Geometria analitica La parabola

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1 Geometria analitica La parabola Richiami di teoria L'equazione; punti e rette notevoli La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano P(x; y) equidistanti da un punto F detto fuoco e da una retta d detta direttrice. I punti della parabola sono pertanto tutti i punti del piano che soddisfano la condizione dist(p; F) = dist(p;d). y H '* S d FIG. 1 X La retta passante per F e perpendicolare a d prende il nome di asse della parabola, essendo tale retta asse di simmetria per la parabola, e la interseca in un punto V detto vertice. Generalmente si considerano solo parabole con asse parallelo agli assi coordinanti; pertanto si possono presentare i due seguenti casi: asse parallelo asse y (asse verticale) equazione cartesiana parabola y = ax +fax + c = ay +fay + c coordinate vertice coordinate fuoco F("a ; 4a ) = ( ^ 4 a + ^ ) equazione direttrice equazione asse -1 - A 1 y= 4a = 4a + y v / fa a A V _b_ 4a' a 1-A fa\ (\ + 4a a 43 x v;yv -1 4a _1_ + Xy ~A~a con a^o e A = b Aac discriminante del trinomio di grado che compare nell'equazione cartesiana della parabola. Nel caso di una parabola con asse parallelo all'asse x si parla anche di parabola coricata. 41

2 > unità 3 La parabola Se a > 0, la parabola rivolge la concavità verso l'alto, ovvero verso la direzione pos: va dell'asse y (verso destra, ovvero verso la direzione positiva dell'asse x); se a < 0 parabola rivolge la concavità verso il basso, ovvero verso la direzione negativa dell', se y (verso sinistra, ovvero verso la direzione negativa dell'asse x). Dal valore di a dipende, oltre alla concavità, anche l'apertura della parabola: Esaminiamo alcuni casi particolari. equazione cartesiana: y = ax ; vertice nell'origine 0 degli assi equazione cartesiana: x = ay ; vertice nell'origine 0 degli a 4

3 equazione cartesiana: y = ax + c Vertice sull'asse y equazione cartesiana: y = ax + bx La parabola passa per l'origine O degli assi Posizione reciproca di parabola e retta Si considerino una parabola V e una retta r; come si può valutare la posizione d retta rispetto alla parabola? \ i 1 \ / r /.y / / r \ A / / V / y 1 / /! FIC. 10 Retta esterna alla parabola FIC. 11 Retta tangente alla parabola FIC. 1 Retta secante la parabola Si dice che: la retta è esterna alla parabola la retta non ha punti in comune con la parai la retta è tangente alla parabola < => la retta ha un solo punto (due punti coinci ti) in comune con la parabola; la retta è secante la parabola <^> la retta ha due punti distinti di intersezione ci parabola. È possibile valutare la posizione di una parabola di equazione y = ax +bx + c ris; a una retta di equazione a'x + b'y + c' 0 osservando che la ricerca delle loro ini 43

4 unità La parabola zioni equivale alla ricerca delle soluzioni comuni tra l'equazione della parabola e Tee zione della retta, ovvero alla determinazione delle soluzioni del sistema di secondo gr y ax +bx + c a'x + b'y + d = 0 la cui equazione risolvente, ottenuta per sostituzione, risulta essere, quasi sempre secondo grado nella variabile x (è opportuno infatti ricavare y). Si presentano tre casi: l'equazione risolvente il sistema ha discriminante A < 0 il sistema non ha luzioni reali 4=> la retta non ha punti di intersezione con la parabola na alla parabola (FIC. 10); retta es l'equazione risolvente il sistema ha discriminante A 0 il sistema ha due luzioni reali e coincidenti o parabola retta tangente alla parabola (FIC. 11 ); la retta ha due punti coincidenti di intersezione coi l'equazione risolvente il sistema ha discriminante A > 0 <5 il sistema ha due luzioni reali e distinte O la retta ha due punti distinti di intersezione con la p< boia retta secante la parabola (FIC. 1). Se la retta considerata fosse parallela all'asse della parabola, avesse cioè equazione del tipo x h, il sistema si ridurrebbe alla forma FIC. 1! y = ax x h + bx + c la cui soluzione rappresenta le coordinate di un punto (A). Determinazione dell'equazione delle rette tangenti a una parabole Considerati un punto P(xo;y 0) e una parabola V di equazione y ax + bx + c possono presentare tre situazioni: FIC. 1. Il punto P(xo;yo) è esterno alla parabola V, 3 due rette per P tangenti alla parabola. P{ x o':yo) è un punto della parabola, P e V, 3! la retta per P tangente alla parabola (due rette coincidenti). 3. Il punto P(xo;yo) è interno alla parabola V, jq rette per P tange alla parabola. 44

