Un metodo di calcolo per le strutture monodimensionali piane

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1 n metodo di cacoo per e strutture monodimensionai piane bstract. Si propone un metodo di cacoo per a determinazione dea configurazione di equiibrio dee strutture monodimensionai piane. Detto metodo consente a scrittura automatica de sistema ineare connesso ad una quasiasi struttura piana ed affina intuito fisico de ingegnere strutturista. Lo stesso agoritmo sarà utie per appicazione di un Principio per a ricerca de equiibrio di una quasiasi struttura deformabie anche tridimensionae, Principio che sarà oggetto di nota successiva. ottobre 198

2 Riepiogo di risutati noti Sia data un asta confuente nei nodi e (Fig. 1). Ci chiediamo quae è azione che occorre esercitare in affinché a detta estremità, pur restando ne detto punto, ruoti sotanto di un angoo. In effetti, com è facie intuire, se appichiamo in sotanto un momento M, a sezione dea trave, otre a ruotare de angoo desiderato, si sposta anche verso ato. E aora chiaro che per provocare sotanto a rotazione desiderata occorre appicare a detto estremo anche una forza T, rivota verso i basso, e tae da provocare una freccia di segno opposto ao spostamento de estremo che si avrebbe quaora ad esso fosse appicato soo i momento M. Con facii cacoi si trova [1,] che azione che occorre espicare in detto estremo per ottenere i risutato vouto è costituita T M Fig. 1 da una coppia M 4EI = (1.1) e da una forza verticae pari a T = (1.) dove E è i moduo di easticità ed I i momento d'inerzia dea trave. naogamente, affinché si generi una deformata rappresentata in Fig.

3 T M M δ T Fig. 'azione che si deve espicare su nodo sarà costituita da una coppia [1] M = δ (1.) e da una forza. T 1EI = δ (1.4) ncora, se si genera una deformata de tipo (Fig. ) δ N ' Fig. 'azione che occorre espicare su nodo è data daa reazione [1] E N = δ. (1.5)

4 Se i nodo, senza spostarsi, ruota di un angoo (fig. 4) T M Fig. 4 'azione che occorre espicare sempre su nodo è data daa coppia [1] M EI = (1.6) e daa forza verticae T =. (1.7) 4

5 Generaizzazione E' utie, per quanto segue, riferire e precedenti reazioni ad un generico sistema di riferimento. Presupponendo note e coordinate dei nodi dea struttura, daa fig. 5 si ricavano immediatamente (x ;y ) e seguenti reazioni (x ;y ) Fig. 5 ( ) y y x x = x x ( y y) ; sin = ; cos =. (1.8) Si immagini adesso che i nodo ruoti e trasi dee quantità, movimento de nodo, i tutto come si evince daa Fig. 6. e, senza acun Fig. 6 5

6 Ci si chiede 'azione compessiva che occorre espicare su nodo. Questa azione è costituita da una coppia M e da due forze e paraee agi assi di riferimento, quantità che, per a tacita inearità dee deformazioni, possono determinarsi appicando e precedenti reazioni ed i principio di sovrapposizione degi effetti. Le azioni de nodo su'asta, reative aa soa rotazione (1.1) e (1.),, sono date (v. Fig. 7), per a M T T ( ) ( ) Fig. 7 ( M ) = 4EI (1.9) ( ) = sin (1.10) ( ) = cos (1.11) Nea stessa fig. 7 viene anche decomposta a forza T secondo gi assi di riferimento. Le azioni de nodo su'asta, reative aa soa trasazione (v. Fig. 8), sono date, per a (1.), (1.4) e (1.5), 6

7 (' ) (' ) N M T T ( ) ( ) N Fig. 8 ( M) = sin (1.1) 1EI E ( ) = sin sin cos cos 1EI E ( ) = sin cos cos sin (1.1) (1.14) naogamente, e azioni de nodo su'asta, reative aa soa trasazione (Fig. 9), (' ) N (' ) T N M T ( ) ( ) Fig. 9 7

