Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler)

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1 Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler)

2 Studio di una funzione

3 Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f é crescente nell intervallo (a, b) se f (x 1 ) f (x 2 ) quando x 1 < x 2 per ogni x 1, x 2 di (a, b) Una funzione f é decrescente nell intervallo (a, b) se f (x 1 ) f (x 2 ) se x 1 < x 2 per ogni x 1, x 2 di (a, b) Crescente Decrescente Crescente

4 Teorema sulla crescenza e decrescenza di una funzione Sia f una funzione continua su un intervallo chiuso [a, d] e differenziabile sull intervallo aperto (a, d). 1. Se f (x)>0 per ogni x in (b, c), allora f é crescente in [b, c]. 2. Se f (x)<0 per ogni x in (a, b), allora f é decrescente in [a, b]. 3. Se f (x)=0 per ogni x in (c, d), allora f é costante in [c, d]. a b c d

5 Estremi di una funzione: massimi e minimi Una funzione f definita in un insieme A R ha un massimo in x=c, appartenente ad A, chiamato max f, se f ( x) f ( c) per ogni x in A. Una funzione f definita in un insieme A R ha un minimo in x=d, appartenente ad A, chiamato min f, se f ( x) f ( d) per ogni x in A. a b c d

6 Estremi di una funzione: massimi e minimi relativi Una funzione f definita in un insieme A R ha un massimo relativo in x=c appartenente ad A, se esiste un intorno di c, I(c): f ( x) f ( c) per ogni x in I(c) A. Una funzione f definita in un insieme A R ha un minimo in x=d appartenente ad A, se esiste un intorno di d, I (d) f ( x) f ( d) per ogni x in I (d) A. Max rel a b c d min rel

7 Esempio max rel min rel né max né min

8 Grafico qualitativo max rel max min max min rel rel

9 Teorema (Test della derivata prima) Sia c un punto critico della funzione f continua su un intervallo aperto I che contiene c, cioé f (c)=0. Se f é differenziabile sull intervallo I, allora f(c) può essere classificato come segue: Se f (x) cambia segno da negativo a positivo in c, allora f(c) é un punto di minimo relativo di f. Se f (x) cambia segno da positivo a negativo in c, allora f(c) é un punto di massimo relativo di f. Se f (x) non cambia di segno in c, allora f(c) non é né un punto di minimo né un punto di massimo.

10 Estremi di una funzione max f a f (x)>0 f (x)<0 f (x)>0 b min f c d rel min f f (x)=0 f (x)>0 f (x)>0

11 Passi per trovare intervalli su cui la funzione é crescente e decrescente Test dei segni Sia f(x) una funzione continua e derivabile su un intervallo (a, b) 1. Localizzare i punti critici di f in (a, b), e usare questi numeri per determinare gli intervalli test. 2. Determinare il segno di f (x) in un punto test per ciascun intervallo test. 3. Usare il Teorema precedente per determinare se f è crescente o decrescente su ogni intervallo.

12 Osservazione Se la funzione è continua su un unione di intevalli il test dei segni va applicato a ciascuno di essi. Se la funzione o la sua derivata presentano dei punti singolari essi vanno inclusi nel test dei segni.

13 Passi per trovare intervalli su cui la funzione é crescente e decrescente: secondo metodo Studio del segno della derivata Sia f(x) una funzione continua e derivabile su un intervallo (a, b) 1. Localizzare i punti critici di f in (a, b). 2. Studiare il segno di f (x)>0. 3. Usare il Teorema precedente per determinare gli intervalli dove f è crescente o decrescente e localizzare gli eventuali punti di massimo e di minimo.

