LOGICA MATEMATICA. Sonia L Innocente. Corso di Laurea. Informatica e Tecnologie/Informatica Industriale

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1 LOGICA MATEMATICA Corso di Laurea Informatica e Tecnologie/Informatica Industriale Argomento 1. Logica dei Predicati del Primo Ordine a.a (Camerino) 1 / 57

2 Outline Introduzione 1 Introduzione 2 Linguaggi e formule 3 Strutture e verità 4 Deduzione Naturale (Camerino) 2 / 57

3 Outline Linguaggi e formule 1 Introduzione 2 Linguaggi e formule 3 Strutture e verità 4 Deduzione Naturale (Camerino) 3 / 57

4 Linguaggi e formule Consideriamo il classico enunciato dei manuali di filosofia: Socrate è un uomo, tutti gli uomini sono mortali, dunque Socrate è mortale. Un esempio per certi versi analogo è il seguente: 17 è un numero primo, per ogni numero primo p esiste un numero primo q maggiore di p, dunque esiste un numero primo maggiore di 17. Nella logica proposizionale, i due enunciati hanno la stessa struttura, rappresentata da una formula con tre variabili proposizionali p 0, p 1 e p 2 : (p 0 p 1 ) p 2. (Camerino) 4 / 57

5 Linguaggi e formule Una simile analisi non appare del tutto soddisfacente almeno per due motivi: il primo è che essa si limita alla struttura dell enunciato, senza preoccuparsi del contesto; eppure nel primo esempio si parla del comune destino di ogni uomo, nel secondo di numeri primi: pare ragionevole trovare un modo di distinguere; anche lo stesso studio astratto della struttura dell enunciato pare richiedere un esame più fine. (Camerino) 5 / 57

6 Linguaggi e formule Definizione. L alfabeto della logica dei predicati del primo ordine è l unione di 2 insiemi: il primo è composto dai simboli logici v 0, v 1,..., v n,... (n N) variabili individuali,, connettivi non...,... e..., (, ) parentesi, quantificatore universale per ogni...,. = simbolo di uguaglianza, il secondo dai simboli extralogici c 0, c 1,..., c n,... (n naturale) f0 k, f 1 k,..., f n k,... (n, k naturali, k > 0) P0 k, Pk 1,..., Pk n,... (n, k naturali, k > 0) costanti individuali, simboli di operazioni k-arie, simboli di relazioni k-arie. Il numero k si dice la arietà di f n k o Pn k. Talora si preferisce omettere il simbolo =. di uguaglianza tra i simboli logici. (Camerino) 6 / 57

7 Linguaggi e formule Definizione. Si dice linguaggio un sottoinsieme L dell insieme dei simboli extralogici. I simboli logici sono invece del tutto generali. Ci si potrebbe tuttavia chiedere perché non inserire tra i simboli logici anche i connettivi,, (... o..., se... allora...,... se e solo se...) ed il quantificatore esistenziale (esiste...). Per motivi esclusivamente tecnici (abbreviare certe dimostrazioni future), preferiremo introdurre questi simboli più tardi come abbreviazioni di certe combinazioni dei simboli logici sopra elencati. (Camerino) 7 / 57

8 Esempi Linguaggi e formule 1. Per la proposizione su Socrate (in cui si insiste sull uomo Socrate e sulle relazioni 1-arie essere un uomo, essere mortale), conviene scegliere il linguaggio L = {c 0, P 1 0, P1 1 } con una costante c 0 e due simboli di relazioni 1-arie P 1 0 e P Nella proposizione sui numeri naturali, si parla del numero 17, della relazione 1-aria essere primo, e della relazione binaria >. Conviene allora usare il linguaggio L = {c 0, P 1 0, P2 1 } con c 0 costante, P0 1 simbolo di relazione 1-aria e P2 1 relazione binaria. simbolo di (Camerino) 8 / 57

9 Linguaggi e formule Fissiamo un linguaggio L. Definiamo parola di L una sequenza finita di elementi scelti tra i simboli di L e i simboli logici dell alfabeto. Definizione. L insieme T (L) dei termini di L è il minimo insieme X di parole di L tale che (i) ogni variabile individuale è in X; (ii) ogni costante di L è in X; (iii) se f è un simbolo di operazione k-aria in L e t 1,..., t k sono in X, allora anche f (t 1,..., t k ) è in X. L insieme dei termini di L non contenenti variabili si indica con H(L) e si dice universo di Herbrand di L; i suoi elementi si chiamano termini chiusi di L. (Camerino) 9 / 57

