Corso di Laurea in Disegno Industriale. Lezione 6 Novembre 2002 Derivate successive, derivate parziali e derivate di vettori. F.

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1 Corso di Laurea in Disegno Indusriale Corso di Meodi Numerici per il Design Lezione 6 Novembre Derivae successive, derivae parziali e derivae di veori F. Caliò I5 5 Derivazioni ripeue

2 Derivaa della derivaa - derivae successive f () -derivaa di f()- è una funzione di una variabile reale: la sua derivaa è f (): derivaa seconda di f(); f () è dea la derivaa prima di f(); La derivaa di f () è la derivaa erza di f(), ripeendo ancora l operazione si oiene la derivaa n-esima di f(); Per i nosri scopi ineressano solo derivaa prima e seconda. La derivaa seconda di f() si indica: d f()/d ; d /d ; più spesso f () 3 Relazione fra grafico e derivaa seconda a c f() b f () (coninua) 4

3 Relazione fra grafico e derivaa seconda (coninuaz.) f () c f () (coninua) 5 Relazione fra grafico e derivaa seconda (coninuaz.) per < c concavià verso l alo ( serzo a sinisra ) c f() c: puno di flesso per > c concavià verso il basso ( serzo a desra ) f () (coninua) 6 3

4 Relazione fra grafico e derivaa seconda (coninuaz.) La derivaa seconda fornisce uleriori informazioni (olre alla derivaa prima) sul comporameno locale della funzione. Se la derivaa seconda è posiiva la funzione in quel puno ha concavià verso l alo; Se la derivaa seconda è negaiva la funzione in quel puno ha concavià verso il basso; Se la derivaa seconda è nulla in quel puno il grafico della funzione non ha curvaura ( volane dirio ). Ciò significa che in quel puno la funzione porebbe avere un flesso. 7 Derivaa seconda - esempio f() f () PARI f () f() decresce f () DISPARI f() cresce fi () f() è sempre concava verso l alo fi () PARI 8 4

5 Derivaa seconda - esempio f() sin f () cos fi () -sin 9 I5 5 Derivae parziali 5

6 Derivae parziali in un puno b z z P a piano a ( z ) m z z z P P piano b ( ) m (coninua) Derivae parziali in un puno (coninuaz.) z z z z P P m! " #%$ m! " #& m coeff. angolare della angene in P; derivaa di f(, ), in ; derivaa parziale rispeo a di f(,), in(, ). m coeff. angolare della angene in P; derivaa di f(,), in ; derivaa parziale rispeo a di f(,), in(, ). 6

7 Derivae parziali di f(,) in un puno P Derivaa parziale: derivaa di una funzione di una sola variabile, (rispeivamene e ); Tale funzione si oiene bloccando una delle due coordinae di P (rispeivamene e ) e lasciando variare l alra; Il grafico di quesa funzione è la curva coordinaa: inersezione della superficie (grafico di f(,)) col piano per P parallelo a z e a un alro asse coordinao (rispeivamene e ); In ognuno di quesi piani, la derivaa parziale è il coefficiene angolare della rea angene in P alla curva coordinaa; Quese due ree angeni deerminano il piano angene in P alla superficie f(,). 3 Funzione derivaa parziale di f(,) Facendo assumere a P ui i possibili valori si oiene una coppia di funzioni di (,): Derivaa parziale rispeo a oenua derivando una funzione della sola ; Derivaa parziale rispeo a oenua derivando una funzione della sola. La funzione derivaa parziale di f(,) si indica: f(,)/ (derivaa parziale rispeo a ); f(,)/ (derivaa parziale rispeo a ). 4 7

8 Calcolo delle derivae parziali Il calcolo è ricondoo a quello della derivaa di una funzione di una sola variabile: Per calcolare la derivaa rispeo a, viene consideraa una cosane; Per calcolare la derivaa rispeo a, viene consideraa una cosane. 5 Calcolo di derivae parziali - Esempio f(,) sin(+) f (, ) f (, ) cos(+) cos(+) 6 8

9 Calcolo di derivae parziali - Esempio f(,) ln( - 3 ) f (, ) f (, ) Derivaa di un Veore Paramerico 8 9

10 Derivaa di un veore paramerico in un puno f f / angene in P z P f( ) f Q f( + ) + f secane P-Q f f( + ) - f( ) 9 Derivaa di un veore paramerico È un veore: la sua direzione è quella assuna al limie dal veore differenza f, quando ; il suo modulo è il limie del rapporo f/, per ; Queso veore è deo anche veore derivao, e risula a sua vola un veore paramerico. Indichiamo il veore derivao di f(): f ()

11 Calcolo del veore derivao (n3) Si deve calcolare il veore: lim lim lim f ( + ) f ( ) f ( + ) f ( ) f 3 ( + ) f 3 ( ) (coninua) Calcolo del veore derivao (n3) (coninuaz.) f ( ) f f f 3 ( ) ( ) ( ) f' ( ) f' ( ) f ' ( ) f ' ( ) 3

12 Calcolo del veore derivao- Esempio (n) f ( ) r cos rsin rcos -rsin r f' ( ) r s in r cos 3 Calcolo del veore derivao- Esempio (n3) f ( ) sin ln( π ( + ) + ) + f ' ( ) cos( π ) 4

13 Derivaa di un Veore a due parameri 5 Derivaa di un veore a due parameri u u P(,u ) z uu CURVE COORDINATE A COSTANTE CURVE COORDINATE A u COSTANTE P f (, u) f '(, u) uu f (, u) f '(, u) u PIANO TANGENTE 6 3

14 Derivae parziali di f(,u) in un puno P Derivaa parziale: derivaa di un veore a un solo paramero, (rispeivamene e u ); Tale veore si oiene bloccando uno dei due parameri (rispeivamene u e ) e lasciando variare l alro; Il grafico di quesa funzione veoriale è una curva coordinaa, a u cosane e a cosane; Lungo ognuna di quese curve, la derivaa parziale è il veore derivao, angene in P alla curva coordinaa; I due veori angeni deerminano il piano angene in P alla superficie f(,u). 7 Derivae di un veore a due parameri - Esempio f (, u ) sin( ln( + + u + ) u ) f (, u) cos( + u ) ( + u) + f (, u) u cos( + u ) u ( + u ) 8 4