 = ( 2,1,2) P 3 = (0,0,0) v 1 = α( 4î +2ĵ +4ˆk) v 2 = î +ĵ/2+ ˆk v 3 = 2î ĵ 2ˆk si può ridurre al sistema formato da un solo vettore o da una coppia di vettori. Per ogni valore di α, trovare un vettore o una coppia di vettori equivalente al sistema dato. Esercizio Dato il sistema di vettori applicati: v 1 = 2î ĵ P 1 (0,0,0) v 2 = ĵ + ˆk P 2 (1, 1,0) Calcolare i vettori caratteristici R ed M Q, con Q (0,1,1). Aggiungere al sistema dato un terzo vettore applicato nella direzione di k in maniera tale che il sistema ottenuto sia riducibile ad un solo vettore applicato. Per il sistema ottenuto, determinare la retta di applicazione del risultante. Esercizio Sia S il sistema formato dai due vettori applicati: v 1 = î +αĵ, P 1 (1,1,0) v 2 = 3ˆk P 2 (0,2,0)

7 1.3. ESERCIZI 7 dove α è un parametro reale. Calcolare il risultante ed il momento risultante rispetto a P 2. Dire per quali valori del parametro α il sistema formato da S e da un terzo vettore applicato (P 3,v 3 ) possa essere un sistema equilibrato. Per tali valori di α determinare (P 3,v 3 ). Esercizio Dato il sistema di vettori applicati: v 1 = (α+1)î +3ĵ +(γ 2)ˆk P 1 = (1,0,0) v 2 = 2βî +γĵ v 3 = 2αĵ βˆk P 2 = (0,0, 2) P 3 = (0,1, 1) con α, β e γ parametri reali. Calcolare i vettori caratteristici R ed M O. Calcolare il momento risultante rispetto al polo P 1. Determinare α, β e γ tali per cui il sistema dato sia riducibile ad un sistema formato da una sola coppia di vettori. Calcolare una coppia di vettori equivalente al sistema dato. Aggiungere due vettori applicati al sistema dato in maniera tale che il nuovo sistema ottenuto sia equilibrato. Esercizio Dire per quali valori del parametro α il seguente sistema di vettori applicati ammette retta di applicazione del risultante. Determinare, per ogni valore di α, un sistema formato da un solo vettore, oppure da una coppia, equivalente al sistema dato: v 1 = 2Fî P 1 (0,0,0), v 2 = Fĵ v 3 = Fî +Fĵ v 4 = αfî P 2 (l,0,0), P 3 = (0, l,0), P 4 = (0,l,0).

8 8 CHAPTER 1. CALCOLO VETTORIALE

9 Geometria delle masse 2.1 Baricentro Per un sistema materiale discreto o continuo, il centro di massa G è definito rispettivamente da i OG = m iop i D i m, OG = OPρdτ i D dτ, dove ρ rappresenta la densità di massa. L integrale di volume va sostituito da un integrale di superficie o di linea per distribuzioni di massa bi-dimensionali o mono-dimensionali Proprietà Il baricentro di un sistema piano è contenuto nel piano del sistema. Ogni piano o retta di simmetria materiale contiene il baricentro. Pericorpiomogenei,laposizionediGnondipendedalladensitàecoincide con la posizione del centro geometrico del sistema. G è contenuto del minimo involucro convesso che contiene il sistema. Sia S = i S (i) con S (i) S (j) =, i j. Siano M i, G i rispettivamente la massa totale e il baricentro di S (i). Detto G il baricentro di S si ha i OG = M iog i i M. i 2.2 Esercizi Esercizio 2.1. Determinare il baricentro in un semi-disco omogeneo di raggio R e massa m. 9

10 π 3 10 CHAPTER 2. GEOMETRIA DELLE MASSE Esercizio 2.2. Determinare il baricentro in un arco di circonferenza di raggio R, apertura 2α e massa m. Esercizio 2.3. Determinare il baricentro del sistema omogeneo di figura avente massa m. B 2l O l A Esercizio 2.4. Il sistema di figura ha massa M ed è stato ottenuto a partire da unalaminaomogeneaquadratadiverticia ( l,l),b (l,l),c (l, l),d ( l, l), sulla quale è stato praticato un foro di raggio l/2 centrato in E (l/2, 0). Determinare il baricentro del sistema. A B E D C Esercizio 2.5. Il sistema piano di figura è formato da un asta AB, omogenea di massa 3m e lunghezza 2R, inclinata di π/4 sull orizzontale. L asta è tangente nell estremo A ad un anello omogeneo di massa 2m, centro P e raggio R ed in B ad un disco omogeneo di massa m, raggio R e centro Q. I due dischi sono tangenti esternamente in O e i centri sono su una parallela ad AB. Si fissi un sistema di coordinare cartesiane (O,x,y,z) con origine in O e con l asse x orizzontale. Determinare le coordinate del centro di massa del sistema rispetto al punto O. Q P O B π/4 A

11 2.2. ESERCIZI 11 Esercizio 2.6. Un sistema materiale di massa m è stato ottenuto praticando un foro di raggio r ad una distanza a dal centro di un disco omogeneo di raggio R. Sapendo che r+a R, determinare il baricentro del sistema. Esercizio 2.7. La lamina piana di figura, di massa m, è stata ottenuta praticando due fori circolari identici, di raggio R 3 e di centri A e B, su un disco omogeneo di raggio R e di centro O. Con riferimento al sistema di assi cartesiani di figura, entrambi le congiungenti OA ed OB formano angolo di π 3 con l asse y ed inoltre OA = OB = 2 3R. Determinare il baricentro della lamina. y B π 3 π 3 A O x Esercizio 2.8. La lamina piana di figura, di massa m, è stata ottenuta da una lamina rettangolare di base 2l e altezza l dalla quale è stata asportata una sezione a forma di semi-disco di raggio l. Calcolare il baricentro della lamina.