10 Definizione. Linguaggi e formule Si dicono formule atomiche di L le parole di L delle seguenti forme: (i) t 1. = t2 con t 1, t 2 termini di L; (ii) P(t 1,..., t k ) con P simbolo di relazione k-aria in L e t 1,..., t k termini di L. (Camerino) 10 / 57

11 Linguaggi e formule Definizione. L insieme delle formule di L è il minimo insieme F di parole di L tale che (i) ogni formula atomica di L è in F, (ii) se α e β sono in F, anche α e α β sono in F, (iii) se α è in F e n è un numero naturale, allora v n α è in F. Abbreviazioni. Siano α e β due formule di L, n un numero naturale. Scriveremo α β per ( α β), α β per α β, α β per (α β) (β α), v n α per ( v n α). (Camerino) 11 / 57

12 Linguaggi e formule Esempi 1. Sia L = {c 0, P0 1, P1 1 }. Allora i termini di L sono le variabili v n (con n naturale) e c 0 ; in particolare H(L) = {c 0 }; le formule atomiche di L sono v n. = vm, v n. = c0, P 1 0 (c 0), P 1 1 (v n),... (n e m naturali); la proposizione su Socrate si esprime con una formula di L nel modo seguente: (P 1 0 (c 0) v 0 (P 1 0 (v 0) P 1 1 (v 0)) P 1 1 (c 0). 2. Sia ora L = {c 0, P0 1, P2 0 }. Si ha: i termini di L (e H(L)) sono come nell Esempio 1; formule atomiche di L sono P 2 0 (v n, c 0 ), P 2 0 (v n, v m ),... (n, m naturali); (Camerino) 12 / 57

13 Linguaggi e formule la proposizione sui numeri primi si esprime nel modo seguente come formula di L: (P 1 0 (c 0) v 0 (P 1 0 (v 0) v 1 (P 1 0 (v 1) P 2 0 (v 1, v 0 )))) v 1 (P 1 0 (v 1) P 2 0 (v 1, c)). 3. Sia finalmente L = {f } con f = f 1 0 simbolo di operazione 1-aria: i termini di L sono v n, f (v n ), f (f (v n )),... con n naturale, in particolare H(L) = ;. le formule atomiche di L sono v n = f (vm ),... (n e m naturali); due esempi di formule (non atomiche) di L sono: v 0 v 1 (f (v 0 ). = f (v 1 ) v 0. = v1 ), v 0 (v 0. = f (v0 )) v 0. = f (v0 ) (la prima formula esprime il fatto che f è iniettiva). (Camerino) 13 / 57

14 Linguaggi e formule Definizione. Siano n un numero naturale, α una formula del linguaggio L. Una occorrenza di v n in α si dice libera se non è sotto la portata di un quantificatore che la riguarda, vincolata altrimenti. α si dice un enunciato se e solo se nessuna occorrenza di una variabile in α è libera. Nell Esempio 1, tra le formule atomiche elencate soltanto l ultima è un enunciato. È invece un enunciato la formula non atomica. Nell Esempio 2, le due formule atomiche non sono enunciati, mentre la formula non atomica è un enunciato. Finalmente, nell Esempio 3, solo la penultima formula è un enunciato. Infatti nell ultima formula la variabile v 0 ha due occorrenze vincolate, ma anche due occorrenze libere. (Camerino) 14 / 57

15 Outline Strutture e verità 1 Introduzione 2 Linguaggi e formule 3 Strutture e verità 4 Deduzione Naturale (Camerino) 15 / 57

16 Dobbiamo ora individuare gli osservatori che giudicano una formula. Definizione. Sia L un linguaggio. Si dice struttura di L una coppia A formata da un insieme non vuoto A e da una funzione che: ad ogni costante c di L associa un elemento c A di A; ad ogni simbolo di operazione f di L di arietà k associa una operazione k-aria f A su A; ad ogni simbolo di relazione P di L di arietà k associa una relazione k-aria P A su A. In modo meno ufficiale ma più intuitivo, possiamo pensare una struttura A di L come un insieme A dove i simboli di L (costanti, simboli di operazione, simboli di relazione) sono interpretati in elementi, operazioni, relazioni di A. Scriveremo allora, per denotare A: (A, (c A ) c L, (f A ) f L, (P A ) P L ). (Camerino) 16 / 57

17 Osservazione. Possiamo prolungare la funzione di A all insieme H(L) associando ad ogni termine chiuso t di L un elemento t A nel modo che segue; se t è una costante c di L, t A = c A ; se t = f (t 1,..., t k ) dove f è un simbolo di operazione k-aria in L e t 1,..., t k H(L), allora t A = f A (t A 1,..., ta k ). (Camerino) 17 / 57

