Verso l integrale stocastico

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1 Verso l integrale stocastico Una versione più corretta di è la sua forma integrale ds(t) = σs(t)dx(t) + µs(t)dt S(t) = S() + σs(u)db(u) + µs(u)du Ricordando che S è un processo che descrive la dinamica dei prezzi, B = X è il moto browiano, quello che abbiamo scritto è l integrale di un processo (cioè di una funzione stocastica anziché deterministica) rispetto al moto browniano!

2 Verso l integrale stocastico Passi l integrale di una funzione aleatoria del tipo X(u)du che possiamo interpretare come il valore di un area che varia al variare della funzione integranda, cioè della traiettoria del processo X. Ma X(u)dB(u) come si interpreta? O più semplicemente, se f è una funzione deterministica, cosa significa f (u)db(u)?

3 Un passo indietro L integrale stocastico Prendiamo f e g due funzioni, con g derivabile. Si può sempre intendere f (u)dg(u) = f (u)g (u)du Se g non è derivabile, ma ha variazione limitata (ad esempio g(x) = x ), si può sempre calcolare l integrale di f rispetto alla variazione di g come segue n 1 lim n i=1 f (s i )(g(s i+1 ) g(s i )) presi i punti < s 1 < < s i < < s n < t.

4 Un passo avanti L integrale stocastico Purtroppo se come g prendiamo la traiettoria del moto browniano, si ha che questa è non differenziabile e in più è anche a variazione illimitata (FV t (B) = + ). Servono quindi alcuni condizioni sul nostro processo in modo da compensare il comportamento bizzarro del moto browniano. Torniamo al caso generale e proviamo a definire l integrale stocastico in analogia a quanto visto sopra n 1 X(u)dB(u) = lim X(s i )(B(s i+1 ) B(s i )) n cercando di capire cosa serve i=1

5 Un passo avanti L integrale stocastico Se X(s i ) è indipendente dall incremento (B(s i+1 ) B(s i )), si ha che E {X(s i )(B(s i+1 ) B(s i ))} 2 =EX 2 (s i )E(B(s i+1 ) B(s i )) 2 =EX 2 (s i ) (s i+1 s i ) quindi, riprendendo la nostra definizione di integrale stocastico e utilizzando la proprietà di indipendenza, abbiamo lim E n { n 1 2 X(s i )(B(s i+1 ) B(s i ))} = i=1 EX 2 (u)du

6 Un passo avanti L integrale stocastico Infatti E E { n 1 2 X(s i )(B(s i+1 ) B(s i ))} = i=1 { n 1 } X(s i ) 2 (B(s i+1 ) B(s i )) 2 + A = i=1 n 1 EX(s i ) 2 (s i+1 s i ) i=1 dove il termine A contenente i prodotti incrociati è nullo per le proprietà di B.

7 Integrale stocastico L integrale stocastico Quindi, in definitiva l integrale stocastico esiste se esiste finito EX 2 (u)du e se il X(u) è indipendente da B(s) B(u) (con s > u), ovvero se X è un processo adatto alla filtrazione generata dal moto browniano (diremo semplicemente adattato ). Quando esiste, l integrale stocastico rispetto al moto browniano è definito come precedentemente introdotto.

8 Ipotesi e contro esempio Abbiamo visto che l esistenza dell integrale stocastico è determinata dalla condizione EX 2 (u)du < Supponiamo di prendere X(s) = s 1 B(s) e verifichiamo la condizione EX 2 (u)du = u 2 EB 2 (u)du = u 2 udu = u 1 du = ln t ln = Se invece scegliamo come X(s) = B(s) allora la condizione è rispettata EB 2 (u)du = udu = t2 2 <

9 ancora sulle ipotesi L integrale stocastico Oltre alla condizione di integrabilità sul momento secondo della funzione integranda, c è anche quella sulla adattabilità del processo integrando alla filtrazione del moto browniano. As esempio, un processo del tipo X(s) = B(s + 1) non è più un processo adattato. Inoltre, nella definizione si è scelto di calcolare il processo integrando nel punto iniziale di ciascun intervallo (s i, s i+1 ). Se invece avessimo scelto di procedere, come si fa per l integrale ordinario, prendendo il punto centrale dell intervallo, avremmo ottenuto il seguente integrale di Stratonovich n 1 X(u)dB(u) = lim X n i=1 ( si + s i+1 2 ) (B(s i+1 ) B(s i )) che rispetta le regole ordinarie di calcolo integrale ma non può essere utilizzato in finanza poiché viene meno l ipotesi di adattabilità.

10 Proprietà dell integrale stocastico E Var X(s)dB(s) = X(s)dB(s) = adb(s) = a EX 2 (s)ds db(s) = ab(t) (ax(s) + Y (s))db(s) = a X(s)dB(s) + Y (s)db(s)

11 Esempio di calcolo L integrale stocastico Proviamo a calcolare direttamente l integrale stocastico del tipo T B(s)dB(s). Con alcuni passaggi algebrici si può mostrare che 1 n 1 (B(s i+1 ) B(s i )) 2 = B(t n) 2 j= n 1 B(s i )(B(s i+1 ) B(s i )) j= noi dobbiamo calcolare il limite per n di n 1 B(s i )(B(s i+1 ) B(s i )) = 1 2 B(t n) 2 1 n 1 (B(s i+1 ) B(s i )) 2 2 i=1 che sarà pari a j= 1 2 B2 (t) 1 2 [B, B](t) = 1 2 B2 (t) 1 2 t

12 Verso la formula di Ito Quindi B(s)dB(s) = 1 2 B2 (t) 1 2 t mentre, per l integrale classico, presa f deterministica, con f () = come per il moto browniano, si ottiene f (s)df (s) = f (s)f (s)ds = 1 2 f 2 (t) Le due formule differiscono perché in quella dell integrale stocastico vi è un termine correttivo in più rispetto a quella dell integrale ordinario.

