INTEGRALE IN SENSO IMPROPRIO E INTEGRALE DI LEBESGUE

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1 INTEGRALE IN SENSO IMPROPRIO E INTEGRALE DI LEBESGUE OSSERVAZIONI ED ESEMPI Si f : [,+ ) : R inegrbile in senso improprio. Se,, f() llor f è inegrbile secondo Lebesgue, e i due inegrli coincidono. Infi considerimo l successione di funzioni: f(), n, f n () = (), > n. Osservimo che, per ogni, f n è in. s. L. su [,+ ) perché è inegrbile secondo Riemnn sull inervllo [,n e vle zero per > n. Inolre per ogni, per ogni n si h f n () f n+ () e risul f n() = f(). Dl eorem dell convergenz monoon deducimo che f è in. s. L. e ( ) L f n () d = L D lr pre, dll definizione di inegrle in s. imp.: f n() d = L f()d. R f n () d = D quese, essendo per ogni n N n R f()d = R f()d. L f n () d = R f n () d, si oiene L f()d = R f()d. Che succede se f non h segno cosne ed è inegrbile in senso improprio? Possimo in queso cso ffermre che f è inegrbile nel senso di Lebesgue? Inno osservimo che per dre un rispos ques domnd non possimo procedere come sopr, perché se considerimo l successione f n, defini in () non è deo si monoon. Tuvi è possibile lvol uilizzre il eorem dell convergenz domin come si vede dl seguene esempio. ESEMPIO. Si consideri l funzione f() = cos3 + e,. In queso cso fcendo l posizione () è possibile sfrure l mggiorzione f n () = g(), n N,, + e ed osservre che g è posiiv ed inegrbile in senso improprio su [, + ), quindi inegrbile secondo Lebesgue. Per il eorem dell convergenz domin, essendo f n() = f(), segue che f è inegrbile secondo Lebesgue su [,+ ) e f n () d = f()d. Non sempre è possibile oenere un mggiorzione come quell sopr ovvero mggiorre l successione f n con un funzione g che si inegrbile secondo Lebesgue. Il seguene è un esempio di un siuzione di queso ipo. Indichimo con L R + l inegrle di Lebesgue, e con R R + l inegrle di Riemnn. Nel seguio omeeremo L, R e si dedurrà dl coneso del discorso quli di quesi si f riferimeno.

2 ESEMPIO 2. Considerimo l funzione f() = sin, >. (2) Se volessimo sbilire l su inegrbilià nel senso di Lebesgue procedendo come nell Esempio, ovvero considerre l successioni di funzioni f n, defini d (), si vrebbe f n () sin = g(), >. M g non è inegrbile secondo Lebesgue (non è inegrbile in senso improprio ed è posiiv), quindi il eorem dell convergenz domin non è uilizzbile. A queso puno porebbe sorgere il dubbio di ver eseguio un mggiorzione roppo grossoln. Forse con un pò più di enzione vremmo pouo rovre un g, che mggior l successione f n, che fosse inegrbile secondo Lebesgue? Le segueni proposizioni permeono di fornire in mnier esuriene un rispos negiv ques domnd.. f() = sin, >, è inegrbile in senso improprio su (,+ ); 2. f() = sin, >, non è inegrbile in senso improprio su (,+ ); 3. f non è inegrbile secondo Lebesgue. Dimosrzione di. sin d = sin d + sin d. (3) Il primo inegrle l secondo membro di (3) esie finio perché l funzione inegrnd è coninu in (, ed è i in [,. Quindi inegrbile secondo Riemnn su [,. Considerimo il secondo inegrle l secondo membro di (3). Dll definizione di inegrle improprio, inegrndo per pri, si h sin c { sin [ d = d = cos c c } cos c + c + 2 d = c cos + cos = cos c + 2 d = cos 2 d. L inegrle improprio su [,+ ). Infi Dimosrzione di 2. cos 2 d esise finio perchè l funzione cos 2 cos 2,. 2 è ssolumene inegrbile + sin d = n= (n+)π nπ + sin d n= (n + )π (n+)π nπ sin d = (cmbimeno di vribile: = nπ) n= (n + )π π sin( + nπ) d = n= (n + )π π sin d = 2 π n= (n + ) = + 2