18 Esempi 1. Se L =, una struttura di linguaggio L è un insieme A non vuoto. 2. Sia L = {c 0, P0 1, P1 1 }. Allora struttura di linguaggio L è un insieme A non vuoto, con un elemento privilegiato, e due relazioni 1-arie su A (ad esempio, si può prendere come A l insieme di tutti gli esseri viventi, privilegiando l elemento Socrate, e considerando le due relazioni 1-arie costituite dall insieme di tutti gli uomini e dall insieme di tutti gli esseri mortali; altro esempio di struttura di L è (N, 0, 2N, {1, 2, 3})). 3. Sia L = {f0 1 }. Struttura di linguaggio L è un insieme non vuoto A con una operazione 1-aria su A (ad esempio (N, succ) dove, per ogni naturale n, succ(n) = n + 1). (Camerino) 18 / 57

19 Osservazione. In una struttura A, ogni simbolo di L ha una interpretazione (le costanti in elementi privilegiati, i simboli di operazione in operazioni, i simboli di relazione in relazioni), allo stesso modo in cui, in una rappresentazione teatrale di una commedia, ogni personaggio ha un attore che lo recita. Relativamente ai simboli logici del nostro alfabeto, è chiaro che. = sarà interpretato dalla relazione di uguaglianza = in A. Consideriamo adesso le variabili individuali. (Camerino) 19 / 57

20 Definizione. Strutture e verità Sia A una struttura di L. Valutazione di A è una funzione s dell insieme delle variabili individuali in A. Si noti che una valutazione s di A si può estendere ad una funzione s dell insieme di tutti i termini di L in A ponendo: s(v n ) = s(v n ) per ogni n naturale; s(c) = c A quando c è una costante di L; s(f (t 1,..., t k )) = f A (s(t 1 ),..., s(t k )) quando f è un simbolo di operazione k-aria di L e t 1,..., t k sono termini di L. (Camerino) 20 / 57

21 Nel seguito identificheremo s e s (a meno che non ci sia pericolo di confusione). Ovviamente, se t H(L), s(t) = t A. Notazione. Siano A una struttura, s una valutazione di A, a A. Indicheremo con s(v n /a) la valutazione s di A così definita: s (v n ) = a mentre, per ogni naturale m n, s (v m ) = s(v m ). Definiamo adesso quand è che una formula di L si intende vera in una struttura A di L rispetto ad una valutazione s di A. (Camerino) 21 / 57

22 Definizione (Tarski). Strutture e verità Siano A una struttura di L, ϕ una formula di L, s una valutazione di A. Definiamo A = s ϕ (ϕ è vera in A rispetto a s) per induzione sulla costruzione di ϕ. Supponiamo dapprima ϕ atomica. Se ϕ è t 1. = t2 con t 1, t 2 termini di L, poniamo A = s t 1. = t2 s(t 1 ) = s(t 2 ); se ϕ è P(t 1,..., t k ) con P simbolo di relazione k-aria in L e t 1,..., t k termini di L, poniamo A = s P(t 1,..., t k ) (s(t 1 ),..., s(t k )) P A. (Camerino) 22 / 57

23 Definizione (Tarski). Strutture e verità Supponiamo adesso che ϕ sia α oppure α β dove α e β sono formule di L. Poniamo rispettivamente A = s α A = s α, A = s α β A = s α e A = s β. Supponiamo finalmente che ϕ sia v n α dove n è un naturale, ed α è una formula di L. Poniamo allora A = s v n α A = s(vn/a) α per ogni a A. (Camerino) 23 / 57

24 Esempi Strutture e verità 1. Siano L = {c, f, g, P} dove c è una costante, f e g sono simboli di operazione binaria e P è un simbolo di relazione binaria, A = (N, 0, +,, ), ϕ la formula v 1 P(v 0, v 1 ), s la valutazione di A definita ponendo s(v n ) = n per ogni n naturale. Si ha: A = s ϕ se e solo se esiste a N tale che A = s(v1 /a) P(v 0, v 1 ), dunque se e solo se esiste a N tale che A = s(v1 /a) P(v 0, v 1 ), e dunque se e solo se esiste a N tale che 0 a. In conclusione A = s ϕ. Altrettanto avviene per ogni valutazione s di A tale che s(v 0 ) = Siano L, A, ϕ come in 1.; supponiamo stavolta s(v n ) = n + 1 per ogni n naturale. Allora A = s ϕ se e solo se esiste a N tale che 1 a. Siccome 1 0, A = s ϕ; altrettanto vale per ogni valutazione s di A tale che s(v 0 ) = 1. (Camerino) 24 / 57

