Il calcolo vettoriale. Marina Cobal - Dipt.di Fisica - Universita' di Udine 1

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1 Il calcolo vettoriale Universita' di Udine 1

2 I vettori: definizione Attenzione a definizioni superficiali Del tipo: Definito da modulo, direzione, verso Sono valide a senso, e solo in coordinate cartesiane! Dimenticatela se l avete sentita a scuola! In realtà si definisce il vettore come un Ente astratto che si trasforma come le coordinate di un punto Universita' di Udine 2

3 I vettori: definizione In una relazione vettoriale tutti i termini si trasformano in modo identico. Quindi le relazioni vettoriali sono invarianti per trasformazioni di coordinate Quindi una relazione valida in un sistema di coordinate, vale, nella stessa forma, in ogni sistema di coordinate! Universita' di Udine 3

4 I vettori: definizione Si definisce come scalare un numero, però un numero che sia indipendente dal sistema di coordinate Quindi una componente di un vettore NON è uno scalare questa dipende dal sistema di coordinate Universita' di Udine 4

5 e componenti Quindi un vettore è definito come un punto Coppia o terna ordinata di numeri reali I numeri che lo definiscono si dicono le componenti del vettore Attenzione: Nei sistemi polari o cilindrici le componenti dei vettori possono essere sia misure sia di distanze, sia di angoli Universita' di Udine 5

6 e componenti Ci riferiremo nel Corso sempre ad un sistema cartesiano ortogonale Salvo un paio di casi Nello spazio 3D un vettore è definito da tre componenti vx Ecco alcune notazioni usate di solito (,, ) ( ) v = vx vy vz = vx vy vz = vy v z Universita' di Udine 6

7 e componenti Nello spazio 2D un vettore è definito da due componenti Ecco alcune notazioni usate di solito v ( v, v ) ( v v ) x = x y = x y = vy v Universita' di Udine 7

8 e componenti Le componenti di un vettore sono interpretabili, ad esempio, come Le coordinate di un punto Le proiezioni di un segmento orientato Da questo l interpretazione geometrica o grafica (molto comoda, peraltro) della freccetta Però fate attenzione: un vettore è l insieme di TUTTE le freccette parallele nello spazio! Universita' di Udine 8

9 Uno schizzo Universita' di Udine 9

10 Prodotto vettore per scalare Universita' di Udine 10

11 moltiplicazione per uno scalare Un vettore è definito tramite le sue componenti v = ( v ) x vy vz Si dà significato al vettore nullo O = ( ) Attenzione: i vettori vanno indicati in modo diverso dagli scalari! Freccette, grassetto, corsivo... Universita' di Udine 11

12 moltiplicazione per uno scalare Si definisce la moltiplicazione di un vettore per uno scalare nel modo seguente w = λv ( w ) ( ) x wy wz = λvx λvy λvz Si dà quindi significato all opposto di un vettore w = v ( w ) ( ) x wy wz = vx vy vz Universita' di Udine 12

13 moltiplicazione per uno scalare Se un vettore si ottiene da un altro moltiplicandolo per uno scalare, i due vettori si dicono paralleli Il significato grafico spiega la ragione di questo nome: Universita' di Udine 13

14 Ecco la situazione Universita' di Udine 14

15 Somma di vettori Detta anche composizione Universita' di Udine 15

16 la somma Si definisce la somma di due vettori come v ( v ) ( ) x vy vz w wx wy wz = = v+ w ( v ) x wx vy wy vz wz = Le proprietà della somma dei vettori sono facili da dimostrare Commutativa Associativa Distributiva (rispetto alla moltiplicazione per uno scalare) Universita' di Udine 16

17 la somma Interpretazione geometrica: Vettore come segmento orientato Somma come costruzione testa-coda Caso particolare: regola del parallelogramma Attenzione: questa è comoda solo nel caso di DUE vettori Attenzione al nome somma: nome usato per economia (e viste le operazioni sulle componenti) Il nome è alquanto improprio Spesso (e meglio) si usa composizione Universita' di Udine 17

18 Ecco la situazione Universita' di Udine 18

19 La combinazione lineare Universita' di Udine 19

20 la combinazione lineare È la combinazione di moltiplicazione per uno scalare e di somma v αv ( v ) ( ) x vy vz w wx wy wz = = + βw = ( αv + βw αv + βw αv + βw ) x x y y z z Molto utile! Universita' di Udine 20

21 la combinazione lineare Un caso particolare notevole: la differenza α = 1 β = 1 v w = v w v w v w ( ) x x y y z z Una combinazione lineare di due vettori fornisce sempre un vettore complanare al piano individuato dai primi due Universita' di Udine 21