8 sono date ( M) = cos (1.15) 1EI E ( ) = cos sin sin cos (1.16) 1EI E ( ) = cos cos sin sin. (1.17) Per a soa rotazione de nodo (Fig. 10) T T ( ) M ( ) Fig. 10 si ottiene Per i soo spostamento ( M ) = EI (1.18) ( ) = sin (1.19) ( ) = cos (1.0) de nodo si ha (Fig. 11) 8

9 (' ) (' ) N T ( ) N M T ( ) Fig. 11 ( M) = sin (1.1) 1EI E ( ) = sin sin cos cos (1.) 1EI E ( ) = sin cos cos sin (1.) no spostamento (Fig. 1) 9

10 T ( ) ( ) T M N (' ) (' ) N Fig. 1 da origine ae azioni ( M) = cos (1.4) 1EI E ( ) = cos sin sin cos 1EI E ( ) = cos cos sin sin (1.5) (1.6) 10

11 zioni dovute ai carichi Siano dati i carichi q v e q o per metro ineare di trave 1, assunti positivi quei in figura, agenti sua generica asta dea struttura q v q o Fig. 1 L'azione de nodo su'asta, per reazione, è costituita da una coppia e dae forze seguenti 1 = ( cos sin ) (1.7) 1 ( M ) q q vo, v o q o = (1.8) o ( ) q v = (1.9) v ( ) 1 Motipicando qv eq o per a unghezza effettiva dea trave si ottengono rispettivamente e due forze verticai ed orizzontai che agiscono su di essa. La forza, per metro ineare, ortogonae a asse dea trave è pari rispettivamente q cos e q sin. v 11 o

12 Reazioni vincoari Data una quasiasi asta i cui nodi e si spostano dee quantità note,,,,, attraverso e reazioni precedenti è possibie cacoare e azioni espicate dai vincoi appicati in e. ttraverso i principio di sovrapposizione degi effetti si ottengono e seguenti reazioni: 1 4EI M = Me ( qvcos qosin ) 1 EI sin cos sin cos (1.0) q = F sin sin o o 1EI E E 1EI sin cos sin cos 1EI E 1EI E sin cos sin cos (1.1) q = F cos cos v v E 1EI 1EI E sincos cos sin 1EI E 1EI E sincos cos sin (1.) Le forze esterne puntuai appicate direttamente a nodo, e o v M F e F sono assunte positive quando sono conformi a quee che si ricavano daa seguente Fig

13 Fv M i Fo Fig. 14 1

14 Strutture monodimensionai piane Se ne generico nodo i dea struttura piana concorrono mn,,... aste ed i nodo i ruota e si sposta dee quantità i, i e i, mentre e atre estremità dee stesse aste ruotano e si spostano di atre quantità, e i Fig. 15 'azione esterna compessiva che occorre espicare su nodo i è evidentemente data daa coppia = n = n 1 4EI Mi = Mie ( qvcos qosin ) i 1 = = EI = n = n = n i sin cos i = = = = n n = sin c = os = (1.) e dae forze 14

15 i = nqo = Fio = = n n = i sin sin = = 1EI = n i sin cos = 1EI = n i sin cos = = n = = n = 1 E 1EI 1EI sin E cos E E sin cos (1.4) i = nqv = Fiv = = n = n i cos cos = = = n E 1EI i sin cos = 1EI = n i cos sin = = n 1EI E = = n = 1EI E sin cos E cos sin (1.5) Occorre espicitamente osservare che e precedenti reazioni impongono automaticamente a congruenza degi spostamenti dee aste che confuiscono ne generico nodo i. Come può, ad esempio, evincersi daa (1.) tutte e aste che confuiscono ne generico nodo i hanno a stessa rotazione i, infatti detta grandezza è esterna a simboo di, così come pure gi spostamenti e. i i 15