25 Esempi Strutture e verità 3. Siano L, A come sopra, e sia ϕ la formula v 0 v 1 P(v 0, f (v 0, v 1 )). Assumiamo poi s(v n ) = n per ogni n naturale. Allora A = s ϕ se e solo se, per ogni scelta di a 0, a 1 N, A = s(v0 /a 0 )(v 1 /a 1 ) P(v 0, f (v 0, v 1 )) e dunque se e solo se, per ogni scelta di a 0, a 1 N, a 0 a 0 + a 1. Segue che A = s ϕ. Ma è evidente che altrettanto accade per ogni valutazione s di A. Scriveremo allora A = ϕ (e diremo che ϕ è vera in A). (Camerino) 25 / 57

26 Esempi Strutture e verità 4. Sia L come sopra; consideriamo A = (N, 0, +,, ) (dove è la relazione di divisibilità: per ogni scelta di a 0, a 1 N, a 0 a 1 se e solo se esiste q N tale che a 1 = a 0 q). Sia poi ϕ la seguente formula di L: P(v 1, v 0 ) v 1 (g(v 0, v 1 ). = v 1 ). Sia finalmente s(v n ) = n per ogni n naturale. Allora se e solo se dunque se e solo se A = s ϕ A = s P(v 1, v 0 ) e A = s v 1 (g(v 0, v 1 ). = v 1 ), A = s P(v 1, v 0 ) e, per ogni a N, A = s(v1 /a) g(v 0, v 1 ). = v 1, cioè se e solo se 1 0 e, per ogni a N, 0 a = a. (Camerino) 26 / 57

27 Esempi Strutture e verità Siccome 0 1 = 0 1, A = s ϕ perché A = s v 1 (g(v 0, v 1 ). = v 1 ) anche se A = s P(v 1, v 0 ) (ed altrettanto accade per ogni valutazione s di A tale che s(v 0 ) = 0 e s(v 1 ) = 1). 5. Siano L, A, ϕ come in 4., ma supponiamo s(v n ) = 1 per ogni n naturale. Allora A = s ϕ se e solo se 1 1 e, per ogni naturale a, 1 a = a. Segue che A = s ϕ (ed altrettanto accade per ogni valutazione s di A tale che s(v 0 ) = s(v 1 ) = 1). (Camerino) 27 / 57

28 Perché si chiama Logica dei predicati del primo ordine? Predicato sta per relazione: si noti infatti che ogni operazione n-aria f su un insieme A si può pensare come una relazione (n + 1)-aria su A identificando f con il suo grafico {(a 1,..., a n, b) A n+1 : f (a 1,..., a n ) = b}, e che ogni elemento privilegiato a in A si può pensare come una relazione 1-aria su A identificandolo con {a}. Primo ordine significa che l uso dei quantificatori e nelle formule è permesso solamente su variabili da interpretare in elementi delle strutture, e non, ad esempio, su variabili da interpretare in sottoinsiemi delle strutture. Dunque le seguenti proposizioni sui numeri naturali: (Camerino) 28 / 57

29 Definizione. Sia ϕ una formula di linguaggio L. Una variabile v n (con n naturale) si dice libera in ϕ se esiste almeno una occorrenza libera di v n in ϕ. Notazione. Se ϕ è una formula di L, e le variabili libere di ϕ sono tra v 0,..., v n, scriveremo (talora) ϕ(v 0,..., v n ) invece di ϕ. Teorema (di coincidenza). Siano L un linguaggio, ϕ(v 0,..., v n ) una formula di L, A una struttura di L, s e s due valutazioni di A tali che, per ogni naturale i n, s(v i ) = s (v i ). Allora A = s ϕ se e solo se A = s ϕ. (Camerino) 29 / 57

30 Il teorema giustifica la seguente abbreviazione. Abbreviazione. Siano ϕ(v 0,..., v n ) una formula di linguaggio L, A una struttura di L, a 0,..., a n A. Allora si pone A = ϕ(a 0,..., a n ) se e solo se A = s ϕ(v 0,..., v n ) dove s è una qualunque valutazione di A tale che s(v i ) = a i per ogni naturale i n. Corollario. Siano A una struttura di L, ϕ un enunciato di L. Allora A = ϕ oppure A = ϕ. (Ricordiamo che, se α è una formula di L, A = α significa A = s α per ogni valutazione s di A.) (Camerino) 30 / 57