5 unità wm La parabola Per determinare le equazioni delle rette tangenti nei casi 1 e si possono applicare i s guenti procedimenti: Primo metodo. Si scrive l'equazione del fascio proprio / di rette con sostegno n punto P(xo;yo), y yo = wn{x XQ)\ si considera il sistema formato dalle equazi del fascio e della parabola (y-yo = m(x-x 0). ^ y ax +bx + c si ricava l'equazione risolvente e si impone la condizione di tangenza, ovvero A 0. Se il punto P è esterno (caso 1), si ottengono due valori distinti di m y che, sostituiti ne l'equazione del fascio di rette, consentono di determinare le equazioni delle due ret tangenti. Se il punto P appartiene alla parabola (caso ), si ottiene un solo valore di (due valori coincidenti) che, sostituito nell'equazione del fascio di fette, consente di d terminare l'equazione della retta tangente. Secondo metodo. Solo se il punto P(x 0; y 0) appartiene alla parabola (caso ), si pi determinare facilmente l'equazione della retta tangente applicando la formula del sdoppiamento: y + yo X + XQ - = ax x 0 + o h c. A differenza della circonferenza (cap. ), per la parabola vi è un unico modo per d terminare l'equazione delle tangenti condotte da un punto esterno. In modo analogo si procede se la parabola è coricata, cioè ha equazione x = ay + by + NOTA BENE B9 Poiché nell'equazione cartesiana di una generica parabola compaiono tre parametri i cogniti (a, b e c), per determinare una parabola ben definita sono necessarie tre co dizioni: ad esempio si conoscono il vertice e il fuoco, il vertice e la direttrice, il verti< e un punto, il fuoco e un punto, tre punti della parabola non allineati ecc. Fasci di parabole Date due parabole di equazioni V: y = ax + bx + c ev':y = a'x + b'x + d, se si cor binano linearmente le loro equazioni si ottiene: Hy ax bx-c) + h'(y - a'x - b'x - d) = 0 con h,h' G E parametri non entrambi nulli. Tale equazione rappresenta il fascio di parabole generato da? e da V che sono det parabole generatrici del fascio. Esse corrispondono rispettivamente al caso in cui oh' o h 0 (l'ordine con cui si considerano le due parabole generatrici non è vincolante). Supposto h 7^ 0 (se fosse h = 0 dovrebbe essere h' ^ 0 e il ragionamento sarebbe an; ti logo), dividendo per h e ponendo k =, l'equazione del fascio di parabole può esse: scritta nella forma y ax bx c + k(y a'x b'x d) = 0. In questo caso le equazioni delle due parabole generatrici si ottengono ponendo, neh'' quazione del fascio, una volta k = 0 (trovando V) e una volta k > oo (trovando V) 45

