Il Metodo degli Elementi Finiti

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1 Il Mtodo dgl Elmnt Fnt Il Mtodo dgl Elmnt Fnt Dall dspns dl prof. Daro Amodo dall lzon dl prof. Govann Santucc L.Corts Progttazon Mccanca agl Elmnt Fnt (a.a ) Il Mtodo dgl Elmnt Fnt Introduzon In alcun struttur la dvson n porzon lmntar, faclmnt schmatzzabl, dscnd mmdatamnt dal dsgno dalla tcnologa utlzzata pr la costruzon. L carattrstch d rgdzza d var lmnt sono faclmnt rcavabl da modll struttural dgl lmnt (barr assal, trav) Molto spsso, nvc, partcolarmnt n componnt mccanc, la struttura è un contnuo trdmnsonal, ch non prsnta una prfrnzal suddvson n lmnt. In qust cas s può mmagnar comunqu d dvdr la struttura n un numro fnto d lmnt, ognuno d qual sarà carattrzzato da un crto numro d punt nodal n qual dfnr l grandzz cnmatch dnamch. La rgdzza dlla struttura dpnd dall carattrstch lastch dl matral dalla cnmatca d sngol lmnt. L.Corts Progttazon Mccanca agl Elmnt Fnt (a.a )

2 Il Mtodo dgl Elmnt Fnt Introduzon Il mtodo dgl lmnt fnt è lo studo d crtr con cu rapprsntar l contnuo mdant un nsm d lmnt dscrt localmnt quvalnt, dal punto d vsta statco, all corrspondnt porzon dl contnuo. L da è d rcondurs al caso gà vsto dl calcolo struttural matrcal, mdant l sgunt pots d lavoro: - S rapprsnta l contnuo tramt un numro dscrto d lmnt fnt, connss tra loro n un numro dscrto d punt nodal lungo l contorno. (approssmazon: la connsson tra porzon d contnuo è nlla raltà su nfnt punt non n poch punt dscrt). Gl spostamnt nodal saranno ancora l ncognt dl problma, tutt l grandzz d ntrss vrranno sprss n funzon d tal spostamnt. Elmnt dscrt Nod L.Corts Progttazon Mccanca agl Elmnt Fnt (a.a ) Il Mtodo dgl Elmnt Fnt Introduzon Il mtodo dgl lmnt fnt è lo studo d crtr con cu rapprsntar l contnuo mdant un nsm d lmnt dscrt localmnt quvalnt, dal punto d vsta statco, all corrspondnt porzon dl contnuo. - Un nsm approprato d funzon vn sclto pr dscrvr l campo d spostamnt n sno al sngolo lmnto n funzon dgl spostamnt nodal: funzon d forma (approssmazon, lgata alla sclta arbtrara dll funzon d forma. In aggunta, qust dovrbbro asscurar rqust d contnutà dgl spostamnt (congrunza) dll dformazon. Non smpr è possbl soddsfar tal condzon). P m f k ( ) { f ( x, y, z) } = N { d }, { d }{, d }{, d } j m k j P punto gnrco d coordnat x,y,z ntrno all lmnto. {f} spostamnto dl punto P L.Corts Progttazon Mccanca agl Elmnt Fnt (a.a )

3 Il Mtodo dgl Elmnt Fnt Introduzon Il mtodo dgl lmnt fnt è lo studo d crtr con cu rapprsntar l contnuo mdant un nsm d lmnt dscrt localmnt quvalnt, dal punto d vsta statco, all corrspondnt porzon dl contnuo. { } - Dal campo d spostamnto dfnto sopra, è possbl rcavar l campo d dformazon corrspondnt, smpr n sno all lmnto. Noto l campo d dformazon, s rsal al campo d tnson, assunto l lgam costtutvo dl matral tnuto conto anch d vntual dformazon nzal tnson rsdu. u x v ε x y ε y w εz = = u z γ v xy + γ y x yz v w γ + zx z y w u + x z ε [ D ], { ε 0 }, { σ } 0 { σ } = [ D] ({ ε} { }) + { } ε 0 σ 0 L.Corts Progttazon Mccanca agl Elmnt Fnt (a.a ) Il Mtodo dgl Elmnt Fnt Introduzon Il mtodo dgl lmnt fnt è lo studo d crtr con cu rapprsntar l contnuo mdant un nsm d lmnt dscrt localmnt quvalnt, dal punto d vsta statco, all corrspondnt porzon dl contnuo. - S dtrmna un sstma d forz concntrat a nod ch facca qulbro all tnson sul contorno ad ogn carco dstrbuto nll lmnto. (approssmazon: concntrando l forz a nod, la condzon d qulbro statco è vrfcata soltanto globalmnt.) p m F m F k k g j S crca coè ancora una rlazon d qulbro d lmnto dl tpo: { } = [ ] { } + { } + F K d F { F}.. p + ε0 F j F dtrmnando [ ] { F},{ F} K, p ε 0 tramt opportun rlazon dpndnt dal tpo d lmnto L.Corts Progttazon Mccanca agl Elmnt Fnt (a.a )