31 Definizione. Un enunciato ϕ di L è soddisfacibile se e solo se esiste una struttura A di L tale che A = ϕ. Problema della soddisfacibilità per un linguaggio L. Determinare un algoritmo per decidere, per ogni enunciato ϕ di L, se ϕ è soddisfacibile o no. Osservazione. Quando A è una struttura di L e S è un insieme di enunciati di L, scriveremo A = S (e diremo che A è modello di S) se e solo se A = σ per ogni σ S. Definizione. Un insieme S di enunciati di L è soddisfacibile se e solo se esiste un modello A per S (ovvero una struttura A di L che soddisfa tutti gli enunciati di S). Notiamo che, se S è finito, allora S è soddisfacibile se e solo se l enunciato σ S σ è soddisfacibile. (Camerino) 31 / 57

32 Definizione. Un enunciato ϕ di L è valido se e solo se, per ogni struttura A di L, A = ϕ. Allora si ha chiaramente che ϕ è valido se e solo se ϕ non è soddisfacibile. Definizione. Siano ϕ un enunciato di L, S un insieme di enunciati di L. Si dice che ϕ è conseguenza logica di S (S = ϕ) se e solo se, per ogni struttura A di L, se A è modello di S, allora A = ϕ. Evidentemente S = ϕ se e solo se S { ϕ} non è soddisfacibile. In particolare, quando S è finito, S = ϕ se e solo se σ S σ ϕ non è soddisfacibile. solo se sono veri nelle stesse strutture di L. Definizione. Due enunciati ϕ e ϕ di L si dicono logicamente equivalenti se e solo se sono veri nelle stesse strutture di L. È chiaro che ϕ e ϕ sono logicamente equivalenti se e solo se ϕ ϕ è valido: (Camerino) 32 / 57

33 Un tale algoritmo, se esiste, permette di ottenere con facilità procedimenti per decidere, per ϕ, ϕ enunciati di L e S insieme finito di enunciati di L: se ϕ è valido oppure no; se ϕ e ϕ sono logicamente equivalenti oppure no; se ϕ è conseguenza di S (S = ϕ) oppure no. (Camerino) 33 / 57

34 Tutte le precedenti definizioni si possono estendere facilmente a formule di L (anche con variabili libere). La differenza è nel fatto che, data una struttura A di L, se ϕ è un enunciato di L e, per qualche valutazione s di A, A = s ϕ, allora A = ϕ, mentre, se ϕ è una generica formula di L, può accadere che per qualche valutazione s di A si abbia A = s ϕ, ma per qualche altra valutazione s di L si abbia invece A = s ϕ, così che non può essere né A = ϕ né A = ϕ. Diremo una formula ϕ di L è soddisfacibile se e solo se esistono una struttura A di L ed una valutazione s di A tali che A = s ϕ; due formule ϕ e ϕ di L sono logicamente equivalenti se e solo se, per ogni struttura A di L e per ogni valutazione s di A, A = s ϕ A = s ϕ. (Camerino) 34 / 57

35 Illustreremo questo strumento tecnico. Notazione. Siano L un linguaggio, ϕ(v, v 0,..., v n ) una formula di L, t H(L). Indichiamo con ϕ(t, v 0,..., v n ) la formula di L che si ottiene da ϕ sostituendo v con t in ogni sua occorrenza libera (allora le variabili libere di ϕ(t, v 0,..., v n ) sono tra v 0,..., v n ). Teorema (di sostituzione). Siano ϕ(v, v 0,..., v n ) una formula di un linguaggio L, t H(L), A una struttura di L, s una valutazione di A, s = s(v/t A ). Allora A = s ϕ(t, v 0,..., v n ) A = s ϕ(v, v 0,..., v n ). (Camerino) 35 / 57

36 Consideriamo comunque il seguente esempio. Sia L un linguaggio con una costante c; in L consideriamo la formula ϕ(v, v 0 ) : v. = v 0 (con v v 0 ) ed il termine chiuso t = c. Allora ϕ(t, v 0 ) è c =. v 0. Siano ora A una struttura di L, s una valutazione di A, s = s(v/c A ).. Allora A = s t = v 0 se e solo se s(v 0 ) = c A. D altra parte, s(v 0 ) = s (v 0 ).. Dunque A = s t = v 0 se e solo se s (v 0 ) = c A = s (v), e quindi se e solo se A = s v =. v 0. (Camerino) 36 / 57