6 unità u La parabola Le rette che appartengono al fascio di parabole sono dette parabole degeneri menti punti che appartengono a tutte le parabole del fascio sono detti punti base. L'equazione y ax forma bx k(y a'x b'x c') = 0 si può scrivere anche ne (1 + k)y - (a + ka')x - (b + kb')x - (c + kc') = 0; attribuendo opportuni valori a k, in modo da annullare i vari termini dell'equazione ricavano quattro possibili caratteristiche per il fascio: 1. tutte le parabole del fascio hanno due punti in comune, distinti o coincidenti, e no presenti due parabole degeneri formate dalla retta per i punti base A e B e ó le due rette verticali per A e B (FIC. 17), dalla retta tangente in A e dalla retta \ ficaie per A (FIC. 18);. tutte le parabole del fascio hanno un solo punto in comune ed è presente una s parabola degenere (FIC. 19); 3. le parabole del fascio non hanno punti in comune ed è presente una sola parab degenere (FIG. 0); 4. le parabole del fascio non hanno punti in comune e non è presente alcuna parab degenere (FIG. 1 ). FIC. 17 FIC. 18 s parabola degenere r parabola degenere r parabola degenere n paràbola degenere FIC. 19 FIC. 1 s parabola degenere 46

7 unità u La parabola La ricerca degli eventuali punti base del fascio di parabole avviene risolvendo il sistema y = ax y = a'x + bx + c + b'x + c' equivalente al sistema y = ax + bx + c a - a')x + (b - b')x + c - c' = 0 la cui seconda equazione permette di determinare le ascisse di tali punti. Le rette parallele all'asse della parabola e passanti per i punti comuni (distinti o coincidenti) sono da considerarsi parabole degeneri del fascio. Per determinare invece le rette, parabole degeneri non parallele all'asse, appartenenti al fascio di equazione (1 + k)y (a + ka')x (b + kb')x (c + kc') = 0, è sufficiente a attribuire al parametro k il valore che rende nullo il termine in x, k = a/' L'utilizzo dei fasci di parabole faciliterà molto la soluzione di alcuni tipi di problemi. 1. Fascio di parabole, ad asse verticale, di punti base A e B. Poiché qualsiasi parabola di un fascio può essere interpretata come parabola generatrice, l'equazione del fascio di parabole avente due punti base A{XA\VA) e B(xs',yB) assegnati si determina combinando linearmente l'equazione della retta passante per A e B e la coppia di rette parallele all'asse della parabola passanti sempre per A e B (considerate come parabole degeneri del fascio): n V ~~ VA X XA retta per A e B: = VB - VA %B - x A ovvero (UB - VA)X - {x B - x A)y + x ByA - x AyB = 0, coppia di rette parallele agli assi (x XA)(X XB) = 0, da cui si ottiene l'equazione cercata (yb - VA)X - {x B - x A)y + x ByA - XAVB + k( x ~ XA)(X - x B) = 0, con k e R.. Fascio di parabole, ad asse verticale, tangenti a una retta t in un suo punto T. Questo problema può essere ricondotto al caso precedente sostituendo la retta per A e B con la tangente data t: ax + by + c = 0 e considerando il punto assegnato T{XT\yr) come A e B (due punti base coincidenti con il punto di tangenza comune a tutte le parabole del fascio) ottenendo: ax + by + c + k(x x T) = 0, con k e M.. NOTA BENE In questa seconda tipologia di problemi ricade quello di determinare il fascio di parabole di dato vertice V. E sufficiente infatti considerare V alla stregua di T e come retta tangente la retta perpendicolare all'asse della parabola e passante per V. 47