16 L'equiibrio Supponiamo che un determinato teaio piano, sotto 'azione di un sistema di forze, abbia raggiunto a posizione di equiibrio. E' evidente che in ta caso, e azioni esterne che un determinato operatore dovrebbe espicare sui suoi nodi per teneri fermi nee raggiunte posizioni di equiibrio debbono essere nue. Pertanto si hanno, per i generico nodo i, e tre equazioni = n n 4EI = EI i = = = n i sin = = n i cos = = n sin = = n cos = = 1 = Mie 1 = n = ( q cos q v sin ) o (1.6) Come questo Principio di equiibrio possa essere generaizzato e possa costituire un importante agoritmo per a determinazione de equiibrio di una quasiasi struttura deformabie sarà oggetto di una successiva nota. 16

17 = n n = i sin sin = = = n 1EI E i sin cos = = n E 1EI i sin cos = = n 1EI E = = 1 sin cos = n 1EI E = = nqo = Foi sin cos (1.7) = n = n i cos cos 1 1 = = = n E 1EI i sin cos = 1 = n 1EI E i cos sin = 1 = n 1EI E = 1 = 1 = n 1EI E = 1 = nqv = Fv sin cos cos sin (1.8) che vanno appicate ad ogni nodo dea struttura per ottenere i sistema ineare che permette di determinare 'insieme degi spostamenti nodai. Risoto detto sistema e equazioni (1.), (1.4) e (1.5) consentono di determinare e soecitazioni che nascono agi estremi di ogni trave. 17

18 n esempio di cacoo Sia dato i teaio dea figura che segue. Nodo x[cm] y[cm] ppichiamo e equazioni tre equazioni (1.6), (1.7) e (1.8) ai nodi dea struttura. In ta caso, assunto E = Kg / cm per tutte e aste, avremo quanto segue. Le tabee che seguono (1.9), (1.40) e (1.41), che per una questione tipografica sono separate, vanno affiancate una di seguito a atra. Con ciò si può notare che a matrice è simmetrica rispetto aa diagonae principae. 18

19 Tabea (1.9) (1.9) Tabea (1.40) (1.40) 19

20 Tabea (1.41) T. N (1.41) La souzione de precedente sistema ha a seguente souzione rad cm cm rad cm cm rad cm cm (1.4) Conosciuti gi spostamenti di ogni nodo, e formue (1.), (1.4) e (1.5) permettono di determinare e soecitazioni ae estremità di ogni asta. In ta caso si ha 0

21 Nodo asta M[ Kgm] T[ Kg] N[ Kg] (1.4) Riepiogando si può dire che e tre equazioni (1.6), (1.7) e (1.8), appicate ai nodi di una quasiasi struttura monodimensionae piana, consentono di scrivere i sistema avente per incognite gi spostamenti dei nodi stessi. Da questi utimi si risae ae soecitazioni esistenti agi estremi dee aste. 1

22 Considerazioni Le tre equazioni trovate in precedenza, che consentono di scrivere in modo automatico i sistema ineare associato aa generica struttura sottoposta a studio, possono evidentemente ottenersi anche sviuppando i prodotti matriciai degi eementi che compongono a detta struttura []. Ma è evidente che e dette equazioni, che possono essere perfezionate ad esempio con introduzione dea trave su suoo eastico, consentono un notevoe risparmio di memoria e di tempi di esecuzione de cacoo di una struttura, ma non risovono, a pari de cosiddetto metodo dee matrici, a tematica connessa ae strutture di grandi dimensioni ed aa probematica egata aa souzione de reativo sistema di equazioni. Neo nota che seguirà [4] si affronterà quest utima probematica. E possibie scaricare i perfettibie fie Te5000 che gira sotto DOS (Gwbasic) e risove e strutture monodimensionai piane con uso dea presente impostazione.

23 ibiografia [1] Odone euzzi Scienza dee Costruzioni Zanichei Editore o. I o (1967) [] incenzo Franciosi Scienza dee Costruzioni Liguori Editore o. III o tomo II (1970) [] Michee Capurso Introduzione a Cacoo utomatico dee Strutture. Cremonese Editore (1981) [4] Caro Santagata Su equiibrio di un quasiasi sistema deformabie (005)