37 Teorema di completezza. È possibile definire in modo effettivo nell alfabeto della logica dei predicati del primo ordine un insieme di funzioni che a certe sequenze ordinate di enunciati associano nuovi enunciati (regole di deduzione) e, soprattutto, un insieme di enunciati (assiomi logici), in modo tale che, per ogni tipo τ, se ϕ è un enunciato di τ e S è un insieme di enunciati di τ, allora S = ϕ se e solo se S ϕ, e cioè esiste una sequenza finita σ 0,..., σ n di enunciati di τ tale che σ n = ϕ e, per ogni naturale i n, σ i è in S, oppure è un assioma logico, oppure si ottiene da enunciati tra σ 0,..., σ i 1 con l uso di una regola di deduzione. (Camerino) 37 / 57

38 Teorema di compattezza. Sia S un insieme di enunciati di linguaggio L(S). Allora S è soddisfacibile se e solo se ogni sottoinsieme finito di S è soddisfacibile. Diremo che S è finitamente soddisfacibile quando ogni sottoinsieme finito di S è soddisfacibile. (Camerino) 38 / 57

39 Proposizione. Siano S un insieme di enunciati di L, ϕ un enunciato di L. Allora S = ϕ se e solo se esiste un sottoinsieme finito S 0 di S tale che S 0 = ϕ. Dimostrazione. Evidentemente S = ϕ se e solo se S { ϕ} non ha modello. D altra parte questo equivale, per il Teorema di compattezza, ad affermare che esiste un sottoinsieme finito di S { ϕ} privo di modello, e senza perdita di generalità possiamo assumere che tale sottoinsieme contenga anche ϕ, e sia dunque della forma S 0 { ϕ} con S 0 sottoinsieme finito di S. Segue che S = ϕ se e solo se esiste un sottoinsieme finito S 0 di S tale che S 0 = ϕ. (Camerino) 39 / 57

40 Osservazioni 1. Se ϕ e ϕ sono enunciati di L logicamente equivalenti, allora ϕ è soddisfacibile se e solo se ϕ è soddisfacibile (infatti, per ogni struttura A, A = ϕ se e solo se A = ϕ ). 2. Siano α, α, β, β formule di L tali che α, α sono logicamente equivalenti, e β e β sono logicamente equivalenti. Allora sono logicamente equivalenti: α, α, α β, α β, α β, α β, v α, v α, v α, v α. (Camerino) 40 / 57

41 Definizione. Strutture e verità Un enunciato ϕ di L si dice universale se e solo se ϕ è della forma v 0... v n θ(v 0,..., v n ) dove θ(v 0,..., v n ) è una formula priva di quantificatori (eventualmente ϕ è privo di quantificatori). Teorema. Esiste un procedimento effettivo che ad ogni enunciato ϕ di L associa un linguaggio L L ed un enunciato ϕ di L tali che ϕ è soddisfacibile se e solo se ϕ è soddisfacibile; ϕ è universale (ed anzi ϕ è della forma v 0... v n θ(v 0,..., v n ) dove θ(v 0,..., v n ) è una congiunzione di disgiunzioni di formule atomiche o negazioni). (Camerino) 41 / 57

42 Ecco il procedimento richiesto. (a) Eliminare e. Basta ricordare che, se α e β sono formule di L, allora α β e α β abbreviano rispettivamente (α β) (β α) e α β. (b) Limitare alle formule atomiche. Lemma 1. Siano α e β due formule di L. Allora sono equivalenti (i) α, α, (ii) (α β), α β, (iii) (α β), α β, (iv) ( v α), v α, (v) ( v α), v α. (Camerino) 42 / 57

43 (c) Ribattezzare le variabili in modo che quantificatori distinti riguardino variabili distinte. Basta utilizzare il seguente Lemma 2. Siano α(v 0,..., v n, v) una formula di L, w una variabile non occorrente in α. Allora sono logicamente equivalenti le formule: (i) v α(v 0,..., v n, v), w α(v 0,..., v n, w), (ii) v α(v 0,..., v n, v), w α(v 0,..., v n, w). (Camerino) 43 / 57

44 (d) Premettere i quantificatori in modo che, dove possibile, preceda. Quel che vogliamo provare è il seguente risultato: Lemma 3. Siano α e β due formule di L, v una variabile non occorrente liberamente in β. Sono logicamente equivalenti: (i) vα β e v (α β); (ii) vα β e v (α β); (iii) vα β e v (α β); (iv) vα β e v (α β). (Camerino) 44 / 57

