Modelli di asset allocation risk-based per gli investitori istituzionali

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1 Modelli di asset allocation risk-based per gli investitori istituzionali Risk & Return Italia 26 novembre 2009, Milano Riccardo Cesari (Università di Bologna) 1

2 Innovazioni nella gestione finanziaria Obiettivi Nuovi benchmark Nuovi target assoluti Rischi Nuovi fattori (credito, liquidità, operativo) Nuove misure (CVaR) Metodi Approcci robusti Approcci dinamici life-cycle 2

3 Una tassonomia generale Gestioni a target relativo (a benchmark) Gestioni a benchmark passive Benchmark a capitalizzazione Benchmark a stile (large/small, value/growth etc.) altri benchmark non standard Gestioni a benchmark attive Gestioni a target assoluto A target di rendimento: minimo rischio per dato rendimento atteso minimo A target di rischio: massimo rendimento per dato rischio massimo 3

4 Indici Value, Growth, Totale 200 INDICI AZIONARI MONDIALI VALUE GROWTH Source: DATASTREAM 4

5 Indici Large Cap, Small Cap, Totale 300 INDICI AZIONARI MONDIALI 250 SMALL CAP LARGE CAP Source: DATASTREAM 5

6 Nuovi target: dal rendimento al rischio µ Min rischio Rendimento atteso target (minimo) σ µ Max rendimento Rischio atteso target (massimo) σ 6

7 Motivazioni sul target di rischio Le misure di rischio sembrano più affidabili (controllabili) di quelle di rendimento atteso Il rischio inatteso sembra impattare più del rendimento inatteso Il rischio è un indicatore di momentum 7

8 L impatto psicologico della vol quota Illusione-delusione quota vol Shockripresa Tempo t Tempo t Vol come sommatoria di illusioni-delusioni e shocks 8

9 Il rischio come indicatore di momentum Correlazione inversa tra vol e variazione dei prezzi Se la vol cresce il prezzo cala (calerà) Conseguenza: controllare la vol induce una protezione nel portafoglio 9

10 DJ Euro Stoxx DJ Euro Stoxx 50: price change and volatility change 60.00% 50.00% 40.00% 30.00% 20.00% y = x R 2 = % 0.00% % -5.00% 0.00% 5.00% 10.00% 15.00% % % % % 10

11 S&P500 S&P 500: price change and volatility change 80.00% 60.00% 40.00% y = x R 2 = % 0.00% % % -5.00% 0.00% 5.00% 10.00% 15.00% % % % 11

12 Nasdaq Nasdaq: price change and volatility change 50.00% 40.00% 30.00% y = x R 2 = % 10.00% 0.00% % % -5.00% 0.00% 5.00% 10.00% 15.00% 20.00% 25.00% % % % % 12

13 Smirk sul Nasdaq Quotazioni più basse Vol più alta 13

14 Nuovi fattori di rischio (non-market) Rischio di credito downgrading, default Rischio di (il)liquidità Liquidity Marketability Bid-ask spreads Rischio operativo 14

15 Nuove misure di rischio: VaR Vol Misura classica di Markowitz Rischi simmetrici, normalità VaR = Value at Risk: massima perdita conseguibile con data probabilità (es. 95%) VaR : Pr ob(x ~ VaR ) = α (es. α = α 5%) 15

16 Nuove misure di rischio: CVaR CVaR Conditional VaR o expected shortfall: perdita media superiore al VaR α CVaR VaR e CVaR sono misure di downside risk 1 = VaR du = E X ~ X ~ u VaR α 0 ( ) α CVaR 16

17 Dalla Vol al VaR Il superamento della Vol non riflette solo l asimmetria delle distribuzioni di probabilità Il rischio è un concetto asimmetrico (rischio come rischio di perdita) Gli effetti in termini di utilità (benessere) sono asimmetrici: -10 danneggia più del beneficio di +10 (avversione alla perdita, utilità marginale decrescente) 17

18 Dal VaR a CVaR Il VaR non soddisfa i criteri di coerenza delle misure di rischio (Artzner, Delbaen, Eber, Heath, 1997) VaR non è sempre sub-additivo VaR(A+B) > VaR(A) + VaR(B) CVaR è sub-additivo (l aggragazione-diversificazione non aumenta il rischio) 18

19 Nuovi metodi gestionali 1. Approcci robusti di AA tattica Max-min: massimizzazione dei risultati negli scenari peggiori (con dato livello di confidenza) 2. Approcci dinamici life-cycle Modifica dell AA strategica con riduzione dell esposizione al rischio all avvicinarsi della scadenza (pensionamento) 19

20 1. Ottimizzazione robusta (lavoro congiunto con A. G. Quaranta) Problema classico (diretto): min f ( x,c) A Problema con incertezza: min A x x f ( x,c) b (c, A,b) I Soluzione robusta: min t t f (x,c), A x t, x x x b Insieme incertezza dei parametri Misura di rischio { b for all (c, A, b) } 20

21 Problema di portafoglio con obiettivo di rischio e incertezza sui rendimenti attesi max min x r I { T } r x, f(x) R,1 T x = 1 Soluzione di max-min Il migliore tra i peggiori portafogli Target di rischio massimo Applicazione al con 10 benchmark 21

22 Portafogli non robusti: performance nella crisi Confronto tra Indici di Performance del Portafoglio ottenuti con i diversi modelli IPP_VaR, IPP_CVaR, IPP_Vol IPP_Libor mesi IPP_VaR IPP_CVaR IPP_Vol IPP_Libor 22