4 Il Mtodo dgl Elmnt Fnt Introduzon Il mtodo dgl lmnt fnt è lo studo d crtr con cu rapprsntar l contnuo mdant un nsm d lmnt dscrt localmnt quvalnt, dal punto d vsta statco, all corrspondnt porzon dl contnuo. Con qust pots, l problma è rcondotto al caso dl calcolo struttural matrcal. S può coè scrvr la condzon d qulbro pr ogn lmnto: { } = [ ] { } + { } + F K d F { } + p F ε 0... Succssvamnt la condzon d qulbro vn mposta a lvllo d struttura (dscrta): [ K]{ d} = { R} { F} p { F} ε... 0 La soluzon sgu nfn l tr gà vsto pr sstm dscrt L.Corts Progttazon Mccanca agl Elmnt Fnt (a.a ) Il Mtodo dgl Elmnt Fnt L Funzon d Forma L.Corts Progttazon Mccanca agl Elmnt Fnt (a.a )

5 Il Mtodo dgl Elmnt Fnt Funzon d forma ttor forz spostamnt d lmnto { F} F.. = F.. Fm { d} d.. = d.. dm Spostamnto d un punto gnrco ntrno all lmnto { } F F =.. Fr { } f f =.. f r d d =.. dr { } d 2 P 3 m = numro d nod d lmnto r = numro d grad d lbrtà pr nodo N.B. Anch l vttor f ha r componnt {f} com l su componnt è funzon d x,y,z, coordnat d P all ntrno dll lmnto consdrato { f } = { f ( x, y, z) } L.Corts Progttazon Mccanca agl Elmnt Fnt (a.a ) Il Mtodo dgl Elmnt Fnt Funzon d forma Spostamnto ntrno n funzon dgl spostamnt nodal: l Funzon d Forma f f r { f } =.. = [ N ]{ d} Dmnsonalmnt: [ N ] = [ r x ] mr { f } = [ N.. N.. N ] m d.. d.. dm L matrc [N],sono quadrat d dmnson r x r dpndono ancora dall coordnat x,y,z dl punto P consdrato: [ N ] = [ N ( x, y, z) ] L funzon d forma dvono fornr l approprato spostamnto nodal, quando rfrt alla poszon corrspondnt al nodo stsso. Ad smpo, n un caso a 2 g.d.l. pr nodo (r =2): 0 0 N [ N( x, y, z )] = [ x, y, z )] = ( j j j j J =.. m L.Corts Progttazon Mccanca agl Elmnt Fnt (a.a )

6 Il Mtodo dgl Elmnt Fnt Funzon d forma L matrc [N] possono ssr scrtt smpr com l prodotto d una funzon pr la matrc dnttà: [ N ] = [ I] N [ I ] N [ I ] ] [ I ] = [ r x r ] N m dov N j sono funzon arbtrar, not con l nom d funzon d spostamnto o d forma, l qual lgano l campo dgl spostamnt ntrn all lmnto al vttor dgl spostamnt nodal. N.B. Nl caso dgl lmnt monodmnsonal, vst nlla trattazon d sstm dscrt, l ntroduzon dll funzon d forma non è ndspnsabl. Pr l dntfcazon d dformazon tnson n funzon dgl spostamnt nodal c s avval dlla tora lmntar dlla trav. N.B. Pr una trattazon pù approfondta dttaglata dll funzon d forma, s vda la part rlatva all lmnto pano trangolar a 3 nod. L.Corts Progttazon Mccanca agl Elmnt Fnt (a.a ) Il Mtodo dgl Elmnt Fnt Funzon d forma: campo d dformazon d ε.. { ε} =.. { ε} = [ B]{ d} = [ B.. B.. Bm ] d.. ε rε dm Dmnsonalmnt: [ B] = [ rε x mr ] ( [ B] = [ rε x r ] ) Campo d dformazon nll lmnto L.Corts r ε = numro d trmn dl vttor dformazon d lmnto [B] s può drvar, nl vro snso dlla parola, dalla [N], ssndo l componnt d dformazon, l drvat parzal spazal dgl spostamnt. Ad smpo, nl caso spazal: { ε} Progttazon Mccanca agl Elmnt Fnt (a.a ) u x v ε x y ε y w ε z = = u z γ v xy + γ y x yz v w γ + zx z y w u + x z