45 Con l uso ripetuto del Lemma 3, possiamo successivamente estrarre all inizio di ϕ tutti i quantificatori di ϕ, in modo da ridurlo ad un enunciato equivalente della forma ( ) Q 0 v 0... Q h v h θ(v 0,..., v h ) dove θ(v 0,..., v h ) è una formula priva di quantificatori, e Q 0,..., Q h stanno per o. Il precedente passo (c) ha la funzione di preparare ϕ in modo tale che il Lemma 3 possa essere applicato senza timori relativi alla condizione su v. Conviene poi, in previsione del prossimo punto (e), dare la precedenza, nell uso del Lemma 3, ai quantificatori rispetto a quelli, naturalmente nei limiti del lecito (sappiamo bene che enunciati quali v w(v. = w) e w v(v. = w) non sono equivalenti): l esempio che segue il prossimo Lemma 5 illustra anche questo punto. (Camerino) 45 / 57

46 (e) Eliminare. Al termine di (d) si è visto che, per controllare la soddisfacibilità di ϕ, possiamo supporre che ϕ sia della forma: ( ) Q 0 v 0... Q h v h θ(v 0,..., v h ) dove θ(v 0,..., v h ) è priva di quantificatori, e Q 0,..., Q h sono quantificatori ( o ): infatti è comunque possibile costruire in modo effettivo un enunciato logicamente equivalente a ϕ della forma ( ). Assumiamo dunque, senza perdita di generalità, che ϕ sia come in ( ). Se Q 0 =, ϕ è vα(v) per una opportuna formula α; altrimenti, per qualche naturale m < h, si ha che ϕ è v 0... v m v α(v 0,..., v m, v) ancora per α opportuna. (Camerino) 46 / 57

47 Nel primo caso, sia L ϕ = L {c} con c nuova costante: definiamo enunciato di Skolem associato a ϕ, ed indichiamo Sk(ϕ), l enunciato di L ϕ. Nel secondo caso, sia α(c) L ϕ = L {f } dove f è un nuovo simbolo di operazione (m + 1)-aria: definiamo enunciato di Skolem associato a ϕ, ed indichiamo Sk(ϕ) l enunciato di L ϕ v 0..., v m α(v 0,..., v m, f (v 0,..., v m )). Lemma 4. ϕ è soddisfacibile se e solo se Sk(ϕ) è soddisfacibile. (Camerino) 47 / 57

48 Un uso ripetuto del Lemma 4 permette di trasformare l enunciato ϕ della forma ( ) Q 0 v 0... Q h v h θ(v 0,..., v n ) in un altro enunciato ϕ in un linguaggio L L tale che ϕ è soddisfacibile se e solo se ϕ è soddisfacibile e ϕ è in forma universale v 0... v n θ (v 0,..., v n ) con n h e θ (v 0,..., v n ) formula priva di quantificatori. (f ) Per completare la dimostrazione del teorema, basterà vedere come sostituire θ (v 0,..., v n ) con una formula logicamente equivalente che sia una congiunzione di disgiunzioni di formule atomiche o negazioni. Ma questo è possibile per i precedenti passi (a) e (b) e per il seguente. Lemma 5. Se α, β e γ sono formule, sono logicamente equivalenti: (i) α (β γ), (α β) (α γ); (ii) α (β γ), (α β) (α γ). (Camerino) 48 / 57

49 Esempio. Sia L = {P, Q}, dove P e Q sono simboli di relazioni di arietà rispettivamente 2 e 1. Consideriamo in L l enunciato ϕ : ( v 0 Q(v 0 ) v 1 Q(v 1 )) v 0 v 1 P(v 0, v 1 ). Utilizzando il procedimento del precedente teorema, si ottiene dapprima con (a) poi da (b) ( v 0 Q(v 0 ) v 1 Q(v 1 )) v 0 v 1 P(v 0, v 1 ), ( ( v 0 Q(v 0 )) ( v 1 Q(v 1 ))) v 0 v 1 P(v 0, v 1 ), Con (c) si passa a ( v 0 Q(v 0 ) v 1 Q(v 1 )) v 0 v 1 P(v 0, v 1 ), ( v 0 Q(v 0 ) v 1 Q(v 1 )) v 0 v 1 P(v 0, v 1 ). ( v 0 Q(v 0 ) v 1 Q(v 1 )) v 2 v 3 P(v 2, v 3 ), (Camerino) 49 / 57