8 unità La parabola Esercizi proposti Per ogni esercizio è sempre preferibile rappresentare la situazione proposta in sistema di riferimento cartesiano xoy. Scrivi l'equazione della parabola V di fuoco F{ 1; ) e direttrice d:y = 0. Risoluzione Primo metodo. Notato che la direttrice coincide con l'asse x, la parabola V cercata è ad asse verticale e la sua generica equazione è y = ax + bx + c con a ^ 0. b 1 - A -1-A Essendo F e d:y (A = b 4ac) le generiche coordinate del fuo< a Aa ) Aa l'equazione della direttrice, possiamo uguagliare tali coordinate e tale equazione a quelle d nel testo del problema ottenendo: 'b b a 1-A Aa = -I 4«" _ 1 b = a (b = a da cui < 1 - A = 8a < = 8a =>< ' b < a _ 1-4 -' < a ì V 4 - C = - l. c A = 0 VA = -1 a l b - 4ac = e l'equazione cercata di V è: y = -x + -x + -. e infine Secondo metodo. In base alla definizione di parabola quale luogo geometrico, indicato < P(x; y) il generico punto della parabola, dovrà valere la relazione dist(f; F) = dist(p; d). S: dist(p; F) = y/{x + l) + (y - ) = y/x + x y - Ay + A = ^x + y + x-ay-t dis,(p;d) = ^L = M. Uguagliando le due espressioni ed elevando al quadrato si ottiene V^ + y + x - Ay + 5 = \y\ x + y + x - Ay + 5 = y =^> x + x - Ay + 5 = y = ìx + \x + \, ritrovando la stessa soluzione precedente. Scrivi l'equazione della parabola di fuoco F(; 0) e direttrice d:y =. [y = -\-- Scrivi l'equazione della parabola di fuoco F ( -; - j e direttrice d: y Scrivi l'equazione della parabola di fuoco F ( ; 1J e direttrice d: x = C T ' \x = y -'. 48

9 unità La parabola 5 9 Scrivi l'equazione della parabola di vertice V[ -; - j e direttrice d: y 5 = 0. ' r 9 ì [y = x + 5x 4J Scrivi l'equazione della parabola di vertice V ( 3; - 1 e direttrice d: y + 3 = 0. V J [y= 1 ex* + x] Scrivi l'equazione della parabola di vertice V(l; 0) e direttrice d: IQx 17 = 0. [x = -Ay + l] Scrivi l'equazione della parabola di vertice V(0; 0) e fuoco F(0; 1). [y = x ] Scrivi l'equazione della parabola di vertice V( ;0) e fuoco F l ; Scrivi l'equazione della parabola di vertice V( ;0) e fuoco F( 3;0). Determina vertice, fuoco e direttrice delle seguenti parabole: [x = - / -] a. y = x + x 1 b. y = x 4x 1,1 9 c. x = --y* + -y a A [at(l;0),f(l;- ), d:4y-l = 0, b. V(l; -),F (l;-f ), d:y =, c.v r (-;l),f(-3;l),d:a;+1 = 0] Determina l'equazione della parabola, ad asse verticale, passante per i punti A( 1; 6), J5(; 0) ec(4;16). Svolgimento, Primo metodo. L'equazione cercata è del tipo y = ax dei punti dati A, F, C devono soddisfare tale equazione per cui,... = a b + c passaggio per A... = Aa+...ò + c passaggio per B = a+...ò + c passaggio per C e combinando linearmente la l con la e la l con la 3 equazione a a a a {... a ò + c ( 6 = a ò + c 6 =...a...6, semplificando < a + ò = -...=-...a -5ò Ua + ò=... f6=a-ò+c ra= e ricombinando la 3 con la, < a + ò = a a, si ottiene < ò = I...a = A lc=... L'equazione della parabola cercata risulta essere y = x Ax. + bx + c con a 7^ 0 e le coordinate, si ottiene: Se non fosse stato specificato nel testo dell'esercizio che la parabola è ad asse verticale, si sarebbe dovuto risolvere, con lo stesso metodo, anche il problema partendo dall'equazione x = ay + by + c. In generale, dati tre punti non allineati e tali che, a due a due, non abbiano stessa ascissa o stessa ordinata (non appartengano a una stessa retta parallela a un asse coordinante), vi sono due parabole passanti per essi, una ad asse verticale e una ad asse orizzontale.