7 Il Mtodo dgl Elmnt Fnt Funzon d forma: campo d tnson Campo d tnson nll lmnto { σ } σ =.. σ r σ { } [ D][ B]{ d} { ε } [ D] [ S] { ε 0 } { σ 0 } Dmnsonalmnt: { σ } = [ D] ({ ε} { }) + { } Matrc d lastctà d tnson ttor dformazon nzal ttor tnson rsdu nzal ε 0 σ 0 ( ) + { σ } = [ S]{ d} [ ]{ ε } { } σ = D σ 0 [ D] = [ r x r ], [ S] [ r x ] σ ε = Anch {ε}, {σ} sono f(x,y,z) : { ε} = { ε( x, y,z) }, { σ } = { σ ( x, y,z) } σ r r σ = numro d trmn dl vttor tnson d lmnto N.B. Pr una trattazon pù approfondta dttaglata dll matrc d dformazon d lastctà, s vda ancora la part rlatva all lmnto pano trangolar a 3 nod. L.Corts Progttazon Mccanca agl Elmnt Fnt (a.a ) Il Mtodo dgl Elmnt Fnt Rlazon d qulbro d lmnto L.Corts Progttazon Mccanca agl Elmnt Fnt (a.a )

8 Il Mtodo dgl Elmnt Fnt Rlazon d qulbro d lmnto La rlazon ch sprm la condzon d qulbro dll lmnto nl contnuo s può rcavar chamando n causa l prncpo d lavor vrtual F.. F {F} vttor dll forz strn agnt sull lmnto, { F} = F { F } =.. applcat drttamnt a nod:.. Fr Fm N.B. In qusto caso {F} rapprsnta l forz nodal ch sono statcamnt quvalnt all tnson {σ } ralmnt agnt sul contorno dll lmnto. {p} vttor d carch dstrbut pr untà d volum, ad smpo dovuto ad azon nrzal: La condzon d qulbro tra l forz strn l razon ntrn, dovut allo stato tnsonal, s rcava tramt l prncpo d lavor vrtual L =L { p} X = Y Z Supponndo l lmnto n qulbro, mponndo un campo d arbtrar spostamnt vrtual l lavoro computo dall forz strn dv guaglar qullo computo dall forz ntrn L.Corts Progttazon Mccanca agl Elmnt Fnt (a.a ) Il Mtodo dgl Elmnt Fnt Rlazon d qulbro d lmnto L =L { d } Lo spostamnto ntrno vrtual la dformazon consgunt al campo d campo d spostamnt vrtual. { f } = [ N]{ d } spostamnt vrtual sono dat da vttor: { } [ ]{ } Il lavoro vrtual computo dall forz strn val: { } d { F} { f } { p} ε = L = + d { d } Il lavoro vrtual computo dall tnson ntrn val: L [{ }] { σ}d = ε = [{ d } ] [ B] { σ}d B d [ ] { } [ ] { } F + N p d = { f } = { d } Uguaglando lavor s ottn: [{ d } ] { F} [ N ] { p} d [{ d } ] + = [ B] { σ}d L.Corts Progttazon Mccanca agl Elmnt Fnt (a.a ) [ ] [ N]

9 Il Mtodo dgl Elmnt Fnt Rlazon d qulbro d lmnto [{ d } ] { F} [ N ] { p} d [{ d } ] + [ B] { σ}d lmnando lo spostamnto vrtual d lmnto s ottn: { F} = [ B] { σ} d [ N] { p}d = Rcordando l rlazon: { ε} = [ B] { d} { σ } = [ D] ({ ε} { }) + { } ε 0 σ 0 ( ) { } { } = [ D] [ B]{ d} { } σ ε 0 + σ 0 { F} = [ ] [ ] [ ] B D B d { d} [ B] [ D] { ε0} d + [ B] { σ0} d [ N ] { p} L.Corts Progttazon Mccanca agl Elmnt Fnt (a.a ) d Il Mtodo dgl Elmnt Fnt Rlazon d qulbro d lmnto { F} = [ ] [ ] [ ] B D B d { d} [ B] [ D] { ε0} d + [ B] { σ0} d [ N ] { p} Qusta rlazon è dl tpo: { F } = [ K] { d} + { F} + { F} + { F} p ε 0 σ 0 d In concluson s può scrvr: [ K ] = [ B] [ D] [ B] d { F} ε 0 = [ B] [ D] { ε0} { F} = [ B] σ 0 { σ0} { F} p = [ N ] { p} d d d Matrc d rgdzza d lmnto Forz nodal quvalnt alla dformazon nzal (dlatazon trmca) Forz nodal quvalnt alla tnson nzal (tnson rsdu) Forz quvalnt a carch unformmnt dstrbut (prsson, forz d massa) L.Corts Progttazon Mccanca agl Elmnt Fnt (a.a )