14 Esempio Esempio 1 Trovare i punti di massimo e di minimo della funzione 5 x 5x f ( x) Soluzione 5 Notiamo che f(x) é differenziabile su tutto l asse reale. Ponendo f (x) = 0 si trovano i punti critici. f '( x) x 4 1 ( x 1)( x 1)( x 2 1) Quindi gli zeri di f (x) sono x = 1 e x = 1 dal test dei segni si ha che il punto x = 1 é un punto di massimo relativo, il punto x = 1 é un punto di minimo rel. Intervalli < x < 1 1< x < 1 1 < x < + Valori test x = 2 x = 0 x = 2 0 Segno di f (x) f ( 2)=15> 0 f (0)= 1 < 0 f (2)=15> 0 Conclusione Crescente decrescente crescente

15 Esempio: secondo metodo Invece di fare il test dei segni si studia il segno della derivata: f '( x) x 4 1 ( x 1)( x 1)( x 2 1) 0 x + 1 > 0 x > 1 x 1 > 0 x > 1 x > 0 sempre Discussione dei segni:

16 --1 1 x x Prodotto Max min

17 Esempio Studiare i punti di massimo e di minimo della seguente funzione: f x = xe x Svolgimento: la funzione data è derivabile su R (dominio): f x = e x (1 + x) Per trovare i punti critici si pone f x = 0: e x 1 + x = 0 x = 1

18 Test dei segni Il punto x = 1 è un punto di minimo relativo Intervalli < x < 1 1< x <+ Valori test x = 2 x = 0 Segno di f (x) f ( 2)< 0 f (0)= 1 > 0 Conclusione decrescente crescente

19 Grafico

20 Secondo metodo Segno della derivata prima: f (x) > 0 e x 1 + x > 0 x + 1 > 0 x > 1 Il punto x = 1 è un punto di minimo perché a destra di esso la funzione cresce, mentre a sinistra la funzione decresce.

21 Esempio Trovare i punti di massimo e di minimo della seguente funzione: f ( x) ( x 8x 1) Punti critici: f 4 x = x 3 4x = 0 x(x 2 4) = 0 x = 0, x = ±2 La funzione è pari. Potrebbe essere studiata solo per x > 0.

22 Test dei segni Intervalli < x < 2 2< x < 0 0 < x < 2 2 < x < + Valori test x = 3 x = -1 x = 1 x = 3 Segno di f (x) f ( 3)=-15< 0 f (-1)= 3 > 0 f (1)=-3< 0 f (3)=15> 0 Conclusio ne Decrescente Crescente Decrescente Crescente min. rel. Max rel. min. rel.

23 Esempio

24 Studio di una funzione Trovare il dominio Trovare le intersezioni con gli assi, se è possibile. Trovare gli asintoti verticali (punti singolari) e orizzontali. Trovare i punti di massimo e di minimo attraverso la derivata. Disegnare il grafico.

25 Esempio Studiare la funzione f(x) e tracciare il grafico: f ( x) 2 1) Il dominio é R-{0}. x Osservazione: E una funzione pari perché f x = f( x) per ogni x del dominio, quindi si può studiare per x>0. Il grafico per x<0 si ottiene simmetricamente rispetto all asse delle y. 2) Intersezioni con gli assi: per x = 0, la funzione non é definita, per y = 0 l equazione 4 x 1 0 non ha soluzione. 3)Asintoti verticali: x = 0 x lim x 0 + x 2 = = + Non ci sono asintoti orizzontali perché x 4 1

26 lim x 4. Massimi e minimi. Si pone f (x) = 0 per trovare i punti critici x x ( x 1)2 x 4x 2x f '( x) 4 4 x x 2x x 2x 2x( x 1) x x x x Quindi f (x)=0 per x = 1 e f (x) non esiste per x = 0. Il punto x = 1 é di minimo, f (1)=2. Intervallo 0 < x < 1 1 < x < + Valori Test x = 1/2 x = 2 x x 2 = + Segno f (x) f (1/2) < 0 f (2) > 0 Conclusione Decrescente Crescente 5

27 Derivata seconda e concavità di una funzione Definizione: Data una funzione f: a, b R, derivabile in a, b, si dice convessa in a, b se per ogni x 0 (a, b) il grafico della funzione sta al di sopra della retta tangente nel punto (x 0, f(x 0 )).