10 unità La parabola Secondo metodo. Si vuole scrivere il fascio di parabole, ad asse verticale, avente come ] ti base A, B e successivamente imporre il passaggio per C. trovando l'equazione richiesta 1 Come parabola degenere del fascio si considera la retta passante per A e B la cui equazio x + 1 y 6 x + 1 y '... x -y + e in forma implicita x + y -... =0. L'equazione del fascio di parabole è pertanto x + y k(x +...)(x -... ) = 0. Imponendo ora il passaggio della generica parabola del fascio per C si ottiene: /c(4+...)( ) = 0, 0 + k(... )() = 0, da cui fc = -. Sostituendo tale valore di k nell'equazione del fascio si ottiene la parabola cercata: x + y (x +... )(x -... ) = 0 e infine y = x - 4x. x + y (x...) = 0 e C Determina le equazioni delle parabole passante per i punti ^4(0; 0), B{ 1 y \ 1^' ^ x 3 y -I' H9I Determina l'equazione della parabola passante per i punti A{ 1;9), [y = 3x - E Determina l'equazione della parabola passante per i punti A(0; 0), JB(0; C(9;-3). [x = -3/ : U l Determina l'equazione della parabola, ad asse verticale, passante per i A{ ; 3) e B(5:4), che interseca l'asse x nel punto C di ascissa 7. [/ = -\x + LtS Scrivi le equazioni delle parabole di vertice V(0; ) e passanti per A( 8 [y = -±x + ; x = -y + g I B Determina l'equazione della parabola che passa per i punti A{ 1;0), i: e ha vertice di ordinata. [/ = è* [a. (l;-3),(4;0); b. (-1;1); c. nessuno; d. (0;0), K E f l Determina, se esistono, i punti di intersezione tra la retta e la parabola guito assegnate (è sufficiente risolvere il sistema formato dalle due equazioni): a. r: y = x 4 V: y = x 4x b. r: x - y + 3 = 0 V: y = x + 4x + 4 c. r: 3x + y - = 0 V: y = -x - 3x + 1 d. r:x-y = 0 -p:x = -y +6y 50

11 I unità u La parabola Scrivi le equazioni delle rette tangenti condotte dal punto P(; -) alla parabola V di eq - x. Notato che il punto P non appartiene alla parabola essendo falso che =... e che sulta alla parabola, si può concludere che ci saranno rette tangenti. Si scrive il fascio di rette di centro P, y = m(x ), da cui y = mx..., «si pone a sistema con l'equazione della parabola, ottenendo Sostituendo y si ricava un'equazione di grado in x, y mx y = mx o mx... x... +l)x + (m + = 0 3T X Imponendo la condizione di tangenza A = 0, si ha A = ( + l) 4(m +... ) = 0, m m... = 0, m -... m... =0 le cui soluzioni sono mi = -1 e m =..., che rappresentano i coefficienti angolari delle n te tangenti cercate. Sostituendo nell'equazione del fascio si ottengono le rette cercate, ti:y +... = x +..., y = x e Ì'-y +... =...x.... y 7x 16. Scrivi le equazioni delle tangenti condotte dal punto P(3; 1) alla parabola Scrivi le equazioni delle tangenti condotte dal punto P( ; 4) alla parat V di equazione y = x + 6x + 5. [y + 4 = 0; 4x - y HEoI Scrivi le equazioni delle tangenti condotte dal punto P I - ; 3J alla para la V di equazione y = Ax 1. [8x - y - 5 = 0; 4x + y + = WHìM Scrivi le equazioni delle tangenti condotte dal punto P( 1; ) alla parabole di equazione y = x 3x. [x + y B 3 H Scrivi le equazioni delle tangenti condotte dal punto P{ 1; 1) alla paraboh di equazione y = x + x + 4. [j/ = -Vx - \/ + 1; y = \/x + \/ 4 di equazione y = -x 3x 5. [nessu E S I Scrivi le equazioni delle tangenti condotte dal punto P(0; ) alla parabola,. 1, di equazione x = --y z y. [x + y + = 0; x-y- = 4 Efifl Determina le equazioni delle parabole, ad asse verticale, passanti per i pui A( 1; 6), P(; 0) e tangenti la retta f di equazione Ax + y 10 = 0. [Pi:/ = -x +8; P :y _~ _ 16, Determina l'equazione della parabola, ad asse orizzontale, di vertice V(l; e tangente la retta t di equazione y x 1. 51