10 Il Mtodo dgl Elmnt Fnt Rlazon d qulbro d lmnto S l lmnto appartn al confn strno dl contnuo, su d sso potrbb agr un carco dstrbuto, l cu valor pr untà d lunghzza potrbb ssr sprsso tramt l vttor: { g } = [ g g g ] { F} g = [ N ] { g} C x All forz nodal quvalnt lncat n prcdnza andrbb allora aggunto l vttor: y Dov l ntgrazon s ntnd stsa sulla porzon d contorno sul qual agsc l carco dstrbuto appartnnt all lmnto consdrato. In altrnatva carch dstrbut agnt sul contorno possono nglobars n carch concntrat strn d struttura dscrtt dal vttor (vd szon succssva). { R} z dc N.B. Pr una trattazon pù approfondta dttaglata s vda smpr la part rlatva all lmnto pano trangolar a 3 nod. L.Corts Progttazon Mccanca agl Elmnt Fnt (a.a ) Soluzon dl problma agl Elmnt Fnt: Assmblaggo dlla struttura, procdmnto rsolutvo consdrazon sulla convrgnza dl mtodo L.Corts Progttazon Mccanca agl Elmnt Fnt (a.a )

11 Il Mtodo dgl Elmnt Fnt Assmblaggo dlla struttura rsoluzon dl problma lastco { } = [ ] { } + { } + F K d F { F}.. - Dtrmnando una rlazon d lmnto dl tpo d fatto p c s è rcondott al caso dl calcolo struttural d sstm dscrt. In qusto caso nfatt, sngol lmnt fanno l vc d vr propr componnt ndvdual connss tra loro mdant un numro dscrto d punt nodal. L assmblaggo procd prtanto mdant gl stss pass prvst pr tal mtodo; s rcostrusc coè la matrc d rgdzza d struttura carch dstrbut dformazon nzal { F} { } p F ε0 suppost concntrat a nod [ ] + ε0 K, carch nodal quvalnt a, s stmano l forz strn {R} -Una volta rsolto l sstma d quazon dlla struttura assmblata: [ K]{ d} = { R} { F} { F} p ε... 0 { d} coè trovat l campo d spostamnt ncognt l razon vncolar, s possono dntfcar, lmnto pr lmnto ch dscrtzza l contnuo, sa l campo d dformazon ch qullo d tnson mdant l: { ε} = [ B]{ d} { σ} = [ D][ B]{ d} [ D]{ } + { } ε 0 σ 0 L.Corts Progttazon Mccanca agl Elmnt Fnt (a.a ) Il Mtodo dgl Elmnt Fnt Assmblaggo dlla struttura rsoluzon dl problma lastco Nl procdmnto llustrato, l prncpo d lavor vrtual è stato applcato al sngolo lmnto pr rcavar l forz nodal quvalnt ch garantscono l qulbro dll lmnto stsso nlla struttura. S è po sguto l approcco gà vsto pr sstm dscrt. Non è ndspnsabl prò ragonar prma a lvllo d lmnto po d struttura; è possbl applcar l ragonamnto all ntro contnuo snza chamar n causa l forz ntrlmnto. f { f } = [ N ]{ d}.. = [ N... N ] dov: [ N ] = [ N ] [ N ] = 0 f r n d.. dn ttor spostamnto dl gnrco punto P dlla struttura n funzon dgl spostamnt nodal d struttura S P cad all ntrno d un lmnto al qual appartn l nodo -smo altrmnt Analoga dfnzon può dars pr la matrc d dformazon [ B] L.Corts Progttazon Mccanca agl Elmnt Fnt (a.a )