22 Ecco la situazione Universita' di Udine 22

23 Somma e differenza di vettori Universita' di Udine 23

24 Il prodotto scalare Universita' di Udine 24

25 il prodotto scalare Attenzione: il nome di prodotto può trarre in inganno Si tratta di sempre operazioni nuove, su enti nuovi, le cui proprietà vengono definite caso per caso Definizione Ci sono solo analogie superficiali col prodotto fra numeri reali! vw= vw + vw + vw x x y y z z Universita' di Udine 25

26 il prodotto scalare Il risultato è uno scalare Numero indipendente dal sistema di riferimento! La dimostrazione è un po lunga e non la facciamo Comunque il prodotto scalare fornisce un Universita' di Udine 26

27 il prodotto scalare numero indipendente dal sistema di riferimento È detto prodotto scalare o interno Inner product, dot product Universita' di Udine 27

28 il prodotto scalare Si dà significato al prodotto scalare di un vettore 2 per 2sé stesso 2 2 v = vv= v + v + v x y z Questo è detto il quadrato del vettore Universita' di Udine 28

29 il prodotto scalare Si definisce come modulo del vettore il numero v= vv= v + v + v x y z Attenzione: non confondete un vettore col suo modulo! Questa è una ragione per cui i vettori vengono segnalati in modo tipograficamente diverso dacli scalari o dai numeri in generale Universita' di Udine 29

30 il prodotto scalare Un vettore con modulo unitario viene detto versore unit vector Viene ˆV indicato con un simbolo che lo distingue Di solito Prendiamo ora un vettore generico... Universita' di Udine 30

31 il prodotto scalare v = Dato un vettore Calcolare il suo modulo Definire il vettore vˆ ( v v v ) x y z v= v = v + v + v v v x y z x y z = = potremo Per definizione questo ha modulo unitario v v v v v v vˆ 1 Universita' di Udine 31

32 il prodotto scalare Chiameremo questo vettore vun versore, e precisamente il versore del vettore v r Unit vector in inglese Quindi il vettore potrà essere scritto sempre come ˆ ˆ v = v v = vv Universita' di Udine 32

33 il prodotto scalare Sono importanti i versori degli assi ˆ ( ) ˆ coordinati x = i yˆ ( 0 1 0) = ˆ ( 0 0 1) z = Ogni vettore può sempre essere scritto V = V xˆ + V yˆ + V zˆ x y z come ˆj kˆ Universita' di Udine 33

34 Ecco i versori coordinati Universita' di Udine 34

35 il prodotto scalare Vediamo ora il significato geometrico del prodotto scalare Mettiamoci in 2D Scegliamo un sistema di riferimento speciale V = V 0 = Vxˆ + 0yˆ ( ) ( ) W = W W = W xˆ + W yˆ x y x y Dato che si tratta di vettori Universita' di Udine 35

36 W θ V Universita' di Udine 36

37 il prodotto scalare Calcoliamo il prodotto scalare VW= VW + VW = VW x x y y x VW E quindi x y x 2 2 x x y x y W W W = V W = VW W W W W = VW cosθ VW Universita' di Udine 37

38 il prodotto scalare Attenzione: è il prodotto dei moduli per il coseno dell angolo compreso... Se usiamo l interpretazione tramite freccette Utile, però da prendere con le molle non il modulo del primo per la componente del secondo nella direzione del primo Questione NON banale E perché non viceversa? La ritroveremo! Universita' di Udine 38

39 il prodotto scalare Proprietà del prodotto scalare Commutativa Distributiva rispetto alla somma di vettori NON associativa! Attenzione: il prodotto scalare viene definito solo fra DUE operandi! Ecco una differenza dal prodotto numerico! Universita' di Udine 39

40 il prodotto scalare Ogni vettore si può sempre scrivere come V = V xˆ + V yˆ + V zˆ x y z Notate che Vx= ˆ V x Etc... Universita' di Udine 40

41 il prodotto scalare VW= VW cosθ Dato il significato geometrico applichiamolo ad un versore generico e ad un versore fondamentale Vx ˆ ˆ = Vx ˆ ˆ cosθ = cosθ x LE COMPONENTI DI UN VERSORE SONO I COSENI DEGLI ANGOLI FRA IL VERSORE E L ASSE CORRISPONDENTE Universita' di Udine 41

42 Ecco gli angoli in questione Universita' di Udine 42

43 il prodotto scalare Si chiamano COSENI DIRETTORI Universita' di Udine 43