28 Derivata seconda e concavità di una funzione Definizione: Data una funzione f: a, b R, derivabile in a, b, si dice concava in a, b se per ogni x 0 (a, b) il grafico della funzione sta al di sotto della retta tangente nel punto (x 0, f(x 0 )).

29 Punto di flesso Definizione: Data una funzione f: a, b R, derivabile in a, b, il punto x 0 (a, b) si dice punto di flesso se esiste δ > 0: la funzione f é concava in (x 0 δ, x 0 ) e convessa in (x 0, x 0 + δ)) (o viceversa).

30 Teorema Data una funzione f: a, b R, tale che esista la derivata seconda f in a, b. Se f x > 0 per ogni x a, b, allora la funzione é convessa in a, b. Se f x < 0 per ogni x a, b, allora la funzione é concava in a, b. Se f x = 0 per un certo x 0 a, b, allora la funzione ha un punto di flesso in x

31 Procedimento per trovare i punti di massimo e di minimo: terzo metodo Segno della derivata seconda. Sia f(x) una funzione continua e derivabile n (n > 1) volte su un intervallo (a, b). Localizzare i punti critici della funzione f in (a, b), cioé le soluzioni dell equazione f (x)=0. Determinare il segno di f (x) (derivata seconda) nei punti critici: a) se f (x)<0 il punto critico e un massimo relativo b) se f (x)>0 il punto critico é un minimo relativo, c) se f (x)=0 si dovrebbe calcolare la derivata terza f o quelle successive finché la derivata nel punto é diversa da zero. Se la prima derivata diversa da zero ha ordine pari si ha un punto di massimo relativo se é negativa e di minimo relativo se é positiva, se ha ordine dispari allora si ha né un punto di flesso.

32 Esempio Trovare i punti di massimo e di minimo della seguente funzione: f ( x) ( x 8x 1) Punti critici: f 4 x = x 3 4x = 0 x(x 2 4) = 0 x = 0, x = ±2 Derivata seconda: f x = 3x 2 4

33 Esempio f 0 relativo = 4 < 0 punto di massimo f ±2 = 12 4 = 8 > 0 punti di minimo.

34 Esercizi 1. Studiare le seguenti funzioni e disegnare il corrispondente grafico: f x = 2x 3 6x 2 f x = 2x 4 2x f x = x x f x = x 1 x+2 f x = 1+3x4 x 3

35 Esercizi 2. Studiare le seguenti funzioni e disegnare il corrispondente grafico: f x = 3 x2 (x 2) 2 f x = 1+x2 1 x 2 3. Studiare le seguenti funzioni e disegnare il corrispondente grafico: f x = 4+x2 2x f x = 2x x+5

36 Esercizi f x = x 3 3x f x = x x 2 9x + 3 f x = x 4 4x 3 + 4x f x = x2 x 2 4 f x = 2x2 1 x 2 +1 f x = x2 +1 x 2 x

37 4. Calcolare la derivata di ciascuna funzione: a) y = 1 x + 1 x x 3 x2 +2x+3 x 4 b) y = e sen(x2 ) 2 x cos x 2 e sen(x2 ) c) y = x ln x 1 ln x ln 2 x d) y = cos 3 (2x) 6 cos 2 2x sen(2x) e) y = ln 1+x 1 x f) y = 4x 2 1 [ 2 1 x (1+x) 4x ] 4x 2 1

38 5. Calcolare i massimi ed i minimi relativi delle seguenti funzioni: a) b) y x 2x 3x 3 2 x 3 y x 1 [max rel in x=1 e min rel in x=3] [Nessun max o min rel] 2 x c) d) y y x x e 1 2 2x [max rel in x=-2 e min rel in x=0] [max rel in x=-1]