50 da cui con (d): Strutture e verità v 1 ( v 0 Q(v 0 ) Q(v 1 )) v 2 v 3 P(v 2, v 3 ), v 1 v 0 (Q(v 0 ) Q(v 1 )) v 2 v 3 P(v 2, v 3 ), v 1 ( v 0 (Q(v 0 ) Q(v 1 )) v 2 v 3 P(v 2, v 3 )), v 1 v 0 v 2 v 3 ((Q(v 0 ) Q(v 1 )) P(v 2, v 3 )). A questo punto aggiungiamo al linguaggio L una costante c; con il procedimento di Skolem (e) giungiamo all enunciato v 0 v 2 v 3 ((Q(v 0 ) Q(c)) P(v 2, v 3 )). Finalmente con (f ) otteniamo l enunciato v 0 v 2 v 3 ((Q(v 0 ) P(v 2, v 3 )) (Q(c) P(v 2, v 3 ))) che ha la forma richiesta, ed è soddisfacibile se e solo se ϕ è soddisfacibile. (Camerino) 50 / 57

51 Teorema di Herbrand Abbiamo dunque ridotto il problema della soddisfacibilità da enunciati arbitrari ad enunciati universali (ed anzi della forma v 0..., v n θ(v 0,..., v n ) dove θ(v 0,..., v n ) è una congiunzione di disgiunzioni di formule atomiche o negazioni). Cerchiamo adesso di ridurre ulteriormente il problema da enunciati universali ad enunciati privi di quantificatori. Non è restrittivo a questo proposito assumere che H(L), cioè che L contenga almeno una costante; in caso contrario, si aggiunge a L un simbolo di costante: la (in)soddisfacibilità degli enunciati evidentemente si preserva. (Camerino) 51 / 57

52 Definizione. Siano θ(v 0,..., v n ) una formula di L priva di quantificatori. Si dice istanza di sostituzione di θ ogni enunciato θ(t 0,..., t n ) con t 0,..., t n H(L). Teorema (di Herbrand). Assumiamo H(L). Sia θ(v 0,..., v n ) una formula di L priva di quantificatori. Allora l enunciato ϕ : v 0..., v n θ(v 0,..., v n ) è soddisfacibile se e solo se ogni congiunzione finita di istanze di sostituzione di θ è soddisfacibile. (Camerino) 52 / 57

53 Pertanto il problema della soddisfacibilità per gli enunciati universali di L è (almeno parzialmente) ridotto a quello per enunciati privi di quantificatori. Ammettiamo infatti che sia dato un algoritmo capace di decidere, per ogni enunciato di L privo di quantificatori, se questo sia o no soddisfacibile. Allora, dato un enunciato universale di L: ϕ : v 0... v n θ(v 0,..., v n ), con θ(v 0,..., v n ) formula priva di quantificatori, o addirittura congiunzione di disgiunzioni di formule atomiche o negazioni, si considerano tutte le istanze di sostituzione di θ(v 0,..., v n ), congiungendole in tutti i possibili modi. (Camerino) 53 / 57

54 Se H(L) è finito (cioè se L contiene al più un numero finito di costanti, e non contiene alcun simbolo di operazione), esiste solo un numero finito di congiunzioni di istanze di sostituzione di θ, e, per ognuna, è possibile verificare la soddisfacibilità con l algoritmo a disposizione per gli enunciati privi di quantificatori; ϕ è soddisfacibile se e solo se ogni congiunzione di istanze di sostituzione di θ risulta soddisfacibile, ovvero se e solo se la congiunzione di tutte le istanze di sostituzione di θ (che è una formula di L) è soddisfacibile. (Camerino) 54 / 57

55 Se però H(L) è infinito (cioè L contiene una infinità di costanti, oppure anche un solo simbolo di operazione), la situazione è molto più complicata. Infatti esistono infinite istanze di sostituzioni di θ, e dunque infinite congiunzioni di tali istanze. Per ogni congiunzione è possibile ancora verificare la soddisfacibilità; ma, se ϕ è soddisfacibile, il relativo controllo delle infinite istanze di sostituzione di θ richiede infiniti passi (se invece ϕ non è soddisfacibile, esiste una congiunzione finita di istanze di sostituzioni di θ che non è soddisfacibile, e tale congiunzione si può comunque trovare in un numero finito di passi). In conclusione, il procedimento di decisione ora accennato funziona soltanto quando H(L) è finito. In caso contrario, l algoritmo permette al più, se un enunciato ϕ non è soddisfacibile, di accorgersene. (Camerino) 55 / 57

56 Outline Deduzione Naturale 1 Introduzione 2 Linguaggi e formule 3 Strutture e verità 4 Deduzione Naturale (Camerino) 56 / 57

57 Deduzione Naturale Deduzione Naturale Vedere le pagine dalla 18 alla 23 del file Logica Aprrofondimenti. (Camerino) 57 / 57