23 Portafogli robusti: performance nella crisi Confronto tra Indici di Performance del Portafoglio ottenuti con i diversi modelli IPP_VaR, IPP_CVaR, IPP_Vol IPP_Libor mesi IPP_VaR IPP_CVaR IPP_Vol IPP_Libor 23

24 Back-test di rischio: Vol Back-Test per la Vol Back-Test per la Vol mesi mesi Soglia Vol Rendimento effettivo da modello Vol Non robusto Robusto 24 S o g lia V o l e r e n d im e n to e ffe ttiv o o tte n u to p e r il p o r ta fo g lio d a m o d e llo V o l S o g lia V o l e r e n d im e n t o e f f e t t iv o o t t e n u t o p e r il p o r t a f o g lio d a m o d e llo V o l Soglia Vol Rendimento effettivo da modello Vol

25 Back test di rischio: VaR Back-Test per il VaR Back-Test per il VaR S o g l i a V a R e r e n d i m e n t o e f f e t t i v o o t t e n u t o p e r i l p o r t a f o g l i o d a m o d e l l o V a R S o g lia V a R e r e n d im e n t o e f f e t t iv o o t t e n u t o p e r il p o r t a f o g lio d a m o d e llo V a R mesi mesi Soglia VaR Rendimento effettivo del portafoglio da modello VaR Soglia VaR Rendimento effettivo del portafoglio da modello VaR Non robusto Robusto 25

26 Back test di rischio: CVaR Back-Test per il CVaR Back-Test per il CVaR Nessuno sforamento ex-post del rischio ex-ante mesi mesi Soglia CVaR Rendimento effettivo da modello CVaR Non robusto Robusto 26 S o g lia C V a R e r e n d im e n t o e f f e t t iv o o t t e n u t o p e r il p o r t a f o g lio d a m o d e llo C V a R S o g lia C V a R e r e n d im e n t o e f f e t t iv o o t t e n u t o p e r il p o r t a f o g lio d a m o d e llo C V a R Soglia CVaR Rendimento effettivo da modello CVaR

27 2. Conviene un approccio life-cycle? Half stocks all the time or all stocks half the time? (F. Black) Obiettivo del LC: riduzione del rischio quindi confronto tra rischiosità Rothschild-Stiglitz (1070): Y + rischioso di X: Se ogni soggetto avverso al rischio preferisce X Se Y=X+Z con E(Z X)=0 (Y mps di X) Se ( F ) y(u) Fx (u) du 0 dominanza stocastica del II ordine di X su Y Analisi stocastica in termini risk-adjusted Non arbitraggio=prezzi come valori attesi con prob. Risk-adj Le prob. Risk-adj eguagliano i rendimenti attesi degli asset e delle gestioni 27

28 % 16.0% 14.0% 12.0% 10.0% 8.0% 6.0% 4.0% 2.0% 0.0% Confronto tra distribuzioni DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA' DEI MONTANTI FINALI downside upside

29 Ipotesi di base Versamenti periodici su 35 anni Dinamica stocks e bonds ds(t) = rsdt + σ S SdẐ S (t) db(t) = rbdt dẑ S (t)dẑ B + σ B (t) = ρdt BdẐ (t) r=2%, σs=20%, σb=1%, ρ tra -0.8 e +0.8 B 29

30 Variabilità della correlazione 0.60 CORRELAZIONI CON LE OBBLIGAZIONI EURO 1-3Y AZIONI EUROPEE AZIONI MONDIALI IN EURO AZIONI MONDIALI IN DOLLARI

31 Modelli LC a confronto Vari casi di life-cycle per 32 anni e bond per 3 anni per 22 anni, per 10 anni, bond per 3 anni per 12 anni, per 10 anni, per 8 anni, bond per 5 anni 4. LC continuo: da a Target date continuo: da (1 vers.) a 98-2 (ultimo vers.) NB: per maggior confrontabilità esposizione media =25% Controlli 1. Monocomparto: per 35 anni 2. LC perverso:bond per 27 anni, per 8 anni 3. Solo bond:

32 Perché il monocomparto bilanciato? Modello di AA intertemporale Utilità CRRA 1 γ U(W) w s = W 1 γ 1 µ s r = γ σ 2 s = 1 4 6% 2% 4% = 25% Quota ottimale costante (Dynamic) Asset Allocation could be dangerous to your health, Samuelson (1990) 32

33 Andamenti dell esposizione azionaria 100 Caso Caso Caso Caso

34 Risultati: tabella degli scenari Probabilità Media ρ = < Mono in linea > Mono < Mono in linea > Mono Caso Caso Caso Caso Target Probabilità Media ρ = 0 < Mono in linea > Mono < Mono in linea > Mono Caso Caso Caso Caso Target Probabilità Media ρ = +0.8 < Mono in linea > Mono < Mono in linea > Mono Caso Caso Caso Caso Target

35 Risultati: utilità come indice riassuntivo Versamenti periodici γ = 4 ρ = ρ = 0 ρ = Caso Caso Caso Caso Target Mono , 40, 20, 0 LC continuo Versamento unico γ = 4 ρ = ρ = 0 ρ = Caso Caso Caso Caso Target Mono Samuelson 35

36 Conclusioni Metodi robusti di AA tattica possono migliorare i risultati risk-adj Con versamenti periodici, AA strategiche di tipo life-cycle sembrano migliorare i risultati finali per investitori avversi al rischio 36