12 unità La parabola H* fl Determina per quali valori del parametro ///. coefficiente angolare variai del fascio di rette con sostegno nel punto P(l;3), tali rette risultano esterne, tange secanti la parabola di equazione y = x + 4x 1. Nel caso di rette tangenti, dei minane le equazioni e le coordinate dei punti di tangenza. [rette esterne 4=> 0 < m < 4; rette tangenti»m = 0Vm = 4; rette secanti»m<0vm; rette tangenti: t\:y 3 = 0, < : 4a: y 1 = 0; punti di tangenza: Ti(; 3),T(0; - WtìML Determina per quali valori del parametro ni. coefficiente angolare variai del fascio di rette con sostegno nel punto P(; 4), tali rette risultano esterne, tang ti, secanti la parabola di equazione y = x x. Determina le equazioni delle te tangenti e le coordinate dei punti di tangenza. [rette esterne «4-1 < m < 15; rette tangenti m = 1 V m = 15; rette secanti ttra<-lvm> rette tangenti: ti: x + y + = 0,Ì: 15x y 34 = 0; punti di tangenza: Ti(0; ), T (4; Determina l'equazione della parabola, ad asse verticale, passante per il punto P( ; 7) e ta: gente la retta t di equazione y = x + 3 nel suo punto T di ordinata 7. Risoluzione Primo metodo. Determinata l'ascissa del punto T sostituendo yr = 7 nell'equazione della retta t, si ottiene T(; 7) e si ricade nella tipologia dell'esercizio 4, la cui risoluzione si ottie ne imponendo il passaggio della generica parabola y = ax + bx + c per P e T e la condizione di tangenza con la retta t. Passaggio per P: passaggio per T: condizione di tangenza: y = x + 3 y = ax + bx + c y = x + 3 ax + (b - )x + c - 3 = 0 Si avrà il sistema 7 = 4a c 7 = 4a c (ò-) -4a(c-3) = 0 sostituendo ( ^ ^ ^ 9 l x + 3 = ax da cui + bx + c 7 = 4a c, 7 = 4a c, A = (6-) -4o(c-3) = 0. e risolvendo ( a - l a ) 7 = 4a c 46 = 0 (ò-) -4a(e-3) = 0 ooe < 6 = 0 7 = 4a + c 4-4ac + Ia = 0 c = 7-4a 6 = 0 4a - 4a + 1 = 0 c = 7-4a (c = 7-4a 6 = 0 => ^ 6 = 0 (a-l) = =0 e la parabola cercata ha equazione y -x