12 Il Mtodo dgl Elmnt Fnt Assmblaggo dlla struttura rsoluzon dl problma lastco Il prncpo d lavor vrtual può ora ssr applcato all ntra struttura L [ d ] { } + [ ] { } + [ ] { } = [ ] R f p d f g dc ε { σ} C dov gl ntgral vanno calcolat sull ntro volum contorno d L Rlaborando s ottn: { R} = [ ] [ ][ ] B D B d { d} [ B] [ D]{ ε0} d + [ B] { σ0} d [ N ] { p} d [ N ] { g} Rcordando com sono stat dfnt l matrc global [ K] rs = [ B] [ D][ B] d = [ B] [ ] [ D][ B] d [ K] = [ N ], [ B] rs C dc Stss consdrazon s possono rptr pr gl altr trmn.. C s rconduc nfn al mdsmo sstma [ K]{ d} { R} { F} { F}... = p ε 0 L.Corts Progttazon Mccanca agl Elmnt Fnt (a.a ) Il Mtodo dgl Elmnt Fnt Assmblaggo dlla struttura rsoluzon dl problma lastco E anch possbl gustfcar la formulazon dl mtodo agl lmnt fnt mdant consdrazon d tpo nrgtco; l prncpo d lavor vrtual può nfatt ssr rscrtto pr l ntro contnuo n sam: [ ε ] { σ} d [ ] { } [ ] { } [ ] { } d R + f p d + f g dc = 0 C Il prmo trmn può ssr ntrprtato com varazon dll nrga ntrna d dformazon U, mntr l scondo è la varazon d nrga potnzal d carch strn W. S può prtanto scrvr: ( U + ) = 0 dχ = d W Dov χ è chamata nrga potnzal total. La prcdnt sprsson ndca ch, prché sa garantto l qulbro, l nrga potnzal total dv ssr stazonara. S può dmostrar ch nl caso lastco l nrga potnzal total è anch mnma. L.Corts Progttazon Mccanca agl Elmnt Fnt (a.a )

13 Il Mtodo dgl Elmnt Fnt Assmblaggo dlla struttura rsoluzon dl problma lastco Il sstma d quazon dl mtodo dgl lmnt fnt, dtrmnato n prcdnza pr altra va, può così ssr ottnuto tramt l rlazon: χ d.. χ = = 0 d.. χ d n In pratca con l mtodo dgl lmnt fnt s trova l mnmo dll nrga potnzal sulla bas d un assgnato numro d spostamnt. E vdnt com all nfttrs dlla dscrtzzazon, coè al crscr dl numro d lmnt, qund d punt nodal, la condzon d qulbro sa mposta su un numro d grad d lbrtà maggor. Cò s traduc n una mglor approssmazon dlla soluzon numrca a qulla vra. L.Corts Progttazon Mccanca agl Elmnt Fnt (a.a ) Il Mtodo dgl Elmnt Fnt La convrgnza dl mtodo, approssmazon lgat all pots d lavoro Crcando d rapprsntar l contnuo mdant un nsm d lmnt dscrt d dmnson fnt s ntroducono l sgunt approssmazon: - la connsson tra porzon d contnuo è nlla raltà su nfnt punt non n poch punt dscrt. - concntrando l forz a nod, la condzon d qulbro statco è vrfcata soltanto globalmnt. - la sclta arbtrara dll funzon d forma non garantsc ch gl spostamnt vr n sno a sngol lmnt sano dscrtt accuratamnt. In aggunta, qust dovrbbro asscurar rqust d contnutà dgl spostamnt (congrunza) dll dformazon. Al dcrscr dll dmnson dgl lmnt dscrt (con h la dm. mda d lm.) tal approssmazon s rducono. S può dmostrar ch sotto opportun pots (rguardant l funzon d forma d altro..), l mtodo dgl lmnt fnt convrg alla soluzon satta quando h 0. L.Corts Progttazon Mccanca agl Elmnt Fnt (a.a )

14 Il Mtodo dgl Elmnt Fnt La convrgnza dl mtodo, l mportanza dlla sclta dll funzon d forma La prcson dl mtodo dpnd fortmnt da com l funzon d forma rscono a dscrvr l campo d spostamnt ral. Ess sono sclt n manra arbtrara ntroducono una approssmazon qualora l campo vro d spostamnt non sa dscrvbl mdant la formulazon analtca adottata. L rror s rduc al dcrscr dlla dmnson dll lmnto Pr asscurar la convrgnza dl mtodo al rsultato corrtto, s dmostra ch l funzon d forma dvono ssr sclt n bas a sgunt crtr: ) dvono ssr n grado d rapprsntar corrttamnt mot rgd: n tal cas non dvono gnrar dformazon nll lmnto; 2) dvono ssr n grado d rprodurr la condzon d campo unform d dformazon all ntrno dll lmnto; 3) l dformazon n corrspondnza dlla sparazon tra gl lmnt possono prsntar una dscontnutà ma qusta dv ssr fnta (cò corrspond alla condzon ch gl spostamnt sano contnu tra lmnt contgu, ovvro ch l funzon d spostamnto sano C 0 n corrspondnza dlla sparazon. C sono noltr class d lmnt ch rchdono ch gl spostamnt sano C ). L.Corts Progttazon Mccanca agl Elmnt Fnt (a.a )