3 Dimosrzione di 3. Se f fosse inegrbile secondo Lebesgue llor nche f srebbe inegrbile secondo Lebesgue. Di conseguenz considerndo l successione di funzioni f(), n, φ n () =, > n, (4) che sono inegrbili secondo Lebesgue su (,+ ), in quno coninue e ie su (,n, si h che φ n() = f(), per ogni >. Si porebbe quindi pplicre il eorem dell convergenz domin perché per ogni n N e > φ n () f(), e dedurre φ n () d = M per quno dimosro nel puno 2, = n k= (k+)π kπ f() d = φ n() d = φ n () d = n (n+)π n= nπ f() d. f() d = f() d = +. Osservzioni sul eorem dell convergenz domin. Le ipoesi dell convergenz domin sono solo sufficieni. Infi considerimo l successione di funzioni definie su (,+ ) f n () = sin e n. (5) Ciscun f n è inegrbile secondo Lebesgue su (,+ ) perché, per ogni >, f n () = sin e n e n, e funzione e n è inegrbile in senso improprio su (,+ ), quindi, per il eorem del confrono ciscun f n è ssolumene inegrbile in senso improprio, quindi f n è inegrbile secondo Lebegue, il che implic che nche f n lo si. D lr pre si noi che, per ogni >, f n () = sin e sin n. (6) M l funzione sin, come viso in precedenz, non è inegrbile secondo Lebesgue. Il eorem dell convergenz domin non è pplicbile, m vlgono egulmene le segueni proposizioni:. f n() = sin >, 2. f n () d = [ f n()d = 3 sin d.

4 L prim è evidene, menre l second è ver m non come conseguenz del eorem dell convergenz domin. L dimosreremo infi clcolndo il vlore ciscuno dei ermini che vi compiono e verificndo che sono uguli. Res il dubbio che non simo riuscii per nosr incpcià deerminre un funzione mggiorne l successione f n, ovvero ci chiedimo se esise un mggiorzione più fine dell (6). L presenz dell funzione esponenzile non f sperre che si poss fcilemene deerminre un le sim. Dimosrzione di 2. Considerimo l funzione F() = sin e d, >. (7) Clcoo l su deriv medine il clcolo del ie del suo rpporo incremenle. h [ + ( sin h e [ F + () = h h ) +h sin e sin e +h d d = h sin sin (e +h e e h d = ) Pssndo l ie soo il segno di inegrle (vedi soo l giusificzione di ques operzione) si h ( ) + F sin e +h e + sin () = d = h h e 2 d. D cui F () = 2 sin e d. (8) Il risulo di ques operzione rende evidene il moivo per il qule bbimo seguio ques sregi. L funzione inegrnd in (8) h un primiiv esprimibile mnier semplice, clcolbile come vedremo più vni. L derivzione h permesso di einre l l denominore dell frzione dell funzione inegrnd nell espressione di F. E noo infi che l funzione sin ppriene ll cegori delle funzioni per le quli non è possibile esprimere l primiiv in mnier elemenre. Dimo or un giusificzione del pssggio l ie soo il segno di inegrle eseguio sopr, osservndo che per il eorem di Lgrnge si h che per ogni >, >, < 2 h < esise ξ h, con < ξ h < h, e +h e h ( + ξ h ) 2 e +ξ h d. e quindi sin e +h e h = sin ( + ξ h ) 2 e +ξ h 4 2 e 2 (9) Considero un qulunque successione {h n } n N le che h n, ed pplico il eorem dell convergenz domin ll successione di funzioni f n () = sin il cui il vlore ssoluo è mggioro dll funzione e +hn e h n, g() = 4 2 e 2, 4

5 che è inegrbile secondo Lebesgue in (, + ) (in quno posiiv e inegrbile in senso improprio). Il eorem pone r ii di funzione e ii di successione permee di oenere l esi. Clcoo quindi F () considerndo: D cui e [ sin d = ( cos )e cos e d = () cos + [ sin e 2 sine d. e sind = 2 dove pssndo l ie per + si h e quindi, enuo cono di (8) + 2 F () = 2 [( cos sin ) e sind = 2 + 2, e sin d = + 2. e +, A queso puno risul evidene che d ques relzione possimo ricvre fcilmene F : F() {rcn + C, C R}. Osservo che che F() = in quno + F() sin + e d e [ d = e + =, si deduce che deve essere C = e quindi F() = rcn, d queso provndo che F() = sin d () si h che risul sin d = π 2 Dimosrzione di (). [ sin e sin d + d + sin e d [ sin e Vluimo il primo degli inegrli l secondo membro di (2) [ sin e sin d d sin e sin d ( > ) sin d d + (2) d ( ) [ e d = + e = + e. 5

6 Si h Quindi ( + e ) [ = ( ) o 2 = [ sin e Considerimo or l ulimo degli inegrli di (2) [ sin e sin + d sin d [ sin e d =. + d o sin d. ( ) =. Osservimo che, essendo sin inegrbile in senso improprio su (,+ ), risul che per ogni ε > esise > le che per ogni > si h sin d ε (3) D lr pre per ogni,b, con < < b, e per ogni > risul, (inegrndo per pri, vedi nche ()) { sin [ e d = 2 ( ) b + 2 e sin b ( ) } cos + e sin cos 2 d e b ( ) ( ) sinb cos b b + e sin b cos + e sin b D cui segue che per ogni ε > esise 2 > le che per ogni > 2 si h sin e d ε cos 2 d 2 d D (3) e (4) si h che per ogni ε > esise 3 = min(, 2 ) le che per ogni > 3 si h [ sin e sin d < 2ε. Abbimo così dimosro (). 3. 6

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