13 Verso la formula di Ito Quindi B(s)dB(s) = 1 2 B2 (t) 1 2 t mentre, per l integrale classico, presa f deterministica, con f () = come per il moto browniano, si ottiene f (s)df (s) = f (s)f (s)ds = 1 2 f 2 (t) Le due formule differiscono perché in quella dell integrale stocastico vi è un termine correttivo in più rispetto a quella dell integrale ordinario.

14 Outline L integrale stocastico 1 L integrale stocastico

15 Verso la formula di Ito Una versione generale del risultato precedente è fornita dal lemma (o formula) di Ito, che è l equivalente della formula di Taylor per i processi. In realtà è molto di più in quanto permette di calcolare gli integrali stocastici anche di funzioni di moti browniani (come il valore delle opzioni) del tipo f (B(t)).

16 Se prendiamo f e g differenziabili, possiamo sempre scrivere e quindi ovvero d dt f (g(t)) = f (g(t))g (t) f (g(t)) = f (g()) + f (g(s))g (s)ds f (g(t)) = f (g()) + f (g(s))dg(s)

17 Lemma di Ito per il moto browniano Sostituendo a g il moto browniano B si avrebbe f (B(t)) = f () + f (B(s))dB(s) ma la formula precedente non è corretta. Si dimostra invece che f (B(t)) = f () + f (B(s))dB(s) + 1 f (B(s))ds 2 fatte salve alcune condizioni di regolarità su f.

18 Esempio L integrale stocastico Supponiamo di avere f (x) = x 2 e di voler calcolare f (B(t)). Dalla formula di Ito f (B(t)) = f (B()) + otteniamo da cui si ricava f (B(s))dB(s) B 2 (t) = 2 + 2B(s)dB(s) + 1 2ds 2 B(s)dB(s) = 1 2 B2 (t) 1 2 t f (B(s))ds

19 formula di Ito e integrale stocastico Come si vede, la formula di Ito è molto utile per calcolare l integrale stocastico. Infatti, la definizione dell integrale stocastico non è particolarmente operativa ai fini del calcolo dell integrale stesso!

20 Lemma di Ito: forma differenziale La formula di Ito f (B(t)) = f (B()) + f (B(s))dB(s) f (B(s))ds può essere vista come la versione integrale dello sviluppo di Taylor di f (B(t)) arrestato al secondo ordine, infatti df (B(t)) = f (B(t))dB(t) f (B(t))(dB(t)) 2 + resto

21 Introduciamo la seguente notazione f (t, x) t = f t (t, x) f (t, x) x = f x (t, x) 2 f (t, x) x 2 = f xx (t, x)

22 Lemma di Ito per processi più generali Per i processi che possono essere scritti nella forma X(t) = x + Y (s)db(s) + Z (s)ds con Y e Z due processi integrabili rispetto a B, si ha che f (t, X(t)) =f (, x) + Y (s)f x (s, X(s))dB(s) + f t (s, X(s)) + Z (s)f x (s, X(s)) Y 2 (s)f xx (s, X(s))ds

23 Lemma di Ito: forma differenziale La formula precedente, che risulta piuttosto ostica, permette di fatto di lavorare con qualsiasi modello di dinamica dei prezzi. La sua forma differenziale meno impressionante è la seguente df (t, X(t)) =f t (t, X(t))dt + f x (t, X(t))dX(t) f xx(t, X(t))(dX(t)) 2 che non è altro se non lo sviluppo in serie di Taylor di f (t, X(t)) nell intorno del punto f (, X()).

24 Processo di Ornstein-Uhlenbeck Il processo di OU è della forma U(t) = e λ(t s) db(s) Come possiamo ricavarne la dinamica? Attraverso il lemma di Ito nella sua forma differenziale. Dobbiamo riscrivere U(t) nella forma X(t) = X() + Y (s)db(s) + Z (s)ds e cercare una opportuna funzione f (t, x) per applicare il lemma. Poniamo f (t, x) = e λt x, X(t) = Y (s) = e λs Z (s) = Y (s)db(s)

25 Processo di Ornstein-Uhlenbeck Quindi f t (t, x) = t e λt x = λe λt x ovvero applicando abbiamo f t (t, x) = x e λt x = e λt f tt (t, x) = 2 x 2 e λt x = df (t, X(t)) =f t (t, X(t))dt + f x (t, X(t))dX(t) f xx(t, X(t))(dX(t)) 2 du(t) = λe λt X(t)dt + e λt dx(t) (dx(t))2

26 Processo di Ornstein-Uhlenbeck Ricordando che e che abbiamo posto dx(t) = e λt db(s) U(t) = e λt X(t) da otteniamo du(t) = λe λt X(t)dt + e λt dx(t) du(t) = λu(t)dt + db(t)

27 Esercizi L integrale stocastico 1) Dimostrare che: 2) Calcolare: sdb(s) = tb(t) B(s)ds B 2 (s)db(s) 3) Si utilizzi il lemma di Ito per scrivere le e.d.s. che governano i processi a) X(t) = B 2 (t) b) X(t) = 2 + t + e B(t)

28 Formula di integrazione per parti Sia f = f (s) non dipendente da ω, f continua e a variazione limitata su [, t]. Allora, vale la seguente formula di integrazione per parti f (s)db(s) = f (t)b(t) B(s)df (s) [ ] Di cui l esercizio 1) è un caso particolare

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