13 unità La parabola Secondo metodo. Si vuole scrivere il fascio di parabole tangenti la retta t nel suo punto T di ordinata 7 e successivamente imporre il passaggio per P( ; 7), trovando l'equazione richiesta. Determinate le coordinate di T(; 7), si scrive l'equazione del fascio considerando la retta tangente t come parabola degenere e il punto T come punto base doppio [A e B, punti base coincidenti), per cui l'equazione del fascio di parabole è: x y k(x ) = 0. Imponendo ora il passaggio della, generica parabola del fascio per P si ottiene: fe(- - ) = * = 0, da cui k = -. Sostituendo tale valore di k nell'equazione del fascio si ottiene la parabola cercata: x - y (x - ) = 0 => x - y \{x - Ax + 4) = 0 e infine 1 r NOTA BENE Qj In questa tipologia di risoluzione ricade anche l'esercizio di determinare l'equazione una parabola di vertice V e passante per un punto P, V e P dati, se si considera V = e come retta tangente t la retta perpendicolare all'asse della parabola e passante per WHIU Determina l'equazione della parabola passante per il punto P(3; ) e te gente l'asse x nel suo punto T di ascissa 1. [y - -\x + x - Determina l'equazione della parabola passante per il punto P(3; -) e te gente l'asse y nel suo punto T di ordinata 1. [* = b E U Determina l'equazione della parabola, ad asse verticale, passante per il pur P(0; 5) e tangente la retta t di equazione 3x 4y 1 = 0 nel suo punto T di ordii ta nulla. [y Ir - ir -I- E H Determina l'equazione della parabola, ad asse verticale, passante per il pur P ( ; - e tangente la retta t di equazione 3x y - 1 = 0 nel suo punto T di ascissa V J [y=%x* + fx-- B^y-M Determina l'equazione della parabola passante per il punto P(3; 3) e aver vertice in V(; -1). [Vi-.y= -x + 8x- 9; V -x = \y + \y + Dato il fascio $ di parabole di equazione y a. le parabole generatrici del fascio; b. le coordinate dei punti base del fascio; c. l'equazione della parabola del fàscio avente vertice sull'asse y; d. l'equazione della parabola del fascio passante per il punto P( ; 5). Svolgimento a. Riscritta l'equazione del fascio $ come combinazione lineare y k(x +... ) = 0, ponendo k =... si ottiene la retta y = 0 (parabola degenere), mentre per k > si ricava x +... =0, cioè x(x +... ) = 0, da cui x = 0 V x = coppia di rette parallele all'asse y (parabola degenere); 53

14 unita u La parabola i punti base A e B si ricavano dal sistema formato dalle due precedenti generatrici : : : i ì = 0 e^uivaiente a {i : 0v x +=Z. da cui si trovano A { X ^ e B l X U - lv = dovendo il generico vertice appartenere all'asse y, dovrà essere xy = = 0. cioè b = 0. za Si avrà allora = 0, k e sostituendo, nell'equazione del fascio, tale valore k si trova la parabola desiderata: y = x ; imponendo l'appartenenza del punto P alla generica parabola del fascio si ottiene 5 =... k k... 1,-5 = k... e k =... Sostituendo nell'equazioni del fascio tale valore di k si trova la parabola desiderata: y = x +... '... kjtfl mina: Dato il fascio <f> di parabole di equazione y = x + ( 3k)x 3fc + 1, de a. le parabole generatrici del fascio; b. le coordinate dei punti base del fascio; c. l'equazione della parabola del fascio avente vertice di ascissa 4; d. l'equazione della parabola del fascio passante per il punto P( ; 1). [a. y = x + x + 1 A x = -1; b. A(-l; 1); c.y = x - 16x - 17; d.y = x + 8x 4 K l Dato il fascio $ di parabole di equazione (k + 1 )x + kx (k + l)y 1 = determina: a. le parabole generatrici del fascio; b. le coordinate dei punti base del fascio; c. i valori di k che corrispondono alle parabole degeneri; d. l'equazione della parabola del fascio di asse di simmetria x =. [a.y = x - 1 Ay = \x + \x\ b. A{-1; 0), 5(; 3); c. k = -1 V k = -ì; d.y = ~\x + x + Dato il fascio <h di parabole di equazione y = [k + )x (5 + 3k)x + 8k 4 determina: a. le parabole generatrici del fascio; b. le coordinate dei punti base del fascio; c. l'equazione della parabola degenere del fascio; d. l'equazione della parabola del fascio passante per l'origine degli assi. [a. y = x 5x + 1 A rette immaginarie; b. c. y = x 15; d.y = ^-x ^ k 9 Nel fascio $ di parabole generato da V\\ y = x + 5x + 3 T>'- y = x 3x, determina: a. le coordinate dei punti base del fascio; b. i valori di k che corrispondono a parabole degeneri; c. l'equazione della retta appartenente al fascio; d. l'equazione della parabola del fascio passante per P(0; 1). [a. A (- ;0),B( ;3) ; b.* = lvfc = -l; c.x-y +1 = 0; d.y = fa: - \x - 54